圆的一般方程教学设计

圆的一般方程教学设计

高二数学 蔡聪

1．教材所处的地位和作用

《圆的一般方程》安排在高中数学必修2第二章第二节第二课时。圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用。圆的一般方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是思想方法上都有着深远的意义，所以本课内容在整个解析几何中起着承前启后的作用。

2．学情分析

圆的一般方程是学生在掌握了求曲线方程一般方法的基础上，在学习过圆的标准方程之后进行研究的， 但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难。另外学生在探究问题的能力，合作交流的意识等方面有待加强。

根据上述教材所处的地位和作用分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我制定如下教学目标：

3．教学目标

知识与技能：(1) 掌握圆的一般方程及一般方程的特点

(2) 能将圆的一般方程化成圆的标准方程，进而求圆心和半径

(3) 能用待定系数法由已知条件求出圆的方程

过程与方法：(1) 进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力；

(2) 加深对数形结合思想的理解和加强待定系数法的运用

情感，态度与价值观：(1)培养学生主动探究知识、合作交流的意识；

(2)培养学生勇于思考，探究问题的精神。

(3)在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣。

根据以上对教材、学情及教学目标的分析，我确定如下的教学重点和难点：

4．教学重点与难点

重点：(1) 圆的一般方程。(2) 待定系数法求圆的方程。

难点：(1) 圆的一般方程的应用(2) 待定系数法求圆的方程及对坐标法思想的理解。

5.教学过程

(1)复习引入

师：自初中初步接触圆的概念和研究圆的几何性质以来，上节课我们又在平面直角坐标系中对圆的标准方程进行了定义和学习。

师：请大家回忆圆心为(,)a b ,半径为r 的圆的标准方程是什么？

生：222

()()x a y b r -+-=

师：答得很好。如果圆的圆心在坐标原点，那么圆的标准方程是什么？

生：222x y r +=

师：大家知识点掌握的很好，下面我们看一个练习。

练习1：判断下列方程是否表示圆，如果是，说出圆心和半径。

⑴ (x －1)2+ (y －1)2=9

⑵ (x + 1)2+ (y + 2)2=m 2

⑶ x 2 + y 2 -2x + 4y + 4 =0

师：第一个是不是圆啊？

生：是圆心是(1,1),半径是3

师：第二个是不是?

生：当0m =时，不是，当0m ≠时，是，圆心为（-1，-2），半径为|m|

师：第三个是不是圆呢?这是一个二元二次方程，但很显然不是圆的标准形式，那么我们要判断是不是圆就要看它有没有圆心，有没有半径，能不能化成圆的标准方程的形式。 师：我们怎么办？

生：配方。

师：好，我们配方之后得到(x - 1)2+ (y + 2)2=1 ，可以看到它所表示的是一个圆心为 （1，-2），半径为1的圆。

师：那么比较两个方程，一个叫做圆的标准方程，另一个就是我们今天要学习的圆的一般方程[板书：圆的一般方程]

师：在上例中我们也可以看出圆的一般方程和圆的标准方程之间的转换

x 2 + y 2 -2x + 4y + 4 =0

(x - 1)2+ (y + 2)2=1

（2）讲授新课

我们把一般情况下的圆的标准方程展开，看能得到什么样的东西

【板书】222

2222222222()()220

=-2,=-2,F=+++F=0

x a y b r x y ax by a b r D a e b a b r x y Dx Ey -+-=+--++-=+-+令上式就变成

师：那能不能说22+++F=0x y Dx Ey +就是圆的一般方程啦？

师：我们可以从直线方程上寻找启发，我们在讲直线方程的概念时说，直线方程必须满足两个条件：直线上的点的坐标必须满足方程，方程的实数对解必须在直线上。这里面我们考虑这个二元二次方程是不是圆的方程呢，我们只得到了圆的方程都可以化成这种形式，那么这种形式所表示的图形是否一定是圆呢？

