上海交通大学2005年6月概率论与数理统计试卷

上海交通大学

概率论与数理统计试卷 (A) 2005.6.22

姓名：班级：学号：得分：

一.选择题（18分，每题3分）

1．设B A ,为随机事件，且1)|(=A B P ，则必有

)(A A 是必然事件；)(B 0)|(=A B P ；)(C B A ?； )(D B A ?.

2．口袋中有6只红球，4只白球，任取1球，记住颜色后再放入口袋。共进

行4次，记X 为红球出现的次数，则X 的数学期望=)(X E

)(A 1016； )(B 1024； )(C 104； )(D 10

642?. 3．设随机变量X 的分布密度函数和分布函数为)(x f 和)(x F , 且)(x f 为偶函数, 则对任意实数a ,有

)(A ?-=-a dx x f a F 0

)(21)( )(B ?-=-a dx x f a F 0)(1)( )(C )()(a F a F =- )(D 1)(2)(-=-a F a F

4．设随机变量X 和Y 相互独立, 且都服从)1,0(区间上的均匀分布, 则仍服从

均匀分布的随机变量是

)(A Y X Z += )(B Y X Z -= )(C ),(Y X )(D ),(2Y X

5．已知随机变量X 和Y 都服从正态分布:)3,(~,)4,(~22μμN Y N X , 设

)4(1+≥=μX p ,)3(2-≤=μY P p , 则

)(A 只对μ的某些值,有21p p = )(B 对任意实数μ,有21p p <

)(C 对任意实数μ,有21p p > )(D 对任意实数μ,有21p p =

6．设22,),(~σσμN X 未知，则μ的置信度为%95的置信区间为

)(A )(025.0t n X σ

± )(B )(025.0t n S X ±

)(C )(05.0t n

X σ

± )(D )(05.0t n S

X ±

二. 填空题（21分，每题3分）

1．已知随机事件A ，B 有概率7.0)(=A P ，8.0)(=B P ，条件概率6.0)|(=A B P ，

则=?)(B A P ．

2. 已知随机变量),(Y X 的联合分布密度函数如下, 则常数=K

=),(y x f ?

??≤≤≤≤-其它。,0;0,10),1(x y x x y K 3 某人射击直到中靶为止,已知每次射击中靶的概率为0.75. 则射击次数的数学期望与方差分别为)(X E = ,)(X D

4. 已知二维随机变量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，试用),(y x F 表示概率

=>>),(b Y a X P .

5. 设321,,X X X 是取自N (,)μ1的样本，3211)22(3?X k X kX -++=μ

是μ的无偏估计量则常数=k

6．设（621,,,X X X ）是来自正态分布)1,0(N 的样本，

31)()(∑∑==+=i i i i X X Y 当c ＝时， cY 服从2χ分布，)(2χE ＝ .

7．设离散型随机变量),(Y X 的联合分布律为 ),(Y X )0,1( )1,1( )0,2( )1,2(

P 4.0 2.0 a b

若8.0)(=XY E ，则=),cov(Y X .

三. 计算题（54分，每题9分）

1．某种产品分正品和次品，次品不许出厂。出厂的产品n件装一箱，并以箱为单位出售。由于疏忽，有一批产品未经检验就直接装箱出厂，某客户打开其中的一箱，从中任意取出一件，求：

（1）取出的是件正品的概率；（2）这一箱里没有次品的概率

2．设二维随机变量（X,Y）在区域}

G上服从

≤

0|)

≤

({+均匀分布。求：边缘密度函数(),()

f x f y.

X Y

3．已知随机变量）；，；，091.045.0(~),(N Y X ，Y X Z -=2，

试求：方差)(Z D ，协方差)(Z X COV ，

，相关系数Z X ρ

4．学校某课程的考试，成绩分优秀，合格，不合格三种，优秀者得3分，合格者

得2分，不合格者得1分。根据以往的统计，每批参加考试的学生中考得优秀、合格、不合格的，各占20％、70％、10％。现有100位学生参加考试，试用中心极限定理估计100位学生考试的总分在180至200分之间的概率。（9680.0)856.1(=Φ）

5．设12,,,n X X X 是取自总体X 的一个样本，总体

~X ??????∈=-)1,0(,0)1,0(,),(1x x x x f θθθ ，)0(>θ。

试求：(1) 未知参数θ的矩估计量θ ；(2) 未知参数θ的极大似然估计量L θ ；

(3) )(2X E 的极大似然估计量.

6．某种产品的一项质量指标)(~2σμ，N X ，在5次独立的测试中，测得数据（单位：cm ） 1.23 1.22 1.20 1.26 1.23试检验（0.05α=）

（1）可否认为该指标的数学期望μ=1.23cm ？

（2）若指标的标准差015.0≤σ，是否可认为这次测试的标准差显著偏大？

四. 证明题（7分）

设X 为连续型随机变量，X 的密度函数)(x f 当0

(X E 存在。证明：对任意常数)0(>a a ，有 a

X E a X P )()(≤

附分布数值表 99.0)33.2(,9032.0)30.1(,9474.0)62.1(,926.0)45.1(=Φ=Φ=Φ=Φ 0150.2)5(,1318.2)4(,5706.2)5(,7764.2)4(05.005.0025.0025.0====t t t t 711.0)4(,488.9)4(,484.0)4(,143.11)4(295.0205.02975.02025.0====χχχχ

上海交通大学试卷( A 卷)

上海交通大学试卷（ A 卷）课程线性代数（B 类）学期 2011－2012第1学期班级号学号姓名一．单项选择题（每题3分，共18分） 1．设A ，B 为n 阶方阵，且A A =2 ，B B =2 。则（）（A ）)()(B r A r =时，A ，B 不相似；（B ）)()(B r A r ≠时，A ，B 相似；（C ）)()(B r A r =时，A ，B 相似；（D ）以上都有可能。 2．设A 为n 阶反对称矩阵，则（）（A ）0)(=+E A r ；（B ）n E A r =+)(；（C ）n E A r <+<)(0；（D ）以上都有可能。 3．设B A ,为n 阶方阵，??? ? ??=B A C 00。则伴随矩阵* C 为（）（A ）???? ??** B A A B ||0 0||；（B ）??? ? ??**B B A A ||00||；（C ）???? ? ?** A A B B ||0 0||；（D ）??? ? ? ?**A B B A ||00||。 4．设A 为n m ?的实矩阵，矩阵)(A A T 正定的充分必要条件为（）（A ）m A r =)(；（B ）m A r <)(；（C ）m A r <)(；（D ）n A r =)(。 5．设α是单位向量，矩阵ααT k E A +=，其中1-≠k 。则（）我承诺，我将严格遵守考试纪律。

（A ）A 为正交矩阵；（B ）A 为正定矩阵；（C ）A 为可逆矩阵；（D ）A 为反对称矩阵。 6．设向量组321,,ααα线性无关，向量321,,βββ线性相关但相互不成比例，且， 321332123211,,αααβαααβαααβk k k ++=++=++=。则（）（A ）2-=k 或 1=k ；（B ）1=k ；（C ）2-≠k 且 1≠k ；（D ）2-=k 。二．填空题（每题3分，共18分） 7．设行列式 4 111311 12=D ，j i A 是D 中元素j i a 的代数余子式，则 ∑∑==313 1 i j j i A ＝。 8．已知4阶行列式4||j i a 的展开式中某项为42143123)1(a a a a k -。则=k 。 9. 设33)(?=ij a A ,j i A 是||A 中j i a 的代数余子式，j i j i A a =，13 121132a a a ==。已知011