高三数学第二轮专题复习系列(5)-- 平面向量
高三数学第二轮专题复习系列(5)--平面向量
一、本章知识结构：
二、高考要求
1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2、掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。
3、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件。
4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。
7、掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。
8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。
三、热点分析
对本章内容的考查主要分以下三类：
1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题.
2.以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主.
3.向量在空间中的应用（在B类教材中）.在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质.
在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查。本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。总而言之，平面向量这一章的学习应立足基础，强化运算，重视应用。考查的重点是基础知识和基本技能。
四、复习建议
由于本章知识分向量与解斜三角形两部分，所以应用本章知识解决的问题也分为两类：一类是根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几
何中的一些计算和证明问题；另一类是运用正、余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。
在解决关于向量问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识，并体会用向量处理问题的优越性。二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想，所以要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用。
在解决解斜三角形问题时，一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要体会解斜三角形是重要的测量手段，通过学习提高解决实际问题的能力。 五、典型例题
平面向量
【例1】 在下列各命题中为真命题的是( ) ①若a =(x 1,y 1)、b =(x 2,y 2)，则a ·b =x 1y 1+x 2y 2
②若A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，则｜AB ｜=221221)()(y y x x -+- ③若a =(x 1,y 1)、b =(x 2,y 2),则a ·b =0?x 1x 2+y 1y 2=0 ④若a =(x 1,y 1)、b =(x 2,y 2)，则a ⊥b ?x 1x 2+y 1y 2=0 A 、①② B 、②③ C 、③④ D 、①④
解：根据向量数量积的坐标表示；若a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2)，则a ·b =x 1x 2+y 1y 2，对照命题(1)的结论可知，它是一个假命题、
于是对照选择支的结论、可以排除(A)与(D)，而在(B)与(C)中均含有(3)、故不必对(3)进行判定，它一定是正确的、对命题(2)而言，它就是两点间距离公式，故它是真命题，这样就以排除了(C)，应选择(B)、
说明：对于命题(3)而言，由于a ·b =0?a =0或b =0或a ⊥b ?x 1x 2+y 1y 2=0，故它是一个真命题、
而对于命题(4)来讲，a ⊥b ?x 1x 2+y 1y 2=0、但反过来，当x 1x 2+y 1y 2=0时，可以是x 1=y 1=0，即a =0，而我们的教科书并没有对零向量是否与其它向量垂直作出规定，因此x 1x 2+y 1y 2=0?/a ⊥b )，所以命题(4)是个假命题、
【例2】 已知a =(－3,－1), b =(1,
3)，那么a ，b 的夹角θ=( )
A 、30°
B 、60°
C 、120°
D 、150° 解：a ·b =(－3,－1)·
(1，3)=－23
｜a ｜=22)1()3(-+-=2 ｜b ｜=22)3(1+=2 ∴cosθ=
b
a b a ??=
223
2?-=2
3- 【例3】 已知a =(2,1), b =(－1,3),若存在向量c 使得：a ·c =4, b ·c =－9，试求向量
c 的坐标、
解：设c =(x ,y ),则由a ·c =4可得： 2x +y =4；又由b ·c =－9可得：－x +3y =－9
于是有：?
??=+-=+934
2y x y x )2()1(
由(1)+2(2)得7y =－14,∴y =－2,将它代入(1)可得：x =3 ∴c =(3,－2)、
说明：已知两向量a ，b 可以求出它们的数量积a ·b ，但是反过来，若已知向量a 及数量积a ·b ，却不能确定b 、
【例4】 求向量a =(1,2)在向量b =(2，－2)方向上的投影、 解：设向量a 与b 的夹角θ、 有cosθ=
b
a b a ?? =
2
222)2(221)2(221-++-?+?=－
10
10
∴a 在b 方向上的投影=｜a ｜cosθ=5×(－
1010
)=－2
2 【例5】 已知△ABC 的顶点分别为A(2，1)，B(3，2)，C(－3，－1)，BC 边上的高AD ，求AD 及点D 的坐标、 解：设点D 的坐标为(x ,y ) ∵AD 是边BC 上的高， ∴AD ⊥BC ，∴AD ⊥BC 又∵C 、B 、D 三点共线，
∴BC ∥BD
又AD =(x －2,y －1), BC =(－6,－3)
BD =(x －3,y －2)
∴?
