2016年湖北省黄冈中学自主招生数学模拟试卷

2016年湖北省黄冈中学自主招生数学模拟试卷（理科）（实验班）

一、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）化简，结果是（）

A．6x﹣6 B．﹣6x+6 C．﹣4 D．4

2．（5分）方程3x2+y2=3x﹣2y的非负整数解（x，y）的组数为（）

A．0 B．1 C．2 D．3

3．（5分）由4个等边三角形拼成的四面体，四个面上分别由“弘”、“德”、“尚”、“学”四个字，把该四面体的包装纸展开如图，则阴影部分的字为（）

A．弘B．德C．尚D．学

二、填空题（每题5分，满分40分，将答案填在答题纸上）

4．（5分）若p和q为质数，且5p+3q=91，则p=，q=．

5．（5分）在2016的中间嵌入一个数字得到五位数20□16，若此五位数能被7整除，则嵌入的数字□为．6．（5分）直线y=m与函数y=x2﹣3|x﹣2|﹣5x+1的图象有3个交点，则m的值为．

7．（5分）有一个五边形ABCDE，若把顶点A，B，C，D，E涂上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻的顶点所涂的颜色不同，则共有种不同的涂色方法．

8．（5分）设整数a使得关于x的一元二次方程5x2﹣5ax+26a﹣143=0的两个根都是整数，则a的值是．9．（5分）在平行四边形ABCD的边AB和AD上分别取点E和F，使，，连接EF交对角线AC于G，则的值是．

10．（5分）如图，将△ABC沿着它的中位线DE折叠后，点A落到点A′，若∠C=120°，∠A=26°，则∠A′DB 的度数是．

11．（5分）如图，在一次自行车越野赛中，甲，乙两名选手所走的路程y（千米）随时间x（分钟）变化的图象（全程）分别用实线（O→A→B→C）与虚线（OD）表示，那么，在本次比赛过程中，乙领先甲时的x的取值范围是．

三、解答题（本大题共4小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

12．（12分）完成一件事有几类办法，各类办法相互独立，每类办法中又有多种不同的办法，则完成这件事的不同办法数是各类不同方法种数的和，这就是分类计数原理，也叫做加法原理．完成一件事，需要分成几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法，则完成这件事的不同方法种数是各种不同的方法数的乘积，这就是分步计数原理，也叫做乘法原理．

（Ⅰ）300人参加校内竞赛，每个人都可以享受加分政策，且有10，20，30，60四个档次．

小王想获得至少30分的加分，那么概率为多少？

（Ⅱ）某大学的录取分数线为660分，小王估得高考分数可能在630～639，640～649，650～659三个分段．

（1）若小王的高考分数在630～639分段，则小王被该大学录取的概率为多少？

（2）若小王的高考分数在三个分段的概率都是，则小王被该大学录取的概率为多少？

13．（16分）如图，直线OB是一次函数y=2x的图象，点A的坐标为（0，2），在直线OB上找点C，使得△AOC为等腰三角形，求点C的坐标．

14．（14分）如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，M是OC的中点，AM的延长线交⊙O于E，DE交BC于N．求证：BN=CN．

15．（18分）某农机租赁公司共有50台收割机，其中甲型20台，乙型30台，现将这50台联合收割机派往A，B两地区收割水稻，其中30台派往A地区，20台派往B地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如表：

（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y元，求y关于x的函数关系式；

（2）若使农机租赁公司这50台收割机一天所获租金不低于79600元，试写出满足条件的所有分派方案；（3）农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司50台收割机每天获得租金最高，并说明理由．

2016年湖北省黄冈中学自主招生数学模拟试卷（理科）（实验班）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）（2016?黄州区校级自主招生）化简，结果是（）

A．6x﹣6 B．﹣6x+6 C．﹣4 D．4

【分析】先求出x的取值范围，再化简，由此能求出结果．

【解答】解：∵，

∴，∴x≥，

∴

=﹣（）2

=3x﹣1﹣（3x﹣5）

=4．

故选：D．

【点评】本题考查根式与分数指数幂的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意根式与分数指数幂的性质及运算法则的合理运用．

