人教A版高中数学必修四3.2《简单的三角恒等变换》导学案2

3.2 简单的三角恒等变换

1、会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明。

2、会推导半角公式,积化和差、和差化积公式(公式不要求记忆)。

3、进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。

(预习教材P139—P142)

复习:

Cos(α+β)=

Cos(α-β)=

sin(α+β)=

sin(α-β)=

tan(α+β)=

tan(α-β)=

sin2α=

tan2α=

cos2α=

二、新课导学

※探索新知

探究一:半角公式的推导

请同学们阅看p139例1.

.思考1、2α与α有什么关系?α与α/2有什么关系?进一步体会二倍角公式和半角公式的应用。

.思考2、半角公式中的符号如何确定?

思考3、二倍角公式和半角公式有什么联系?

.思考4、代数变换与三角变换有什么不同?

变式训练1:求证

sin tan 21cos 1cos tan 2sin α

α

αααα=

+-=

探究二:积化和差、和差化积公式的推导.

请同学们阅看p140例2。

.思考 1、两角和与差的正弦、余弦公式两边有什么特点?它们与例2在结构形式上有什么联系?

.思考2、在例2证明过程中,如果不用(1)的结果,如何证明(2)?

.

思考3、在例2证明过程中,体现了什么数学思想方法?

点评:在例2证明中用到了换元思想,(1)式是积化和差的形式,(2)式是和差化积的形式.

变式训练2:课本p142 2(2)、3(3)

探究三:三角函数式的变换。

请同学们阅看p140例3。

.思考1、例3的过程中应用了哪些公式?

.思考2、如何将形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数?并求y=asinx+bcosx 的周期,最大值和最小值.

变式3:已知函数x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=

(1)求)(x f 的最小正周期,

(2)当]2,

0[π∈x 时,求)(x f 的最小值及取得最小值时x 的集合

※ 典型例题

例1.已知135sin =

α,且α在第二象限,求2

tan α的值。

例2:.54sin ,20=<<απ

α已知 的值求αααα2cos cos 2sin sin )1(22++;的值求)45tan()2(πα-.

例3. 如图,已知OPQ 是半径为1,圆心角为3π

的扇形,C 是扇形弧上的动点,ABCD 是扇形

的内接矩形.记∠COP =α,求当角α取何值时,矩形ABCD 的面积最大?并求出这个最大面积.

三、小结反思

常见的三角变形技巧有

①切割化弦;

②“1”的变用;

③统一角度,统一函数,统一形式等等.

).

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

※ 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分:

1.已知cos (α+β)cos (α-β)=3

1,则cos 2α-sin 2β的值为( ) A .-

32 B .-31 C .31 D .3

2 2.在△ABC 中,若sin A sin B =cos 22C

,则△ABC 是 A .等边三角形

B .等腰三角形

C .不等边三角形

D .直角三角形 3.sin α+sin β=

3

3(cos β-cos α),且α∈(0,π),β∈(0,π),则α-β等于( ) A .-

3π2 B .-3π C .3π D .3π2 4.sin20°cos70°+sin10°sin50°=_________.

1.已知α-β=3π2,且cos α+cos β=3

1,则cos (α+β)等于_________.

2.已知f (x )=-21+2

sin 225sin x

x ,x ∈(0,π). (1)将f (x )表示成cos x 的多项式;

(2)求f (x )的最小值.

人教版高中数学必修二全册导学案

必修2 第一章 §2-1 柱、锥、台体性质及表面积、体积计 算 【课前预习】阅读教材P1-7,23-28完成下面填空 1.棱柱、棱锥、棱台的本质特征 ⑴棱柱:①有两个互相平行的面(即底面),②其余各面(即侧面)每相邻两个面的公共边都互相平行(即侧棱都). ⑵棱锥:①有一个面(即底面)是,②其余各面(即侧面)是 . ⑶棱台:①每条侧棱延长后交于同一点, ②两底面是平行且相似的多边形。 2.圆柱、圆锥、圆台、球的本质特征 ⑴圆柱: . ⑵圆锥: . ⑶圆台:①平行于底面的截面都是圆, ②过轴的截面都是全等的等腰梯形, ③母线长都相等,每条母线延长后都与轴交于同一点. (4)球: . 3.棱柱、棱锥、棱台的展开图与表面积和体积的计算公式 (1)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图分别是 ①若干个小矩形拼成的一个, ②若干个, ③若干个 . (2)表面积及体积公式: 4.圆柱、圆锥、圆台的展开图、表面积和体积的计算公式 5.球的表面积和体积的计算公式【课初5分钟】课前完成下列练习,课前5分钟回答下列问题 1.下列命题正确的是() (A).有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。 (B)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱。 (C) 有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱。 (D)用一个平面去截棱锥,底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。 2.根据下列对于几何体结构特征的描述,说出几何体的名称: (1)由8个面围成,其中两个面是互相平行且全等的六边形,其他面都是全等的矩形。 (2)一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形。 3.五棱台的上下底面均是正五边形,边长分别是 6cm和16cm,侧面是全等的等腰梯形,侧棱长是13cm,求它的侧面面积。 4.一个气球的半径扩大a倍,它的体积扩大到原来的几倍? 强调(笔记): 【课中35分钟】边听边练边落实 5 .如图:右边长方体由左边的平面图形围成的

