5.2 复数的四则运算 课件(北师大版选修2-2)

复数概念及公式总结

数系的扩充和复数概念和公式总结 1.虚数单位i: 它的平方等于-1，即21 i=- 2.i与－1的关系:i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－i 3.i的周期性：i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1 4.复数的定义：形如(,) a bi a b R +∈的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示复数通常用字母z表示，即(,) =+∈ z a bi a b R 5.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,) +∈，当且仅当b=0时， a bi a b R 复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi 叫做纯虚数；a≠0且b≠0时，z=bi叫做非纯虚数的纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0. 5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C. 6.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di?a=c，b=d 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小当两个复数不全是实数时不能比较大小 7.复平面、实轴、虚轴： 点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴 数 （1）实轴上的点都表示实数 （2）虚轴上的点都表示纯虚数 （3）原点对应的有序实数对为(0，0) 设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数， 8．复数z1与z2的加法运算律：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 9.复数z1与z2的减法运算律：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.

复数概念及公式总结教学内容

复数概念及公式总结

数系的扩充和复数概念 1.虚数单位i:它的平方等于-1，即21 i=- 2. i与－1的关系: i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－i； 3. i的周期性： 4.复数的定义：形如(,) +∈的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部全体复数所成 a bi a b R 的集合叫做复数集，用字母C表示复数通常用字母z表示，即 z a bi a b R =+∈ (,) 5. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,) +∈，当且仅当b=0时，复数 a bi a b R a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；a≠0且b≠0时，z=bi叫做非纯虚数的纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0. 5.复数集与其它数集之间的关系：N___Z___Q___R___C. 6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di?a=c，b=d 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较当两个复数不全是实数时不能比较大小 7. 复平面、实轴、虚轴：

点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数 （1）实轴上的点都表示____________ （2）虚轴上的点都表示____________ （3）原点对应的有序实数对为(0，0) 设z 1=a +bi ，z 2=c +di (a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数， 8．复数z 1与z 2的加法运算律：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i . 9.复数z 1与z 2的减法运算律：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i . 10.复数z 1与z 2的乘法运算律：z 1·z 2= (a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i . 11.复数z 1与z 2的除法运算律： 12.共轭复数： 通常记复数z 的共轭复数为z 。例如z =3＋5i 与z =3－5i 互为共轭复数 13. 共轭复数的性质 （1）实数的共轭复数仍然是它本身 （2）22Z Z Z Z ==? （3）两个共轭复数对应的点关于实轴对称 14.复数的两种几何意义： 15几个常用结论 （1）()i i 212=+，（2）()i i 212-=- （3）i i -=1， （4） i i i =-+11 16.复数的模： （5） i i i -=+-11 复数bi a Z +=的模22b a Z += （6）()()22b a bi a bi a +=-+ 点),(b a Z 向量OZ 一一对应 一一对应 一一对应 复数()R b a bi a Z ∈+=,

复数知识点精心总结

复数知识点 考试内容： 复数的概念． 复数的加法和减法． 复数的乘法和除法． 数系的扩充． 考试要求： （1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义． （2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算． （3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想． 1. ⑴复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=. ⑵复数及其相关概念： ① 复数—形如a + b i 的数（其中R b a ∈，）； ② 实数—当b = 0时的复数a + b i ，即a ； ③ 虚数—当0≠b 时的复数a + b i ； ④ 纯虚数—当a = 0且0≠b 时的复数a + b i ，即b i. ⑤ 复数a + b i 的实部与虚部—a 叫做复数的实部，b 叫做虚部（注意a ，b 都是实数） ⑥ 复数集C —全体复数的集合，一般用字母C 表示. ⑶两个复数相等的定义： 00==?=+∈==?+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且. ⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小. 注：①若21,z z 为复数，则ο1若021φz z +，则21z z -φ.（×）[21,z z 为复数，而不是实数] ο2若21z z π，则021πz z -.（√） ②若C c b a ∈,,，则0)()()(222=-+-+-a c c b b a 是c b a ==的必要不充分条件.（当22)(i b a =-， 0)(,1)(22=-=-a c c b 时，上式成立） 2. ⑴复平面内的两点间距离公式：21z z d -=. 其中21z z ，是复平面内的两点21z z 和所对应的复数，21z z d 和表示间的距离. 由上可得：复平面内以0z 为圆心，r 为半径的圆的复数方程：）（00φr r z z =-. ⑵曲线方程的复数形式： ①00z r z z 表示以=-为圆心，r 为半径的圆的方程.

