2016届中考数学考点跟踪突破训练：8 分式方程及其应用(人教版含答案)(四川专用)
考点跟踪突破8 分式方程及其应用
一、选择题(每小题6分，共30分)
1．(2015·济宁)解分式方程2x －1＋x ＋21－x
＝3时，去分母后变形为( D ) A ．2＋(x ＋2)＝3(x －1)
B ．2－x ＋2＝3(x －1)
C ．2－(x ＋2)＝3(1－x)
D ．2－(x ＋2)＝3(x －1)
2．(2015·常德)分式方程2x －2＋3x 2－x
＝1的解为( A ) A ．1 B ．2 C .13
D ．0 3．(2015·乌鲁木齐)九年级学生去距学校10 km 的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min 后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．设骑车学生的速度为x km /h ，则所列方程正确的是( C )
A .10x ＝102x －13
B .10x ＝102x
－20 C .10x ＝102x ＋13 D .10x ＝102x
＋20 4．(2014·黑龙江)已知关于x 的分式方程m x －1＋31－x
＝1的解是非负数，则m 的取值范围是( C )
A ．m ＞2
B ．m ≥2
C ．m ≥2且m ≠3
D ．m ＞2且m ≠3
5．甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是( A )
A ．8
B ．7
C ．6
D ．5
二、填空题(每小题6分，共30分)
6．(2015·酒泉)分式方程2x ＝5x ＋3
的解是__x ＝2__． 7．(2014·天水)若关于x 的方程ax ＋1x －1
－1＝0有增根，则a 的值为__－1__． 8．(2015·黑龙江)关于x 的分式方程m x 2－4－1x ＋2
＝0无解，则m ＝__0或－4__．
9．(2015·通辽)某市为处理污水，需要铺设一条长为5000 m 的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设20 m ，结果提前15天完成任务．设
原计划每天铺设管道x m ，则可得方程__5000x －5000x ＋20
＝15__． 10．新定义：[a ，b]为一次函数y ＝ax ＋b(a ≠0，a ，b 为实数)的“关联数”．若“关联
数”[1，m －2]的一次函数是正比例函数，则关于x 的方程1x －1＋1m
＝1的解为__x ＝3__． 三、解答题(共40分)
11．(8分)解分式方程：
(1)(2015·陕西)x －2x ＋3－3x －3
＝1； 解：去分母得：x 2－5x ＋6－3x －9＝x 2－9，解得：x ＝34，经检验x ＝34
是分式方程的解
(2)(2014·聊城)2＋x 2－x ＋16x 2－4
＝－1. 解：去分母得：－(x ＋2)2＋16＝4－x 2，去括号得：－x 2－4x －4＋16＝4－x 2，解得：x ＝2，经检验x ＝2是增根，分式方程无解
12．(7分)(2015·嘉兴)小明解方程1x －x －2x
＝1的过程如图．请指出他解答过程中的错误，
并写出正确的解答过程．
解：方程两边同乘x 得1－(x －2)＝1 ……①
去括号得1－x －2＝1 ……②
合并同类项得－x －1＝1 ……③
移项得－x ＝2 ……④
解得x ＝－2 ……⑤
∴原方程的解为：x ＝－2 ……⑥
解：小明的解法有三处错误，步骤①去分母有误； 步骤②去括号有误；步骤⑥少检验；正确解法为：方程两边乘以x ，得：1－(x －2)＝x ，去括号得：1－x ＋2＝x ，移项得：－x
－x ＝－1－2，合并同类项得：－2x ＝－3，解得：x ＝32，经检验x ＝32
是分式方程的解，则方程的解为x ＝32
13．(7分)(2015·宜宾)近年来，我国逐步完善养老金保险制度．甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老保险金15万元和10万元，甲计划比乙每年多缴纳养老保险金0.2万元．求甲、乙两人计划每年分别缴纳养老保险金多少万元？
解：设乙每年缴纳养老保险金为x 万元，则甲每年缴纳养老保险金为(x ＋0.2)万元，根
据题意得：15x ＋0.2＝10x
，去分母得：15x ＝10x ＋2，解得：x ＝0.4，经检验x ＝0.4是分式方程的解，且符合题意，∴x ＋0.2＝0.4＋0.2＝0.6(万元)，答：甲、乙两人计划每年分别缴纳养老保险金0.6万元、0.4万元
14．(8分)某部队将在指定山区进行军事演习，为了使道路便于部队重型车辆通过，部
队工兵连接到抢修一段长3600米道路的任务，按原计划完成总任务的13
后，为了让道路尽快投入使用，工兵连将工作效率提高了50%，一共用了10小时完成任务．
(1)按原计划完成总任务的13
时，已抢修道路__1200__米； (2)求原计划每小时抢修道路多少米？
解：设原计划每小时抢修道路x 米，根据题意得：1200x ＋3600－1200（1＋50%）x