?
?=-+--=----0)3(3)2(60
)1(3)2(6x y y x
解方程组，得x =59
,y =5
7 ∴点D 的坐标为(
59，57)，AD 的坐标为(－5
1
，52) 【例6】 设向量a 、b 满足：｜a ｜＝｜b ｜=1，且a +b =(1，0)，求a ，b 、 解：∵｜a ｜＝｜b ｜=1，
∴可设a =(cosα,sinα), b =(cosβ,sinβ)、 ∵a +b =(cosα+cosβ,sinα+sinβ)=(1,0)，
?
?
?=+=+)2(0βsin αsin )
1(1βcos αcos 由(1)得：cosα=1－cosβ……(3) 由(2)得：sinα=－sinβ……(4) ∴cosα=1－cosβ=2
1
∴sinα=±
23,sinβ= 2
3 ????????
????? ??-=???? ??=23,2123,21b a 或????
????????? ??=???
? ??-=23,2123,21b a
【例7】 对于向量的集合A={v =(x ,y )｜x 2+y 2≤1}中的任意两个向量1v 、2v 与两个非负实数α、β；求证：向量α1v +β2v 的大小不超过α+β、 证明：设1v =(x 1,y 1)，2v =(x 2,y 2) 根据已知条件有：x 21+y 21≤1,x 22+y 22≤1
又因为｜α1v +β2v ｜=221221)βα()βα(y y x x ++
=)(αβ2)(β)(α21212222221212y y x x y x y x +++++
其中x 1x 2+y 1y 2≤2
121y x +
2222y x +≤1
所以｜α1v +β2v ｜≤αβ2βα22++=｜α+β｜=α+β
【例8】 已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠CDA=∠DAB=90°,CD=DA=2
1
AB 、 求证：AC ⊥BC
证明：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系、如图，设AD=1 则A(0，0)、B(2，0)、C(1，1)、D(0，1)
∴BC =(－1,1), AC
=(1,1) BC ·AC =－1×1+1×1=0
∴BC ⊥AC 、
【例9】 已知A(0，a ),B(0,b),(0＜a ＜b)，在x 轴的正半轴上求点C ，使∠ACB 最大，并求出最大值、 解，设C(x ,0)(x ＞0) 则CA =(－x ,a ), CB =(－x ,b) 则CA ·CB =x 2+a b 、 cos ∠ACB=CB
CA CB CA ??=
2
22
2
2b
x a
x ab x +++
令t=x 2+a b 故cos ∠ACB=
11)(1
)(1
222
+?-+--t b a t
b a ab
当t 1=ab 21即t=2a b 时，cos ∠ACB 最大值为b
a a
b +2、 当C 的坐标为(ab ,0)时，∠ACB 最大值为arccos
b
a ab
+2、
【例10】 如图，四边形ABCD 是正方形，P 是对角线BD 上的一点，PECF 是矩形，用向量法证明
(1)PA=EF (2)PA ⊥
EF
证明：建立如图所示坐标系，设正方形边长为1， ｜OP ｜=λ,则A(0，1)，P(
22λ，2
2λ)，E(1，22λ)，F(22λ，0)
∴PA =(－
22λ,1－22λ), EF =(22λ－1,－ 2
2
λ) (1)｜PA ｜2=(－2
2λ)2+(1－22λ)2=λ2
－2λ+1
｜EF ｜2=(
22λ－1)2+(－2
2λ)2=λ2
－2λ+1 ∴｜PA ｜2=｜EF ｜2,故PA=EF (2) PA ·EF =(－
22λ)(22λ－1)+(1－22λ)(－2
2
λ)=0 ∴PA ⊥EF ∴PA ⊥EF 、
【例11】 已知).1,2(),0,1(==b a
① 求|3|b a
+；
②当k 为何实数时,k -a b 与b a
3+平行, 平行时它们是同向还是反向？
解：①b a
3+= (1,0) + 3(2,1) = ( 7,3) , ∴|3|b a += 2237+=58.