高中数学复数的知识点总结

高中数学复数的知识点总结 高中数学复数的知识点总结 定义 数集拓展到实数范围内，仍有些运算无法进行。比如判别式小于0的一元二次方程仍无解，因此将数集再次扩充，达到复数范围。形如z=a+bi的数称为复数(complexnumber)，其中规定i为虚数单位，且i^2=i*i=-1(a，b是任意实数)我们将复数z=a+bi中的实数a称为复数z的实部(realpart)记作Rez=a实数b称为复数z的虚部(imaginarypart)记作Imz=b.已知：当b=0时，z=a，这时复数成为实数当a=0且b≠0时，z=bi，我们就将其称为纯虚数。 运算法则 加法法则 复数的加法法则：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。 即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 乘法法则 复数的乘法法则：把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i^2=1，把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。 即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.

除法法则 复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商运算方法：将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再用乘法法则运算， 即(a+bi)/(c+di) =[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)] =[(ac+bd)+(bc-ad)i]/(c^2+d^2). 开方法则 若z^n=r(cosθ+isinθ)，则 z=n√r[cos(2kπ+θ)/n+isin(2kπ+θ)/n](k=0，1，2，3……n-1) 复数中的难点 (1)复数的向量表示法的运算.对于复数的向量表示有些学生掌握得不好，对向量的运算的几何意义的灵活掌握有一定的困难.对此应认真体会复数向量运算的几何意义，对其灵活地加以证明. (2)复数三角形式的乘方和开方.有部分学生对运算法则知道，但对其灵活地运用有一定的困难，特别是开方运算，应对此认真地加以训练. (3)复数的辐角主值的求法. (4)利用复数的几何意义灵活地解决问题.复数可以用向量表示，同时复数的.模和辐角都具有几何意义，对他们的理解和应用有一定难度，应认真加以体会.

复数知识点总结

复数知识点总结 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998

《复数》知识点总结 1、复数的概念 形如(,)a bi a b R +∈的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，满足21i =-，a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部. (1)纯虚数：对于复数z a bi =+，当00a b =≠且时，叫做纯虚数. (2)两个复数相等：,()a bi c di a b c d R ++∈、、、相等的充要条件是=a c b d =且. (3)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，横轴为实轴，竖轴除去原点为虚轴. (4)复数的模：复数z a bi =+可以用复平面内的点Z(,)a b 表示，向量OZ 的模 叫做复数z a bi =+的模，表示为：||||z a bi =+ （5）共轭复数：两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做共轭复数. 2、复数的四则运算 （1）加减运算：()()()()a bi c di a c b d i +±+=±++； （2）乘法运算：()()()()a bi c di ac bd ad bc i +?+=-++； （3）除法运算：2222()()()()(0)ac bd bc ad a bi c di i c di c d c d +-+÷+=++≠++； （4）i 的幂运算：41n i =，41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-.()n Z ∈ （5）22||||z z z z == 3、 规律方法总结 （1）对于复数(,)z a bi a b R =+∈必须强调,a b 均为实数，方可得出实部为a ，虚部为b

高一数学复数的四则运算知识点分析

高一数学复数的四则运算知识点分析 复数的概念： 形如a+bi(a，b∈R)的数叫复数，其中i叫做虚数单位。全体复 数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。 复数的表示： 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，这一表示形式叫 做复数的代数形式，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部。 复数的几何意义： (1)复平面、实轴、虚轴： 点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点 Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都表示实数，除原 点外，虚轴上的点都表示纯虚数 (2)复数的几何意义：复数集C和复平面内所有的点所成的集合 是一一对应关系，即 这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。 这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。 复数的模： 复数z=a+bi(a、b∈R)在复平面上对应的点Z(a，b)到原点的距 离叫复数的模，记为|Z|，即|Z|= 虚数单位i： (1)它的平方等于-1，即i2=-1;

(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立 (3)i与-1的关系：i就是-1的一个平方根，即方程x2=-1的一个根，方程x2=-1的另一个根是-i。 (4)i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1。 复数模的性质： 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系： 对于复数a+bi(a、b∈R)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时， z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时，z就是实数0。 复数集与其它数集之间的关系： 复数的运算： 1、复数z1与z2的和的定义： z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; 2、复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b- d)i; 3、复数的乘法运算规则：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i，其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中 把i2换成-1，并且把实部与虚部分别合并，两个复数的积仍然是一个复数。 4、复数的除法运算规则： 。 复数加法的几何意义： 设 为邻边画平行四边形