＝10，解得：x ＝280，经检验：x ＝280是原方程的解．答：原计划每小时抢修道路280米
15．(10分)某饰品店老板去批发市场购买新款手链，第一次购手链共用100元，按该手链的定价2.8元销售，并很快售完．由于该手链深得年轻人喜爱，十分畅销，第二次去购手链时，每条的批发价已比第一次高0.5元，共用去了150元，所购数量比第一次多10条．当
这批手链售出45
时，出现滞销，便以定价的5折售完剩余的手链．试问该老板第二次售手链是赔钱了，还是赚钱了(不考虑其他因素)？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？
解：设第一次批发价为x 元/条，则第二次的批发价为(x ＋0.5)元/条．依题意得(x ＋0.5)(10＋100x
)＝150，解得x 1＝2，x 2＝2.5.经检验x 1＝2，x 2＝2.5都是原方程的根．由于当x ＝2.5时，第二次的批发价就是3元/条，而零售价为2.8元，所以x ＝2.5不合题意，舍去．故第
一次的批发价为2元/条．第二次的批发价为2.5元/条．第二次共批发手链＝1502.5
＝60(条)．第二次的利润＝(45×60×2.8＋15
×60×2.8×0.5)－150＝1.2(元)．所以老板第二次售手链赚了1.2元
人教版初二数学分式方程应用题汇总
分式方程 1. 对于非零的两个实数a ，b ，规定a ⊕b ＝1b －1a ，若2⊕(2x －1)＝1，则x 的值为( ) A. 56 B. 54 C. 32 D. －16 2. 货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行20千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为x 千米/小时，依题意列方程正确的是( ) A. 25x ＝35x －20 B. 25x －20＝35x C. 25x ＝35x ＋20 D. 25x ＋20＝35x 3. 分式方程2 x －2－1x ＝0的根是( ) A. x ＝1 B. x ＝－1 C. x ＝2 D. x ＝－2 4.方程2x x －1＝1＋1 x －1的解是( ) A. x ＝－1 B. x ＝0 C. x ＝1 D. x ＝2 5. 解方程：①：1 x －1－3x 2－1＝0. ②：2x －3＋2＝x －2 x －3. ③已知关于x 的分式方程1＋2－mx 3－x ＝2x －3 x －3无解，求m 的值． 6把分式方程2x ＋4＝1x 转化为一元一次方程时，方程两边需同乘( ) A. x B. 2x C. x ＋4 D. x(x ＋4) 7分式方程3x ＋2＝1x 的解为________． 8解方程：4x x －2－1＝3 2－x ，则方程的解是________． 9阅读思考题． 解方程：2x x 2－1＝3x ＋1 x 2－1. 解：方程两边都乘x 2－1，得2x ＝3x ＋1 解这个方程，得x ＝－1. 所以x ＝－1是方程的根． 上面解题过程是否有错误？若有错误，请指出来，并改正．
初中数学：分式与分式方程练习题
分式与分式方程复习题 一、选择题（共5小题；共25分） 1. 使分式有意义的的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 2. 下列方程是分式方程的有． ① ；② ；③ ；④ ． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 3. 分式的值为时，的值是 ( ) A. B. C. D. 4. 计算的结果为 ( ) A. B. C. D. 5. 关于的方程有增根．则的值为 ( ) A. B. C. D. 二、填空题（共5小题；共25分） 6. 已知是分式方程的根，则实数． 7. 若分式有意义，则实数的取值范围是．
8. 若关于的方程有增根，则的值是． 9. 化简的结果是． 10. 化简：= ． 三、解答题（共5小题；共65分） 11. 解方程：． 12. 先化简，再求值：，其中． 13. 下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ ，，，，，，． 14. 列方程解应用题： 从地到地的路程是千米．甲骑自行车从地到地先走，半小时后，乙骑自行车从地出发，结果二人同时到达．已知乙的速度是甲的速度的倍，求甲、乙二人骑车速度各是多少？ 15. 约分： (1) ； (2) ； (3) ；
(4) ． 一、选择题（共5小题；共25分） 1. 计算：的正确结果是 ( ) A. B. C. D. 2. 若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是 ( ) A. B. C. 且 D. 且 3. 关于的分式方程的解为正数，则字母的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 4. 若关于的方程无解，则的值等于 ( ) A. B. C. D. 5. 如图所示，设，则有 A. B. C. D.
