数学建模车灯线光源的优化设计

课程设计论文

学院: 理学院

专业: 数学与应用数学

课程名称数学建模课程设计

题目车灯线光源的优化设计

队号007

学生姓名老衲学号01

学生姓名师太学号02

学生姓名学号

指导教师

2012年6月

摘要

车灯线光源的优化设计

摘要

汽车前照灯作为一个完整的光学照明体系，对汽车的行驶安全性有着极其重要的影响。本文主要以车灯线光源的优化设计为研究对象，根据物理学中的光的反射定律，能量守恒定律，运用了空间解析几何，微积分等方法建立了优化模型。在研究的过程中，以线光源上任一点为研究对象，在通过积分的手段来研究整条线光源，从而求得使线光源功率最小的线光源长度为 4.68mm。并通过点光源在抛物面上任一点处反射光线的计算机模拟，给出了线光源反射线在测试屏上形成的亮区。

关键词:线光源，光强度，旋转抛物面

目录

摘要................................................................ I

1 引言—问题重述与分析 (1)

2 模型假设 (1)

3 问题分析与建模求解 (1)

3.1 求线光源的长度 (1)

3.1.1 (1)

3.1.2 (1)

3.1.3 (2)

3.1.4 (2)

3.1.5 (2)

3.1.6 (2)

3.2 求反射光的亮区 (3)

4 模型分析 (5)

附录： (7)

参考文献 (8)

1 引言—问题重述与分析

汽车头部的车灯形状为一旋转抛物面，且已经告知开口半径36mm ，深度

21.6mm ，所以可以得出抛物面的焦距，经过适当建立直角坐标系，可以得到抛物面的方程。 在焦点F 正前方25米处的A 点放置一测试屏，屏与FA 垂直，用以测试车灯的反射光。在屏上过A 点引出一条与地面相平行的直线，在该直线A 点的同侧取B 点和C 点，使AC=2AB=2.6米。要求C 点的光强度不小于某一额定值（可取为1个单位），B 点的光强度不小于该额定值的两倍（只须考虑一次反射）。在设计规范的条件下，计算线光源长度,使线光源的功率最小。 且在此基础上，精确画出测试屏上反射光的亮区。最后提出对规范合理性的意见。

2 模型假设

1 只考虑一次反射光情形。

2 光线在抛物面内的每一点都是镜面反射，且无能量损耗。

3 线光源均匀分布，其上的每一点的光强度都是一样的。

4 反射光在C 的光强度不小于一个单位，在B 的光强度不小于两个单位。

3 问题分析与建模求解

3.1 求线光源的长度

3.1.1 旋转抛物面的方程为fz y x 422=+，其中f 为其焦距,据已知条件,可知道其焦距f=15mm 。

3.1.2 以F 为球心.以R 为半径,做一球面。如下图：

图 3.1

则mm h r R 6.366.6362222=+=+=

3.1.3 求直射的面积：根据球冠面积公式有

RH s

π2=直

，其中

mm h R H 30=-=,则22196mm S π＝直

3.1.4 求反射的面积：222

4.316221964mm R S S S πππ=-－＝＝总面积直反 3.1.5 不妨假设线光源上的任一点的点光源的光强度为0I ,则其反射光的

强度

02

59.04I S R

I I ＝＝

反反?π 3.1.6 下面就线光源上任意一点M 的反射情况讨论，如下图：

图 3.2

假设12r r >，以2r 为半径作一球面，首先考虑B 点。

以焦点为坐标原点,以对称轴为X 轴.建立直角坐标系.将线光源上任一点M 的坐标设为()0,0y ，B 点的坐标为(25000,1300),则有

()2

02

130025000y MB -+= 根据能量守恒我们可以得到公

式'

'B s B s ds I ds I B

b =，则

2

22

2220'220'

459.0459.0459.0'MB

I MB r r I ds ds r I ds ds I I B B B

B s s b B

πππ=?=?==

（3.1） 即 任意一点M 到B 的光强度2

0459.0'MB

I I B

s π=

设线光源的两端点在坐标系的坐标分别为(0,a), (0,-a), 则对

'B

s I 从－a 到a 积分得B 点的光强度

（3.2）

即 a

a

B y I I --??=

25000

1300arctan

25000459.00

0π

又因为题设中要求点B 的光强度B I 不小于2个单位, 即要求2≥B I ，设

100101?=I 个单位， 即

2250001300arctan 250001300arctan 10159.050≥???

