重点名校高考考前模拟——北京市东城区2015届高三二模数学理试题 Word版含答案

7 8

3 5 5 7

2 3

8 9 4 5 5 6 1 2 9 7 8 乙

甲

北京市东城区2014-2015学年度第二学期综合练习（二）

高三数学 （理科）

学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共5页，共150分。考试时长120

分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项） （1）23sin()6

π

-

= （A ）2

-

（B ）12

-

（C ）

12

（D ）

2

（2）设4log a =π，14

log b =π，4

c =π，则a ，b ，c 的大小关系是

（A ） b c a >> （B ）a c b >> （C ） a b c >> （D ）b a c >>

（3）已知{}n a 为各项都是正数的等比数列，若484a a ?=，则567a a a ??=

（A ）4 （B ）8 （C ）16 （D ）64

（4）甲、乙两名同学8次数学测验成绩如茎叶图所示，12,x x 分别表示甲、乙两名同学8次数

学测验成绩的平均数，12,s s 分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的标准差，则有 （A ）12x x >，12s s < （B ）12x x =，12s s <

（C ）12x x =，12s s = （D ）12x x <，12s s >

（5）已知p ，q 是简单命题，那么“p q ∧是真命题”是“p ?是真命题”的

（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件

（6）若实数y x ,满足不等式组330101x y x y y +-≤??

-+≥??≥-?

，，，则2||z x y =+的取值范围是

（A ）[1,3]- （B ）[1,11] （C ）]3,1[ （D ）]11,1[-

（7）定义在R 上的函数()f x 满足)()6(x f x f =+.当)1,3[--∈x 时，2)2()(+-=x x f ,

当)3,1[-∈x 时，x x f =)(，则(1)(2)(3)(2015)f f f f +++

+=

（A ）336 （B ）355 （C ）1676 （D ）2015

（8）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输

信息．设定原信息为012a a a ，其中{0,1}i a ∈（0,1,2i =）

，传输信息为00121h a a a h ，001h a a =⊕，102h h a =⊕，⊕运算规则为：000⊕=，011⊕=，101⊕=，

110⊕=．例如原信息为111，则传输信息为01111．传播信息在传输过程中受到干扰

可能导致接收信息出错，则下列信息一定有误的是

（A ）11010 （B ）01100 （C ）10111 （D ）00011

(p ,q )

第二部分（非选择题 共110分）

二、 填空题（共6小题，每小题5分，共

30分）

（9）若1

)n

x

的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，则n = ，展开式

中的常数项为 ．（用数字作答）

（10）已知正数,x y 满足x y xy +=，那么x y +的最小值为 ．

（11）若直线12(32x t t y t =-+??

=-?，为参数)与曲线4cos (sin x a y a θθθ

=+??=?，

为参数，0a >)有且只有

（12）若双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>截抛物线24y x =的准线所得线段长为b ，则

a = ．

（13）已知非零向量,a b 满足||1=b ，a 与-b a 的夹角为120，则||a 的取值范围是 ． （14）如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若,p q 分别是M

到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对(,)p q 是点M 的“距离坐标”． 给出下列四个命题：

① 若0p q ==，则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个．

② 若0pq =，且0p q +≠，则“距离坐标”为(,)p q 的点有且仅有2个． ③ 若0pq ≠，则“距离坐标”为(,)p q 的点有且仅有4个． ④ 若p q =，则点M 的轨迹是一条过O 点的直线． 其中所有正确命题的序号为 ．

E

F

A

三、解答题（共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） （15）（本小题共13分）

已知函数2sin 22sin ()sin x x

f x x

-=．

（Ⅰ）求()f x 的定义域及其最大值； （Ⅱ）求()f x 在(0,π)上的单调递增区间．

（16）（本小题共13分）

某校高一年级开设A ，B ，C ，D ，E 五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选A 课程，不选B 课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．

（Ⅰ）求甲同学选中C 课程且乙同学未选中C 课程的概率；

（Ⅱ）用X 表示甲、乙、丙选中C 课程的人数之和，求X 的分布列和数学期望．

（17）（本小题共14分）

如图，三棱柱ABC DEF -的侧面BEFC 是边长为1的正方形，侧面BEFC ⊥侧面

ADEB ，4AB =，60DEB ∠=，G 是DE 的中点．

（Ⅰ）求证：CE ∥平面AGF ； （Ⅱ）求证：GB ⊥平面BEFC ；

（Ⅲ）在线段BC 上是否存在一点P ，使二面角P GE B --为45，若存在，求BP 的长；

若不存在，说明理由．

（18）（本小题共13分）

已知函数()e

x

f x x a -=+?．

（Ⅰ）当2

e a =时，求()

f x 在区间[1,3]上的最小值； （Ⅱ）求证：存在实数0[3,3]x ∈-，有0()f x a >.

（19）（本小题共13分）

已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x

，且椭圆C 上的点到两个焦点的距离之和为4． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设A 为椭圆C 的左顶点，过点A 的直线l 与椭圆交于点M ，与y 轴交于点N ，过原点

与l 平行的直线与椭圆交于点P ．证明：2||||2||AM AN OP ?=．

（20）（本小题共14分）

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1(3)a a a =≠，n n n S a 31+=+，

设n n n S b 3-=，n *∈N ．

(Ⅰ)求证：数列{}n b 是等比数列；

(Ⅱ)若1n n a a +≥，n *∈N ，求实数a 的最小值； （Ⅲ）当4=a 时，给出一个新数列{}n e ，其中3,1,

, 2.

n n n e b n =?=?

≥?设这个新数列的前n 项和为

n C ，若n C 可以写成p t (,t p *∈N 且1,1>>p t )的形式，则称n C 为“指数型和”．问{}n C 中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说

明理由．