新人教A版必修4高中数学正切函数的图像与性质学案

高中数学 正切函数的图像与性质学案 新人教A 版必修4 【学习目标】掌握正切函数的图象和性质。 【重点难点】能正确应用正切函数的图象性质解决有关问题。 【学习内容】 问题情境导学 一、正切函数图像的画法 复习1、正、余弦函数的图象是通过什么方法作出的? 复习2、正、余弦函数的基本性质包括哪些内容? 预习1、正切函数tan y x = 的最小正周期为______ 2、正切函数tan y x =的定义域为____________;值域为 _____________。 3、正切函数tan y x =在每一个开区间________ __内为增函 数。 4、正切函数tan y x =为___________函数。(填:奇或偶) ?想一想(1)我们知道做周期函数的图像一般先做出长度为一个周 期的区间上的图像,然后向左、右扩展,这样就可以得到它在整个定义域上的图像,那我们先选择哪一个区间来研究正切函数呢? (2)我们用五点法能简便地画出正弦、余弦函数的图像的简图,你 能类似地画出函数tan y x =,)2,2(π π-∈x 的简图吗? 看一看(1)正切函数tan y x =,)2,2(π π-∈x 的图像画法 ①作出直角坐标系,并在直角坐标系y 轴左侧作单位圆。

②把单位圆右半圆分成8等份,分别在单位圆中作出正切线。 ③描点(横坐标是一个周期的8等分点,纵坐标是相应正切线) ④连线。 (2)函数tan y x =,z k k x R x ∈+≠∈,2,π π的图像画法 ①根据正切函数的周期性,只要把上述图像向左、右扩展,就得到正切函数tan y x =,z k k x R x ∈+≠∈,2,π π的图像,我们把它叫做正切曲线。 ②正切函数的简图可以用三点两线法,这里的三点分别为()0,πk ,()1,4ππ+k ,)1,4(--ππk ,两线为2 π π±=k x , x y π23- π 2π- 2π π2 3 0 y x 2π- 2π

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第一章 立体几何初步 一、知识结构 二、重点难点 重点:空间直线,平面的位置关系。柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式。平行、垂直的定义,判定和性质。 难点:柱、锥、台、球的结构特征的概括。文字语言,图形语言和符号语言的转化。平行,垂直判定 与性质定理证明与应用。 第一课时 棱柱、棱锥、棱台 【学习导航】 学习要求 1.初步理解棱柱、棱锥、棱台的概念。掌握它们的形成特点。 2.了解棱柱、棱锥、棱台中一些常用 名称的含义。 3.了解棱柱、棱锥、棱台这几种几何 体简单作图方法 4.了解多面体的概念和分类. 【课堂互动】 自学评价 1. 棱柱的定义: 表示法: 思考:棱柱的特点:. 【答】 2. 棱锥的定义: 表示法: 思考:棱锥的特点:. 【答】 3.棱台的定义: 表示法: 思考:棱台的特点:. 【答】

4.多面体的定义: 5.多面体的分类: ⑴棱柱的分类 ⑵棱锥的分类 ⑶棱台的分类 【精典范例】 例1:设有三个命题: 甲:有两个面平行,其余各面都是平行四边形所围体一定是棱柱; 乙:有一个面是四边形,其余各面都三角形所围成的几何体是棱锥; 丙:用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥,得到的几何体叫棱台。 以上各命题中,真命题的个数是(A)A.0 B. 1 C. 2 D. 3 例2:画一个四棱柱和一个三棱台。 【解】四棱柱的作法: ⑴画上四棱柱的底面----画一个四边形; ⑵画侧棱-----从四边形的每一个顶点画平行且相等的线段; ⑶画下底面------顺次连结这些线段的另一个端点 互助参考7页例1 ⑷画一个三棱锥,在它的一条侧棱上取一点,从这点开始,顺次在各个侧面画出与底面平行的线段,将多余的线段檫去. 互助参考7页例1 点评:(1)被遮挡的线要画成虚线(2)画台由锥截得 思维点拔: 解柱、锥、台概念性问题和画图需要:(1).准确地理解柱、锥、台的定义(2).灵活理解柱、锥、台的特点: 例如:棱锥的特点是:⑴两个底面是全等的多边形;⑵多边形的对应边互相平行;⑶棱柱的侧面都是平行四边形。反过来,若一个几何体,具有上面三条,能构成棱柱吗?或者说,上面三条能作为棱柱的定义吗? 答:不能. 点评:就棱柱来验证这三条性质,无一例外,能不能找到反例,是上面三条能作为棱柱的定义的关键。 自主训练一 1. 如图,四棱柱的六个面都是平行四边形。这个四棱柱可以由哪个平面图形按怎样的方向平移得到? 答由四边形ABCD沿AA1方向平移得到. 2.右图中的几何体是不是棱台?为什么? 答:不是,因为四条侧棱延长不交于一点.3.多面体至少有几个面?这个多面体是怎样的几何体。 答:4个面,四面体. 第二课时圆柱、圆锥、圆台、球 【学习导航】 知识网络 A C B D A1 C1 B1 D1