②k -a b = k(1,0)－(2,1)=(k －2,－1).
设k -a b =λ(b a
3+),即(k －2,－1)= λ(7,3),
∴???=-=-λ31λ72k ???
????
-=-=?31λ3
1k .
故k= 3
1
-
时, 它们反向平行. 【例12】 已知,1||,2||==b a a 与b 的夹角为3
π
,若向量b k a +2与b a +垂直, 求k.
解：3
πcos ||||b a b a =?=2×1×21
=1.
∵b k a
+2与b a +垂直,
∴(b k a
+2))(b a +?= 0 ,
∴20222
=++?+b k b a k b a a ? k = － 5.
【例13】 如果△ABC 的三边a 、b 、c 满足b 2 + c 2 = 5a 2,BE 、CF 分别为AC 边与AB 上的中线, 求证：BE ⊥CF. 解：
22222222211(),()
221()
4
1111
[()()(4222
BE BA BC CF CB CA BE CF BA BC AB AC BC CB CA BA BC AC AB AC BC BC CA C =+=+∴?=-?+?--?=-+-++---+ 22222222)]11(5)(5)0,88
B BA AB A
C BC b c a -=+-=+-=
∴
BE ⊥CF
, 即 BE ⊥CF .
【例14】 是否存在4个平面向量，两两不共线，其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直?
解：如图所示，在正△ABC 中，O 为其内心，P 为圆周上一点， 满足PA ，PB ，PC ，PO 两两不共线，有 (PA +PB )·(PC +PO )
=(PO +OA +PO +OB )·(PO +OC +PO ) =(2PO +OA +OB )·(2PO +OC ) =(2PO －OC )·(2PO +OC ) =4PO 2－OC 2 =4PO 2－OC 2=0
有(PA +PB )与(PC +PO )垂直、
同理证其他情况、从而PA ，PB ，PC ，PO 满足题意、故存在这样4个平面向量、
平面向量的综合应用
1．利用向量的坐标运算，解决两直线的夹角，判定两直线平行、垂直问题
【例1】 已知向量321,,OP OP OP 满足条件0321=++OP OP OP ，
1321===OP OP OP ，求证：321P P P ?是正三角形
解：令O 为坐标原点，可设()()()333222111sin ,cos ,sin ,cos ,sin ,cos θθθθθθP P P 由321OP OP OP -=+，即()()()332211θsin θcos θsin ,θcos θsin ,θcos --=+
??
?-=+-=+321321θsin θsin θsin θcos θcos θcos 两式平方和为()11θθcos 2121=+-+，()2
1
θθcos 21-
=-， 由此可知21θθ-的最小正角为0
120，即1OP 与2OP 的夹角为0120， 同理可得1OP 与3OP 的夹角为0
120，2OP 与3OP
的夹角为0120， 这说明321,,P P P 三点均匀分部在一个单位圆上， 所以321P P P ?为等腰三角形.
【例2】 求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的度数 解：如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为x 轴、y 轴建立直角坐标系，设()()a B a A 2,0,0,2，则()()a C a D ,0,0,， 从而可求：()()a a BD a a AC 2,,,2-=-=,
()()a
a a a a a BD
AC BD AC 552,,2θcos ?-?-=?=
=
5
4
542
2
-
=-a a . ??
?
??-=∴54arccos θ.
2．利用向量的坐标运算，解决有关线段的长度问题
【例3】 已知ABC ?，AD 为中线，求证()
2
222221??
?
??-+=BC AC AB AD
证明：以B 为坐标原点，以BC 所在的直线为x 轴建立如图2直角坐标系， 设()()0,,,c C b a A ，??
?
??0,2c D ，
①
②
则()2222
2
2
402b a ac c b a c AD ++-=-+??
? ??-=， 2
22221?
???
?
??-??? ??
