分式方程 综合练习2

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专项训练(2)

【例题精选】：

例1：

如甲乙二人加工同一种零件，甲加工90个零件与乙加工60个零件所用时间相等，已知甲每小时比乙多加工6个零件。问甲乙二人每小时加工多少个零件？ 分析：因为甲乙二人加工零件的时间相等很容易得到方程：

90606

x x =-

分式方程：像这种分母里含有未知数的方程叫做分式方程。

前面我们学习过的方程都是整式方程，而一元一次方程是最简单的整式方程。 怎样解分式方程呢？如果能把分式方程中的分母化去，将分式方程转化成整式方程，就可以利用学习过的整式方程的方法去解了。

2

如： 90606x x =-

最简公分母： ()x x -6

方程两边都乘以()x x -6得：

()90660x x -=

再解这个整式方程得x =18

x =18是不是原方程的解呢？代入原方程检验：

左边=5，右边=5

∵左边＝右边

∴x =18是原方程的根。

再看方程

2131612x x x ++-=-

解这个方程

两边乘以最简公分母：()()

x x

+-

11得整式方程：()()

21316

x x

-++=

解得x=1

把x=1代入原方程去检验，会发现，使分式

3

1

6

1

2

x x

--

和的分母为零，没有

意义。

∴1不是原方程的根，实际原方程无解。

为什么会出现这种现象呢？

因为方程的同解原理2（或等式性质2）是在方程两边都乘以（或除以）同一个非零的数所得方程与方程同解。

可是去分母时，用最简公分母去乘的时候显然是一个含有未知数的代数式去乘，所以可能产生增根，即最简公分母为零时，此时的根是增根。

所以验根不是可有可无，而是解分式方程的必要步骤。

根据以前我们对解方程的认识，可以归纳解分式方程的过程为：

3

①在方程两边都乘以最简公分母。约去分母，化成整式方程。

注意：方程左右两边每一项都要乘。

②解这个整式方程。

③把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否是零，使最简公分母为零的根，是原方程的增根，必须舍去。

例2：解下列方程：

①57

2

x x

=

-

②

1

2

1

2

3

x

x

x

-

=

-

-

-

③

x

x x x x

1

1

1

3

1

23

-+

=

+

-

+

④

11

2

x m x n

+

=

-

（m n

、都是已知数）

解：①先确定最简公分母：()

x x-2用最简公分母在方程两边去乘，得()

527

x x

-=

4

5

解得x =-5

检验，把x =-5代入()x x -=≠2350

∴x =-5是原方程的根。（注意：同学也可以代回原题去检验，试一试。） ②12123x x x -=--- 分析：观察一下，x x --22与是互为相反式子，只要改变一下符号就可以变成完全相同的式子。

∴最简公分母是()x -2，但方程右边的12--x x 这一项就应当是x x --12

∴去分母得

()1132=---x x [注意－3，不要忘了乘以()x -2]

解得x =2

检验，把x =2代入x -=20

∴x =2是增根，原方程无解。

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③x x x x x 1113123-+=+-+

分析：最简公分母为()()112+-+x x x

去分母得：

()()x x x x x 11312+=-+-=-

检验：把x =-1代入()()1102+-+=x x x

∴x =-1是原方程的增根，原方程无解。 ④112x m x n +=-（m n 、都是已知数） 分析：像这样含有字母系数，在整式方程中已经见过，先把它当作已知数字做，然后按分式方程的步骤加以解决。

解：最简公分母：()()x m x n +-2 去分母得：

7

2x n x m x m n -=+=+ 把x m n =+代入最简公分母()()()()x m x n m n m n +-++≠222得0但要考虑到必须在m n ≠-

2的前提下，上面结果方能成立。

例3：解下列方程或方程组： ①16151413

x x x x ---=--- ②

x x x x x x x x ++-++=++-++21436587 ③12111

x y y x y y

+=-+=???????

解①：

分析：如果用去分母方法可以解，但必定是很复杂的，因为最简公分母是：

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()()()()x x x x ----6543当约去各自分母后，必然仍是一个三次多项式，这样的三次多项式、不仅做起来麻烦，而且也容易出错，可以考虑，用学习过的分式加减，先把方程左右两边分别整理。

解：16151413x x x x ---=---

()()()()165143x x x x --=--

再去分母，就比较容易得 x x x x x 22113071292

-+=-+= 检验：把x =

92代入()()()()x x x x ----≠65430 ∴x =92

是原方程的解。

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解②：x x x x x x x x ++-++=++-++21436587 分析：根据上面例的解法，我们可以考虑如何使这样的方程，做起来既简便又准确呢，可将

x x ++21化成111++x 的形式，这样。就较容易做了。 解：x x x x x x x x ++-++=++-++21436587

()()()()

11111311511711131517

213257++?? ???-++?? ???=++?? ???-++?? ???+-+=+-+++=++x x x x x x x x x x x x

去分母得

x x x x x 224312354++=++=-

检验：把x =-4代入()()()()x x x x ++++≠13570

10 ∴x =-4是原方程的根。

解③：12111x y y x y y +=-+=?????

??①②

分析：这是由含有x y 、的未知数组成的分式方程组，可以考虑用解分式方程的方法步骤去解，去分母可变成整式方程组，也可以考虑用换元法去解。 解法一：将②代入①得

1211

y y y =-=

把y =1代入②得

11

10

x x +== 检验根：()x y x y y ==???