初二数学分式方程练习题(含答案)
分式方程精华练习题 1.在下列方程中，关于x 的分式方程的个数（a 为常数）有（ ） ①0432212=+-x x ②.4=a x ③.;4=x a ④. ;13 9 2=+-x x ⑤;621=+x ⑥211=-+-a x a x . A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2. 关于x 的分式方程 15 m x =-，下列说法正确的是（ ） A ．方程的解是5x m =+ B ．5m >-时，方程的解是正数 C ．5m <-时，方程的解为负数 D ．无法确定 3.方程x x x -=++-1315112 的根是（ ）A.x =1 B.x =-1 C.x =83 D.x =2 4.,04412=+-x x 那么x 2的值是（ ） A.2 B.1 C.-2 D.-1 5.下列分式方程去分母后所得结果正确的是（ ） A. 112 11-++=-x x x 去分母得，1)2)(1(1-+-=+x x x ； B. 1255 52=-+-x x x ，去分母得，525-=+x x ； C.242222-=-+-+-x x x x x x ，去分母得，)2(2)2(2 +=+--x x x x ； D. ,1 1 32-=+x x 去分母得，23)1(+=-x x ； 6. .赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完.当他读了一半书时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完.他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x 页，则下面所列方程中，正确的是( ) A.21140140-+x x =14 B.21280280++x x =14 C.21140140++x x =14 D.21 10 10++x x =1 7.若关于x 的方程 01 11=----x x x m ，有增根，则m 的值是（ ）A.3 B.2 C.1 D.-1 8.若方程 ,) 4)(3(1243+-+=++-x x x x B x A 那么A 、B 的值为（ ） A.2，1 B.1，2 C.1，1 D.-1，-1 9.如果,0,1≠≠= b b a x 那么=+-b a b a （ ）A.1-x 1 B.11+-x x C.x x 1- D.1 1+-x x 10.使分式442-x 与6 52 6322+++-+x x x x 的值相等的x 等于（ ） A.-4 B.-3 C.1 D.10 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 满足方程： 22 11-=-x x 的x 的值是________. 12. 当x =________时，分式x x ++51的值等于21. 13.分式方程 02 22=--x x x 的增根是 . 14. 一汽车从甲地开往乙地，每小时行驶v 1千米，t 小时可到达，如果每小时多行驶v 2千米，那么可提前到达________小时. 15. 农机厂职工到距工厂15千米的某地检修农机，一部分人骑自行车先走40分钟后，其余人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车速度为自行车速度的3倍，若设自行车的速度为x 千米/时，则所列方程为 . 16.已知,54=y x 则=-+2 22 2y x y x .17.=a 时，关于x 的方程53221+-=-+a a x x 的解为零. 18.飞机从A 到B 的速度是,1v ，返回的速度是2v ，往返一次的平均速度是 . 19.当=m 时，关于x 的方程 3 1 3292 -=++-x x x m 有增根. 20. 某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m 的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度．若设原计划每小时修路x m ，则根据题意可得方程 . 三、解答题（共5大题，共60分） 21. .解下列方程 (1) x x x --=+-34231 (2) 21 23442+-=-++-x x x x x （3）21124 x x x -=--． 22. 有一项工程，若甲队单独做，恰好在规定日期完成，若乙队单独做要超过规定日期3天完成；现在先由甲、乙两队合做2天后，剩下的工程再由乙队单独做，也刚好在规定日期完成，问规定日期多少天？ 24.小兰的妈妈在供销大厦用12.50元买了若干瓶酸奶，但她在百货商场食品自选室内发现，同样的酸奶，这里要比供销大厦每瓶便宜0.2元钱，因此，当第二次买酸奶时，便到百货商场去买，结果用去18.40元钱，买的瓶数比第一次买的瓶数多 5 3 倍，问她第一次在供销大厦买了几瓶酸奶？
九年级数学上册阶段方法技巧训练专训可化为一元二次方程的分式方程的应用
专训 可化为一元二次方程的分式方程的应用 名师点金：可化为一元二次方程的分式方程的实际应用较广泛，一般应用于营销、行程、工程等问题中，解分式方程的基本思路就是化归，去掉分母后转化为一元二次方程，但最后一定要验根，有时可能会产生增根或不符合题意的根． 营销问题 1．某玩具店采购人员第一次用100元去采购某种玩具，很快售完，第二次去采购时发现批发价每件上涨了0.5元，用去了150元，所购玩具数量比第一次多了10件，两批玩具的售价均为2.8元，问：第二次采购玩具多少件？(说明：根据销售常识，批发价应该低于销售价)【导学号：83182030】 2．小明的爸爸下岗后，做起了经营水果的生意，一天，他先去水果批发市场，用100元购甲种水果，用150元购乙种水果，乙种水果比甲种水果多购进10千克，乙种水果的批发价比甲种水果的批发价每千克高0.50元，然后到零售市场，都按每千克2.8元零售，结果乙种水果很快售完，甲种水果售出45 时，出现滞销，他便按原售价的5折售完剩下的水果，请你帮小明的爸爸算一算，这天水果是赔钱了还是赚钱了(不考虑其他因素)？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？ 行程问题 3．【中考·青海】穿越青海境内的兰新铁路极大地改善了沿线人民的经济文化生活．该铁路沿