(共137页)苏教版高一数学必修二〖全册〗精品教学案汇总

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高一数学教学案 必修2 棱柱、棱锥和棱台 班级 姓名 目标要求: 1、了解并掌握棱柱、棱锥和棱台的概念,弄清它们之间的关系及区别; 2、能画出简单的棱柱、棱锥和棱台的空间图形; 3、明确多面体的概念. 重点难点 对几何体直观图的认识及棱柱、棱锥和棱台的定义、几何特征的理解. 典例剖析 例1、仔细观察下列图形, 并将图的序号填入横线内: (1)棱柱有 ;(2)棱锥有 ;(3)棱台有 ;(4)多面体有 . 例2、画一个四棱柱和一个三棱台. F E B C D

例3、(1)以四棱柱的侧棱为对边的平行四边形有______________. (2)某棱台的上下底面对应边之比为1:2,则上下底面面积之比为. (3)一个骰子由1~6六个数字组成,请你根据图中三种状态所显示的数字,推出“?”处的数字是____________. 例4、下列三个命题正确吗?为什么? (1)有两个面平行, 其余各个面都是平行四边形的几何体叫做棱柱; (2)有一个面是多边形, 其余各个面都是三角形的几何体是棱锥; (3)有两个面平行, 其它各个面都是梯形的几何体是棱台. 学习反思 1、熟练掌握棱柱、棱锥和棱台的定义,它们的几何特征分别是 ,并且知道它们相互转化过程; 2、对于几何体的类型的判断除了熟悉基本几何体的基本性质、特点外, 对于一些复杂的判 断还是要回归到定义中去判断. 课堂练习 1、棱柱的侧面是形, 棱锥的侧面是形, 棱台的侧面是形. 2、多面体至少有个面, 这个多面体是;六棱台是面体. 3、平行于棱柱侧棱的截面是什么图形?过棱锥顶点的截面是什么图形?请画图说明. 4、判断:(1)棱柱至多有四个面是矩形;(2)四棱锥是四面体; (3)有两个面平行且相似, 其它面是梯形的几何体是棱台.

高中数学必修二学案

§1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征 一、课前准备 (预习教材P2~ P4,找出疑惑之处) 引入:小学和初中我们学过平面上的一些几何图形如直线、三角形、长方形、圆等等,现实生活中,我们周围还存在着很多不是平面上而是“空间”中的物体,它们占据着空间的一部分,比如粉笔盒、足球、易拉罐等.如果只考虑这些物体的形状和大小,那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体.它们具有千姿百态的形状,有着不同的几何特征,现在就让我们来研究它们吧! 二、基础探究 1.观察下面的图片,请将这些图片中的物体分成两类,并说明分类的标准是什么? 图1 2.【研读课本】 (1)多面体的概念:叫多面体, 叫多面体的面,叫多面体的棱, 叫多面体的顶点。 ①棱柱:两个面,其余各面都是,并且每相邻两个四 边形的公共边都,这些面围成的几何体叫作棱柱 ②棱锥:有一个面是,其余各面都是的三角形,这些面 围成的几何体叫作棱锥 ③棱台:用一个棱锥底面的平面去截棱锥,, 叫作棱台。 (2)旋转体的概念: 叫旋转体,叫旋转体的轴。

①圆柱:所围成的 几何体叫做圆柱. ②圆锥:所围成的 几何体叫做圆锥. ③圆台:的部分叫 圆台. ④球的定义 三、能力探究 例1.(1)如图,观察四个几何体,其中判断正确的是() A.(1)是棱台 B.(2)是圆台 C.(3)是棱锥 D.(4)不是棱柱 (2)下列说法错误的是() A.多面体至少有四个面 B.九棱柱有9条侧棱,9个侧面,侧面为平行四边形 C.长方体、正方体都是棱柱 D.三棱柱的侧面为三角形 (3)下列命题中正确的是() A.棱台各侧棱的延长线交于一点 B.以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台 C.连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线 D.圆锥的侧面展开图为扇形,这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径 (4)下列几个命题中, ①两个面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台; ②有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台; ③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体; ④分别以矩形两条不等的边所在直线为旋转轴,将矩形旋转,所得到的两个圆柱是两个不同的圆柱. 其中正确的有__________个.() A.1 B.2 C.3 D.4 (5)下列说法中不正确的是() A 棱与侧棱是同一概念 B 三棱锥与四面体是同一概念 C四棱柱有4条体对角线 D 存在这样的棱锥,它的各个面都是直角三角形 (6)一个棱柱有10个顶点,所有的侧棱长的和为60 cm,则每条侧棱长为______cm. 例2有两个面互相平行,其余各面是平行四边形的几何体是棱柱吗?如果不是,请举例说明。