?

?--+??a a I π

（3.3） 同理,考虑C 点的光强度,C 的坐标(25000,2600).可知

()2

02

260025000y MC -+=

则有

（3.4）

即 a

a

c y I I --??=

25000

2600arctan

25000459.00

0π

同上，要求

1250002600arctan 250002600arctan 10159.05

0≥???

?

?--+??a a I π （3.5）

联立（3.3），（3.5）式，得到 a=2.34mm ; 2a=4.68mm

因为线光源越短，则线光源的功率越小。所以在满足条件的情况下，

线光源的最小长度为4.68mm.。 3.2 求反射光的亮区

建立坐标系如下图所示

图3.3

其中旋转抛物面的方程为: y z x 6022=+,令215t y =,则

??

?

??===θ

θsin 30cos 30152

t z t x t y 2.106.21020≤≤?≤≤≤≤t y πθ, （3.6）

线光源上一点0P ),,(000z y x 到M 点的向量,法向量分别为:

{}z z y x MP ---=00,15,,{}z x n 2,60,2--=

()()2

00242

02

0225sin 6045022515z t z t t z z y x MP ++-+=-+-+=θ

222160436004t z x n +=++=

n

n

n =0 , 000MP P M P

M =

（利用如下图所示：

图3.4

n

λβα=+;α

λβ

-=n ;1

2

=-αλ n ;

()()1

=-?-αλαλ n n ;

11222

=+?-?n n αλλ;22n n ?=αλ;()ααβ

-?=n n /20.其中.α ,β 为单位

向量)

解 β

?+=s r r M

?

??

??+=+=+=z

y x s z Z s y Y s x X βββ （3.7）

将250151525000=+=Y 代入方程,得y

y

s β-=25015

从而得

()y

x

y x X ββ?-+=25015 ()y

z

y z Z ββ?

-+=25015 迭代程序见附录.坐标图如下:

图 3.5

4 模型分析

在本设计规范中,在灯的焦点处放置一线光源,经程序计算,可知它的照射范围是一个将B 点做有面积处理, 不必考虑具体的反射情况,使得模型大大的简化。该设计规范基本上可以满足实际要求,但也有不合理的地方。因为线光源的长度和A,B,C 三点的距离以及焦点与测试屏的距离不是处于一个数量级上面,导致有效数字太多,计算比较繁琐。所以可以适当的减小测试屏与车灯之间的距离.

并且缩小AB和AC的长度 .因为车宽有一定的限度,一般情况下要求光源反射在3米以内,如果线光源的反射在3米以外,则造成不必要的浪费.

附录：

hold

for xp=-1.56:.17:1.56

for t=0:0.1:1.2

for cta= 0:pi/60:2*pi

x=30*t*cos(cta)

y=15*t*t

z=30*t*sin(cta)

Nm=[(-2)*x,60,(-2)*z]

Mp=[xp-x,15-y,(-1)*z]

Nmo=60*sqrt(1+t*t)

Mpo=sqrt(xp*xp-2*xp*x+(15+y)*(15+y)) aef=1/Mpo*Mp

N=1/Nmo*Nm

nj=aef.*N

neiji=nj(1)+nj(2)+nj(3)

beita=2*neiji*N-aef

beishu=(25015-y)/beita(2)

X=x+(25015-y)*beita(1)/beita(2)

Z=z+(25015-y)*beita(3)/beita(2)

plot(X,Z,'k.')

end

end

end

参考文献

1.《解析几何》高等教育出版社

2.《数学分析第二版》高等教育出版社

3.《数学模型第四版》高等教育出版社

4.《光学》北京师范大学出版社

5.《科学计算引论——基于MATLAB的数值分析第二版》

电子工业出版社