【高中数学】《复数》考试知识点

【高中数学】《复数》考试知识点 一、选择题 1．已知复数z 满足 121i z i i +?=--（其中z 为z 的共轭复数），则z 的值为( ) A ．1 B ．2 C D 【答案】D 【解析】 【分析】 按照复数的运算法则先求出z ，再写出z ，进而求出z . 【详解】 21(1)21(1)(1)2 i i i i i i i ++===--+Q ， 1222(2)121i i z i i z i z i i i i i +-∴?=-??=-?==--=---， 12||z i z ∴=-+?== 故选：D 【点睛】 本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题. 2．已知复数21i z = -+，则（ ） A ．2z = B ．z 的实部为1 C ．z 的虚部为1- D ．z 的共轭复数为1i + 【答案】C 【解析】 分析：由题意首先化简复数z ，然后结合z 的值逐一考查所给的选项即可确定正确的说法. 详解：由复数的运算法则可得：()()()()21211112i i z i i i ----= ==---+--， 则z =，选项A 错误； z 的实部为1-，选项B 错误； z 的虚部为1-，选项C 正确； z 的共轭复数为1z i =-+，选项D 错误. 本题选择C 选项. 点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

3．已知复数(2)z i i =-，其中i 是虚数单位，则z 的模z = ( ) A B C ．3 D ．5 【答案】B 【解析】 (2)2z i i i i =-=-==B ． 4．a 为正实数，i 为虚数单位， 2a i i +=，则a=（ ） A ．2 B C D ．1 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 ||220,a i a a a i +==∴=>∴=Q ，选B. 5．若z C ∈且342z i ++≤，则1z i --的最大和最小值分别为,M m ，则M m -的值等于（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．9 【答案】B 【解析】 【分析】 根据复数差的模的几何意义可得复数z 在复平面上对应的点的轨迹，再次利用复数差的模的几何意义得到,M m ，从而可得M m -的值. 【详解】 因为342z i ++≤， 故复数z 在复平面上对应的点P 到134z i =--对应的点A 的距离小于或等于2， 所以P 在以()3,4C --为圆心，半径为2的圆面内或圆上， 又1z i --表示P 到复数21z i =+对应的点B 的距离， 故该距离的最大值为222AB +==， 最小值为22AB -=，故4M m -=. 故选：B. 【点睛】

高中数学复数专题知识点整理和总结人教版

【1】复数的基本概念 （1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部 实数：当b = 0时复数a + b i 为实数 虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数； 纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数 （2）两个复数相等的定义： 00==?=+∈==?+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且 （3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-； （4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习） （5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =z 的模； 【2】复数的基本运算 设111z a b i =+，222z a b i =+ （1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++； （2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-； （3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ?=-++ 特别22z z a b ?=+。 （4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-?????? 【3】复数的化简 c di z a bi +=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22 ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==?=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=?≠+，当c d a b =时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi +==+进一步建立方程求解 【例4】 若复数 ()312a i z a R i +=∈-（i 为虚数单位），

苏教版数学高二-选修2-2导学案 3.2《复数的四则运算》(1)

3.2 复数的四则运算 导学案（1） 教学目标 1、理解复数代数形式的四则运算法则。 2、能运用运算律进行复数的四则运算。 教学习重难点 重点 复数的加、减、乘法运算 难点 复数的加、减、乘法运算 教学过程 一、复习回顾 1.虚数单位i 的引入； 2.复数有关概念： 复数的代数形式： (,)z a bi a R b R =+∈∈ 复数的实部a ，虚部b 。 实数：()0;b a R =∈ 虚数：()0;b a R ≠∈ 纯虚数：0 0a b =??≠? 复数相等a bi c di +=+?a c b d =??=? 特别地，a+bi=0?a=b=0。 问题1：a=0是z=a+bi(a 、b ∈R)为纯虚数的必要不充分条件 问题2:一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大。思考:对于任意的两个复数到底能否比较大小? 当且仅当两个复数都是实数时，才能比较大小。虚数不可以比较大小。 二、问题引入 我们知道实数有加、减、乘等运算，且有运算律： a b b a +=+ ab ba =

