欣赏二次根式探究规律题

与二次根式有关的知识，在中考试卷中常以探究规律形式的开放性问题出现，这类题型，材料新颖、独到创新，是中考数学的热点题型.为更好的探究此类问题的解决方法，现归类举例供大家阅读参考．

一、阅读找规律“照葫芦画瓢”

例1．观察下列各式及其验证过程：

22322=+，验证：228222223333?+===． 333388

+=，验证：2327333338888?+===．（1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想15

44+的变形结果并进行验证．（2）针对上述各式反映的规律，写出用a （a 为任意自然数，且2a ≥）表示的等式，并给出验证．

（3）针对三次根式及n 次根式（n 为任意自然数，且2n ≥）,有无上述类似的变形，如果有，写出用a （a 为任意自然数，且2a ≥）表示的等式，并给出验证．

分析：此类题目主要考查学生的观察、归纳、猜想结论的能力，并能够利用找到的规律，“照葫芦画瓢”解决问题，其实质是培养学生从特殊到一般的学习方法．本题从最简单的二次根式的变形入手，层层递进，经过归纳、猜想出n 次根式的变形结论．

解：（1）44441515

+=．验证：24644444415151515

?+===．（2）2211

a a a a a a +=--（a 为任意自然数，且2a ≥）．验证：3322221111

a a a a a a a a a a a a -++===----．（3）33331

1a a a a a +=--（a 为任意自然数，且2a ≥）．验证：333

34433331111a a a a a a a a a a a a -++===----．

11n n n n a a a a a a +=--（a 为任意自然数，且2a ≥）．二、归纳找方法“轻松化繁为简” 例2、观察下列分母有理化运算：11212++＝－，12323

++＝－，13434++＝－，…，12001200220012002++＝－，

12002200320022003

++＝－. 利用上面的规律计算：（

112001200220022003+++）（1+2003）

分析：解决此类问题关键是归纳各算式之间的规律，利用所找到的规律

化简复杂的运算，主要考察学生观察、分析、归纳的能力以及化繁为简的数学思想方法.此题可以利用已知算是规律，直接化简要求算式.

解：∵12323++＝－，13434++＝－，

12001200220012002++＝－，12002200320022003

++＝－ ∴（

112001200220022003

+++）（1+2003）＝（12+－23+－34+－+…20012002+－20022003+－）（1+

2003）＝（－1+2003）（1+2003）＝(2003)2－1＝2002.

三、探究是非曲直“做正义的法官

例3．对于题目：“化简并求值：22112a a a

++-，其中15a =．” 甲、乙两人的解答不同，甲的解答是：

222111111125a a a a a a a a a ??++-=+-=+-= ??

?；乙的答案是：22211111124925a a a a a a a a a a a ??++-=+-=+-=-= ???

．谁的解答是错误的？为什么？

分析：解决此类问题的关键是探究问题的是非曲直，找出两人思路分歧的原

因，再根据题目所涉及的知识点，即主要考查学生正确使用2(0)(0)

a a a a a a ?==?-

111a a a a a a ????-=-=- ? ?????，其中条件15a =是关键的，因而正确判断被开方数底数的正负性不容忽视．通过对比作出“正义评判”.

解：甲的解答是错误的．当15a =时，15a =，10a a

-<， 2

111a a a a a a ??∴-=-=- ???．故乙的解答是正确的．