+BC AC AB . =()4
42122
222222c ac b a c b a c b a +-+=??????-+-++， 从而=2AD 2
22221?
????
??-??? ??+BC AC AB ，
()
2
222
221??
?
??-+=BC AC AB AD .
3．利用向量的坐标运算，用已知向量表示未知向量
【例4】 已知点O 是，，内的一点，0
090BOC 150AOB =∠=∠?ABC
,,,OA c OC b OB a ===设且,3,1,2===c b a 试用.,c b a 表示和
解：以O 为原点，OC ，OB 所在的直线为x 轴和y 轴建立如图3所示的坐标系. 由OA=2，0
120=∠AOx ，所以()
()
,31-A ,120sin 2,120cos 200，即A ， 易求()()3,0C 1-0B ，，，设
()
()()12121
212OA ,-130-13,0-3-13.
13--3OB OC λλλλλλλλ=+=+?==?????==????
即，，，
，
133
a b c =-- .
【例5】 如图，
001,OB 120OC OA 30,OC 5OA OB OA === 与的夹角为，与的夹角为，
用OA
OB ，表示.OC 解：以O 为坐标原点，以OA 所在的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，则()0,1A ，
()
，，即，所以由???
?
??=∠25235C ,30sin 5,5cos30C 30COA 000 ?
??
?
??-23,21B 同理可求 ()121253513OC ,10-,2222OA OB λλλλ????
=+=+ ? ? ? ?????
即，，
.335λ3310λλ2325λ21
-λ23521221??????
?==???????==， OB OA OC 3
3
53310+=
∴. 4．利用向量的数量积解决两直线垂直问题
【例6】 如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面 ABCD 是菱形，且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD . (1)求证：C 1C ⊥BD . (2)当
1
CC CD
的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明. (1)证明：设CD =a , CD =b ,1CC =c ,依题意，|a |=|b |，CD 、CB 、 1CC
中两两所成夹
角为θ，于是DB CD BD -==a －b ，BD CC ?1=c (a －b )=c ·a －c ·b =|c |·|a |cos θ－|c |·|b |cos θ=0,∴C 1C ⊥BD .
(2)解：若使A 1C ⊥平面C 1BD ，只须证A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DC 1， 由)()(1111CC CD AA CA D C CA -?+=?
=(a +b +c )·(a －c )=|a |2+a ·b －b ·c －|c |2=|a |2－|c |2+|b |·|a |cos θ－|b |·|c |·cos θ=0,得 当|a |=|c |时，A 1C ⊥DC 1，同理可证当|a |=|c |时，A 1C ⊥BD ， ∴
1
CC CD
=1时，A 1C ⊥平面C 1BD . 【例7】 如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面△ABC 中，
CA =CB =1，∠BCA =90°，AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点
.
(1)求BN 的长；
(2)求cos<11,CB BA >的值； (3)求证：A 1B ⊥C 1M .
解：(1)如图，以C 为原点建立空间直角坐标系O －xyz . 依题意得：B (0，1，0)，N (1，0，1) ∴|BN |=3)01()10()01(222=-+-+-.
(2)解：依题意得：A 1(1，0，2)，C (0，0，0)，B 1(0，1，2). ∴1BA =1),2,1,1(CB -=(0，1，2) 11CB BA ?=1×0+(－1)×1+2×
2=3 |1BA |=6)02()10()01(222=-+-+-
5)02()01()00(||2221=-+-+-=CB .10
30
5
63|
|||,cos 111111=?=
??>=
<∴CB BC CB BA CB BA (3)证明：依题意得：C 1(0，0，2)，M (2,2
1,21)
)2,1,1(),0,2
1
,21(11--==B A M C
∴,,00)2(2
1
121)1(1111M C B A M C B A ⊥∴=?-+?+?-=?
∴A 1B ⊥C 1M .
5．利用向量的数量积解决有关距离的问题，距离问题包括点到点的距离，点的线的距离，点到面的距离，线到线的距离，线到面的距离，面到面的距离.