()()a b c a b c ++=++ ()()ab c a bc = ()a b c ab ac +=+ 那么复数应怎样进行加、减、乘运算呢？你认为应怎样定义复数的加、减、乘运算呢？运算律仍成立吗？ 注意到i =-2 1，虚数单位i 可以和实数进行运算且运算律仍成立，所以复数的加、减、乘运算我们已经是自然而然地在进行着，只要把这些零散的操作整理成法则即可了！ 三、知识新授 1、复数加减法的运算法则 (1) 运算法则： 设复数z 1=a+bi,z 2=c+di ，那么：z 1+z 2=(a+c)+(b+d)i; z 1-z 2=(a-c)+(b-d)i 。 即：两个复数相加(减)就是实部与实部，虚部与虚部分别相加(减)。 (2)复数的加法满足交换律、结合律 即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有：z 1+z 2=z 2+z 1，(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)。 2、复数的乘法 (1)复数乘法的法则 复数的乘法与多项式的乘法是类似的，但必须在所得的结果中把i 2换成-1，并且把实部合并。即：(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi 2=(ac-bd)+(bc+ad)i 。 (2)复数乘法的运算定理 复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律. 即对任何z 1，z 2，z 3有： z 1z 2=z 2z 1；(z 1z 2)z 3=z 1(z 2z 3)；z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3。 3. 共轭复数的概念、性质 (1)定义：实部相等,虚部互为相反数的两个复数互为共轭复数。复数z=a+bi 的共轭复数记作,=-z z a bi 即。 (2)共轭复数的性质： 思考：设z=a+bi (a,b ∈R ),那么?+=z z ?-=z z 2-2.z z a z z bi +==； 另外不难证明: 12121212,z z z z z z z z +=+-=- 四、例题应用 例1、计算 (56)(2)(34)i i i -+---+

(完整版)复数知识点归纳

精心整理 复数 【知识梳理】 一、复数的基本概念 1、虚数单位的性质 i叫做虚数单位，并规定：①i可与实数进行四则运算；②i2 1 ;这样方程x21就有解了，解 为x i或x i 2、复数的概念 (1)定义：形如a bi (a, b€ R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，a叫做，b叫做。全体复数所成的集合C叫做复数集。复数通常用字母z表示，即z a bi (a，b€ R) 对于复数的定义要注意以下几点： ①z a bi (a，b€ R)被称为复数的代数形式，其中bi表示b与虚数单位i相乘 ②复数的实部和虚部都是实数，否则不是代数形式 (2)分类： 例题：当实数m为何值时，复数(m 5m 6) (m2 3m)i是实数？虚数？纯虚数？ 二、复数相等 也就是说，两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚部分别相等 注意：只有两个复数全是实数，才可以比较大小，否则无法比较大小 例题：已知(x y 3) (x 4)i 0求x,y的值 三、共轭复数 a bi 与c di 共轭a c, b d(a,b,c,d R) z a bi的共轭复数记作z a bi，且z z a2b2 四、复数的几何意义 1、复平面的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。显然，实轴上的点

都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。 页脚内容

2、复数的几何意义 复数z a bi 与复平面内的点Z(a,b)及平面向量OZ (a,b)(a,b R)是一一对应关系(复数的实质 是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量) 相等的向量表示同一个复数 例题：(1)当实数m 为何值时，复平面内表示复数z (m 2 8m 15) (m 2 5m 14)i 的点 ①位于第三象限；②位于直线y x 上 (2) 复平面内AB (2,6)，已知CD//AB ，求CD 对应的复数 3、复数的模： 向量0Z 的模叫做复数z a bi 的模，记作|Z 或|a bi|，表示点(a,b)到原点的距离，即 z a bi| Va 2 b 2， z 若召 a bi ， z 2 c di ，则忆 z 2 |表示(a,b)到(c,d)的距离，即 |z ) z 2 | J(a c)2 ―(b —dp 例题：已知z 2 i ，求|z 1 i|的 值 五、复数的运算 (1)运算法则：设 Z 1 = a + bi ，z 2= c + di ， a ， b ， c ，d € R ① z ,九 a bi c di (a c) ( b d)i ② 召 z 2 (a bi) (c di) (ac bd) (bc ad)i (a bi)(c di) (ac bd) (bc ad)i ---------------------------- = (c di) (c di) c 2 d 2 (2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行 ?如图给出 的平行四边形0Z 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即=+ ,二一 六、常用结论 (1) i ，i 2 1，i 3 i ，i 4 1 求i n ，只需将n 除以4看余数是几就是i 的几次 例题：严 (2) (1 i)2 2i ，(1 i)2 2i ),1 3、3 4 1 '3 3 . (3) ( i ) 1 ，( i) 1 2 2 2 2 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“V”或“X” ) (1) 方程X 2 + x + 1 = 0没有解.( ) ③互 (a bi) Z 2 (c di)

