四川省绵阳市2015届高三二诊数学(理)试题_Word版含解析

绵阳市高中2012级第二次诊断性考试

数学(理工类)

【题文】第Ⅰ卷(选择题,共50分)

【题文】一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。

【题文】1.某射击运动员在一次测试中射击10次,其测试成绩如下表:

则该运动员测试成绩的中位数是

(A) 2 (B) 8 (C) 8.5 (D)9 【知识点】众数、中位数、平均数.I2

【答案】【解析】C 解析:根据题意得:该运动员射击10次命中环数从小到大的顺序如下,7、7、7、8、8、9、9、10、10、10;∴则该运动员测试成绩的中位数为8+9

=8.52

. 故选:C .

【思路点拨】根据中位数的定义,结合表中数据,求出答案. 【题文】2.在复平面内,复数21i

z i

=

-+对应的点位于 (A )第一象限 (B )第二象限 (C )第三象限 (D )第四象限 【知识点】复数代数形式的乘除运算. L4

【答案】【解析】D 解析:因为()()()

212=1111i i i

z i i i i --==--+-+--,则复数21i z i =

-+对应的点位于第四象限,故选D.

【思路点拨】利用复数的运算法则与几何意义即可得出.

【题文】3.“1m = ”是“直线1mx y +=与直线 =1x my -互相垂直”的 (A )充分不必要条件

(B )必要不充分条件 (C )充要条件

(D )既不充分也不必要条件

【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.A2

【答案】【解析】A 解析:若1m =,则直线x+y=1和直线x ﹣y=1互相垂直,是充分条件; 若直线1mx y +=与直线=1x my -互相垂直,则m 取任意实数,不是必要条件; 故选:A .

【思路点拨】根据充分必要条件的定义结合直线垂直的性质,从而得到答案.

【题文】4.如下程序框图所示,已知集合}

{

|A x x =图框中输出的值,集合

}{

|B y =图框中输出的y 值,当1x =时A B =

(A )? (B ){3} (C ){1,3,5} (D ){3,5}

【知识点】程序框图.L1

【答案】【解析】D 解析:执行程序框图,有 x=1 y=1 x=2

输出1,2

不满足条件x >5,y=3,x=3,输出3,3 不满足条件x >5,y=5,x=4,输出5,4 不满足条件x >5,y=9,x=5,输出9,5 不满足条件x >5,y=17,x=6,输出17,6 满足条件x >5,退出循环,结束.

从而可得A={2,3,4,5,6},B={1,3,5,9,17} 故A B ={3,5},故选:D .

【思路点拨】执行程序框图,依次写出每次循环得到的x ,y 的值,从而可得集合A ,B ,进而可求A B 的值.

【题文】5.下图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为

(A )6432p +(B )6464p +(C )25664p +(D )256128p +

【知识点】由三视图求面积、体积. G2

【答案】【解析】C 解析:由已知的三视图可得:该几何体是一个圆柱和长方体的组合体, 圆柱的底面直径为8,半径为4,高为8,故体积为:64π, 长方体的长,宽,高分别为:8,8,4,体积为:256, 故几何体的体积V=25664p +,故选:C.

【思路点拨】由已知的三视图可得:该几何体是一个圆柱和长方体的组合体,分别求出圆柱和长方体的体积,相加可得答案.

【题文】6.已知圆222420(0,0)x y ax by b a b +-++=>>关于直线10x y --=对称,则ab 的最大值是 (A )

12 (B )18 (C )14 (D

【知识点】圆的一般方程.H4

【答案】【解析】C 解析:由圆222420(0,0)x y ax by b a b +-++=>>关于直线10x y --=对称,可得圆心()

2,a b -在直线10x y --=上, 故有2a+b ﹣1=0,即 2a+b=1≥2,求得ab ≤

14,故ab 的最大值为1

4

, 故选:C .

【思路点拨】由题意可得圆心()

2,a b -在直线10x y --=上,故有2a+b ﹣1=0,即 2a+b=1,再利用基本不等式求得ab 的最大值.

【题文】7.已知平面区域12

{(,)|2},0x D x y y x y ì???

