圆锥曲线一个有趣性质再探

２０１０年第２期中学数学研究圆锥曲线一个有趣性质再探

安徽省芜湖市第二十七中学（２４１０００）张定胜

文［１］中笔者给出如下两个定理：

定理１点Ｐ在椭圆６２２２＋ｎ２ｙ２＝ｎ２６２（口＞６＞０）上，直线ｚ交椭圆于Ｃ、Ｄ两点（Ｃ、

，２

Ｄ异于Ｐ），则忌Ｐｃ‘忌册＝Ａ（≠≥）辛直线ｚ恒过定点Ｒ．

定理２点Ｐ在双曲线６２２２一口２ｙ２＝口２６２（口＞Ｏ，６＞０）上，直线Ｚ交双曲线于Ｃ、Ｄ

，２

两点（ｃ、Ｄ异于Ｐ），则忌Ｐｃ’忌册＝Ａ（≠一戋）净直线ｚ恒过定点Ｒ．

上面定理激发笔者继续思考：当忌Ｐｃ＋忌ＰＤ＝Ａ（定值）时，仍有类似性质成立吗？经研究有如下定理：

定理３点Ｐ是圆锥曲线Ｅ：厂（ｚ，ｙ）＝彻２＋缈２＋如＋缈＋，＝０上的任意一点，直线Ｚ交圆锥曲线Ｅ于Ｃ，Ｄ两点（Ｃ、Ｄ异于Ｐ），若忌Ｐｃ＋‰＝Ａ（≠０），则直线ｚ恒过定点Ｒ，并且曲线Ｅ在Ｐ处的切线ｚ７与直线ＰＲ的斜率也满足忌ｆ，＋‰＝Ａ．（这里只考虑斜率存在的情况）

证明：设Ｐ（ｚｏ，３，ｏ），平移坐标轴，把原点

ｆｚ２ｚ７＋ｚｎ．

移至Ｐ点，把｛，．…代入，（ｚ，ｙ）＝ｏ。Ｌ≯一≯１≯Ｑ＇

中，得ａ（ｚ７＋ｚｏ）２＋６（ｙ７＋ｙｏ）２＋ｄ（ｚ７＋ｚｏ）＋８（ｙ７＋ｙｏ）＋厂＝ｏ，’．。船３＾够８＋ｄｚｏ＋纠ｏ＋厂＝０．．?．衄７２＋匆７２＋（矗＋２船ｏ）ｚ７＋（８十２幻ｏ）ｙ７＝Ｏ．设直线Ｚ的方程僦７＋掣７＝１（优、咒不全为零），．’．口ｚ７２＋缈７２＋［（ｄ＋２口ｚｏ）?ｚ７＋（８＋２匆ｏ）ｙ７］（僦７＋掣７）＝０，．’．（口＋打ｚｄ＋２删ｏ）ｚ７２＋（６＋咒ｅ＋２，ｚ缈ｏ）ｙ７２＋（ｍＰ

＋蒯＋２６例ｏ＋２口船ｏ）ｚ７ｙ７＝０．．’．（６＋珊＋２７ｚ缈ｏ）（乡）２＋（撇＋以＋２６咧ｏ＋２口懈ｏ）??１８?（≥）＋（口＋蒯＋２删ｏ）＝ｏ，‘．’忌Ｐｃ，志ＰＤ为上面方程的两根，由韦达定理可知尼Ｐｃ＋愚册２一堕罨篆戮关塑，?．ｋ＋尼册孔６＋扎ｅ＋２７２６ｖｎ

’…Ｐｃ～只Ｄｎ’．?．丝等黑告些：一Ａ，

’’

６＋＂Ｐ＋２咒缈ｏ“’

?‘?（ｅ＋２ｂｏ）优＋（ｄ＋以＋２口ｚｏ＋２Ａ钞ｏ）孢２确，．’．（－砉一孥Ⅲ（一型警驴１’．．．直线ｚ过定点Ｒ７（一志一譬，

一堕±堕二呈警必）（新系中）．．?．直线ｚ过定点Ｒ（ｚ。一意一孚，一尘三学一ｙ。）（原系中），．?．忌职＝鱼±堕专车爱产．利用导数可求爷切线ｚ７的斜率忌。７＝一手｝勰，

．’．惫ＰＲ＋愚ｆ７＝Ａ．

笔者再思考：当愚Ｐｃ’忌ｍ＝Ａ时，有定理１，２成立，当忌Ｐｃ＋忌ＰＤ＝Ａ时有定理３成立，那么当糍＝．：【时呢？经研究有如下定理成立．

定理４点Ｐ是圆锥曲线上任意、?点，直线ｚ交圆锥曲线子Ｃ、Ｄ两点（Ｃ、Ｄ异于Ｐ），直线尸Ｃ、ＰＤ的倾斜角的和为定值，则直线ｚ恒过定点Ｒ．（这里只考虑斜率存在的情况）．证明留给读者．

参考文献

［１］张定胜．圆锥曲线的弦对顶点张直角的一个性质再

探．数学通讯，２００７（７）．

万方数据

圆锥曲线一个有趣性质再探

作者：张定胜

作者单位：安徽省芜湖市第二十七中学,241000

刊名：

中学数学研究

英文刊名：STUDIES IN MIDDLE SCHOOL MATH GUANGDONG

年，卷(期)：2010，""(2)

被引用次数：0次

参考文献(1条)

1.张定胜圆锥曲线的弦对顶点张直角的一个性质再探 2007(7)

本文链接：https://www.360docs.net/doc/5f12741554.html,/Periodical_zxsxyj201002007.aspx

授权使用：华中师范大学(hzsfdx)，授权号：f5e4a211-ae8b-4b39-9fbd-9de3016eb4bf

下载时间：2010年8月31日