【例8】 求平面内两点),(),,(2211y x B y x A 间的距离公式 解：设点),(),,(2211y x B y x A ，),(1212y y x x AB --=∴
212212)()(||y y x x AB -+-=∴ ,而||||AB AB =
∴点A 与点B 之间的距离为：212212)()(||y y x x AB -+-=
6.利用向量的数量积解决线与线的夹角及面与面的夹角问题.
【例9】 证明:
βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-
证明：在单位圆O 上任取两点B A ,，以Ox 为始边，以OB OA ,为终边的角分别为αβ,，则A 点坐标为),sin ,(cos ββB 点坐标为)sin ,(cos αα；
则向量=OA ),sin ,(cos ββ=OB )sin ,(cos αα，它们的夹角为βα-，
,1||||==OB OA βαβαsin sin cos cos +=?OB OA ,由向量夹角公式得：
=?=
-|
|||)βαcos(OB OA OB OA βαβαsin sin cos cos +,从而得证.
注：用同样的方法可证明=+)cos(βαβαβαsin sin cos cos - 7.利用向量的数量积解决有关不等式、最值问题.
【例10】 证明柯西不等式221212
22
22
12
1)()()(y y x x y x y x +≥+?+
证明：令),(),,(2211y x b y x a ==
（1） 当0 =a 或0 =b 时，02121=+=?y y x x b a
，结论显然成立； （2） 当0 ≠a 且0 ≠b 时，令θ为b a ,的夹角，则],0[πθ∈
θcos ||||2121b a y y x x b a
=+=?. 又 1|cos |≤θ ||||||b a b a
≤?∴（当且仅当b a //时等号成立）
2
22221212121||y x y x y y x x +?+≤+∴
∴221212
22
22
12
1)()()(y y x x y x y x +≥+?+.（当且仅当
2
2
11y x y x =
时等号成立） 【例11】 求x x x x y 2
2
cos 3cos sin 2sin ++=的最值 解：原函数可变为x x y 2cos 2sin 2++=， 所以只须求x x y 2cos 2sin +='的最值即可， 构造{}{}1,1,2cos ,2sin ==b x x a ， 那么22cos 2sin =
≤?=+b a b a x x .
故22,22min max -=+=y y .
【例12】 三角形ABC 中，A (5，－1)、B (－1，7)、C (1，2)，求：(1)BC 边上的中线
AM 的长；(2)∠CAB 的平分线AD 的长；(3)cos ABC 的值.
解：(1)点M 的坐标为x M =
)2
9
,0(,29227;0211M y M ∴=+==+- .2
221
)2
9
1()05(||22=
--+-=∴AM 5)21()15(||,10)71()15(||)2(2222=--+-==--++=AC AB
D 点分BC 的比为2. ∴x D =
3
11
21227,3121121=+?+==+?+-D y
.23
14
)3111()315(||22=--+-=AD
(3)∠ABC 是BA 与BC 的夹角，而BA =(6，8），BC =(2，－5）.
145
2629
29
1052)5(2)8(6)5()8(26|
|||cos 2
222=
=
-+?-+-?-+?=
??=
∴BC BA BC BA ABC 解斜三角形
【例1】 已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足A +C =2B .B
C A cos 2
cos 1cos 1-=+，求cos
2
C
A -的值. 解法一：由题设条件知
B =60°，A +
C =120°. 设α=
2C
A -，则A －C =2α，可得A =60°+α，C =60°－α， ,
43cos cos sin 43cos 41cos sin 2
3cos 211sin 23cos 211)
60cos(1)60cos(1cos 1cos 1222-αα
=α-αα=α+α+α-α=α-?+
α+?=+C A 所以 依题设条件有
,cos 2
43
cos cos 2B
-=-
αα .224
3
cos cos ,21cos 2-=-αα
∴=B
整理得42cos 2α+2cos α－32=0(M )
(2cos α－2)(22cos α+3)=0，∵22cos α+3≠0， ∴2cos α－2=0.从而得cos
2
2
2=-C A . 解法二：由题设条件知B =60°，A +C =120°
22cos 1
cos 1,2260cos 2-=+∴-=?-C
A
①，把
①式化为cos A +cos C =－22cos A cos C
②，
利用和差化积及积化和差公式，②式可化为
)]cos()[cos(22
cos 2cos
2C A C A C
A C A -++-=-+
③， 将cos 2
C
A +=cos60°=21，cos(A +C )=－21代入③式得：
)cos(22
22cos C A C A --=- ④
将cos(A －C )=2cos 2(2C A -)－1代入 ④：42cos 2(2C A -)+2cos 2
C
A -－32=0，(*)，
.
