自动控制原理课后习题答案(王建辉、顾树生编)清华大学出版社
2-1 什么是系统的数学模型?在自动控制系统中常见的数学模型形式有哪些? 用来描述系统因果关系的数学表达式,称为系统的数学模型。 常见的数学模型形式有:微分方程、传递函数、状态方程、传递矩阵、结构框图和信号流图。 2-2 简要说明用解析法编写自动控制系统动态微分方程的步骤。
2-3 什么是小偏差线性化?这种方法能够解决哪类问题?
在非线性曲线(方程)中的某一个工作点附近,取工作点的一阶导数,作为直线的斜率,来线性化非线性曲线的方法。
2-4 什么是传递函数?定义传递函数的前提条件是什么?为什么要附加这个条件?传递函数有哪些特点?
传递函数:在零初始条件下,输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。 定义传递函数的前提条件:当初始条件为零。
为什么要附加这个条件:在零初始条件下,传递函数与微分方程一致。 传递函数有哪些特点:
1.传递函数是复变量S 的有理真分式,具有复变函数的所有性质;n m ≤且所有系数均为实数。
2.传递函数是一种有系统参数表示输出量与输入量之间关系的表达式,它只取决于系统或元件的结构和参数,而与输入量的形式无关,也不反映系统内部的任何信息。 3.传递函数与微分方程有相通性。
4.传递函数)(s W 的拉氏反变换是系统的单位脉冲响应。
2-5 列写出传递函数三种常用的表达形式。并说明什么是系统的阶数、零点、极点和放大倍数。
n
n n n m
m m m a s a s a s a b s b s b s b s W ++++++++=----11
101110)( ()
()
∏∏==++=
n
j j
m
i i s T s T K s W 1
111)( 其中n
m
a b K =
()
()
∏∏==++=
n
j j
m i i g p s z s K s W 1
1
)( 其中0
a b K g =
传递函数分母S 的最高阶次即为系统的阶数,i z -为系统的零点,j p -为系统的极点。K 为传递函数的放大倍数,g K 为传递函数的根轨迹放大倍数。 2-6 自动控制系统有哪几种典型环节?它们的传递函数是什么样的? 1.比例环节
u r
2.惯性环节
1/Cs
u r
3.积分环节
1/Cs
u r
4.微分环节
u r
5.振荡环节
6.时滞环节
2-7 二阶系统是一个振荡环节,这种说法对么?为什么? 当阻尼比10<<ξ时是一个振荡环节,否则不是一个振荡环节。
2-8 什么是系统的动态结构图?它等效变换的原则是什么?系统的动态结构图有哪几种典
c
型的连接?将它们用图形的形式表示出来,并列写出典型连接的传递函数。
2-9 什么是系统的开环传递函数?什么是系统的闭环传递函数?当给定量和扰动量同时作用于系统时,如何计算系统的输出量?
答:系统的开环传递函数为前向通路传递函数与反馈通路传递函数之积。 系统的闭环传递函数为输出的拉氏变换与输入拉氏变换之比。
当给定量和扰动量同时作用于系统时,通过叠加原理计算系统的输出量。 2-10 列写出梅逊增益公式的表达形式,并对公式中的符号进行简要说明。
2-11 对于一个确定的自动控制系统,它的微分方程、传递函数和结构图的形式都将是唯一的。这种说法对么吗?为什么? 答:不对。
2-12 试比较微分方程、传递函数 、结构图和信号流图的特点于适用范围。列出求系统传递函数的几种方法。
2-13 试求出图P2-1中各电路的传递函数W(s)=Uc(s)/Ur(s)。
(a)
(b )
(c )
解:(a
)解法1:首先将上图转换为复阻抗图,
由欧姆定律得: I(s)=(U r -U c )/(R+Ls) 由此得结构图:
Uc
c (s) 图2-1 (a-s)
Uc=I(s)(1/Cs) 由此得结构图:
整个系统结构图如下:
根据系统结构图可以求得传递函数为:
W B (s)=U c /U r =[[1/(R+Ls)](1/Cs)]/[ 1+[1/(R+Ls)](1/Cs)] =1/[LCs 2+RCs+1]=1/[T L T C s 2+T C s+1] 其中:T L =L/R; T C =RC 解法2:由复阻抗图得到:
Cs
Ls R s U s I r 1)()(+
+=
1)(1
1)
(1)
()(2
++=++==R C s L c s s U Cs Cs
Ls R s U Cs
s I s U r r c 所以:
1
1
)()(2
++=RCs Lcs s U s U r c 解:(b )解法1:首先将上图转换为复阻抗图,
