自动控制原理课后习题答案(王建辉、顾树生编)清华大学出版社

2-1 什么是系统的数学模型?在自动控制系统中常见的数学模型形式有哪些? 用来描述系统因果关系的数学表达式,称为系统的数学模型。 常见的数学模型形式有:微分方程、传递函数、状态方程、传递矩阵、结构框图和信号流图。 2-2 简要说明用解析法编写自动控制系统动态微分方程的步骤。

2-3 什么是小偏差线性化?这种方法能够解决哪类问题?

在非线性曲线(方程)中的某一个工作点附近,取工作点的一阶导数,作为直线的斜率,来线性化非线性曲线的方法。

2-4 什么是传递函数?定义传递函数的前提条件是什么?为什么要附加这个条件?传递函数有哪些特点?

传递函数:在零初始条件下,输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。 定义传递函数的前提条件:当初始条件为零。

为什么要附加这个条件:在零初始条件下,传递函数与微分方程一致。 传递函数有哪些特点:

1.传递函数是复变量S 的有理真分式,具有复变函数的所有性质;n m ≤且所有系数均为实数。

2.传递函数是一种有系统参数表示输出量与输入量之间关系的表达式,它只取决于系统或元件的结构和参数,而与输入量的形式无关,也不反映系统内部的任何信息。 3.传递函数与微分方程有相通性。

4.传递函数)(s W 的拉氏反变换是系统的单位脉冲响应。

2-5 列写出传递函数三种常用的表达形式。并说明什么是系统的阶数、零点、极点和放大倍数。

n

n n n m

m m m a s a s a s a b s b s b s b s W ++++++++=----11

101110)( ()

()

∏∏==++=

n

j j

m

i i s T s T K s W 1

111)( 其中n

m

a b K =

()

()

∏∏==++=

n

j j

m i i g p s z s K s W 1

1

)( 其中0

a b K g =

传递函数分母S 的最高阶次即为系统的阶数,i z -为系统的零点,j p -为系统的极点。K 为传递函数的放大倍数,g K 为传递函数的根轨迹放大倍数。 2-6 自动控制系统有哪几种典型环节?它们的传递函数是什么样的? 1.比例环节

u r

2.惯性环节

1/Cs

u r

3.积分环节

1/Cs

u r

4.微分环节

u r

5.振荡环节

6.时滞环节

2-7 二阶系统是一个振荡环节,这种说法对么?为什么? 当阻尼比10<<ξ时是一个振荡环节,否则不是一个振荡环节。

2-8 什么是系统的动态结构图?它等效变换的原则是什么?系统的动态结构图有哪几种典

c

型的连接?将它们用图形的形式表示出来,并列写出典型连接的传递函数。

2-9 什么是系统的开环传递函数?什么是系统的闭环传递函数?当给定量和扰动量同时作用于系统时,如何计算系统的输出量?

答:系统的开环传递函数为前向通路传递函数与反馈通路传递函数之积。 系统的闭环传递函数为输出的拉氏变换与输入拉氏变换之比。

当给定量和扰动量同时作用于系统时,通过叠加原理计算系统的输出量。 2-10 列写出梅逊增益公式的表达形式,并对公式中的符号进行简要说明。

2-11 对于一个确定的自动控制系统,它的微分方程、传递函数和结构图的形式都将是唯一的。这种说法对么吗?为什么? 答:不对。

2-12 试比较微分方程、传递函数 、结构图和信号流图的特点于适用范围。列出求系统传递函数的几种方法。

2-13 试求出图P2-1中各电路的传递函数W(s)=Uc(s)/Ur(s)。

(a)

(b )

(c )

解:(a

)解法1:首先将上图转换为复阻抗图,

由欧姆定律得: I(s)=(U r -U c )/(R+Ls) 由此得结构图:

Uc

c (s) 图2-1 (a-s)

Uc=I(s)(1/Cs) 由此得结构图:

整个系统结构图如下:

根据系统结构图可以求得传递函数为:

W B (s)=U c /U r =[[1/(R+Ls)](1/Cs)]/[ 1+[1/(R+Ls)](1/Cs)] =1/[LCs 2+RCs+1]=1/[T L T C s 2+T C s+1] 其中:T L =L/R; T C =RC 解法2:由复阻抗图得到:

Cs

Ls R s U s I r 1)()(+

+=

1)(1

1)

(1)

()(2

++=++==R C s L c s s U Cs Cs

Ls R s U Cs

s I s U r r c 所以:

1

1

)()(2

++=RCs Lcs s U s U r c 解:(b )解法1:首先将上图转换为复阻抗图,

(b )

根据电路分流公式如下: I 1R R 2

2

12

1R R R I

I += 同理:2112R R R I I +=

2)()(R Z s U s I r +=

其中:()1///1Z Cs Z = ()11

1111+=+=Cs R CS

Cs R Z 代入Z 中,则()()21111111

111

11++=

+++=Cs R Cs R Cs Cs R Cs

Cs Cs R Cs Cs Z 21)

(111

)()(111+=++=Cs R s I Cs

R Cs Cs s I s I ()()()2

12111212

2

11

12112

2

1221212)(21)(2

11)(1

21211)()

(121)()(1)()(R Cs

Cs R R Cs R Cs

Cs R s U Cs Cs R R Cs R s U R R Cs R Cs R Cs s U Cs Cs R R Cs R Cs R Cs s U R R Z s U Cs Cs R R Z s U R s I Cs s I s U r r r r r r c ++++++++=

++++++++=

++++=+=

所以:

()()()1

212212211

)()(21222122

22112112121+++++=

+++++

+++=Cs R Cs R s C R R Cs R s C R R Cs

Cs R R Cs R Cs Cs R R Cs Cs R R Cs R s U s U r c

解法2:首先将上图转换为复阻抗图(如解法1图)

1

1)

()()(R s U s U s I c r -=

()1)(1)()(11112+=??

? ??

+=Cs R s I Cs Cs R s I s I

)()()(21s I s I s I +=

21)(1

)

()(R s I Cs

s I s U c += 画出其结构图如下:

化简上面的结构图如下:

应用梅逊增益公式:

∑=??=n

k k k r c T s U s U 1

1)()(

其中:b a L L --=?1

()2112

+-

=Cs R R R L a 、Cs

R L b 11-= 所以()()Cs

R Cs R Cs R Cs R Cs R Cs R R R 11211112

12121+++=+++

=? ()211

2

1+=

Cs R R R T 、11=? Cs

R T 121

=

、12=? 所以:

()()()()1

2121

21

2121

2)()(212221222211211211211112

+++++=

+++++=

+++++=Cs R Cs R s C R R Cs R s C R R Cs R Cs R Cs R Cs R Cs R Cs

R Cs R Cs R Cs R Cs R Cs R R R s U s U r c

解:(c) 解法与(b)相同,只是参数不同。

2-14 试求出图P2-2中各有源网络的传递函数W(s)=Uc(s)/Ur(s)。

(b)

解:(a )

1

)()(Z Z

s U s U r c -= 其中:

()()1111

111111111+=+=

+

=s T s

C s C R s C s C R Z 1111

//1

000000000

000+=+=+

==s T R s C R R s

C R s C R R s C Z 其中:111C R T =、000C R T =

所以:

()()111

)()(1010++-

=s T s T s

C R s U s U r c 解:(b )如图:

(c)

C 1

(a)

(a)

将滑动电阻分为2R 和3R ,

10I I = 0

0)(R s U I r =

s

C R R R Z

s U I c 1133

11

)(+

+-

=,其中

()11111111

11211121111

2+++=++=+

+=s C R R s C R R s C R R R s

C R s C R R Z

所以:

()[]()[]11122

213101310

1133111)

()(R s C R R s

C R R R s C R R R s C R R R Z s U s U r c ++++-

=???

? ??++-=

解:(c )解法与(b )相同。

2-15 求图P2-3所示各机械运动系统的传递函数。

(1)求图(a)的?)()(=s X s X r c (2)求图(b)的

?)

()

(=s X s X r c (3)求图(c)的?)