高中数学必修2全册导学案精编

高中数学必修二复习全册导学案

必修2 第一章 §2-1 柱、锥、台体性质及表面积、体积计 算 【课前预习】阅读教材P1-7,23-28完成下面填空1.棱柱、棱锥、棱台的本质特征 ⑴棱柱:①有两个互相平行的面(即底面),②其余各面(即侧面)每相邻两个面的公共边都互相平行(即侧棱都). ⑵棱锥:①有一个面(即底面)是,②其余各面(即侧面)是 . ⑶棱台:①每条侧棱延长后交于同一点, ②两底面是平行且相似的多边形。 2.圆柱、圆锥、圆台、球的本质特征 ⑴圆柱: . ⑵圆锥: . ⑶圆台:①平行于底面的截面都是圆, ②过轴的截面都是全等的等腰梯形, ③母线长都相等,每条母线延长后都与轴交于同一点. (4)球: . 3.棱柱、棱锥、棱台的展开图与表面积和体积的计算公式 (1)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图分别是 ①若干个小矩形拼成的一个, ②若干个, ③若干个 . (2)表面积及体积公式: 4.圆柱、圆锥、圆台的展开图、表面积和体积的计算公式 5.球的表面积和体积的计算公式【课初5分钟】课前完成下列练习,课前5分钟回答下列问题 1.下列命题正确的是() (A).有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。 (B)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱。 (C) 有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱。 (D)用一个平面去截棱锥,底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。 2.根据下列对于几何体结构特征的描述,说出几何体的名称: (1)由8个面围成,其中两个面是互相平行且全等的六边形,其他面都是全等的矩形。 (2)一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形。 3.五棱台的上下底面均是正五边形,边长分别是6cm和16cm,侧面是全等的等腰梯形,侧棱长是13cm,求它的侧面面积。 4.一个气球的半径扩大a倍,它的体积扩大到原来的几倍? 强调(笔记): 【课中35分钟】边听边练边落实 5.如图:右边长方体由左边的平面图形围成的是()(图在教材P8 T1 (3))

(新教材)人教A版高中数学必修第二册学案 统计导学案含答案

9.1随机抽样 考点学习目标核心素养 抽样调查 理解全面调查、抽样调查、总体、个体、 样本、样本量、样本数据等概念 数学抽象 简单随机抽样 理解简单随机抽样的概念,掌握简单随机 抽 样的两种方法:抽签法和随机数法 数学抽象、逻辑推理分层随机抽样 理解分层随机抽样的概念,并会解决相关 问题 数学抽象、逻辑推理 问题导学 预习教材P173-P187的内容,思考以下问题: 1.全面调查、抽样调查、总体、个体、样本、样本量、样本数据的概念是什么? 2.什么叫简单随机抽样? 3.最常用的简单随机抽样方法有哪两种? 4.抽签法是如何操作的? 5.随机数法是如何操作的? 6.什么叫分层随机抽样? 7.分层随机抽样适用于什么情况? 8.分层随机抽样时,每个个体被抽到的机会是相等的吗? 9.获取数据的途径有哪些? 1.全面调查与抽样调查 (1)对每一个调查对象都进行调查的方法,称为全面调查,又称普查W. (2)在一个调查中,我们把调查对象的全体称为总体,组成总体的每一个调查对象称为个体W. (3)根据一定的目的,从总体中抽取一部分个体进行调查,并以此为依据对总体的情况

作出估计和推断的调查方法,称为抽样调查W. (4)把从总体中抽取的那部分个体称为样本W. (5)样本中包含的个体数称为样本量W. (6)调查样本获得的变量值称为样本的观测数据,简称样本数据. 2.简单随机抽样 (1)有放回简单随机抽样 一般地,设一个总体含有N (N 为正整数)个个体,从中逐个抽取n (1≤n

高中数学人教B版必修二学案:2.2.3 两条直线的位置关系

2.2.3两条直线的位置关系 [学习目标] 1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标,能根据直线的一般式方程判定两条直线的位置关系,能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.进一步体会几何问题代数化的基本思想. [知识链接] 1.直线的倾斜角α的取值范围0°≤α<180°. 2.经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率k= y2-y1 x2-x1 . 3.直线方程的形式有点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式. [预习导引] 1.两条直线相交、平行与重合的条件 (1)两条直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0的位置关系, 可以用方程组 ?? ? ??A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0 的解的个数进行判断,也可用直线方程的系数进行判断,方法如下: 方程组的解位置关系 交点个 数 代数条件无解平行无交点 A1B2-A2B1=0且 B1C2-B2C1≠ 0(A2C1-A1C2≠0) 或 A1 A2= B1 B2≠ C1 C2 (A2B2C2≠0)

有唯一解 相交 有一个 交点 A 1 B 2-A 2B 1≠0 或A 1A 2 ≠B 1 B 2 (A 2B 2≠0) 有无数个解 重合 无数个 交点 A 1=λA 2, B 1=λB 2, C 1=λC 2(λ≠0)或A 1 A 2=B 1B 2 =C 1 C 2 (A 2B 2C 2≠ 0) (2)两条直线l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2的位置关系,也可用两直线的斜率和在y 轴上的截距来进行判断.具体判断方法如表所示. 位置关系 平行 重合 相交一般 相交垂直 图示 k ,b 满足 条件 k 1=k 2且b 1≠b 2 k 1=k 2且b 1=b 2 k 1≠k 2 k 1·k 2=-1 对坐标平面内的任意两条直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0和l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,有l 1⊥l 2?A 1A 2+B 1B 2=0. 如果B 1B 2≠0,则l 1的斜率k 1=-A 1B 1,l 2的斜率k 2=-A 2 B 2. 又可以得出:l 1⊥l 2?k 1k 2=-1. 要点一 直线的交点问题 例1 求经过原点,且经过直线2x +3y +8=0和x -y -1=0的交点的

苏教版高中数学必修二导学案答案

解析几何 2.1.1 直线的斜率 ? 2.11,,172 - 3. 4.3,3 5.180α?- 6.1 7.(1)m>1或m<-5; (2)m=-5; (3)-5