线甲、乙两城市相距480 km ，乘坐高铁列车比乘坐普通列车能提前4 h 到达．已知高铁列车的平均行驶速度比普通列车快160 km /h .设普通列车的平均行驶速度为x km /h ，依题意，下面所列方程正确的是( ) A .480x ＋160－480x ＝4 B .480x －480x ＋160 ＝4 C .480x －480x －160＝4 D .480x －160－480x ＝4 工程问题 4．【中考·深圳】施工队要铺设一段全长2 000米的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需比原计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工x 米，则根据题意所列方程正确的是( ) A .2 000x －2 000x ＋50＝2 B .2 000x ＋50 －2 000x ＝2 C .2 000x －2 000x －50＝2 D .2 000x －50 －2 000x ＝2 5．【中考·呼和浩特】某一公路的道路维修工程，准备从甲、乙两个工程队选一个队单独完成．根据两队每天的工程费用和每天完成的工程量可知，若由两队合做此项维修工程，6天可以完成，共需工程费用385 200元，若单独完成此项维修工程，甲队比乙队少用5天，每天的工程费用甲队比乙队多4 000元．从节省资金的角度考虑，应选哪个工程队？【导学号：83182031】 答案 1．解：方法一：设第二次采购玩具x 件，则第一次采购玩具(x －10)件，由题意得100x －10 ＋0.5
新人教版八年级数学分式方程
分式方程（1） 【学习目标】 1．了解分式方程的概念, 和产生无解的原因。 2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的解。 【重点】会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的解。 【自主学习】 1、预习内容：自学教材第149页 2、预习检测： 1） 中含有 的方程叫做分式方程。 2）你能再写出几个分式方程吗？ 3）下列式子中，属于分式方程的是 ，属于整式方程的是 。 ①1213=-+x x ②21412x x -=- ③12312=+x x ④51≥x 【合作探究】 探究点一 类比学习探究分式方程的解法 1、解下列方程： （1）415-=x x （2）1 45-=x x ； 解：去分母(各项乘以公分母 ) 解:去分母(各项乘以最简 公分母________ _) ?-=?415 x x 约分得:()()54?=? 约分得：()()x x ?=-?)1( 去括号： 去括号： 移项： 移项： 合并同类项： 合并同类项： 系数化为1： 归纳：解分式方程的思路是将分式方程转化成 ，基本的方法是 (一般是方程两边同乘 ）。且解分式方程必须 。 例1解方程 x x 332=- 例2解方程2)(1(311+-=--x x x x ?-=?145x x
2、解分式方程 1223x x =+ 2510512-=-x x 22411x x =-- 21133x x x x =+++ 例3、若关于x 的方程 021 1=--+x ax 无解，求a 的值 3、课后作业 1、=a 时，关于x 的方程 53221+-=-+a a x x 的解为零； 2、若关于x 的方程 3232-+=--x m x x 无解，则m 的值为 。 3、若代数式11 2--x 的值为零，则=x 4、若11-x 与1 2+x 互为相反数，则可得方程 ，解得=x 5、解方程： （1）1332+=-a a （2）88122-=--m m m （3） 22510x x x x -=+-
人教版初中九年级数学知识点09 分式方程及其应用(2)
一、选择题 1. (2019海南,4题,3分) 分式方程 1 12 x =+的解是( ) A.x ＝1 B.x ＝－1 C.x ＝2 D.x ＝－2 【答案】B 【解析】去分母得,1＝x+2,移项,合并,得:x ＝－1,经检验,x ＝－1是原分式方程的解,∴x －1,故选B. 【知识点】分式方程的解法 2. （2019黑龙江哈尔滨，8，3分）方程x x 3 132=-的解为（ ） 。 A 、x=113； B 、x=311； C 、x=73； D 、x=3 7。 【答案】C 【解析】解： x x 3 132=- 2(31)x x x -＝331(31) x x x --（） ， ∴2x ＝9x －3， ∴x ＝ 7 3 ； 将检验x ＝7 3 是方程的根， ∴方程的解为x ＝7 3 ； 故选：C ． 【知识点】解分式方程 3. （2019湖北十堰，7，3分）十堰即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成．现还有6000米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设20米，就能提前15天完成任务．设原计划每天铺设钢轨x 米，则根据题意所列的方程是（ ） A ．6000x ?6000x+20=15 B ． 6000x+20?6000x =15 C ． 6000 x ? 6000x?15 =20 D ． 6000 x?15 ? 6000x =20 【答案】A 【解析】解：设原计划每天铺设钢轨x 米，根据如果实际施工时每天比原计划多铺设20米，就能提前15天完成任务可列方程： 6000x ? 6000x+20 =15，故选：A ． 【知识点】由实际问题抽象出分式方程 4. （2019黑龙江省龙东地区，17，3）已知关于x 的分式方程213 x m x -=- 的解是非正数，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≤3 B ．m ＜3 C ．m ＞－3 D ．m ≥－3 【答案】A
初三数学-分式方程
初三数学 分式方程（1） 一、 学习目标： 1、 了解分式方程的概念，了解增根的概念。 2、 会解可化为一元一次方程的分式方程。 3、 会检验一个数是不是分式方程的增根。 二、 教学重点难点 分式方程的概念；解可化为一元一次方程的分式方程；会检验一个数是不是分式方程的增 根。 三、教学过程 （一） 复习导入 1、什么是分式方程? (2)邑 —4— x x 1 上述方程中，方程 ______ 分式方程。理由是：分母中含有 ____________ < 方程中含有分式，并且分母中含有 __________ ，像这样的方程叫做 分式方程 （二）讲授新课 1、如何解分式方程？ 去分母 分式方程 ------------- 讨论：①方程（1）、方程⑵ 都有分母，解方程的共同方法是 _________________ 。 ②去分母的方法是（ ） 2、试一试，解方程：（注意验根）， （1）右—（2）1 5 4 ； 解：去分母（各项乘以公分母 ________ ） i x x 1 : 5 4 5 4 1 ' x x 1 约分得： x x 1 ；约分得：5 1 4 去括号： ;去括号： 移项： ;移项： 1 合并同类项： !合并同类项： (1) 整式方程 5 4 x x 1 解：去分母（各项乘以最简公分母 系数化为1 :
4 1 A 、 有分母的项，乘以公分母，无分母的项可以不乘以最简公分母 B 、 所有的项（有分母的项、无分母的项）都要乘以最简公分母 小结：解分式方程时，可能产生 ___________ 方程的根， 这种根叫做原方程的 ____________ 二解分式方程必须要验根 4、验根方法： 把求得的未知数的值代入最简公分母「使最简公分母H o 的根是方程 ［使最简公分母二0的根是方程 _____ 5、例：解分式方程: 解：每项乘以最简公分母 得 ______________ -1 x 1 检验：把x= _______ 代入最简公分母 _____________________ ??? x= __ （是或不是）原方程的根。 （三）课堂练习 1、解分式方程（要注意验根） 4 （1）丄 1 x 1 解：每项都乘以最简公分母 ____________ 得: 3、分式方程的解 试一试，解下列分式方程（注意验根） ⑴—丄 ⑵ x 2 x 2 解：每项都乘以最简公分母 ____________ x 1 2 x 2 x 2 x 1 1 x 2 x 2 解：每项都乘以最简公分母 _______________ x 1 1 x 2 x 2 (2) 2x