(b )
根据电路分流公式如下: I 1R R 2
2
12
1R R R I
I += 同理:2112R R R I I +=
2)()(R Z s U s I r +=
其中:()1///1Z Cs Z = ()11
1111+=+=Cs R CS
Cs R Z 代入Z 中,则()()21111111
111
11++=
+++=Cs R Cs R Cs Cs R Cs
Cs Cs R Cs Cs Z 21)
(111
)()(111+=++=Cs R s I Cs
R Cs Cs s I s I ()()()2
12111212
2
11
12112
2
1221212)(21)(2
11)(1
21211)()
(121)()(1)()(R Cs
Cs R R Cs R Cs
Cs R s U Cs Cs R R Cs R s U R R Cs R Cs R Cs s U Cs Cs R R Cs R Cs R Cs s U R R Z s U Cs Cs R R Z s U R s I Cs s I s U r r r r r r c ++++++++=
++++++++=
++++=+=
所以:
()()()1
212212211
)()(21222122
22112112121+++++=
+++++
+++=Cs R Cs R s C R R Cs R s C R R Cs
Cs R R Cs R Cs Cs R R Cs Cs R R Cs R s U s U r c
解法2:首先将上图转换为复阻抗图(如解法1图)
1
1)
()()(R s U s U s I c r -=
()1)(1)()(11112+=??
? ??
+=Cs R s I Cs Cs R s I s I
)()()(21s I s I s I +=
21)(1
)
()(R s I Cs
s I s U c += 画出其结构图如下:
化简上面的结构图如下:
应用梅逊增益公式:
∑=??=n
k k k r c T s U s U 1
1)()(
其中:b a L L --=?1
()2112
+-
=Cs R R R L a 、Cs
R L b 11-= 所以()()Cs
R Cs R Cs R Cs R Cs R Cs R R R 11211112
12121+++=+++
=? ()211
2
1+=
Cs R R R T 、11=? Cs
R T 121
=
、12=? 所以:
()()()()1
2121
21
2121
2)()(212221222211211211211112
+++++=
+++++=
+++++=Cs R Cs R s C R R Cs R s C R R Cs R Cs R Cs R Cs R Cs R Cs
R Cs R Cs R Cs R Cs R Cs R R R s U s U r c
解:(c) 解法与(b)相同,只是参数不同。
2-14 试求出图P2-2中各有源网络的传递函数W(s)=Uc(s)/Ur(s)。
(b)
解:(a )
1
)()(Z Z
s U s U r c -= 其中:
()()1111
111111111+=+=
+
=s T s
C s C R s C s C R Z 1111
//1
000000000
000+=+=+
==s T R s C R R s
C R s C R R s C Z 其中:111C R T =、000C R T =
所以:
()()111
)()(1010++-
=s T s T s
C R s U s U r c 解:(b )如图:
(c)
C 1
(a)
(a)
将滑动电阻分为2R 和3R ,
10I I = 0
0)(R s U I r =
,
s
C R R R Z
s U I c 1133
11
)(+
+-
=,其中
()11111111
11211121111
2+++=++=+
+=s C R R s C R R s C R R R s
C R s C R R Z
所以:
()[]()[]11122
213101310
1133111)
()(R s C R R s
C R R R s C R R R s C R R R Z s U s U r c ++++-
=???
? ??++-=
解:(c )解法与(b )相同。
2-15 求图P2-3所示各机械运动系统的传递函数。
(1)求图(a)的?)()(=s X s X r c (2)求图(b)的
?)
()
(=s X s X r c (3)求图(c)的?)