()

(12=s X s X (4)求图(c)的

(b)

r (t)

(t) B (a)

r (t)

c (t) (b)

X 2(t)

X 1(t)

B 1

B 2

(c)

2-16如图P2-4所示为一个带阻尼的质量弹簧系统,求其数学模型。

图p2-4

2-17 图P2-4所示为一齿轮传动系统。设此机构无间隙、无变形。

(1)列出以力矩M r 为输入量,转角为输出量的运动方程式,并求其传递函数。 (2)列出以力矩M r 为输入量,转角1θ为输出量的运动方程式,并求出其传递函数。

D 4

D 1

c

2-18 图P2-6所示为一磁场控制的直流电动机。设工作时电枢电流不变,控制电压加在励磁绕组上,输出为电机位移,求传递函数)

()

()(s U s s W r θ=。

图P2-6

f

f

2-19图P2-7所示为一用作放大器的直流发电机,原电机以恒定转速运行。试确定传递函数

)()

()

(s W s U s W r c =,假设不计发电机的电枢电感和电阻。

图P2-7

c

2-20 图P2-8所示为串联液位系统,求其数学模型。

2-21 一台生产过程设备是由液容为C 1和C 2的两个液箱组成,如图P2-9所示。图中Q 为稳态液体流量)(3

s m

,q 1为液箱1输入流量对稳态值得微小变化)(3s m ,q 2为液箱1到液箱2

流量对稳态值得微小变化)(3

s m

,q 3为液箱2输出流量对稳态值得微小变化)(3s m ,1

H

为液箱1的稳态液面高度(m),h 1为液箱1液面高度对其稳态值的微小变化(m), 2H 为液箱2的稳态液面高度(m),h 2为液箱2液面高度对其稳态值的微小变化(m),R 1为液箱1输出管的液阻))((3

s m m ,R 2为液箱2输出管的液阻))((3

s m m 。

(1)试确定以为输入量、为输出量时该液面系统的传递函数; (2)试确定以为输入,以为输出时该液面系统的传递函数。(提示:流量(Q)=液高(H)/液阻(R),液箱的液容等于液箱的截面面积,液阻(R)=液面差变化(h)/流量变化(q)。)

液箱1

Q 液箱2

2q Q +

3q Q +

图P2-9

2-22 图P2-10所示为一个电加热器的示意图。该加热器的输入量为加热电压u 1,输出量为加热器内的温度T 0,q i 为加到加热器的热量,q 0为加热器向外散发的热量,T i 为加热器周围的温度。设加热器的热阻和热容已知,试求加热器的传递函数)()()(0s U s T s G t =。

图 P2-10

2-23

热交换器如图P2-11所示,利用夹套中的蒸汽加热罐中的热体。设夹套中的蒸汽的温

度为T i ;输入到罐中热体的流量为Q 1,温度为T 1;由罐内输出的热体的流量为Q 2,温度为

T 2;罐内液体的体积为V ,温度为T 0(由于有搅拌作用,可以认为罐内液体的温度是均匀的),并且假设T 2=T 0,Q 2=Q 1=Q(Q 为液体的流量)。求当以夹套蒸汽温度的变化为输入量、以流出液体的温度变化为输出量时系统的传递函数(设流入液体的温度保持不变)。

图 P2-11

2-24 已知一系列由如下方程组成,试绘制系统方框图,并求出闭环传递函数。

)

()()()()]()()([)()]()()()[()()()]()()[()()()(3435233612287111s X s W s X s W s W s X s X s X s X s W s X s W s X s X s W s W s W s W s X s X c c c r =-=-=--=

解:由以上四个方程式,可以得到以下四个子结构图 1.

X 1(s)=X r (s)W 1(s)- W 1(s)[ W 7(s)- W 8(s)]X c

(s)

X r c

2.

X 2(s)= W 2(s)[ X 1(s)- W 6(s)X

3(s)]

X (s)

3.

X 3(s)=[ X 2(s)- X c (s)W 5(s)] W 3(s)

X (s)

4.