=?í?-???2{(,)|20},D x y kx y =-+<在区域1D 内

随机选取一点M ,且点M 恰好在区域2D 上的概率为p ,若1

04

p

02

k

【知识点】几何概型.K3

【答案】【解析】B 解析:依题意可在平面直角坐标系中作出集合D 1所表示的平面区域是三角形与D 2所表示的平面区域是阴影部分的三角形(如图),

由图可知D 1=14482创

=, 由于1

04p

则20kx y -+<的斜率k >0的取值范围是:(0,1]. 故选B

【思路点拨】找出D 1、D 2对应面积的大小,然后将其代入几何概型的计算公式进行求解.在解题过程中,注意三角形面积的应用.

【题文】8.某人根据自己爱好,希望从{,,,}W X Y Z 中选2个不同字母,从{0,2,6,8}中选3 个不同数字编拟车牌号,要求前3位是数字,后两位是字母,且数字2不能排在首位,字母Z 和

数字2不能相邻,那么满足要求的车牌号有

(A )198个 (B )180个 (C )216个 (D )234个 【知识点】计数原理的应用.J1

【答案】【解析】A 解析:不选2时,有32

3472A A =种, 选2,不选Z 时,有1222232372C C A A =种,

选2,选Z 时,2在数字的中间,有21132336A C C =种,当2在数字的第三位时,213318A A =种,

根据分类计数原理,共有72+72+36+18=198,故选:A

【思路点拨】因为2,Z 都是特殊元素,故需要对此进行分类,第一类,不选2时,第二类选2,不选Z 时,第三类,先2不选Z 时,根据分类计数原理可得.

【题文】9.已知点(3,2)P -在抛物线2

:2(0)C y px p =>的准线上,过点P 的直线与抛物线C 相切于,A B 两点,则AB 的斜率为

(A )1 (B (C (D)3

【知识点】抛物线的简单性质.H7

【答案】【解析】D 解析:∵点P (3,2)P -在抛物线2:2(0)C y px p =>的准线上, ∴抛物线的准线方程为:2

p

x =-, ∴32

p

-

=-,∴6p =,∴212y x =,

抛物线C :212y x =,在第一象限的方程为y =

设切点A (m ,n ),则n =

由导数,得 y ′=2

×

=

∴在切点A

∴直线PA 的方程为:y ﹣(x ﹣m ). 将点(﹣3,2)代人,得到

2﹣

3﹣m ) ①,

n =②,

∴A (,2+2),

同理,可以设切点B (a ,b )

∴直线PB 的方程为:y ﹣b=

x ﹣a ). 将点(﹣3,2)代人,得到

2﹣b=3﹣a ) ③

b=﹣ ④

解得 ,

∴B (,2﹣2),

∴直线AB 的斜率为:

故选:D .

【思路点拨】首先,求出准线方程x=﹣3,再求出p ,从而得到抛物线方程,写出第一象限和位于第四象限的抛物线方程,分别设出切点,并求导,得到相应切点A 、B 的坐标,然后再由两点的斜率公式求出BF 的斜率.

【题文】10.设函数3()3(,0,0),f x a x b x a b

a b =+<>为实数,当[0,1]x ?时,有

()[0,1f x ?

,则b 的最大值是

(A )

12 (B) 4 (C) 2 (D) 1

4

【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值.B11 B12 【答案】【解析】C 解析:

∵3()3(,0,0),f x ax bx a b a b =+<>为实数,∴()

233f x

ax b ?+,

令()

0f x

?,可得x =?

1,则f (x )max =f (1)=1,∴b ∈(0,12];

②01,f (x )max =f =1,f (1)≥0,∴b ∈(12.

∴b . 故选:C .

【思路点拨】求导数,利用函数的单调性,结合x ∈[0,1]时,有f (x )∈[0,1],即可b 的最大值.

【题文】第Ⅱ卷(非选择题,共100分)

【题文】二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.

【题文】11.双曲线

22

143

x y -=的离心率为 . 【知识点】双曲线的几何性质H6

【答案】【解析】27

解析:因为双曲线22

143

x y -=,所以222224,3,+7a b c a b ====,

所以离心率e =27

。 【思路点拨】根据双曲线的标准方程,可得a ,b ,c ,从而可求双曲线的离心率.

【题文】

12. 6

的展开式中的常数项为 .