初中数学分式方程典型例题讲解
第十六章分式知识点和典型例习题 【知识网络】 【思想方法】 1．转化思想 转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想 本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法 本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程． 第一讲 分式的运算 【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) 4.幂的运算法则 【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c a a a a ±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac ±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法: b d bd a c ac ?=,b c b d bd a d a c ac ÷=?= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m ) n = a mn 7.负指数幂: a -p = 1p a a 0 =1 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)= a 2 - b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2 （一）、分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义（一）分式的概念： 形如 A B (A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母. 【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,22π，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没 有意义. 【例2】当x 有何值时，下列分式有意义 （1） 44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x （5）x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件： 1、分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义
(人教版)八年级数学分式方程测试题及答案
16.3.1 分式方程 同步测试 ◆知能点分类训练 知能点1 分式方程 1．下列方程中分式方程有（ ）个． 2D 34 （3）22122563 x x x x x x x --=--+-。
5．解下列分式方程: 6 7．解下列关于x 的方程: （1）1(1);(2) 1 a m n b b x a x x +=≠- -+=0（m ≠0）．
8．解方程：2155 ()14x x x x ---= ． 9 11．a 为何值时，关于x 的方程223 242 ax x x x += --+会产生错误？
12．已知分式方程21 x a x +-=1的解为非负数，求a 的取值范围． ， ， ． （3）根据上面的规律，可将关于x 的方程2221 111 x x a x a -+=-+--变形为_______，方程的解是_________，?解决这个问题的数学思想是_________． ◆中考真题实战
14．解方程：31144x x x --=--; 15．解方程：54 1x x -+=0． 14．解：（1）方程两边同乘以x-2，得2x=x-2， 解得x=-2．经检验，x=-2是原方程的解． （2）方程两边同乘以x （x+1），得（x+1）2+5x 2=6x （x+1），即x 2+2x+1+5x 2=6x 2+6x ， 解得x=1 4．经检验，x=14 是原方程的解．
（3）方程两边同乘以（x-2）（x-3）， 得x（x-3）-（1-x2）=2x（x-2）， 解得x=1．经检验，x=1是原方程的解． 5．解：（1）方程两边同乘以（x-1）（x+1），得 （x+1）2-4=x2-1，化简得2x-2=0，∴x=1． 6 ） ∴原方程的解为x=7． =1-b， 7．解：（1）移项：a - x a 去分母：a=（1-b）（x-a）， 去括号：a=（1-b）x-a（1-b），
初三中考数学分式方程及其应用
课时11．分式方程及其应用 【课前热身】 1．方程22123=-+--x x x 的解是x= ． 2. 已知2+x a 与2-x b 的和等于4 42-x x ，则=a ，=b . 3．解方程1 2112-=-x x 会出现的增根是（ ） A ．1=x B.1-=x C. 1=x 或1-=x D.2=x 4．如果分式12-x 与3 3+x 的值相等,则x 的值是( ) A ．9 B ．7 C ．5 D ．3 5．如果3:2:=y x ，则下列各式不成立的是（ ） A ．35=+y y x B ．31=-y x y C ．312=y x D ．4 311=++y x 6．若分式 1 22--x x 的值为0，则x 的值为（ ） A. 1 B. -1 C. ±1 D.2 【考点链接】 1．分式方程:分母中含有 的方程叫分式方程. 2．解分式方程的一般步骤： （1）去分母，在方程的两边都乘以 ，约去分母，化成整式方程； （2）解这个整式方程； （3）验根，把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去. 3. 用换元法解分式方程的一般步骤： ① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；② 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③ 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④ 检验作答. 4．分式方程的应用： 分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验： （1）检验所求的解是否是所列 ；（2）检验所求的解是否 . 5．易错知识辨析： （1） 去分母时，不要漏乘没有分母的项.