()
(12=s X s X (4)求图(c)的
(b)
r (t)
(t) B (a)
r (t)
c (t) (b)
X 2(t)
X 1(t)
B 1
B 2
(c)
2-16如图P2-4所示为一个带阻尼的质量弹簧系统,求其数学模型。
图p2-4
2-17 图P2-4所示为一齿轮传动系统。设此机构无间隙、无变形。
(1)列出以力矩M r 为输入量,转角为输出量的运动方程式,并求其传递函数。 (2)列出以力矩M r 为输入量,转角1θ为输出量的运动方程式,并求出其传递函数。
D 4
D 1
c
2-18 图P2-6所示为一磁场控制的直流电动机。设工作时电枢电流不变,控制电压加在励磁绕组上,输出为电机位移,求传递函数)
()
()(s U s s W r θ=。
图P2-6
f
f
2-19图P2-7所示为一用作放大器的直流发电机,原电机以恒定转速运行。试确定传递函数
)()
()
(s W s U s W r c =,假设不计发电机的电枢电感和电阻。
图P2-7
c
2-20 图P2-8所示为串联液位系统,求其数学模型。
2-21 一台生产过程设备是由液容为C 1和C 2的两个液箱组成,如图P2-9所示。图中Q 为稳态液体流量)(3
s m
,q 1为液箱1输入流量对稳态值得微小变化)(3s m ,q 2为液箱1到液箱2
流量对稳态值得微小变化)(3
s m
,q 3为液箱2输出流量对稳态值得微小变化)(3s m ,1
H
为液箱1的稳态液面高度(m),h 1为液箱1液面高度对其稳态值的微小变化(m), 2H 为液箱2的稳态液面高度(m),h 2为液箱2液面高度对其稳态值的微小变化(m),R 1为液箱1输出管的液阻))((3
s m m ,R 2为液箱2输出管的液阻))((3
s m m 。
(1)试确定以为输入量、为输出量时该液面系统的传递函数; (2)试确定以为输入,以为输出时该液面系统的传递函数。(提示:流量(Q)=液高(H)/液阻(R),液箱的液容等于液箱的截面面积,液阻(R)=液面差变化(h)/流量变化(q)。)
液箱1
Q 液箱2
2q Q +
3q Q +
图P2-9
2-22 图P2-10所示为一个电加热器的示意图。该加热器的输入量为加热电压u 1,输出量为加热器内的温度T 0,q i 为加到加热器的热量,q 0为加热器向外散发的热量,T i 为加热器周围的温度。设加热器的热阻和热容已知,试求加热器的传递函数)()()(0s U s T s G t =。
图 P2-10
2-23
热交换器如图P2-11所示,利用夹套中的蒸汽加热罐中的热体。设夹套中的蒸汽的温
度为T i ;输入到罐中热体的流量为Q 1,温度为T 1;由罐内输出的热体的流量为Q 2,温度为
T 2;罐内液体的体积为V ,温度为T 0(由于有搅拌作用,可以认为罐内液体的温度是均匀的),并且假设T 2=T 0,Q 2=Q 1=Q(Q 为液体的流量)。求当以夹套蒸汽温度的变化为输入量、以流出液体的温度变化为输出量时系统的传递函数(设流入液体的温度保持不变)。
图 P2-11
2-24 已知一系列由如下方程组成,试绘制系统方框图,并求出闭环传递函数。
)
()()()()]()()([)()]()()()[()()()]()()[()()()(3435233612287111s X s W s X s W s W s X s X s X s X s W s X s W s X s X s W s W s W s W s X s X c c c r =-=-=--=
解:由以上四个方程式,可以得到以下四个子结构图 1.
X 1(s)=X r (s)W 1(s)- W 1(s)[ W 7(s)- W 8(s)]X c
(s)
X r c
2.
X 2(s)= W 2(s)[ X 1(s)- W 6(s)X
3(s)]
X (s)
3.
X 3(s)=[ X 2(s)- X c (s)W 5(s)] W 3(s)
X (s)
4.