+≠010代入

11

解法二：考虑用换元法去解 设11x y A y

B +==，

∴原方程组变型为A B A B =-=???2

解得A B ==11， 把A x y A B y

B =+===1111代入，把代入 111101x y y

x y +==???????==???解得

经检验：x y ==???01是原方程组的解。

分式方程的应用： 以前我们学习过用整式方程解应用题。在一般情况下，列分式方程解应用题和解一元一次方程解应用题的方法和步骤大体一致。

方法和步骤如下：

①审清题意；

②设未知数；

③根据题意找相等关系：列出（分式）方程；

④解方程，并验根；

⑤写出答案。

常见几种量之间的关系有：

速度×时间 = 距离

速度距离时间

时间

距离速度=

=

例4：用方程解下列应用题：

1、农机厂职工到距工厂15千米的生产队检修农机，一部分人骑自行车先走

12

40分钟后，其余的人乘汽车出发，结果他们同时到达。已知汽车的速度是自行车的3倍，求自行车、汽车的速度各是多少？

分析：设自行车的速度是每小时x千米。

那么汽车的速度是每小时3x千米。

所以根据题意可以得到自行车和汽车走15千米各自时间的代数式。

即自行车所用的时间是15

x

，而汽车所用的时间是

15

3x

，又由于自行车早出发

了40分钟（2

3

小时）。

∴很容易找出“相等的关系”。

汽车所用的时间=自行车所用时间－2

3

小时

或汽车所用的时间＋2

3

小时=自行车所用的时间

解：设自行车的速度是每小时x千米，那么汽车的速度是每小时3x千米。

13

14

列方程： 1531523

15345

x x x x =-==

检验：x =15是原方程的根。

答：自行车的速度是15千米/时，汽车的速度是45千米/时。

2、轮船顺水航行46千米和逆流航行34千米所用的时间，恰好与它在静水中航行80千米所用的时间相同，水流速度是每小时3千米，求轮船在静水中的速度是多少？

分析：轮船在顺水的速度是静水中的速度＋水流速度

轮船在逆水的速度是静水中的速度－水流速度

即：设轮船在静水中的速度是每小时x 千米，则顺水速度为每小时()x +3千米。

逆水速度为每小时()x -3千米，

15

再根据时间的数量关系很容易得到方程。

解：设轮船在静水中的速度为每小时x 千米。

依题意得方程： 4633438020

x x x x ++-==

检验：x =20是原方程的解。

答：轮船在静水中的速度是每小时20千米。

3、甲乙两工人分别加工1500个零件，乙改进技术，生产率是甲的3倍，因此乙比甲少用20小时加工完，问他们每小时各加工多少个零件？

分析：同学们自己分析一下，如何表示他们加工零件所用的时间，怎样找出“相等”的关系。

解：设甲每小时加工x 个零件，则乙每小时加工3x 个零件。

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依题意得 15001500320503150

x x

x x =+==

检验：x =50是原方程的根。

答：甲每小时加工50个零件，乙每小时加工150个零件。

4、张雨承包了水田40亩，旱田15亩，为了提高单位面积产量，准备把部分旱田改为水田，改完后要使旱田占水田的10%，问应把多少亩旱田改为水田？ 分析：如果假设改x 亩旱田，那么现在应有旱田

()15-x 亩，而水田呢，()40+x 亩，再根据给出的旱

田占水田的10%，就可列出方程。

如图：

解：设，把x 亩旱田改为水田。

列方程：

15 40

10

100

10 -

+

=

=

x

x

x

检验：要把10亩旱田改为水田。

5、甲乙两地相距135千米，甲骑自行车，乙乘汽车，都从甲地去乙地，甲提前5小时出发，而汽车比自行车晚到30分钟，已知汽车的速度与自行车速度的比为5∶2，求两车的速度。

分析：如果设汽车和自行车的速度为每小时5x千米和2x千米，那么汽车和自行车行驶135千米路程所用的时间就能表示出来，于是根据给出的时间条件列出方程。

解：设汽车每小时行5x千米，自行车每小时行2x千米。

列方程

17

18

135********

x x x +==

检验：x =9是原方程的根。

答：汽车的速度为每小时45千米，自行车的速度为每小时18千米。

例5：解下列关于未知数为x 的方程。 （1）()x a b x a b a a b a +++--=-≠112022

（2）()m n n m x m n n m

x m n +?? ???=--+≠20

（3）()a x x a x x a x 22422212122141-+-+-=-- 分析：含字母系数的方程与解数字系数的方程方法、步骤基本一致，只是当最后除以x 的系数时，因为是含字母系数的代数式，要注意所给的条件。

19

解：（1）()x a b x a b a a b a +++--=-≠112022

a b 220-≠（若原分母为零，原题就没有意义） 方程两边都乘以a b 22-

()()()()()()()()a b x a b x a

a b x a b a b x a b a

ax b a ax a b

a x a b

a -+++-=-+-++-+=-==+≠∴=+11222222220

（2）()m n n m x m n n m

x m n +?? ???=--+≠20 解：m n n m x x m n n m +?? ???+=-2

20

()()()()()()

m n n m x m n n m

m m n mn x m n mn

m n mn

x m n m n mn m n m n x m n m n m n x m n

m n

++?? ???=-++=-+=+-≠≠∴+=+-+≠∴=-+2200

2222

22 ， （3）()a x x a x x a x 22422212122141

-+-+-=-- 解：()a x x a x x a x 22422212212141-+++-=-- 去分母得