2018版高考数学一轮复习第七章不等式第3讲二元一次不等式组与简单的线性理
第3讲 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题
一、选择题
1．不等式x －2y ＞0表示的平面区域是( )．
解析 将点(1,0)代入x －2y 得1－2×0＝1＞0.
答案 D
2．设实数x ，y 满足不等式组????? x ＋2y －5>0，2x ＋y －7>0，
x ≥0，y ≥0.
若x ，y 为整数，则3x ＋4y 的最小值是( )．
A ．14
B ．16
C ．17
D ．19
解析 线性区域边界上的整点为(3,1)，因此最符合条件的整点可能为(4,1)或(3,2)，对于点(4,1)，3x ＋4y ＝3×4＋4×1＝16；对于点(3,2)，3x ＋4y ＝3×3＋4×2＝17，因此3x ＋4y 的最小值为16.
答案 B
3．若不等式组
????? x －y ＋5≥0，y ≥a ，
0≤x ≤2
表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是
( )． A ．(－∞，5)
B ．[7，＋∞)
C ．[5,7)
D ．(－∞，5)∪[7，＋∞) 解析 画出可行域，知当直线y ＝a 在x －y ＋5＝0与y 轴的交点(0,5)和x －y ＋5＝0与x ＝2的交点(2,7)之间移动时平面区域是三角形．故5≤a <7.
答案 C
4．设实数x ，y 满足条件????? 4x －y －10≤0，x －2y ＋8≥0，
x ≥0，y ≥0，
若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0， b ＞0)的最大值为12，则2a ＋3b
的最小值为( )．
A.256
B.83
C.113 D ．4
解析 由可行域可得，当x ＝4，y ＝6时，目标函数z ＝ax ＋by 取得最大值，∴4a ＋6b
＝12，即a 3＋b 2＝1.∴2a ＋3b ＝? ????2a ＋3b ·? ????a 3＋b 2＝136＋b a ＋a b ≥136＋2＝256
. 答案 A
5．实数x ，y 满足????? x ≥1，y ≤a a >1 ，
x －y ≤0，
若目标函数z ＝x ＋y 取得最大值4，则实数a 的值为
( )． A ．4 B ．3 C ．2
D.32 解析 作出可行域，由题意可知可行域为△
ABC 内部及边界，y ＝－x ＋z ，则z 的几何意
义为直线在y 轴上的截距，将目标函数平移
可知当直线经过点A 时，目标函数取得最大
值4，此时A 点坐标为(a ，a )，代入得4＝a
＋a ＝2a ，所以a ＝2.
答案 C
6．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产
甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千
克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B
原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是 ( )．
A ．1 800元
B ．2 400元
C ．2 800元
D ．3 100元
解析 设某公司生产甲产品x 桶，生产乙产品y 桶，获
利为z 元，则x ，y 满足的线性约束条件为
????? x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0且y ∈Z ，y ≥0且y ∈Z ，目标函数z ＝300x ＋400y .
作出可行域，如图中四边形OABC 的边界及其内部整点．作直线l 0：3x ＋4y ＝0，平移直线l 0经可行域内点B 时，z 取最大值，由????? 2x ＋y ＝12，x ＋2y ＝12，得B (4,4)
，满足题意，所以
z max ＝4×300＋4×400＝2 800.
答案 C
二、填空题
7．若x ，y 满足约束条件????? x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，
x ＋3y －3≥0，则z ＝3x －y 的最小值为________．
解析 画出可行域，如图所示，将直线y ＝3x
－z 移至点A (0,1)处直线在y 轴上截距最大，
z min ＝3×0－1＝－1.
答案 －1
8．若x ，y 满足约束条件? ? x ≥0，
x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，
则x
－y 的取值范围是________．
解析 记z ＝x －y ，则y ＝x －z ，所以z 为直线y ＝x －z 在y
轴上的截距的相反数，画出不等式组表示的可行域如图中△
ABC 区域所示．结合图形可知，当直线经过点B (1,1)时，x －y
取得最大值0，当直线经过点C (0,3)时，x －y 取得最小值－
3.
答案 [－3,0]
9．设实数x 、y 满足????? x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，
2y －3≤0，则y x
的最大值是________．
解析 不等式组确定的平面区域如图阴影部分．
设y x ＝t ，则y ＝tx ，求y x 的最大值，即求y ＝tx 的
斜率的最大值．显然y ＝tx 过A 点时，t 最大．
由????? x ＋2y －4＝0，2y －3＝0，解得A ? ??
??1，32. 代入y ＝tx ，得t ＝32.所以y x 的最大值为32
. 答案 32
10．设m >1，在约束条件????? y ≥x ，y ≤mx ，
x ＋y ≤1
下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取
值范围为________． 解析 目标函数z ＝x ＋my 可变为y ＝－1m x ＋z m
， ∵m >1，∴－1<－1m <0，z 与z m
同时取到相应的最大值，如图，当目标函数经过点P ? ??
??1m ＋1，m m ＋1时，取最大值，∴1m ＋1＋m 2
m ＋1<2，又m >1，得1 答案 (1,1＋2) 三、解答题 11．设集合A ＝{(x ，y )|x ，y,1－x －y 是三角形的三边长}． (1)求出x ，y 所满足的不等式； (2)画出点(x ，y )所在的平面区域． 解 (1)已知条件即????? x ＋y >1－x －y >0，x ＋1－x －y >y >0， y ＋1－x －y >x >0， 化简即????? －x ＋12 ，0 12．画出不等式组?????x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0， x ≤3 表示的平面区域，并回答下列问题： (1)指出x 、y 的取值范围； (2)平面区域内有多少个整点？ 解 (1)不等式x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及 其右下方的点的集合，x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及 其右上方的点的集合，x ≤3表示直线x ＝3上及其左方 的点的集合． 所以，不等式组????? x －y ＋5≥0， x ＋y ≥0，x ≤3 表示的平面区域如图所示． 结合图中可行域得x ∈??????－52，3，y ∈[－3,8]． (2)由图形及不等式组知????? －x ≤y ≤x ＋5， －52≤x ≤3，且x ∈Z ， 当x ＝3时，－3≤y ≤8，有12个整点； 当x ＝2时，－2≤y ≤7，有10个整点； 当x ＝1时，－1≤y ≤6，有8个整点； 当x ＝0时，0≤y ≤5，有6个整点； 当x ＝－1时，1≤y ≤4，有4个整点； 当x ＝－2时，2≤y ≤3，有2个整点； ∴平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)． 13．若x ，y 满足约束条件????? x ＋y ≥1， x －y ≥－1， 2x －y ≤2， (1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值． (2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围． 解 (1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)， C (1,0)． 平移初始直线12x －y ＝0，过A (3,4)取最小值－2，过 C (1,0)取最大值1. ∴z 的最大值为1，最小值为－2. (2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a 2