新人教版必修二高中数学《圆的标准方程》教学设计

高中数学 《圆的标准方程》 教学设计 新人教版必修二2 知识与技能:1、掌握圆的标准方程:根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程,能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径; 2、会用两种方法求圆的标准方程:(1)待定系数法;(2)利用几何性质 教学重点:圆的标准方程 教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法和几何性质求圆的标准方程。 教学过程: 情境设置: 问题:①圆的定义? 学生回忆所学知识:①圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合,确定圆的要素是圆心和半径。 问题:②如果把直线放在直角坐标系下,那么其对应的方程是二元一次方程,那么如果把一个圆放在坐标系下,其方程有什么特征?如何写出这个圆的所在的方程? 二、探索研究: 确定圆的基本条件为圆心和半径,设圆的圆心坐标为A(a,b),半径为r 。(其中a 、b 、r 都是常数,r>0)设M(x,y)为这个圆上任意一点,那么点M 满足的条件是(引导学生自己列出) P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件 r = ① 化简可得:222()()x a y b r -+-= ② 方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程。 总结出点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法: (1)2200()()x a y b -+-=2r ?点在圆上 (2)2200()()x a y b -+-<2r ?点在圆内 (3)2200()()x a y b -+->2r ?点在圆外 三、知识应用与解题研究 (一)练习 1、指出下列方程表示的圆心坐标和半径: (1) 222=+y x ; (2) 5)1()3(22=-+-y x ; (3)222)1()2(a y x =+++(0≠a )。

高中数学必修2全部优秀教案设计

第四章《圆与方程》全章备课 教材分析:本章在第三章直线与方程的基础上,在直角坐标系中建立圆的方程,并通过圆的方程研究直线与圆、圆与圆的位置关系。在直角坐标系中建立几何对象的方程,并通过方程研究几何对象,这是研究几何问题的重要方法,通过坐标系把点与坐标、曲线与方程联系起来,实现空间形式与数量关系的结合,坐标法是贯穿本章的灵魂,在教学中要让学生充分的感受体验。 教学目标: 1、知识与技能:(1)掌握知识结构与联系,进一步巩固、深化所学知识; (2)通过对知识的梳理,提高学生的归纳知识和综合运用知识的能力。 2、过程与方法:利用框图对本章知识进行系统的小结,直观、简明再现所学知识,化抽象为直观,易于识记,同时凸现数学知识的发展和联系。 3、情感态度与价值观:通过知识的整合、梳理,理会空间点、线、面间的位置关系及其互相联系,进一步培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。 教学重点:各知识点间的网络关系。 难点:在空间如何实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化。 教学过程 (一)整合知识,发展思维 1、圆的方程及其特点: (1)标准方程:2 2 2 ()()x a y b r -+-= (2)一般方程:022 =++++F Ey Dx y x (042 2>-+F E D ) x 2和y 2的系数相同,且不等于0;没有xy 这样的二次项。 (3)圆的一般方程是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显;圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。 (4)圆的标准方程与一般方程可以相互转化。 2、位置关系: (1)点与圆的位置关系:

2200()()x a y b -+->2r ,点在圆外;2200()()x a y b -+-=2r ,点在圆上; 2200()()x a y b -+-<2r ,点在圆内。 (2)直线与圆的位置关系 方法一:直线与圆有无公共点,等价于它们的方程组成的方程组有无实数解。方程有几组解,直线与圆就有几个公共点;方程组没有实数解,直线与圆就没有公共点。 方法二:判断圆C 的圆心C 到直线的距离与圆的半径的关系: (1)当r d >时,直线l 与圆C 相离;——求圆上任意一点到直线的距离的最值; (2)当r d =时,直线l 与圆C 相切;——求圆的切线方程; (3)当r d <时,直线l 与圆C 相交;——求弦长。 (2)圆与圆的位置关系 方法一:圆与圆有无公共点,等价于它们的方程组成的方程组有无实数解。方程有几组解,圆与圆就有几个公共点;方程组没有实数解,圆与圆就没有公共点。 方法二:依据圆心距l = |C 1C 2|与两半径长的和21r r +或两半径的差的绝对值||21r r -的大小关系,判断两圆的位置关系: (1)当21r r l +>时,圆1C 与圆2C 相离;(2)当21r r l +=时,圆1C 与圆2C 外切; (3)当<-||21r r 21r r l +<时,圆1C 与圆2C 相交; (4)当||21r r l -=时,圆1C 与圆2C 内切;(5)当||21r r l -<时,圆1C 与圆2C 内含。 3、用坐标法解决几何问题的步骤: 第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题; 第二步:通过代数运算,解决代数问题; 第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论。 4、空间直角坐标系的建立,空间两点间的距离公式。 (二)应用举例,深化巩固 例1、一圆与y 轴相切,圆心在直线x – 3y = 0上,且直线y = x 截圆所得弦长为72,

高中数学必修4全套学案

第一章三角函数 [基础自学] 一、角的概念 1.角的概念 (1)角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. (2)角的表示 顶点:用O表示; 始边:用OA表示,用语言可表示为角的始边; 终边:用OB表示,用语言可表示为角的终边. 2.角的分类 按旋转方向可将角分为如下三类:

1.象限角:若角的顶点在原点,角的始边与x轴非负半轴重合,则角的终边在第几象限,就称这个角是第几象限角. 2.轴线角:若角的终边在坐标轴上,则这个角不属于任何象限. 三、终边相同的角 设α表示任意角,所有与角α终边相同的角,包括α本身构成一个集合,这个集合可记为{β|β=α+k·360°,k∈Z}.[自我小测] 1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)研究终边相同的角的前提条件是角的顶点在坐标原点.() (2)锐角是第一象限的角,但第一象限的角不一定是锐角.() (3)象限角与终边落在坐标轴上的角表示形式是唯一的.() 提示:(1)×(2)√(3)× 2.做一做 (1)下列各组角中,终边不相同的是() A.60°与-300°B.230°与950° C.1050°与-300°D.-1000°与80° 答案 C (2)将-885°化为α+k·360°(0°≤α<360°,k∈Z)的形式是________. 答案195°+(-3)×360°

课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU 1 终边相同的角之间有什么关系? 提示:与α终边相同的角,可表示为β=k·360°+α(k∈Z),即两角相差360°的整数倍. 2 如何表示终边在坐标轴上的角和象限角? 提示:终边在x轴非负半轴上的角:α=k·360°(k∈Z); 终边在y轴上的角:α=90°+k·180°(k∈Z); 第二象限角:90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z). 题型一正确理解角的概念 例1下列结论: ①锐角都是第一象限角; ②第一象限角一定不是负角; ③第二象限角是钝角; ④小于180°的角是钝角、直角或锐角. 其中正确的序号为________(把正确结论的序号都写上). [解析]①锐角是大于0°且小于90°的角,终边落在第一象限,故是第一象限角,所以①正确; ②-330°角是第一象限角,但它是负角,所以②不正确; ③480°角是第二象限角,但它不是钝角,所以③不正确; ④0°角小于180°,但它既不是钝角,也不是直角或锐角,故④不正确. [答案]① 角的概念的理解 正确解答角的概念问题,关键在于正确理解象限角与锐角、直角、

高中数学必修二全套教案设计

课题:柱、锥体的结构特征 教学目标: 通过实物模型,观察大量的空间图形,认识柱体、锥体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. 教学重点:让学生感受大量空间实物及模型,概括出柱体、锥体的结构特征. 教学难点:柱、锥的结构特征的概括. 教学过程: 一、新课导入: 在现实生活中,我们的周围存在着各种各样的物体,它们具有不同的几何形状。由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体。 下面请同学们观察课本P2图1.1-1的物体,它们具有什么样的几何结构特征?你能对它们进行分类吗?分类的依据是什么? 学生观察思考,最后归类总结。 上图中的物体大体可分为两大类: (一)由若干个平面多变形围成的几何体叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面。相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 (二)由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体,叫做旋转体,这条定直线叫做旋转体的轴。 这节课我们主要学习多面体——柱、锥的结构特征。 二、讲授新课: 1. 棱柱的结构特征: 请同学们根据刚才的分类,再对比一下图 1.1-1中(2)(5)(7)(9)中的几何体,并寻找它们的共同特征。(师生共同讨论,总结出棱柱的定义及其相关概念) (1)定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平 行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 (2)棱柱的有关概念:(出示右图模型,边对照模型边介绍) 棱柱中,两个互相平行的面叫做棱柱的底面(简称底),其余各面叫做棱柱的侧面,相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱,侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。 (3)棱柱的分类:按底面的多边形的边数分,有三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 (4)棱柱的表示 用底面各顶点的字母表示,如右图的六棱柱可表示为“棱柱''''''F E D C B A ABCDEF ” 思考1:有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是不是棱柱?

高中数学必修二《2.1.1平面》教学设计

2.1.1 平面 东莞市南城中学陈立 1.内容和内容解析 (1)内容 《2.1.1平面》是人教A版《数学》必修二的第二章第一节,教学内容安排一个课时,主要内容是平面的描述性概念及三个公理。 (2)内容解析 平面是最基本的几何概念,教材以课桌面、黑板面、海平面等为例对它加以描述而不定义。平面的基本性质即公理1、公理2、公理3,是研究立体图形的理论基础,也是进一步推理的出发点和根据。其中公理1可以用来判断直线或者点是否在平面内;公理2用来确定一个平面,判断两平面重合,或者证明点、线共面;公理3用来判断两个平面相交,证明点共线或者线共点的问题。平面的基本性质在高考中一般以选择和填空题型为主。 学生在第一章的学习过程中,经历了对立体图形的整体把握,这节课以学生熟知的长方体为载体,引出本节课的主要内容,拓展学生已有的平面几何观念,帮助学生观念逐步从平面转向空间。因此,本节课的教学重点是使学生了解平面的描述性概念,了解平面的表示方法和画法;理解平面的基本性质即三个公理,会用符号语言表示图形中点、直线、平面之间的关系。 2.目标和目标解析 (1)目标 根据本节课的教学内容、特点及教学大纲对学生的要求,结合学生现有的知识水平和理解水平,确定本节课的教学目标如下: ①了解平面的描述性概念; ②了解平面的表示方法和基本画法; ③理解公理1、公理2、公理3; ④能正确地用数学语言表示点、直线、平面以及它们之间的关系。 ⑤感知数学语言的美,激发学习兴趣。 (2)目标解析 通过学生熟知的正方体、生活中的实例使学生对平面有感性的、初步的认识,借助学生已有的直线的描述性概念,通过类比让学生体验获得平面的描述性概念的思维过程。在学生了解平面的描述性概念以后,首先给出平面的表示方法,然后类比画直线的方式,从“直观性”角度给出平面的画法。尽管平面的描述性概念、平面的表示方法和基本画法这些内容不难,但是要让学生理解这些知识的本质还是有一定难度,没办法也没有必要从更深层次理解这些知识点,因此,将这些内容定位为了解。平面的三个公理,是本节课的重点内容,要求学生充分重视,并且能够理解这些知识点。通过文字语言的严谨、图形语言的直观和符号语言的简洁以及三种语言的相互转化使学生体会数学的美,提高学生的学习兴趣。让学生认识到我们生活的世界就是一个三维空间,进而激发学生的求知欲。 3.教学问题诊断分析 本节课是一节较为抽象的几何概念课。学生了解平面的无限延展性可能有难度,因此,在教学时一定要让学生多感受,多举例。学生不好接受为什么通常用平行四边形表示水平放置的平面,教学中要引导让学生通过观察,体会用平行四边形表示水平放置的平面的“直观性”。三个公理是研究立体几何的理论基础,也是以后论证推理的逻辑依据,学生容易掌握文字语言、图形语言,但符号语言较难掌握,教学中可适当安排一些问题让学生用符号语言规范的完成表达。 基于上述分析,本节课教学难点是理解三个公理以及用符号语言规范的完成对问题的表示。 4.教学支持条件分析 立体几何教具,多媒体,直尺。 5.教学过程设计