生：不一定。

师：为什么啊？【学生讨论】

师：根据上面例子，我们可以把它配方，看满足什么条件，它所表示的才是一个圆。 【板书】222222+++F+()+()-()-()=02222

D E D E x y Dx Ey + 22224(+)+(y+)=224

D E D E F x +-

师：上式如果表示一个圆，那么224>04

D E F +-，也即224>0D E F +- 所以，结论：

（1） 当224>0D E F +-时，方程（1）表示的是一个圆，圆心为(-,-)22

D E ,半径为

2

（2） 当224=0D E F +-时，方程（1）只有唯一的解x=-

,=-22D E y ，表示的是一个点(-,-)22

D E （3） 当224<0D E F +-时，方程（1）没有实数解，因而它不表示任何图形。 师：也就是说（1）式要表示圆，必须带上一个紧箍咒，这个紧箍咒就是224>0D E F +- 这样我们可以得到圆的定义：

当224>0D E F +-时，方程22+++F=0x y Dx Ey +称为圆的一般方程。

-222

D E 圆心为（,-）,半径为 注1：圆的一般方程与二元二次方程的比较

22

0Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=圆的一般方程为二元二次方程，而二元二次方程的基本形式为

如果一个上述二元二次方程表示的是一个圆，那么它需要满足哪些条件？

（1）22,x y 前面的系数0A C =≠

（2）不存在xy 项，即0B =

（3）2240D E AF +->

【例题讲解】

例1 判断下列方程是否表示圆

222222(1)2x +-7+5=0

(2)x -++6+7=0

(3)2x +2-4+8+20=0

y x xy y x y y x y

学生思考后回答;

（1） 不是，22,x y 前面的系数不相等

（2） 含有xy 项

（3） 2240D E AF +-<

例2 求过点(1,1)M -且圆心与已知圆C ：22+-4+6-3=0x y x y ，相同的圆的方程。 分析：圆的标准方程的两个要素：圆心和半径。所以此题在于求得圆心

法一：圆C 的圆心坐标为2,322

D E a B =-==-=- 所以圆O 的圆心坐标为（2，-3）

||5r OM ===

法二：设圆O 的方程为22+-4+6+m=0x y x y

(1,1),=-12M m -代入得到

22+-4+6-12=0x y x y 所以方程为

例3 ABC ?三个顶点坐标分别为A(-1,5), B(-2,-2),C(5,5)，求其 外接圆的方程。

分析：由于学习了圆的标准方程和圆的一般方程，又讲了待定系数法求解圆的方程，那么本题既可以用标准方程求解，也可以用一般方程求解。两种方法都试一试，注意选择。

2222+++F=0

26-5048-2D-2E+F=0

25055020+-4-2-20=0

x y Dx Ey D E F D E D E F F x y x y +++==-????→=-????+++==-??

解：设圆的一般方程为圆的一般方程为

我们也可以用圆的标准方程来解 222

22222222222222222222()(1)(5)210260(2)(2)4480

(5)(5)1010500=2=1=5(x-2)+(y-1)=25

y b r a b r a b a b r a b r a b a b r a b r a b a b r a b r +-=??--+-=++-+-=??--+--=→++++-=????-+-=+--+-=??

?????

设圆的标准方程为 (x-a)解得所以圆的标准方程为

注意：比较两种方法的优劣

、

解题思路二：

问题1：我们要求圆的方程，需要确定圆心，那么三角形外接圆的圆心是如何确定的呢？ 学生思考后回答，并提示解题思路。

问题2：外接圆的圆心有什么性质？

生：到三个顶点的距离相等。

提示同学利用两点间的距离公式，来求圆心。

总结1：一道题目可以从几何和代数的两个角度来考虑。

总结2：圆的一般方程与标准方程的比较

（1） 两个方程中均含有三个参数，标准方程是a,b,r,一般方程是D,E,F

（2） 标准方程的优点是能从方程中直接读出圆心和半径，而一般方程的优点是能

从一般的二元二次方程中找出表示圆的二元二次方程。

【课堂小结】

1. 圆的一般方程定义：220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->）

2. 判断一个二元二次方程是圆的条件。

3. 圆的一般方程和标准方程的比较。

【布置作业】

1.课本P80第二题。

2.自主选择两道题。