X c (s)=W 4(s)X 3(s)

X 3

将以上四个子框图按相同的信号线依次相连,可以得到整个系统的框图如下:

利用梅逊公式可以求出闭环传递函数为: L 11=-W 1(s) W 2(s) W 3(s) W 4(s)[ W 7(s)- W 8(s)] L 12=-W 3(s) W 4(s) W 5(s) L 13=-W 2(s) W 3(s) W 6(s) L 2=0

T 1= W 1(s)W 2(s) W 3(s) W 4(s)

△ 1=1 △ =1+ W 1(s) W 2(s) W 3(s) W 4(s)[ W 7(s)- W 8(s)]+ W 3(s) W 4(s) W 5(s)+ W 2(s) W 3(s) W 6(s)

[]6

325438743214

3211

11)()()(W W W W W W W W W W W W W W W W T s X s X s W r c B ++-+=

?

?==

X r

2-25 试分别化简图P2-12和图P2-13所示结构图,并求出相应的传递函数。

图 P2-12

解:化简图P2-12如下:

图 P2-12

继续化简如下:

图 P2-12

所以:

()()1

1/11221212

12212121-++=-++=H W H W W W W W H H W W W W X X r c

解:化简图P2-12如下:

图 P2-13

进一步化简如下: 所以:

()()()()()()2

3112322113

212223113

213

12231132123113

2111111111H W H W H W H W H W W W W H W H W H W W W W W W H H W H W W W W H W H W W W W X X r

c ++++=

+++=

+++++=

2-26 求如图P2-14所示系统的传递函数)()()(1s X s X s W r c =,)

()

()(2s X s X s W d c =。

图 P2-14

图 P2-13

图 P2-13

解:

1.求W 1(s)=Xc(s)/Xr(s)的等效电路如下(主要利用线性电路叠加原理,令X d =0)

上图可以化简为下图

由此得到传递函数为:

W 1(s)=Xc(s)/Xr(s)=[W 1W 2]/[1-W 2H 2+W 1W 2H 3] 2. 应用梅逊增益公式:

∑=??=n

k k k d c T X X 1

1 其中:b a L L --=?1,321H W W L a -=,22H W L b =

223211H W H W W -+=?

21W T =,11=?,1212H W W T -=,12=?

所以:

2

23211

2121W W H W W H W W W X X d c -+-=

2-27 求如图P2-15所示系统的传递函数。

图 P2-15

应用梅逊增益公式:

∑=??=n

k k k r c T X X 1

1 其中:e d c b a L L L L L -----=?1

1

1H W L a -=,

2

2H W L b -=,

3

32H W W L c -=,

4

4321H W W W W L d -=,

45432H W W W W L d -=

43211W W W W T =,11=?,54322W W W W T =,1121H W +=?

所以:

()4

543244321332221111543243211111H W W W W H W W W W H W W H W H W H W W W W W W W W W T X X n k k k r c +++++++=??=∑

= 2-28 求如图P2-16所示系统的闭环传递函数。

R C 图 P2-16

C 2

解:

即可求解如下:

由上图可以求出:

U 1(s)=-[Z 1/R 0](Ur(s)+Uc(s)) U 2(s)=-U 1(s)/[R 2C 2s] Uc(s)=-[R 4/R 3]U 2(s)

根据以上三式可以得出系统结构图如下:

11111111令:R 2C 2=T 2 R 1/R 0=K 10 R 4/R 3=K 43 得到传递函数为:

W B (s)=Ur/Uc=-[K 10K 43]/[T 2s(T 1s+1)+ K 10K 43]

2-29 图P2-17所示为一位置随动系统,如果电机电枢电感很小可忽略不计,并且不计系统的负载和黏性摩擦,设c f r r u u β?β?==,,其中r ?、c ?分别为位置给定电位计及反馈电位计的转角,减速器的各齿轮的齿数以N i 表示之。试绘制系统的结构图并求系统的传递函数。

2-30 画出图P2-18所示结构图的信号流图,用梅逊增益公式来求传递函数)

()

()(s X s X s W r c r =

,)

()

()(s X s X s W d c d =

。 解:应用梅逊增益公式:

∑=??==n

k k k r c r T X X s W 1

1)(

其中:c b a L L L ---=?1, 32321H H W W W L a -=,3232H H W W L b -=,33H W L c -=,

333232323211H W H H W W H H W W W +++=?,3211W W W T =,11=?,42W T =,3332323232121H W H H W W H H W W W +++=?

所以:

图 P2-17

u r

2

图 P2-18

X

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