【知识点】二项式定理.J3

【答案】【解析】-160

解析:二项式6

的展开式的通项公式为

T r+1=

?2

6﹣r

??(﹣1)r

?

=(﹣1)r

?

?2

6﹣r

?.

令 6﹣2r=0,解得 r=3,故展开式中的常数项为﹣?23

=﹣160,

故答案为-160.

【思路点拨】在二项展开式的通项公式中,令x 的幂指数等于0,求出r 的值,即可求得常数项.

【题文】13.等边ABC 的边长为2,D,E 分别为BC,CA 的中点,则EB DA ×

= .

【知识点】平面向量数量积的运算.F3 【答案】【解析】2

3

解析:由于D ,E 分别为边BC ,CA 的中点, 则=(

+

),=(+

), 则

?

=(+

)?(+)

=(﹣

+)

=×(﹣4﹣2×﹣2×2×+2×2×)=2

3-

. 故答案为:2

3-

. 【思路点拨】运用中点的向量表示形式,结合向量的数量积的定义和性质,计算即可得到所求值.

【题文】14.正方形ABCD 的边长为2,点E,F 分别在边AB,BC 上,且AE=1,BF=

1

2

,将此正方形沿DE 、DF 折起,使点A 、C 重合于点P ,则三棱锥P-DEF 的体积是 . 【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积.G7 【答案】【解析】6

5

解析:根据题意知DP ⊥PE ,DP ⊥PF ,PE ∩PF=P , ∴DP ⊥面PEF ,

而DP=2,EF=

=

,PE=1,PF=2﹣

由余弦定理得cos ∠PEF=

=0,∴sin ∠PEF=1,∴S △EPF =PE ?EF=×1×

=,

∴V P ﹣DEF =V D ﹣PEF =×2×

=.故答案为:.

【思路点拨】根据题意得DP ⊥面PEF ,由此利用V P ﹣DEF =V D ﹣PEF ,能求出三棱锥P ﹣DEF 的体积. 【题文】15. 设f (x )与g (x )是定义在同一区间D 上的两个函数,若,使得|f (x 0)﹣g (x 0)|≤1,则称f (x )和g (x )是D 上的“接近函数”,D 称为“接近区间”;若?x ∈D ,都有|f (x )﹣g (x )|>1,则称f (x )和g (x )是D 上的“远离函数”,D 称为“远离区间”.给出以下命题: ①f (x )=x 2

+1与g (x )=x 2

+是(﹣∞,+∞)上的“接近函数”; ②f (x )=x 2﹣3x+4与g (x )=2x ﹣3的一个“远离区间”可以是[2,3]; ③f (x )=和g (x )=﹣x+b (b >

)是(﹣1,1)上的“接近函数”,则<b ≤+1;

④若f (x )=+2ex 与g (x )=x 2

+a+e 2

(e 是自然对数的底数)是[1,+∞)上的“远离函数”,

则a >1+

其中的真命题有 .(写出所有真命题的序号)

【知识点】命题的真假判断与应用.A2

【答案】【解析】①③解析:对于①,若f(x)=x2+1与g(x)=x2+,则|f(x0)﹣g(x0)|=1恒成立,

故f(x)=x2+1与g(x)=x2+是(﹣∞,+∞)上的“接近函数”;

故①正确;

对于②,若f(x)=x2﹣3x+4与g(x)=2x﹣3,

则|f(x0)﹣g(x0)|=|x02﹣5x0+7|=|(x0﹣)2+|,

当x0∈[2,3]时,|f(x0)﹣g(x0)|≤1恒成立,

故[2,3]是f(x)=x2﹣3x+4与g(x)=2x﹣3的一个“接近区间”,

故②错误;

对于③,若f(x)=和g(x)=﹣x+b(b>)是(﹣1,1)上的“接近函数”,

则?x0∈(﹣1,1)使|f(x0)﹣g(x0)|≤1,

即?x0∈(﹣1,1)使﹣x0+b﹣≤1,

即?x0∈(﹣1,1)使b≤+1+x0,

令h(x)=+1+x,则h′(x)=1﹣,

则当x∈(﹣,)时,h′(x)>0,h(x)为增函数;当x∈(,1)时,h′(x)<0,h(x)为减函数;