人教版高中数学必修5全册导学案

§1.1.1 正弦定理 1. 掌握正弦定理的内容; 2. 掌握正弦定理的证明方法; 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题. CB 及∠B ,使边AC 绕着 顶点C 转动. 思考:∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系? 显然,边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而 .能否用一个等式把这种关系精确地表示出来? 二、新课导学 ※ 学习探究 探究1:在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等式关系. 如图,在Rt ?ABC 中,设BC =a ,AC =b ,AB =c , 根据锐角三角函数中正弦函数的定义, 有sin a A c =,sin b B c =,又sin 1c C c ==, 从而在直角三角形ABC 中,sin sin sin a b c A B C == . ( 探究2:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: 当?ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是 CD ,根据任意角三角函数的定义, 有CD =sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = , 同理可得sin sin c b C B = , 从而sin sin a b A B =sin c C =. 类似可推出,当?ABC 是钝角三角形时,以上关系式仍然成立.请你试试导. 新知:正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的 的比相等,即 sin sin a b A B = sin c C =. 试试: (1)在ABC ?中,一定成立的等式是( ) . A .sin sin a A b B = B .cos cos a A b B = C . sin sin a B b A = D .cos cos a B b A = (2)已知△ABC 中,a =4,b =8,∠A =30°,则∠B 等于 . [理解定理] (1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数k 使sin a k A =, ,sin c k C =; (2)sin sin a b A B =sin c C =等价于 ,sin sin c b C B =,sin a A =sin c C . (3)正弦定理的基本作用为: ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如sin sin b A a B =; b = . ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值, 如sin sin a A B b =;sin C = . (4)一般地,已知三角形的某些边和角,求其它 的边和角的过程叫作解三角形. ※ 典型例题 例1. 在ABC ?中, 已知45A =,60B =,42a =cm ,解三角形.

人教版高中数学必修二第二章第1节《平面》教学设计

2.1.1 平面教学设计 1.内容和内容解析 《2.1.1平面》是人教A版《数学》必修二的第二章第一节,教学内容安排一个课时,主要内容是平面的描述性概念及三个公理。 平面是最基本的几何概念,教材以课桌面、黑板面、海平面等为例对它加以描述而不定义。平面的基本性质即公理1、公理2、公理3,是研究立体图形的理论基础,也是进一步推理的出发点和根据。其中公理1可以用来判断直线或者点是否在平面内;公理2用来确定一个平面,判断两平面重合,或者证明点、线共面;公理3用来判断两个平面相交,证明点共线或者线共点的问题。平面的基本性质在高考中一般以选择和填空题型为主。 学生在第一章的学习过程中,经历了对立体图形的整体把握,这节课以学生熟知的长方体为载体,引出本节课的主要内容,拓展学生已有的平面几何观念,帮助学生观念逐步从平面转向空间。因此,本节课的教学重点是使学生了解平面的描述性概念,了解平面的表示方法和画法;理解平面的基本性质即三个公理,会用符号语言表示图形中点、直线、平面之间的关系。 2.目标和目标解析 (1)目标 根据本节课的教学内容、特点及教学大纲对学生的要求,结合学生现有的知识水平和理解水平,确定本节课的教学目标如下: ①了解平面的描述性概念; ②了解平面的表示方法和基本画法; ③理解公理1、公理2、公理3; ④能正确地用数学语言表示点、直线、平面以及它们之间的关系。 ⑤感知数学语言的美,激发学习兴趣。 (2)目标解析 通过学生熟知的正方体、生活中的实例使学生对平面有感性的、初步的认识,借助学生已有的直线的描述性概念,通过类比让学生体验获得平面的描述性概念的思维过程。在学生了解平面的描述性概念以后,首先给出平面的表示方法,然后类比画直线的方式,从“直观性”角度给出平面的画法。尽管平面的描述性概念、平面的表示方法和基本画法这些内容不难,但是要让学生理解这些知识的本质还是有一定难度,没办法也没有必要从更深层次理解这些知识点,因此,将这些内容定位为了解。平面的三个公理,是本节课的重点内容,要求学生充分重视,并且能够理解这些知识点。通过文字语言的严谨、图形语言的直观和符号语言的简洁以及三种语言的相互转化使学生体会数学的美,提高学生的学习兴趣。让学生认识到我们生活的世界就是一个三维空间,进而激发学生的求知欲。 3.教学问题诊断分析 本节课是一节较为抽象的几何概念课。学生了解平面的无限延展性可能有难度,因此,在教学时一定要让学生多感受,多举例。学生不好接受为什么通常用平行四边形表示水平放置的平面,教学中要引导让学生通过观察,体会用平行四边形表示水平放置的平面的“直观性”。三个公理是研究立体几何的理论基础,也是以后论证推理的逻辑依据,学生容易掌握文字语言、图形语言,但符号语言较难掌握,教学中可适当安排一些问题让学生用符号语言规范的完成表达。 基于上述分析,本节课教学难点是理解三个公理以及用符号语言规范的完成对问题的表示。 4.教学支持条件分析 立体几何教具,多媒体,直尺。