X c (s)=W 4(s)X 3(s)
X 3
将以上四个子框图按相同的信号线依次相连,可以得到整个系统的框图如下:
利用梅逊公式可以求出闭环传递函数为: L 11=-W 1(s) W 2(s) W 3(s) W 4(s)[ W 7(s)- W 8(s)] L 12=-W 3(s) W 4(s) W 5(s) L 13=-W 2(s) W 3(s) W 6(s) L 2=0
T 1= W 1(s)W 2(s) W 3(s) W 4(s)
△ 1=1 △ =1+ W 1(s) W 2(s) W 3(s) W 4(s)[ W 7(s)- W 8(s)]+ W 3(s) W 4(s) W 5(s)+ W 2(s) W 3(s) W 6(s)
[]6
325438743214
3211
11)()()(W W W W W W W W W W W W W W W W T s X s X s W r c B ++-+=
?
?==
X r
2-25 试分别化简图P2-12和图P2-13所示结构图,并求出相应的传递函数。
图 P2-12
解:化简图P2-12如下:
图 P2-12
继续化简如下:
图 P2-12
所以:
()()1
1/11221212
12212121-++=-++=H W H W W W W W H H W W W W X X r c
解:化简图P2-12如下:
图 P2-13
进一步化简如下: 所以:
()()()()()()2
3112322113
212223113
213
12231132123113
2111111111H W H W H W H W H W W W W H W H W H W W W W W W H H W H W W W W H W H W W W W X X r
c ++++=
+++=
+++++=
2-26 求如图P2-14所示系统的传递函数)()()(1s X s X s W r c =,)
()
()(2s X s X s W d c =。
图 P2-14
图 P2-13
图 P2-13
解:
1.求W 1(s)=Xc(s)/Xr(s)的等效电路如下(主要利用线性电路叠加原理,令X d =0)
上图可以化简为下图
由此得到传递函数为:
W 1(s)=Xc(s)/Xr(s)=[W 1W 2]/[1-W 2H 2+W 1W 2H 3] 2. 应用梅逊增益公式:
∑=??=n
k k k d c T X X 1
1 其中:b a L L --=?1,321H W W L a -=,22H W L b =
223211H W H W W -+=?
21W T =,11=?,1212H W W T -=,12=?
所以:
2
23211
2121W W H W W H W W W X X d c -+-=
2-27 求如图P2-15所示系统的传递函数。
图 P2-15
应用梅逊增益公式:
∑=??=n
k k k r c T X X 1
1 其中:e d c b a L L L L L -----=?1
1
1H W L a -=,
2
2H W L b -=,
3
32H W W L c -=,
4
4321H W W W W L d -=,
45432H W W W W L d -=
43211W W W W T =,11=?,54322W W W W T =,1121H W +=?
所以:
()4
543244321332221111543243211111H W W W W H W W W W H W W H W H W H W W W W W W W W W T X X n k k k r c +++++++=??=∑
= 2-28 求如图P2-16所示系统的闭环传递函数。
R C 图 P2-16
C 2
解:
即可求解如下:
由上图可以求出:
U 1(s)=-[Z 1/R 0](Ur(s)+Uc(s)) U 2(s)=-U 1(s)/[R 2C 2s] Uc(s)=-[R 4/R 3]U 2(s)
根据以上三式可以得出系统结构图如下:
11111111令:R 2C 2=T 2 R 1/R 0=K 10 R 4/R 3=K 43 得到传递函数为:
W B (s)=Ur/Uc=-[K 10K 43]/[T 2s(T 1s+1)+ K 10K 43]
2-29 图P2-17所示为一位置随动系统,如果电机电枢电感很小可忽略不计,并且不计系统的负载和黏性摩擦,设c f r r u u β?β?==,,其中r ?、c ?分别为位置给定电位计及反馈电位计的转角,减速器的各齿轮的齿数以N i 表示之。试绘制系统的结构图并求系统的传递函数。
2-30 画出图P2-18所示结构图的信号流图,用梅逊增益公式来求传递函数)
()
()(s X s X s W r c r =
,)
()
()(s X s X s W d c d =
。 解:应用梅逊增益公式:
∑=??==n
k k k r c r T X X s W 1
1)(
其中:c b a L L L ---=?1, 32321H H W W W L a -=,3232H H W W L b -=,33H W L c -=,
333232323211H W H H W W H H W W W +++=?,3211W W W T =,11=?,42W T =,3332323232121H W H H W W H H W W W +++=?
所以:
图 P2-17
u r
2
图 P2-18
X