故当x=时,h(x)取最大值+1,

则<b≤+1;

故③正确;

④若f(x)=+2ex与g(x)=x2+a+e2(e是自然对数的底数)是[1,+∞)上的“远离函数”,即?x∈[1,+∞),

|+2ex﹣x2﹣a﹣e2|=|a﹣﹣2ex+x2+e2|=|(x﹣e)2+a﹣|>1,

令p(x)=(x﹣e)2+a,则p(x)在(﹣∞,e)上递减,在(e,+∞)上递增,

∴当x=e时,p(x)取最小值a;

令q(x)=,则q′(x)=,易得q(x)在(﹣∞,e)上递增,在(e,+∞)上递

减,

∴当x=e时,p(x)取最大值;

∴|a ﹣|>1,

即a >1+或a <﹣1+. 故④错误;

故真命题有:①③, 故答案为:①③

【思路点拨】根据已知中“接近函数”和“远离函数”的定义,逐一分析题目中给定的四组函数是否符号定义,最后综合讨论结果,可得答案.

【题文】三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步

骤.

【题文】16.(本小题满分12分)2014年11月12日,科幻片《星际穿越》上映,上映至今,全球累计票房高达6亿美金.为了解绵阳观众的满意度,某影院随机调查了本市观看此影片的观众,并用“10分制”对满意度进行评分,分数越高满意度越高,若分数不低于9分,则称该观众为“满意观众”.现从调查人群中随机抽取12名.如图所示的茎叶图记录了他们的满意度分数(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶).

(1) 求从这12人中随机选取2人,至少有1人为“满意观众”的概率; (2) 以本次抽样的频率作为概率,从整个绵阳市观看此影片的观众中任选3人,记x 表示

抽到“满意观众”的人数,求x 分布列及数学期望。

【知识点】茎叶图;列举法计算基本事件数及事件发生的概率.I2 K2 【答案】【解析】(1)

11

10

;(2) 2 解析:(1)设所选取的2人中至少有1人为“满意观众”的事件为A ,则A 为所选取的人中没

有1人为“满意观众”, ∴ P (A )=1-P (A )=1-212

2

4C C =1-

111=11

10, 即至少有1人为“满意观众”的概率为

11

10

. ………………………………4分 (2)由茎叶图可以得到抽样中“满意观众”的频率为

3

2

128=,即从观看此影片的“满意观众”的概率为32,同理,不是“满意观众”的概率为3

1

.…6分

由题意有ξ=0,1,2,3,则

P (ξ=0)=30

3

)31(C =271,P (ξ=1)=213

)31(32??C =92,P (ξ=2)=31)32(22

3??C =9

4, P (ξ=3)=3

33)32(C =27

8,

∴ ξ的分布列为

10分 ∴ ξ的数学期望E ξ=0×

271+1×92+2×94+3×27

8=2.………………………12分 【思路点拨】(1)由茎叶图可知从12人中任抽一人,其中低于9的有4人,由古典概型概率

公式可求;(2)利用列举法分别列出从中任意选取两人的可能有 以及分数不同的人数,由古典概型的公式可求.

【题文】17. (本小题满分12分)

如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为正方形,侧面PD ^底面ABCD,PD=DC,点E 是PC 的中点,作EF ^PB,垂足为F,

(1) 求证://PA 平面EBD ;

(2) 求二面角P AD F --的余弦值

【知识点】线面平行的判定定理;二面角的平面角的求法.G4 G11

【答案】【解析】(1)见解析;(2)5

5

2。 解析:(1) 如图,连结AC 、BD 交于O ,连结OE .

由ABCD 是正方形,易得O 为AC 的中点,从而OE 为△PAC 的中位线,

∴ EO //PA .

∵ EO ?面EBD ,PA ?面EBD ,

∴ PA //面EBD .………………………………………………………………4分 (2)由已知PD ⊥底面ABCD ,得PD ⊥AD ,PD ⊥CD .

如图,以DA ,DC ,DP 所在直线为坐标轴,D 为原点建立空间直角坐标系.