（2） 解分式方程的重要步骤是检验，检验的方法是可代入最简公分母, 使 最简公分母为0的值是原分式方程的增根,应舍去,也可直接代入原方程验根. （3） 如何由增根求参数的值：①将原方程化为整式方程；②将增根代入变 形后的整式方程，求出参数的值. 【典例精析】 例1 解分式方程：1233x x x =+--． 例2 在2008年春运期间，我国南方出现大范围冰雪灾害，导致某地电路断电. 该地供电局组织电工进行抢修.供电局距离抢修工地15千米.抢修车装载着所需材料先从供电局出发，15分钟后，电工乘吉昔车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，求这两种车的速度. 例3 某中学库存960套旧桌凳，修理后捐助贫困山区学校．现有甲、乙两个木 工小组都想承揽这项业务．经协商后得知：甲小组单独修理这批桌凳比乙小组多用20天；乙小组每天比甲小组多修8套；学校每天需付甲小组修理费80元，付乙小组120元． （1）求甲、乙两个木工小组每天各修桌凳多少套． （2）在修理桌凳过程中，学校要委派一名维修工进行质量监督，并由学校负 担他每天10元的生活补助．现有以下三种修理方案供选择： ① 由甲单独修理；② 由乙单独修理；③ 由甲、乙共同合作修理． 你认为哪种方案既省时又省钱？试比较说明． 【中考演练】 1．方程0112=--x x 的解是 ． 2．若关于x 方程23 32+-=--x m x x 无解，则m 的值是 ．
初中数学分式方程典型例题讲解
a c=ac,b a c= a p a0=1形如 A 【例1】下列代数式中：x1 x-y ，是分式的有：.π2 x-y,a+b , x+y , （1）x-4 x+4 （2） x2+2 （3） x2-1 （4）|x|-3 （5） a=“ ± . a±ac=bc±da(a≠0,c≠0); 第十六章分式知识点和典型例习题 3.分式的乘法与除法:b ? d bd a÷ c d= b d bd ? ac 【知识网络】 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;a m●a n=a m+n;a m÷a n=a m－n 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m=a m b n,(a m) n= 7.负指数幂:a-p=1 a mn 【思想方法】 1．转化思想 转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想 本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法 本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程． 第一讲分式的运算 【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) 4.幂的运算法则 【主要公式】1.同分母加减法则:b c b±c(a≠0) a a 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)=a2-b2;(a±b)2=a2±2ab+b2 （一）、分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义（一）分式的概念： B(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子，叫做分式.其中A叫做分式的分子,B 叫做分式的分母. 1 a-b x2-y2x+y , 题型二：考查分式有意义的条件：在分式中，分母的值不能是零如果分母的值是零，则分式没 有意义. 【例2】当x有何值时，下列分式有意义 3x26-x1 x-1 x 2.异分母加减法则:b d bc c=ac± da ac题型三：考查分式的值为0的条件： 1、分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义
初三数学-分式方程练习题
初三数学 分式方程练习题 1.一件工程甲单独做a 小时完成，乙单独做b 小时完成，甲、乙二人合作完成此项工作需要的小时数是 （ ） （A ）a ＋b （B ）b a 11+ （C ）b a +1 （D ）b a a b + 2．工地调来72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，怎样调动劳动力才能使挖出的土能及时运走，解决此问题，可设派x 人挖土，其它的人运土，列方程 ①3172=-x x ②72-x=3x ③x+3x=72 ④372=-x x 上述所列方程，正确的有（ ）个 A 1 B 2 C 3 D 4 3．甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是（ ） A ．8 B.7 C ．6 D ．5 4.某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设计划每天加工x 套，则根据题意可得方程为 A ．18%)201(400160=++x x B ．18%)201(160400160=+-+x x Ｃ． 18%20160400160=-+x x Ｄ．18%)201(160400400=+-+x x 5.由甲、乙两个工程队承包某校校园绿化工程，甲、乙两队单独完成这项工程所需时间比是3︰2，两队合做6天可以完成． （1）求两队单独完成此项工程各需多少天? （2）此项工程由甲、乙两队合做6天完成任务后，学校付给他们20000元报 酬，若 按各自完成的工程量分配这笔钱，问甲、乙两队各得到多少元?