2．（5分）（2016?黄州区校级自主招生）方程3x2+y2=3x﹣2y的非负整数解（x，y）的组数为（）A．0 B．1 C．2 D．3

【分析】要求方程3x2+y2=3x﹣2y的非负整数解（x，y）的组数，进行简单的化简得3（x﹣）2+（y+1）2=，然后进行讨论，可以得到结论．

【解答】解：3x2+y2=3x﹣2y，

3x2+y2﹣3x+2y=0，

3（x﹣）2+（y+1）2=，

当x=0时，y=0，即（0，0），

当x=1时，y=0，即（1，0），

当x=2时，y无解．

当x≥2时，y均无解，

综上所述方程3x2+y2=3x﹣2y的非负整数解（x，y）的组数为2．

故选C．

【点评】本题考查了二次二次方程的整数根的问题，属于中档题．

3．（5分）（2016?黄州区校级自主招生）由4个等边三角形拼成的四面体，四个面上分别由“弘”、“德”、“尚”、“学”四个字，把该四面体的包装纸展开如图，则阴影部分的字为（）

A．弘B．德C．尚D．学

【分析】由题意画出图形，得到剪展后的图形，可得阴影部分的字为“尚”．

【解答】解：如图，

不妨设面PAB上的字为“弘”，PBC上的字为“德”，PAC上的字为“学”，ABC上的字为“尚”，

图形展开如图，

则阴影部分的字为“尚”．

故选：C．

【点评】本题考查棱锥的结构特征，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．

二、填空题（每题5分，满分40分，将答案填在答题纸上）

4．（5分）（2016?黄州区校级自主招生）若p和q为质数，且5p+3q=91，则p=17，q=2．【分析】先根据5p+3q=91可知p、q为一奇一偶，再由p和q为质数可知p、q中必有一数为2，再把

p=2或q=2代入5p+3q=91求出另一未知数的对应值，找出符合条件的未知数的值即可．

【解答】解：∵5p+3q=91，

∴p、q为一奇一偶，

∵p和q为质数，

∴p、q中必有一数为2，

当p=2时，q==27，27为合数，故舍去，

当q=2时，p==17．

故p=17，q=2．

故答案为：17，2．

【点评】本题考查了方程的解得问题，以及分类讨论的思想，属于基础题．

5．（5分）（2016?黄州区校级自主招生）在2016的中间嵌入一个数字得到五位数20□16，若此五位数能被7整除，则嵌入的数字□为2或9．

【分析】能被7整除的数的特点，能被7整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除，如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述的过程，直到能清楚判断为止．例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13﹣3×2=7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613﹣9×2=595，59﹣5×2=49，所以6139是7的倍数．

【解答】解：设插入的数为x，则五位数为20x16，

当x=0时，2001﹣6×2=1989，198﹣9×2=180，不能被7整除；

当x=1时，2011﹣2×6=1999，199﹣9×2=181，不能被7整除；

当x=2时，2021﹣2×6=2009，200﹣9×2=182，能被7整除；

当x≥3时，20x0﹣2×6=20（x﹣2）8，20（x﹣2）﹣8×2=7k（k=26，27，…），

只有当x=9时满足题意，

综上可得，满足题意2或9．

故答案为：2或9．

【点评】本题考查数的整除性问题，难度较大，关键是掌握判断能被7整除的数的特点．

6．（5分）（2016?黄州区校级自主招生）直线y=m与函数y=x2﹣3|x﹣2|﹣5x+1的图象有3个交点，则m的值为﹣5或﹣6．

【分析】作出函数的图象，利用直线y=m与函数y=x2﹣3|x﹣2|﹣5x+1的图象有3个交点，即可求出m 的值．

【解答】解：函数y=x2﹣3|x﹣2|﹣5x+1=，

函数图象如图所示，

x＜2时，y=（x﹣1）2﹣6，

x2﹣8x+7=x2﹣2x﹣5，∴x=2，y=﹣5．

∵直线y=m与函数y=x2﹣3|x﹣2|﹣5x+1的图象有3个交点，

∴m=﹣5或﹣6．

故答案为：﹣5或﹣6．

【点评】本题考查函数的图象，考查学生分析解决问题，正确作出函数的图象是关键．

7．（5分）（2016?黄州区校级自主招生）有一个五边形ABCDE，若把顶点A，B，C，D，E涂上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻的顶点所涂的颜色不同，则共有30种不同的涂色方法．

【分析】本题需要分类来解答，首先A选取一种颜色，有3种情况．如果A的两个相邻点颜色相同，2种情况，这时最后两个边也有2种情况；如果A的两个相邻点颜色不同，2种情况，最后两个边有3种情况．根据计数原理得到结果．

【解答】解：由题意知本题需要分类来解答，

首先A选取一种颜色，有3种情况．

如果A的两个相邻点颜色相同，2种情况；

这时最后两个边也有2种情况；

如果A的两个相邻点颜色不同，2种情况；

这时最后两个边有3种情况．

∴方法共有3（2×2+2×3）=30种．

故答案为：30．

【点评】对于复杂一点的计数问题，有时分类以后，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决，即类中有步，步中有类．