设AD =2,则D (0,0,0),A (2,0,0),P (0,0,2),E (0,1,1),B (2,2,0),=(2,2,-2),=DA (2,0,0).…………………………………6分 设F (x 0,y 0,z 0),PB PF λ=,则由PF =(x 0,y 0,z 0-2)

得(x 0,y 0,z 0-2)=λ(2,2,-2) ,即得???

??-===,,,

λλλ22220

00z y x

于是F (2λ,2λ,2-2λ). ∴ =(2λ,2λ-1,1-2λ). 又EF ⊥PB ,

∴ 0)2()21(2)12(22=-?-+?-+?λλλ,解得3

1=

λ. ∴ )343232(,,F ,)3

43232(,,=DF . ………………………………………8分 设平面DAF 的法向量是n 1=(x ,y ,z ),

则?????=?=?,,0011n n 即?

??=++=,,0202z y x x 令z =1,得n 1=(0,-2,1).

又平面P AD 的一个法向量为n 2=(0,1,0), ………………………………10分 设二面角P -AD -F 的平面角为θ, 则cos θ=

2121n n n n ?55

25

2==, 即二面角P -AD -F 的余弦值为

5

5

2. ………………………………………12分 【思路点拨】(1)连结AC 、BD 交于O ,连结OE ,结合线面平行的判定定理即可得到证明;(2)由已知PD ⊥底面ABCD ,得PD ⊥AD ,PD ⊥CD .以DA ,DC ,DP 所在直线为坐标轴,D 为原点建立空间直角坐标系.分别求出平面DAF 的法向量以及平面PAD 的一个法向量,然后利用公式求解即可。

【题文】18. (本小题满分12分)

已知ABC D

中,,,A B C 行?所对的边分别是a,b,c,且222

2

22bc b c a =+-, (1) 求sin A 的值;

(2) 若1

a =,sin

sin B C +=

,求b 的值。 【知识点】余弦定理;正弦定理.C8

【答案】【解析】(1(2 解析:(1)由余弦定理得4

1221

2cos 2

2

2

==-+=

bc bc

bc a c b A , 则4

15

cos 1sin 2=

-=A A . …………………………………………………4分 (Ⅱ)由A +B +C =π有C =π-(A +B ), 于是由已知sin B +sin C =

2

10得210)(sin sin =++B A B ,

即2

10

sin cos cos sin sin =++B A B A B , 将4

15sin =

A ,41cos =A 代入整理得210

cos 415sin 45=

+B B .①………7分 根据1cos sin 22=+B B ,可得B B 2sin 1cos -±=.

代入①中,整理得8sin 2B -410sin B +5=0, 解得4

10

sin =

B . ……………………………………………………………10分 ∴ 由正弦定理

B

b

A a sin sin =有364

15

410

1sin sin =?

==

A B a b . ………………12分

【思路点拨】(1)利用余弦定理求出cosA ,再利用平方关系,求sinA 的值;(2)运用三角形的内角和定理和两角和的正弦公式及同角公式,即可求得sinB ,再由正弦定理,即可得到b . 【题文】19. (本小题满分12分) 已知数列{}n a 中,11a =,二次函数211()(2)2

n n n f x a x a x -+=

?-?的对称轴为x =21

(1) 试证明}2{n n a 是等差数列,并求{}n a 的通项公式;

(2) 设{}n a 的前n 项和为n S ,试求使得3n S <成立的n 的值,并说明理由。 【知识点】等差数列的通项公式;二次函数的性质;等差数列的前n 项和.D2 D4 【答案】【解析】(1)1