初中数学分式方程练习题
分式方程练习题 一 ；填空题 1．当x =______时， 15x x ++的值等于12． 2．当x =______时，424x x --的值与5 4 x x --的值相等． 3．若11x -与1 1 x +互为相反数，则可得方程___________,解得x =_________. 4．若方程 212x a x +=--的解是最小的正整数，则a 的值为________. 5. 分式方程2131 x x =+的解是_________ 6. 若关于x 的分式方程 3 11x a x x --=-无解，则a = ． 二、选择题 7．下列方程中是分式方程的是（ ） （A ） (0)x x x π π= ≠ （B ）111235x y -= （C ）32 x x x π=+ （D ）11 132x x +--=- 8．解分式方程12133x x x +-=，去分母后所得的方程是（ ） （A ）13(21)3x -+= （B ）13(21)3x x -+= （C ）13(21)9x x -+= （D ）1639x x -+= 9.．化分式方程 22134 05511x x x --=---为整式方程时，方程两边必须同乘（ ） （A ）2 2 (55)(1)(1)x x x --- （B ）2 5(1)(1)x x -- （C ）2 5(1)(1)x x -- （D ）5(1)(1)x x +- 10．下列说法中错误的是（ ） （A ）分式方程的解等于0，就说明这个分式方程无解 （B ）解分式方程的基本思路是把分式方程转化为整式方程 （C ）检验是解分式方程必不可少的步骤 （D ）能使分式方程的最简公分母等于零的未知数的值不是原分式方程的解． 11.解分式方程 2236111 x x x +=+--，下列说法中错误的是（ ） （A ）方程两边分式的最简公分母是(1)(1)x x +- (B)方程两边乘以(1)(1)x x +-，得整式方程2(1)3(1)6x x -++= (C)解这个整式方程，得1x = (D) 原方程的解为1x = 12．下列结论中，不正确的是（ ）
七年级数学下册分式方程及分式应用题
分式方程及分式应用题 【知识点归纳】 知识点一、分式方程 1分式方程概念：方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程. 2解分式方程：基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母。一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 《1》理解分式方程的有关概念 例1 指出下列方程中，分式方程有（ ） ①21123x x -=5 ②223x x -=5 x 2-5x=0 x +3=0 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【点评】根据分式方程的概念，看方程中分母是否含有未知数． 《2》掌握分式方程的解法步骤（注意分式方程最后要验根。（易错点）） 例2 解方程：10030 7 x x = -. 例3. 解关于x 的方程 x a b c x b c b x c a b a b c --+--+--=>30()，， 解：原方程化为：x a b c x b c b x c a b ---+---+---=1110 即x a b c c x b c a a x c a b b ---+---+---=0 ∴---++=>>>∴ ++≠∴---=∴=++()()x a b c a b c a b c a b c x a b c x a b c 111 000 11100Θ，， 说明：本题中，常数“3”是一个重要的量，把3拆成3个1，正好能凑成公因式
x a b c ---。若按常规在方程两边去分母，则解法太繁，故解题中一定要注意观察方程的 结构特征，才能找到合适的办法。 例4. 解关于x 的方程。 ax x a bx x b a b x a x b ab ()()()()()()+++=+++≠0 解：去括号：ax a x bx b x a b x a b x ab a b 2 2 2 2 2 2 +++=+++++()()() ()()()() a b x a b x ab a b abx ab a b ab x a b 22220 2 +-+=+-=+≠∴=- +Θ 说明：解含字母系数的方程，在消未知数的系数时，一定要强调未知数的系数不等于0，如果方程的解是分式形式，必须化成最简分式或整式。 练习1. 解关于x 的方程 x m n x n m -=-11 ，其中m n m n ≠≠≠00，，。 练习2. 解关于x 的方程()()a a x x a --+=-1422。 例5． （2011安徽芜湖，5，4分） 分式方程 253 22x x x -= --的解是（ ）. A ．2x =- B ．2x = C ．1x = D ．12x x ==或 例 6. （2011湖北荆州，6，3分）对于非零的两个实数a 、b ，规定a b b a 1 1-= ?，若1)1(1=+?x ，则x 的值为 A ．23 B ．31 C ． 21 D ． 2 1- 例7. （2011四川成都，13,4分） 已知1=x 是分式方程 x k x 311=+的根，则实数k =___________.
初二数学分式方程练习题及答案
分式方程 1．分式方程2x =3的解是________；分式方程5231x x =-的解是________． 2．已知公式 1221P P V V =，用P 1、P 2、V 2表示V 1=________． 3．已知y=46mx n x -，则x=________． 4．一项工程，甲单独做需m 小时完成，若与乙合作20小时可以完成，则乙单独完成需要的时间是（ ） A ．2020m m -小时 B ．2020m m +小时 C ．2020m m -小时 D ．2020m m +小时 5．（数学与生产）我市要筑一水坝，需要规定日期内完成，如果由甲队去做，?恰能如期完成，如果由乙队去做，需超过规定日期三天，现由甲、乙两队合做2天后，?余下的工程由乙队独自做，恰好在规定日期内完成，求规定的日期x ，下面所列方程错误的是（ ） A ． 2x +3x x +=1 B ．2x =33 x + C ．（1x +13x +）×2+13x +（x-2）=1 D ．1x +3x x +=1 6．（综合题）物理学中，并联电路中总电阻R 和各支路电阻R 1、R 2满足关系 1R =11R +21R ，若R 1=10，R 2=15，求总电阻R ． 7．为改善环境，张村拟在荒山上种植960棵树，由于共青团员的支持，每日比原计划多种20棵，结果提前4天完成任务，原计算每天种植多少棵？设原计划每天种植x 棵，根据题意得方程________． 8．某河两地相距s 千米，船在静水中的速度为a 千米/时，水流速度为b 千米/时，船往返一次所用的时间为（ ） A ．2s a b + B ．2s a b - C ．s a +s b D ．s a b ++s a b - 拓展创新题 9．（数学与生产）用35克盐配制成含盐量为28%的盐水溶液，则需要加水多少克？ 10．（数学与生产）某车间有甲、乙两个小组，?甲组的工作效率比乙组的工作效率高25%，因此，甲组加工2 000个零件所用的时间比乙组加工1 800?个零件所用的时间少半小时，问甲、乙两组每小时各加工多少个零件？