22
2cos :,022cos 2,032cos 22,
0)32
cos 22)(222cos 2(=-=--∴=+-=+---C A C A C A C A C A 从而得
【例2】 在海岛A 上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P ，上午11时，测得一轮船在岛北30°东，俯角为60°的B 处，到11时10分又测得该船在岛北60°西、俯角为30°的C 处。
(1)求船的航行速度是每小时多少千米；
(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D 处，问此时船距岛A 有多远？ 解：(1)在Rt △P AB 中，∠APB =60° P A =1，∴AB =3 (千米) 在Rt △P AC 中，∠APC =30°，∴AC =3
3
(千米) 在△ACB 中，∠CAB =30°+60°=90°
)/(3026
1
330330
)3()33(2222时千米=÷=+=+=∴AB AC BC
(2)∠DAC =90°－60°=30°
sin DCA =sin(180°－∠ACB )=sin ACB =
1010
3
3
303=
=BC
AB
sin CDA =sin(∠ACB －30°)=sin ACB ·cos30°－cos ACB ·sin30°1010
3
=
. 20
10)133()10103(121232-=-?- 在△ACD 中，据正弦定理得
CDA
AC
DCA AD sin sin =
， ∴133920
10
)133(1010333sin sin +=-?
=?=CDA DCA AC AD 答：此时船距岛A 为13
3
9+千米.
【例3】 已知△ABC 的三内角A 、B 、C 满足A +C =2B ，设x =cos 2
C
A -，f (x )=cos
B (
C
A cos 1
cos 1+
). (1)试求函数f (x )的解析式及其定义域； (2)判断其单调性，并加以证明； (3)求这个函数的值域.
解：(1)∵A +C =2B ，∴B =60°，A +C =120°
,
342122
1)
cos()cos(2cos
2cos
2cos cos cos cos 21)(22
-=-+-=-++-+=
?+?=x x
x x C A C A C
A C A C A C A x f
∵0°≤|
2C A -|＜60°，∴x =cos 2
C A -∈(21
，1]
又4x 2－3≠0，∴x ≠23，∴定义域为(2
1
，23)∪(23，1］.
(2)设x 1＜x 2，∴f (x 2)－f (x 1)=
3
423
422
112
22--
-x x x x
=
)
34)(34()34)((22
2
2
12121--+-x x x x x x ，若x 1，x 2∈(23
,21)，则4x 12－3＜0，4x 22－3＜0，4x 1x 2+3＞0，
x 1－x 2＜0，∴f (x 2)－f (x 1)＜0
即f (x 2)＜f (x 1)，若x 1，x 2∈(
2
3
，1］，则4x 12－3＞0. 4x 22－3＞0，4x 1x 2+3＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 2)－f (x 1)＜0.
即f (x 2)＜f (x 1)，∴f (x )在(2
1,23
)和(23，1]上都是减函数. (3)由(2)知，f (x )＜f (21)=－2
1
或f (x )≥f (1)=2.
故f (x )的值域为(－∞，－2
1
)∪［2，+∞).
【例4】 在ABC ?中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、．若
()C a c b +?=-60cos 2，求角A ．
解：由正弦定理，将已知等式中的边转化为角．可得
()C A C B +??=-60cos sin 2sin sin .
因为π=++C B A ，故有()C A C A C C A sin sin 3cos sin sin sin -=-+， ∴ C A C C A sin sin 3sin sin cos -=-. 又∵ 0sin ≠C ,
∴ 1sin 3cos =+A A , 即216πsin =??? ?
?
+A ，