2n n n

a -=

;(2)n =1,2,3. 解析:(1) ∵二次函数x a x a x f n n n ?-+?=

+-)2(21)(12的对称轴为x =2

1, ∴ a n ≠0,21

2

1221=?--

+-n n n a a ,整理得n n n a a 21211+=+,………………………2分 左右两边同时乘以1

2

+n ,得22211+=++n n n n a a ,即22211=-++n n n n a a (常数),

∴ }2{n n a 是以2为首项,2为公差的等差数列, ∴ n n a n n 2)1(222=-+=,

∴ 1

222-==

n n n n n a . ……………………………………………………………5分 (Ⅱ)∵ 12210221232221--+-+++=n n n n

n S , ①

n n n n

n S 2

21232221211321+-+++=- , ②

①-②得:n n n n S 2212121211211321-++++=- n n n 22

11211---

=

, 整理得 1

22

4-+-

=n n n S .…………………………………………………………8分 ∵ )224(23411-++--+-

=-n n n n n n S S =n n 2

1

+>0,

∴ 数列{S n }是单调递增数列.………………………………………………10分 ∴ 要使3n S <成立,即使1

2

2

4-+-

n n <3,整理得n +2>12-n , ∴ n =1,2,3.………………………………………………………………12分

【思路点拨】(1)根据对称轴,得到22211+=++n n n n a a ,继而得到}2{n n a 是以2为首项,以2公差的等差数列,根据等差数列的通项公式求出a n ,(2)利用错位相加法求出数列的前n 项和为S n ,并利用函数的思想,得到3n S <成立的n 值. 【题文】20. (本小题满分13分)

已知椭圆E 的中心在原点O,焦点在x

轴上,离心率e =,椭圆E 的右顶点与上顶点之间的

(1) 求椭圆E 的标准方程;

(2) 过定点()

3,4P -且斜率为k 的直线交椭圆E 与不同的两点M,N,在线段MN 上取异于

M,N 的点H,

H 恒在一条直线上,并求出点H 所在的直线

方程。

【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题.H8

【答案】【解析】(1)12

32

2=+y x ;

(2)见解析 解析:(1)设椭圆的标准方程为122

22=+b

y a x ,焦点坐标为(c ,0),

由题知:???

??=+=,

,533

2

2b a a c 结合a 2=b 2+c 2,解得:a 2=3,b 2=2, ∴ 椭圆E 的标准方程为12

32

2=+y x . ………………………………………4分

(2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),H (x 0,y 0), 由已知直线MN 的方程为y =kx +3k +4,

联立方程?

??++==+,,

)43(63222k kx y y x

消去y ,得0)427227()43(6)32(222=++++++k k x k k x k ,

于是x 1+x 2=232)43(6k k k ++-,x 1x 2=2

23242

7227k

k k +++.① ………………………7分 又P ,M ,H ,N 四点共线,将四点都投影到x 轴上,

21

02133x x x x x x --=

++, 整理得:)

(6)

(322121210x x x x x x x ++++=

. …………………………………………10分

将①代入可得=

++-+++-?

++++?=2

2

22032)43(6632)43(63324272272k

k k k k k k k k x k k 2176-+, …… 12分 ∴ k

k k k k k

k kx y 214

2)43(2176)43(00-+=++-+=++=, 消去参数k 得01200=+-y x ,即H 点恒在直线012=+-y x 上. ………13分

【思路点拨】(1)设椭圆的标准方程为122

22=+b

y a x ,焦点坐标为(c ,0),由题知:

?????=+=,

,533

2

2b a a c ,又a 2=b 2+c 2

,解出即可;(2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),H (x 0,y 0),由已知直线MN 的方程为y=kx+3k+4,与椭圆的方程联立可得:

0)427227()43(6)32(222=++++++k k x k k x k ,

得到根与系数的关系.又P ,M ,H ,N 四点共线,将四点都投影到x 轴上,

21

02133x x x x x x --=++,进而解出x 0用k 表示,及其y 0用k 表示,消去k 即可得出. 【题文】21. (本小题满分14分) 已知函数2()ln 12a f x x x x =

-++,()21x a

g x ae ax a x

=++--,其中a R ?。 (1) 若2a =,求()f x 的极值点; (2) 试讨论()f x 的单调性; (3) 若()0,0,a x >"??

,恒有()()g x f x ¢3

(()f x ¢为()f x 的导函数),求a 的最小

值。

【知识点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.B11 B12

【答案】【解析】(1)

21

;(2))(x f 在(0,+∞)上是减函数;(3)1

1-e 解析:(Ⅰ) ∵ 11

)(+-='x

ax x f ,x ∈(0,+∞), ………………………1分

∴ a =2时,x

x x x x x x f )

1)(12(12)(2+-=

-+='=0, ∴ 解得x =

2

1

,x =-1(舍). 即)(x f 的极值点为x 0=

2

1

. ……………………………………………………3分 (Ⅱ) x

x ax x ax x f 1

11)(2-+=+-='.