8．（5分）（2016?黄州区校级自主招生）设整数a使得关于x的一元二次方程5x2﹣5ax+26a﹣143=0的两个根都是整数，则a的值是18．

【分析】先因式分解得到（5x﹣26）（5x﹣5a+26）=39，即可得到只存在39=1×39或39×1或3×13或13×3或四种情况，分别计算判断即可．

【解答】解：∵5x2﹣5ax+26a﹣143=0?25x2﹣25ax+（130a﹣262）﹣39=0，

即（5x﹣26）（5x﹣5a+26）=39，

∵x，a都是整数，故（5x﹣26）、（5x﹣5a+26）都分别为整数，

而只存在39=1×39或39×1或3×13或13×3或四种情况，

①当5x﹣26=1、5x﹣5a+26=39联立解得a=2.8不符合，

②当5x﹣26=39、5x﹣5a+26=1联立解得a=18，

③当5x﹣26=3、5x﹣5a+26=13联立解得a=8.4不符合，

④当5x﹣26=13、5x﹣5a+26=3联立解得a=12.4不符合，

∴当a=18时，方程为5x2﹣90x+325=0两根为13、﹣5．

故答案为：18．

【点评】本题考查了方程根的问题，关键是分类讨论，属于基础题．

9．（5分）（2016?黄州区校级自主招生）在平行四边形ABCD的边AB和AD上分别取点E和F，使，，连接EF交对角线AC于G，则的值是．

【分析】根据题意在AD上截取AH=AD，得到AG与OC的关系，然后由相似三角形得到OC与AO的关系，代入求出比值．

【解答】解：如图，在AD上取点H，使AH=AD，连接BH交AC于O，

则=，即AG=AO，

又△AOH∽△COB，所以=，CO=AO，

所以==．

故答案为：．

【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，正确运用三角形相似的判定与性质是关键．

10．（5分）（2016?黄州区校级自主招生）如图，将△ABC沿着它的中位线DE折叠后，点A落到点A′，若∠C=120°，∠A=26°，则∠A′DB的度数是112°．

【分析】根据轴对称和平行线的性质，可得∠A'DE=∠B，又根据∠C=120°，∠A=26°可求出∠B的值，继而求出答案．

【解答】解：由轴对称的性质知∠A′DE=∠B=180°﹣120°﹣26°=34°，

∠BDE=180°﹣∠B=146°，

故∠A'DB=∠BDE﹣∠A'DE=146°﹣34°=112°．

故答案为：112°．

【点评】本题考查了轴对称的性质及三角形中位线定理，根据题意得出各角之间的关系是关键．

11．（5分）（2016?黄州区校级自主招生）如图，在一次自行车越野赛中，甲，乙两名选手所走的路程y （千米）随时间x（分钟）变化的图象（全程）分别用实线（O→A→B→C）与虚线（OD）表示，那么，在本次比赛过程中，乙领先甲时的x的取值范围是0＜x＜38．

【分析】求BC与线段OD的交点的横坐标即可．

【解答】解：由图可知，直到最后，甲发力，追上乙，且领先到达终点；

直线OD的方程为：y=x；

直线BC的方程为：y=x﹣；

交点的横坐标为38；

∴0＜x＜38．

【点评】考查了一次函数图象的性质和对实际问题的理解．属于基础题型，应熟练掌握．

三、解答题（本大题共4小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

12．（12分）（2016?黄州区校级自主招生）完成一件事有几类办法，各类办法相互独立，每类办法中又有多种不同的办法，则完成这件事的不同办法数是各类不同方法种数的和，这就是分类计数原理，也叫做加法原理．完成一件事，需要分成几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法，则完成这件事的不同方法种数是各种不同的方法数的乘积，这就是分步计数原理，也叫做乘法原理．

（Ⅰ）300人参加校内竞赛，每个人都可以享受加分政策，且有10，20，30，60四个档次．

小王想获得至少30分的加分，那么概率为多少？

（Ⅱ）某大学的录取分数线为660分，小王估得高考分数可能在630～639，640～649，650～659三个分段．

（1）若小王的高考分数在630～639分段，则小王被该大学录取的概率为多少？

（2）若小王的高考分数在三个分段的概率都是，则小王被该大学录取的概率为多少？

【分析】（Ⅰ）300人参加校内竞赛，获得至少30分的加分的人数有180人，由此能求出小王获得至少30分的加分的概率．

（Ⅱ）（1）小王被该大学录取，需要获得至少30分的加分，由此能求出小王被该大学录取的概率．（2）利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出小王被该大学录取的概率．