高考复数知识点精华总结

1．复数的概念： （1）虚数单位i ； （2）复数的代数形式z=a+bi ，(a, b ∈R)； （3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。 2．复数集 整 数有 理 数实数(0)分 数复 数(,)无理数(无限不循环 小数)纯 虚 数(0)虚 数(0)非 纯 虚 数(0)b a bi a b R a b a ??????=????? +∈??? ?≠?≠??=?? 3．复数a+bi(a, b ∈R)由两部分组成，实数a 与b 分别称为复数a+bi 的实部与虚部，1与i 分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi 就是实数，当b ≠0时，a+bi 是虚数，其中a=0且b ≠0时称为纯虚数。 应特别注意，a=0仅是复数a+bi 为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。 4．复数的四则运算 若两个复数z1=a1+b1i ，z2=a2+b2i ， （1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i ； （2）减法：z1－z2=(a1－a2)+(b1－b2)i ； （3）乘法：z1·z2=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i ； （4）除法：11212211222222()()z a a b b a b a b i z a b ++-=+； （5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。 （6）特殊复数的运算： ① n i (n 为整数)的周期性运算； ②(1±i)2 =±2i ； ③ 若ω=-21 +23i ，则ω3=1，1+ω+ω2=0. 5．共轭复数与复数的模 （1）若z=a+bi ，则z a bi =-，z z +为实数，z z -为纯虚数(b ≠0).

复数概念及公式总结00820

数系的扩充和复数概念 1.虚数单位i:它的平方等于-1，即21i =- 2.i 与－1的关系:i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i ； 3.i 的周期性： 4.复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做 复数集，用字母C 表示复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈ 5.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；a ≠0且b ≠0时，z =bi 叫做非纯虚数的纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0. 5.复数集与其它数集之间的关系：N___Z___Q___R___C . 6.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ?a =c ，b =d 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小当两个复数不全是实数时不能比较大小 7.复平面、实轴、虚轴： 点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数 （1）实轴上的点都表示____________ （2）虚轴上的点都表示____________ （3）原点对应的有序实数对为(0，0) 设z 1=a +bi ，z 2=c +di (a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数， 8．复数z 1与z 2的加法运算律：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i . 9.复数z 1与z 2的减法运算律：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i .

复数概念及公式总结

复数概念及公式总结 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

数系的扩充和复数概念和公式总结 1.虚数单位i: i=- 它的平方等于-1，即21 2.i与－1的关系:i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－i 3.i的周期性：i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1 4.复数的定义：形如(,) +∈的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部全体 a bi a b R 复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示复数通常用字母z表示，即 =+∈ z a bi a b R (,) 5.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,) +∈，当且仅当b=0 a bi a b R 时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；a≠0且b≠0时，z=bi叫做非纯虚数的纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0. 5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C. 6.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di?a=c，b=d 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小当两个复数不全是实数时不能比较大小 7.复平面、实轴、虚轴： 点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数

复数知识点归纳及习题

复数 一．知识网络图 二．复数中的难点 (1)复数的向量表示法的运算.对于复数的向量表示有些学生掌握得不好，对向量的运算的几何意义的灵活掌握有一定的困难.对此应认真体会复数向量运算的几何意义，对其灵活地加以证明. (2)复数三角形式的乘方和开方.有部分学生对运算法则知道，但对其灵活地运用有一定的困难，特别是开方运算，应对此认真地加以训练. (3)复数的辐角主值的求法. (4)利用复数的几何意义灵活地解决问题.复数可以用向量表示，同时复数的模和辐角都具有几何意义，对他们的理解和应用有一定难度，应认真加以体会. 三．复数中的重点 (1)理解好复数的概念，弄清实数、虚数、纯虚数的不同点. (2)熟练掌握复数三种表示法，以及它们间的互化，并能准确地求出复数的模和辐角.复数有代数，向量和三角三种表示法.特别是代数形式和三角形式的互化，以及求复数的模和辐角在解决具体问题时经常用到，是一个重点内容. (3)复数的三种表示法的各种运算，在运算中重视共轭复数以及模的有关性质.复数的运算是复数的主要内容，掌握复数各种形式的运算，特别是复数运算的几何意义更是重点内容. （4）复数集中一元二次方程和二项方程的解法. 四．基础知识