2018年人教版高中数学必修二全册导学案精编

人教版高中数学必修二全册导学案 目录 第一章第一节柱锥台球的结构特征第一课时 (1) 第一章第一节柱锥台球的结构特征第二课时 (3) 第一章第二节空间几何体的三视图和直观图第一课时 (6) 第一章第二节空间几何体的三视图和直观图第二课时 (11) 第一章第三节球的表面积与体积 (15) 第一章第三节柱体锥体台体的表面积 (20) 第一章第三节柱体锥体台体的体积 (25) 第一章空间几何体复习 (30) 第二章第一节空间中平面与平面之间的位置关系 (34) 第二章第一节空间中直线与平面之间的位置关系 (39) 第二章第一节空间中直线与直线之间的位置关系 (44) 第二章第一节两条直线平行与垂直的判定 (49) 第二章第一节平面 (54) 第二章第二节平面与平面平行的判定 (59) 第二章第二节直线与平面平行的判定 (64) 第二章第二节直线与平面平面与平面平行的性质 (70) 第二章第三节平面与平面垂直的判定 (75) 第二章第三节平面与平面垂直的性质 (82) 第二章第三节直线与平面垂直的判定 (87) 第二章第三节直线与平面垂直的性质 (94) 第二章空间点直线平面之间的位置关系复习 (99) 第三章第一节倾斜角与斜率 (104) 第三章第二节直线的一般式方程 (109) 第三章第二节直线的点斜式方程 (114) 第三章第二节直线的两点式方程 (116) 第三章第三节点到直线的距离两条平行直线间的距离 (121) 第三章第三节两点间的距离 (125) 第三章第三节两条直线的交点坐标 (129) 第三章直线与方程复习 (134) 第四章第一节圆的一般方程 (139) 第四章第一节圆的标准方程 (144) 第四章第二节圆与圆的位置关系 (149) 第四章第二节直线与圆的方程应用 (154) 第四章第二节直线与圆的位置关系 (159) 第四章第三节空间两点间距离 (164) 第四章第三节空间直角坐标系导学精要 (169) 第四章直线与圆的方程复习 (174)

人教A版高中数学必修二全册全册导学案

人教A版高中数学必修二 全册精品导学案

高中数学必修导学案 §1.1 空间几何体的结构 【使用说明及学法指导】 1.结合问题导学自已复习课本必修2的P2页至P4页,用红色笔勾画出疑惑点;独立完成探究题,并总结规律方法。 2.针对问题导学及小试牛刀找出的疑惑点,课上讨论交流,答疑解惑。 3. 感受空间实物及模型,增强学生直观感知;能根据几何结构特征对空间物体进行分类; 4.理解多面体的有关概念;会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征. 5. 在科学上没有平坦的道路,只有不畏劳苦,敢于沿着陡峭山路攀登的人才有希望达到光辉的顶点。 【重点难点】重点是棱柱、棱锥、棱台结构特征.难点是棱柱、棱锥、棱台的结构特征 一【问题导学】 探索新知 探究1:几何体的相关概念 (1)预习课本第2页的观察部分,试着将所给出的16幅图片进行

分类,并说明分类依据。 (2)空间几何体的概念: (3 探究2新知1: (1)多面体:(2)多面体的面:(3)多面体的棱:(4 指出右侧几何体的面、棱、顶点 探究2:旋转体的相关概念 新知2: 旋转体 旋转体的轴 探究31、 棱柱: 2、棱柱的分类: (1)按侧棱及底面垂直及否,分为: (2)按底面多边形的边数,分为: 注:底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。 3、棱柱的表示: 4、补充:平行六面体——底面是平行四边形的四棱柱 探究41、棱锥:

2、棱锥的分类: 注:如果一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的射影是底面的中心,这样的棱锥是正棱锥. 3、棱锥的表示: 探究5:(三)棱台 1、棱台: 2、棱台的分类: 3、棱台的表示: 二【小试牛刀】 1. 一个多边形沿不平行于矩形所在平面的方向平移一段距离可以形成(). A.棱锥 B.棱柱 C.平面 D.长方体 2. 棱台不具有的性质是(). A.两底面相似 B.侧面都是梯形 C.侧棱都相等 D.侧棱延长后都交于一点 三【合作、探究、展示】 例1、根据右边模型,回答下列问题: (1)观察长方体模型,有多少对平行平面?能作为 棱柱底面的有多少对? (2) 如右图,长方体'''' 中被截去一部 ABCD A B C D 分,其中'' EH A D。问剩下的几何体是什么?截 //

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