【解答】（本小题12分）

解：（Ⅰ）∵300人参加校内竞赛，每个人都可以享受加分政策，且有10，20，30，60四个档次，

获得至少30分的加分的人数有：150+30=180，

∴小王获得至少30分的加分的概率为：p1==．

（Ⅱ）（1）∵某大学的录取分数线为660分，小王的高考分数在630～639分段，

∴小王被该大学录取，需要获得至少30分的加分，

∴小王被该大学录取的概率为p2==．

（2）∵某大学的录取分数线为660分，小王估得高考分数可能在630～639，640～649，650～659三个分段，

小王的高考分数在三个分段的概率都是，

∴小王被该大学录取的概率为p3=．

【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式的合理运用．

13．（16分）（2016?黄州区校级自主招生）如图，直线OB是一次函数y=2x的图象，点A的坐标为（0，2），在直线OB上找点C，使得△AOC为等腰三角形，求点C的坐标．

【分析】分当∠AOC=∠ACO、∠OAC=∠OCA、∠AOC=∠CAO三种情况，分别利用等腰三角形的性质，求得a的值，可得结论．

【解答】解：由于△AOC为等腰三角形，点A（0，2），设点C（a，2a），当∠AOC=∠ACO时，

由AO=AC=2，可得4=a2+（2a﹣2）2，求得a=，此时，C（，）．

当∠OAC=∠OCA时，则由OA=OC，可得2=，求得a=±，

此时，C（，）或C（﹣，﹣）．

当∠AOC=∠CAO时，则由CA=CO，可得=，求得a=，

此时，C（，1）．

故满足条件的点共有四个：（，）、（，）、（﹣，﹣）、（，1）．

【点评】本题主要考查一次函数和等腰三角形的知识，属于基础题．

14．（14分）（2016?黄州区校级自主招生）如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，M是OC的中点，AM的延长线交⊙O于E，DE交BC于N．求证：BN=CN．

【分析】连接AC 和BD ．证明△BCD ∽△OCA ，△CDN ∽△CAM ，利用相似三角形的性质，即可证明结论．

【解答】证明：连接AC 和BD ．

∵弦CD 垂直于直径AB ，∴BC=BD ，∴∠BCD=∠BDC ．

∵OA=OC ，∴∠OCA=∠OAC ．

∵∠BDC=∠OAC ，∴∠BCD=∠OCA ，

∴△BCD ∽△OCA ，∴=．

∵∠DCN=∠ACM ，∠CDN=∠CAM ，∴△CDN ∽△CAM ．

∵===，∴CN=CB ，即BN=CN ．

【点评】本题考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析及问题的能力，属于中档题．

15．（18分）（2016?黄州区校级自主招生）某农机租赁公司共有50台收割机，其中甲型20台，乙型30台，现将这50台联合收割机派往 A ，B 两地区收割水稻，其中30台派往 A 地区，20台派往 B 地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如表：

（1）设派往 A 地区x 台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y 元，求y

关于x 的函数关系式；

（2）若使农机租赁公司这50台收割机一天所获租金不低于79600元，试写出满足条件的所有分派方案；

（3）农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司50台收割机每天获得租金最高，并说明理由．

【分析】（1）根据未知量，找出相关量，列出函数关系式；

（2）利用不等式的性质进行求解，对x 进行分类即可；

（3）根据一次函数的单调性可直接判断，得出结论．

【解答】解：（1）由于派往A 地的乙型收割机x 台，则派往B 地的乙型收割机为（30﹣x ）台，派往A ，B 地区的甲型收割机分别为（30﹣x ）台和（x ﹣10）台．

∴y=1600x+1200（30﹣x）+1800（30﹣x）+1600（x﹣10）=200x+74000（10≤x≤30）．

（2）由题意，得200x+74000≥79600，解得x≥28，

∵10≤x≤30，x是正整数，∴x=28、29、30

∴有3种不同分派方案：

①当x=28时，派往A地区的甲型收割机2台，乙型收割机28台，余者全部派往B地区；

②当x=29时，派往A地区的甲型收割机1台，乙型收割机29台，余者全部派往B地区；

③当x=30时，派往A地区的甲型收割机0台，乙型收割机30台，余者全部派往B地区；

（3）∵y=200x+74000中，

∴y随x的增大而增大，∴当x=30时，y取得最大值，

此时，y=200×30+74000=80000，建议农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往A地区，20台甲型收割机全部派往B地区，这样公司每天获得租金最高，最高租金为80000元．

【点评】考查了利用一次函数模型解决实际问题，根据函数的性质，找出解决问题的方法．