1．复数的定义：设i 为方程x 2=-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C 来表示。 (1) z =a +bi ∈R ?b =0 (a,b ∈R )?z=z ? z 2≥0； (2) z =a +bi 是虚数?b ≠0(a ,b ∈R )； (3) z =a+b i 是纯虚数?a =0且b ≠0(a,b ∈R )?z ＋z ＝0（z≠0）?z 2<0； (4) a +b i=c +di ?a =c 且c =d (a,b,c,d ∈R )； 2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式 3．共轭与模，若z=a+bi ，（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数。模与共轭的性质有：（1） 2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ?=?；（3）2||z z z =?；（4）2 12 1 z z z z =???? ??；（5）||||||2121z z z z ?=?；（6）| || ||| 2121z z z z = ；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2+|z 1-z 2|2=2|z 1|2+2|z 2|2；（9）若|z|=1，则z z 1= 。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则； 复数的代数形式及其运算：设z 1= a + bi , z 2 = c + di (a,b,c,d ∈R )，则： (1) z 1±z 2 = (a + b )± (c + d )i ； (2) z 1.z 2 = (a +bi )·(c +di )＝（ac -bd ）+ (ad +bc )i ； (3) z 1÷z 2 = =-+-+))(())((di c di c di c bi a i d c ad bc d c bd ac 2 222+-+++ (z 2≠0) ; 几个重要的结论： (1) i i 2)1(2±=±(2) i 性质：T=4；i i i i i i n n n n -=-===+++3424144,1,,1；;03424144=++++++n n n i i i i (3) z z z z z 1 11=?=?=。；⑷;11;11i i i i i i -=+-=-+ 运算律：（1）);,())(3(;))(2(;2121N n m z z z z z z z z z m m m mn n m n m n m ∈=?==?+ 共轭的性质：⑴2121)(z z z z ±=± ；⑵2121z z z z ?= ；⑶2 121)( z z z z = ；⑷ z z =。 模的性质：⑴||||||||||||212121z z z z z z +≤±≤-；⑵||||||2121z z z z =；⑶| || ||| 2121z z z z = ；⑷

第10课时 复数的四则运算及模

第10课时 复数的四则运算及模 一、复习引入 已知：111222,z a b i z a b i =+=+ 1212(,,,)a a b b R ∈ 则12z z +=________;12z z -=________;12z z ?=________; 二、新授内容 1.复数(,)z a bi a b R =+∈的共轭复数记为z ，z a bi =-我们把实部相等、虚部相反的两个复数称为共轭复数。,,z a bi z a bi =+=-_______z z ?=。 2.模的代数定义：||z = ，共轭复数具有相同的模 3.复数除法的定义： 把满足(c +di )(x +yi ) =a +bi (c +di ≠0) 的复数x +yi 叫做复数 a +bi 除以复数 c +di 的商, (其中a,b,c ,d,x,y 都是实数) 记为()()或 a bi a bi c di c di ++÷++ a bi c di +=+_____________.称为复数的实数化。 三、例题讲解 例1：(1) 123i i +=+___________ （2）2,(,)32x y i x y R i i + =+∈+-，则x=___________,y=____________. 归纳:___________________________. 例2：(1) 复数z 满足：(2)13i z i +=+，则z=__________. (2) 复数z 满足：2 34z i =+,则z=__________. 归纳：______________________________.

复数的乘方：实数集R 中正整数指数幂的运算律, 在复数集C 中仍然成立.即对任意的12,,z z z 及m,n ∈N*， （1）m n m n z z z +?=；（2）()m n m n z z ?=；（3）1212()n n n z z z z =? 探究i 的指数变化规律 ①234________;________;________;i i i === 你能发现规律吗？有怎样的规律？ ②4414243________;________;________;________;n n n n i i i i +++==== 例3：（1）222013(1)(1)i i i +--+ （2）2012 1() 1i i +- 例4：设1,2 2 i ω=-+ 求证：（1）210;ωω++=（2）3 1.ω= 归纳：_______________ 四、课外作业 班级____________姓名____________