初三数学-分式方程练习题
初三数学 分式方程练习题 1. 一件工程甲单独做a 小时完成，乙单独做b 小时完成，甲、乙二人合作完成此 项工作需要的小时数是 ( ) 11 1 ab (A ) a + b (B ) - - (C )」 (D ) a b a b a b 2. 工地调来72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土 1人恰好能全部运走，怎 样调动劳动力才能使挖出的土能及时运走， 解决此问题，可设派x 人挖土，其它 的人运土，列方程 ①Z 必1②72-x=-③x+3x=72④ —3上述所列方程，正确的有 x 3 3 72 x ( )个 A 1 B 2 C 3 D 4 3. 甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙 志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前 3天完成任务，则甲志 愿者计划完成此项工作的天数是( ) A. 8 B.7 C. 6 D. 5 4. 某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工 作效率比原计划提高了 20%结果共用了 18天完成任务，问计划每天加工服装 多少套？在这个问题中，设计划每天加工 x 套，则根据题意可得方程为 5. 由甲、乙两个工程队承包某校校园绿化工程， 甲、乙两队单独完成这项工程所 需时间比是3： 2,两队合做6天可以完成. (1)求两队单独完成此项工程各需多少天？ (2)此项工程由甲、乙两队合做6天完成任务后，学校付给他们20000元报 酬，若 A. 160 x 400 18 (1 20%) x 160 x 400 160 (1 20%)x 18 C. 160 x 400 160 18 D. 400 400 160 18 20%x (1 20%)x
初中数学分式方程增根
初三数学上册期末复习—分式方程的解专项训练 1.若分式方程 ＝1有增根，则m 的值为_______． 2．若方程有增根,则. 3．若关于x 的方程=3有增根，则m=_______． 4 ．若解分式方程产生增根，则_______ 5． 已知分式方程产生增根，则m=_______． 6 ．已知分式方程有增根，则m 为______． 7．如果方程 有增根，那么 的值为_______． 8．若分式方程的增根，那么增根是______， 这时 _______． 9．若分式方程 有增根，则m 的值为______． 10． 若分式方程有增根，则m=____， 它的增根是_______ 11．分式方程 = 有增根，则m 为_______ 12．若分式方程x x kx -=--+21 212有增根，则k=_________ 13．若分式方程 13 2 3+-=-x x m 有增根，则m=_________． 14．若分式方程 x x x x m x x 1 1122+=++-+有增根,则m=_______． 15．若方程 有增根，则=________． 16．若关于的分式方程 无解，则a=______． 17．若关于x 的方程无解，则为_________ 18．若方程无解，则． 19．若分式方程无解，则为_______ 20．如果分式方程无解，则m=_________ 21．若分式方程 12 4 2+-=-x x ax 无解，则a 的值是______． 22．若方程无解，则m=_________ 23．若方程 无解，则m=_________． 24．要使方程无解，则a=_________． 25．若关于x 的方程x m x x 21051-=--无解,则m=_________． 26．若分式方程 211=---x m x x 无解，则m 的值是_________． 27．若关于的分式方程 无解，则_________． 28．已知分式方程－=0无解，则a =_______． 29．关于的分式方程的解为正数，则的 取值范围是___________． 30．关于x 的方程 的解是正数，则a 的取值范围 是________ 31．若关于x 的分式方程 11 2=--x a x 的解为正数，那么字母a 的取值范围是__________． 32．已知关于的方程的解是正数，则m 的取 值范围为______________． 33．若关于x 的方程的解是正数，则x 的 取值范围是____________． 34．关于的方程的解为正数，那么的取值范 围是___________． 35．关于x 的方程的解是负数，则a 的取值范围 是_____________． 36．已知关于x 的分式方程 11 2 =++x a 的解是非正数，则a 的取值范围是_______________． 37．已知关于的方程的解是负数，则m 的取 值范围为________
解分式方程(人教版)(含答案)
解分式方程（人教版） 一、单选题(共10道，每道10分) 1.下列方程不是分式方程的是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：分母中含有未知数的方程叫分式方程，而π是数字，不是未知数，故选B． 试题难度：三颗星知识点：分式方程的定义 2.分式方程的解是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：解分式方程分三步：①去分母，化成整式方程；②解整式方程；③检验。 检验：把代入原方程，成立，∴是原方程的解，故选B． 试题难度：三颗星知识点：解分式方程 3.分式方程的解是( ) A. B. C. D.无解 答案：D 解题思路：原式可变形为：检验：把代入原方程，不成立，∴是原方程的增根，∴原方程无解．故选D． 试题难度：三颗星知识点：解分式方程 4.分式方程的解是( )
A. B. C. D. 答案：A 解题思路：原式可变形为：故选A． 试题难度：三颗星知识点：解分式方程 5.分式方程的解为( ) A. B. C.或 D.无解 答案：D 解题思路：原式可变形为：，检验：把代入原方程，不成立，∴ 是原方程的增根，∴原方程无解．故选D． 试题难度：三颗星知识点：解分式方程 6.若关于的分式方程有增根，则的值为( ) A.1 B.-1 C.-7 D.7 答案：D 解题思路：分析：解分式方程首先需要去分母化成整式方程，分式方程有增根意味着：整式方程有解，但整式方程的解使得原分式方程的最简公分母为零．解：原式可变形为： ∵原分式方程有增根，∴，∴．故选D． 试题难度：三颗星知识点：分式方程增根问题 7.若关于的分式方程有增根，则的值为( ) A.1 B.-1 C.3 D.5 答案：B