(1)0=a 时,)(x f 在)1,0(上是减函数,在)1,0(上是增函数;

0≠a 时, 对二次方程ax 2+x -1=0,Δ=1+4a ,

(2)若1+4a ≤0,即4

1

-≤a 时,ax 2+x -1<0,而x >0,故)(x f '<0,

∴ )(x f 在(0,+∞)上是减函数. (3)若1+4a >0,即a >41-时,ax 2+x -1=0的根为a

a x 241121+±-=,, ①若<-

4

1a <0,则

a a 2411+-->a a

2411++->0, ∴ 当x ∈(

a a 2411++-,a a 2411+--)时,ax 2+x -1>0,即)(x f '>0,得)(x f 是增函数;

当x ∈)2411,0(a

a ++-, (

a a

2411+--,+∞)时,ax 2+x -1<0,即)(x f '<0,得)(x f 是减函数. ②若a >0,

a a 2411+--<0

a

2411++-,

∴ 当x ∈(0,a

a

2411++-)时,ax 2+x -1<0,即)(x f '<0, 得)(x f 是减函数;

当x ∈(

a

a

2411++-,+∞)时,ax 2+x -1>0,即)(x f '>0得)(x f 是增函数.

∴ 综上所述,0=a 时,)(x f 在)1,0(上是减函数,在)1,0(上是增函数 当4

1

-≤a 时,)(x f 在(0,+∞)上是减函数; 当41

-

a ++-, (

a

a

2411+--,+∞)上是减函数;

当a >0时,)(x f 在(

a a 2411++-,+∞)上是增函数,在(0,a

a

2411++-)上是减函

数.…………………………………………………………………………7分 (Ⅲ)令)1(21

)()()(+-++

='-=a x

a ae x f x g x h x ,x >0,

于是2

22)

1(1)(x

a x ae x a ae x h x x

+-?=+-='. 令)1()(2+-?=a x ae x p x ,则)2()(+?='x x ae x p x >0, 即p (x )在(0,+∞)上是增函数.

∵ p (x )=-(a +1)<0,而当x →+∞时,p (x )→+∞, ∴ ?x 0∈(0,+∞),使得p (x 0)=0.

∴ 当x ∈(0,x 0)时,p (x )<0,即)(x h '<0,此时,h (x )单调递减; 当x ∈(x 0,+∞)时,p (x )>0,即)(x h '>0,此时,h (x )单调递增, ∴ )()(0min x h x h ==)1(21

0+-++

a x a ae x .① 由p (x 0)=0可得0)1(2

00=+-?a x ae x ,整理得2

10x a ae x +=,②…………10分

代入①中,得)(0x h =

)1(21

10

2

+-++

+a x a x a , 由?x ∈(0,+∞),恒有)(x g ≥)(x f ',转化为)1(21

10

2

+-++

+a x a x a ≥0,③ 因为a >0,③式可化为2110

2

-+

x x ≥0,整理得1202

0--x x ≤0, 解得2

1

-

≤x 0≤1. 再由x 0>0,于是0

由②可得a

a x e x 1

2

00+=

?. 令)(0x ?=2

00x e x ? ,则根据p (x )的单调性易得)(0x ?在1]0(,是增函数, ∴ )0(?<)(0x ?≤)1(?, 即0<

a

a 1

+≤e , 解得a ≥

11-e ,即a 的最小值为1

1-e .……………………………………14分 【思路点拨】(Ⅰ)求导11

)(+-

='x

ax x f ,x ∈(0,+∞),从而令导数为0求极值点; (Ⅱ)求导x

x ax x ax x f 111)(2-+=+-=',讨论a 的取值以确定导数的正负,从而确定函数

的单调性;(Ⅲ)令)1(21

)()()(+-++='-=a x

a ae x f x g x h x ,x >0,从而求导2

22)1(1)(x

a x ae x a ae x h x x

+-?=+-=',再令)1()(2

+-?=a x ae x p x ,再求导)2()(+?='x x ae x p x >0,从而由导数的正负确定函数的单调性,从而求得h min (x )=h (x 0)

=)1(2100+-++

a x a ae x ,从而化恒成立问题为最值问题,再转化为)1(21

10

20+-+++a x a x a ≥0,

从而可得0<a

a 1

+≤e ,从而求解.

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