复数概念及公式总结

复数概念及公式总结 1、虚数单位:它的平方等于-1，即 2、与－1的关系: 就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－ 3、的周期性：4n+1=i,4n+2=-1,4n+3=-i,4n= 14、复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示复数通常用字母z表示，即 5、复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；a≠0且b≠0时，z=bi叫做非纯虚数的纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0、5、复数集与其它数集之间的关系：NZQR C、6、两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小、如果两个复数都是实数，就可以比较大小当两个复数不全是实数时不能比较大小 7、复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴

实轴上的点都表示实数（1）实轴上的点都表示实数（2）虚轴上的点都表示纯虚数（3）原点对应的有序实数对为(0，0)设 z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数， 8、复数z1与z2的加法运算律： z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i、9、复数z1与z2的减法运算律：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i、 10、复数z1与z2的乘法运算律：z1z2= (a+bi)(c+di)=(ac －bd)+(bc+ad)i、 11、复数z1与z2的除法运算律：z1z2 =(a+bi)(c+di)=（分母实数化） 12、共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数通常记复数的共轭复数为。例如=3＋5i与=3－5i 互为共轭复数 13、共轭复数的性质（1）实数的共轭复数仍然是它本身（2）（3）两个共轭复数对应的点关于实轴对称 14、复数的两种几何意义：15几个常用结论点向量一一对应一一对应一一对应复数（1），（2）（3），（4） 16、复数的模： （5）复数的模（6）有关计算：⑴怎样计算？（先求n被4除所得的余数，）⑵是1的两个虚立方根，并且：3 复数集内的三角形不等式是：，其中左边在复数z

复数概念及公式总结

精品文档 数系的扩充和复数概念和公式总结 1. 虚数单位i: 它的平方等于-1，即i2i 2. i与一1的关系：i就是一1的一个平方根，即方程x2=—1的一个根，方程x2=—1的另一个根是一i 3. i 的周期性：i4n+1=i, i4n+2=-1, i 4n+3=-i, i4n=1 4. 复数的定义：形如a bi (a, b R)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部?全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示+复数通常用字母z表示，即卩z a bi(a,b R) 5. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数a bi(a,b R)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b€ R)是实数a；当b^0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且0时，z=bi 叫做纯虚数；a^0且b^0时，z=bi叫做非纯虚数的纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0. r Ao 一正实数怛j是实数彳上m 实数° 羊负实数 f—纯虚数bi I匚非纯虚数的譴数 5.复数集与其它数集之间的关系：NWZ丘QW RE C. 6.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们 就说这两个复数相等?如果a，b，c，d€ R，那么a+bi=c+di a=c，b=d 般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都

精品文档 复数Z a bi 的模Z Ja 2 b 2 (6) a bi a bi a 2 b 2 是实数，就可以比较大小+当两个复数不全是实数时不能比较大小+ 7. 复平面、实轴、虚轴： 点Z 的横坐标是a ,纵坐标是b ,复数z=a+bi(a 、b € R)可用点Z(a , b)表示，这 个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚 轴?实轴上的点都表示实数? (1) 实轴上的点都表示实数? (2) 虚轴上的点都表示纯虚数. (3) 原点对应的有序实数对为(0, 0) 设 z i =a+bi ，z 2=c+di(a 、b 、c 、d € R)是任意两个复数， 8. 复数 z i 与 z 2 的加法运算律：z i +z 2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 9. 复数 z i 与 z 2 的减法运算律：z i -z 2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 10. 复数 z i 与 z 2 的乘法运算律：z i ? z 2= (a+bi)(c+di)=(ac — bd)+(bc+ad)i. ac bd bc ad.八厂― ii 复数z i 与z 2的除法运算律：z i 十z 2 =(a+bi)* (c+di)= 222 2 i (分母头数化) c d c d I2.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互 为共轭复数?虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数? 通常记复数z 的共轭复数为z 。例如z =3+ 5i 与z =3 — 5i 互为共轭复数 I3.共轭复数的性质 (1) 实数的共轭复数仍然是它本身 — 2 — 2 (2) Z Z Z Z (3)两个共轭复数对应的点关于实轴对称 2 2 (1) 1 i 2i , (2) 1 i 2i 14.复数的两种几何意义: 15几个常用结论 点 Z(a,b) 向量OZ ——对应 16.复数的模: 1 . 1 i (3) i (4) 1 i 1 i (5) i 1 i 复数 Z a bi a,b R