2018届湖北省八校高三第一次联考理科数学试题及答案

湖北省八校2018届高三第一次联考数学

（理）试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.

1．已知复数∈+=a ai z (21R)，i z 212-=，若2

1z z 为纯虚数，

则=||1z

A ．2

B ．3

C ．2

D ．5 2．如图给出的是计算2014

16

14

12

1+

+++ 的值的程序框

图，其中

判断框内应填入的是

A ．2013≤i

B ．2015≤i

C ．2017≤i

D ．2019≤i

3．设

4a x dx π??

=+ ??

?

，则二项式6

(展开式中含 2x 项的系数是

A ．192-

B ．193

C ．6-

D ．7

4．棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个

几何体的三视图如图所示，那么该几

何体的体积是

A ．3

14 B ．4

C ．3

10 D ．3

5．“5≠a 且5-≠b ”是“0≠+b a ”的

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既非充分条件也非必要条件

6．已知实数等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列结论中一

定成立的

A ．若03>a ，则02013

B ．若04>a ，则02014

C ．若03>a ，则02013>S

D ．若04>a ，则02014>S 7．用)(A C 表示非空集合A 中的元素个数，定义

?

?

?<-≥-=-)()(),()()

()(),()(||B C A C A C B C B C A C B C A C B A ．若}2,1{=A ， }|32||{2a x x x B =-+=，且1||=-B A ，由a 的所有可能值构成的集合为S ，那么C (S )等于 A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4 8．已知x , y , ∈z R ，且522=+-z y x ，则222)3()1()5(++-++z y x 的最小值是

A ．20

B ．25

C ．36

D ．47

9．已知抛物线的一条过焦点F 的弦PQ ，点R 在直线PQ 上，且满足)(2

1OQ OP OR +=，R 在抛物线准

线上的射影为S ，设α，β是△PQS 中的两个锐角，则下列四个式子

①1tan tan =βα ②2sin sin ≤+βα ③1cos cos >+βα ④2

tan |)tan(|βαβα+>-

中一定正确的有

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

10．设定义在D 上的函数)(x h y =在点))(,(00x h x P 处的切线方程为)(:x g y l =，当0x x ≠时，若

0)()(0

>--x x x g x h 在D 内恒成立，则称P 为函数)(x h y =的“类对称

点”，则x x x x f ln 46)(2+-=的

“类对称点”的横坐标是

A ．1

B ．2

C ．e

D ．3

二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对

应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．

（一）必考题（11—14题）

11．随机向边长为5，5，6的三角形中投一点P ，则点P 到三个顶点的距离都不小于1的概率是____．

12．已知直线)0(:>+=n n my x l 过点)5,35(A ，若可行域??

???≥≥-+≤003y y x n

my x 的外

接圆直径为20，则n =_____．

13．已知函数?????≤<++-≤≤=3

1,3210,2)(2

x x x x x x f ，将f (x )的图像与x 轴围成的封闭图形绕x 轴旋转一周，则所得旋转体的体积为

________．

14．以(0, m )间的整数∈>m m ,1(N)为分子，以m 为分母组成分数集合A 1，其所有元素和为a 1；以),0(2m

间的整数∈>m m ,1(N)为分子，以2m 为分母组成不属于集合A 1的分数集合A 2，其所有元素和为

a 2；……，依次类推以),0(n m 间的整数∈>m m ,1(N)为分子，以n m 为分母组成不属于A 1，A 2，…，

1-n A 的分数集合A n ，其所有元素和为a n ；则=+++n a a a 21=________．

(二）选考题(从两个小题中选择一个小题作答，两题都作答的按15题记分) 15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，C 是以AB 为直径的半圆O 上的一

点，过C 的直线交直线AB 于E ，交过A 点的切线于D ，BC ∥OD .若

AD =AB = 2，则EB =_________． 16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系内，已知曲线C 1的方程

为04)sin 2(cos 22=+--θθρρ，以极点为原点，极轴方向为x 正 半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线C 2的参数

方程为??

?+=-=t

y t

x 3185415(t 为参数)．设点P 为曲线C 2

上的动点，

过点P 作曲线C 1的两条切线，则这两

条切线所成角余弦的最小值是_______．

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知△ABC 的三内角A , B , C 所对边的长依次为a,b,c ，若4

3cos =A ，

8

1cos =C ．

（Ⅰ）求c b a ::；

（Ⅱ）若46||=+BC AC ，求△ABC 的面积． 18．（本小题满分12分）有一种密码，明文是由三个字符组成，密码是由明文对应的五个数字组成，编

码规则如下表：明文由表中每一排取一个字符组成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字

符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排成一组

ξ

（Ⅰ）求)2(=ξP ；

（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和它的数学期望． 19．（本小题满分12分）如图1，平面四边形ABCD 关于直线AC 对称，?=∠60A ，?=∠90C ，2=CD ， 把△ABD 沿BD 折起（如图2），使二面角C BD A --为直二面角．如图2，

（Ⅰ）求AD 与平面ABC 所成的角的余弦值； （Ⅱ）求二面角D AC B --的大小的正弦值．

20．（本小题满分12分）已知等比数列{a n }的公比1>q ，前n 项和为S n ，S 3=7，且31+a ，23a ，43+a

成等差数列，数列{b n }的前n 项和为T n ，2)13(6++=n n b n T ，其

中∈n N *

．

（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）求数列{b n }的通项公式；

（Ⅲ）设},,{1021a a a A =，},,{4021a b b B =，B A C =，求集合C 中所有元素之和．

21．（本小题满分13分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，

椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的离心率为22

，

过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD ．当直线AB

斜率为0时，23=+CD AB ． （Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求由A ，B ，C ，D 四点构成的四边形的面积的取值范围．

22．（本小题满分14分）已知0>t ，设函数132)1(3)(23+++-=tx x t x x f ．

（Ⅰ）若)(x f 在(0, 2)上无极值，求t 的值； （Ⅱ）若存在)2,0(0∈x ，使得)(0x f 是)(x f 在[0, 2]上的最大值，求t 的取值范围；

（Ⅲ）若e m xe x f x (2)(+-≤为自然对数的底数)对任意),0[+∞∈x 恒成立时m 的最大值为1，求t 的取

值范围．