解三角形专题
解三角形专题
一．选择题（共5小题）
1．（2016?兴庆区校级一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=2，1+=．则∠C=（）
A．30°B．135°C．45°或135°D．45°
2．（2016?桂林一模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，
=a，a=2，若b∈[1，3]，则c的最小值为（）
A．2 B．3 C．2D．2
3．（2016?荆州一模）△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且sinA+cosA=，
a=7，3sinB=5sinC，则b+c的值为（）
A．12 B．8C．8D．8
4．（2016?朝阳区一模）在△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值为（）
A．B．或 C．D．或
5．（2016?岳阳校级一模）△ABC中A，B，C的对边分别是a，b，c，面积S=，
则C的大小是（）
A．30°B．45°C．90°D．135°
二．填空题（共4小题）
6．（2016?淮北一模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中A=120°，
b=1，且△ABC的面积为，则=．
7．（2016?抚顺一模）已知△ABC的周长为，面积为，且，
则角C的值为．
8．（2016?榆林一模）在△ABC中，A=60°，b=1，
=．
9．（2016?广东模拟）顶点在单位圆上的△ABC中，角A，B，C所对的边分为a、b、c，若sinA=，b2+c2=4，则S△ABC=．
三．解答题（共9小题）
10．（2016?安徽校级一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的值；
（2）若∠B=，BC边上中线AM=，求△ABC的面积．
11．（2016?郴州一模）若f（x）=cos2ax﹣sinaxcosax（a＞0）的图象与直线y=m（m＞0）相切，并且切点横坐标依次成公差为π的等差数列．
（1）求a和m的值；
（2）△ABC中a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．若（，）是函数f（x）图象
的一个对称中心，且a=4，求△ABC周长的取值范围．
12．（2016?广安模拟）已知函数f（x）=（sin2x﹣cos2x+）﹣sin2（x﹣），x∈R （1）求函数f（x）的单调增区间：
（2）设△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，且f（B）=，b=2，求△ABC的面积的最大值．
13．（2016?河南一模）如图，在△ABC中，点D在BC边上，，
．
（Ⅰ）求sin∠C的值；
（Ⅱ）若BD=5，求△ABD的面积．
14．（2016?青岛一模）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量
，向量，且．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若sinAsinC=sin2B，求a﹣c的值．
15．（2016?厦门一模）在△ABC中，点D在BC边上，已知cos∠CAD=，cos∠C=．
（1）求∠ADC；
（2）若，求BD．
16．（2016?长宁区一模）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量
，，若
∥．
（1）求角A、B、C的值；
（2）若，求函数f（x）=sinAsinx+cosBcosx的最大值与最小值．
17．（2016?泰州一模）在△ABC中，角A，B的对边分别为a，b，向量=（cosA，sinB），
=（cosB，sinA）．
（1）若acosA=bcosB，求证：∥；
（2）若⊥，a＞b，求的值．
18．（2016?甘肃一模）在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，若=（cos2，1），
=（cos2（B+C），1），且∥．
（I）求角A；
（Ⅱ）当a=6，且△ABC的面积S满足=时，求边c的值和△ABC的面积．
2016年04月14日唐彬彬的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2016?兴庆区校级一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=2，1+=．则∠C=（）
A．30°B．135°C．45°或135°D．45°
【考点】正弦定理；余弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】利用正弦定理以及两角和差的正弦公式进行化简即可．
【解答】解：由1+=．得1+=．
即cosAsinB+sinAcosB=2sinCcosA，
即sin（A+B）=2sinCcosA，
即sinC=2sinCcosA，
∴cosA=，即A=，
∵a=2，c=2，
∴a＞c，
即A＞C，
由正弦定理得，
即，
∴sinC=，
即C=45°，
故选：D
【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理以及两角和差的正弦公式进行化简是解决本题的关键．
2．（2016?桂林一模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，
=a，a=2，若b∈[1，3]，则c的最小值为（）
A．2 B．3 C．2D．2
【考点】正弦定理．
【专题】计算题；转化思想；分析法；函数的性质及应用；解三角形．
【分析】利用正弦定理，余弦定理化简已知得3cosC=sinC，可求cosC=，由余弦定理
可得c=（b﹣）2+9，由b∈[1，3]，即可得解c的最小值．
【解答】解：由=a，
可得：，
即：3cosC=sinC，可得：tanC=，
故：cosC=，
所以：c=（b﹣）2+9，
因为：b∈[1，3]，
所以：当b=时，c取得最小值3．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，二次函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．
3．（2016?荆州一模）△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且sinA+cosA=，
a=7，3sinB=5sinC，则b+c的值为（）
A．12 B．8C．8D．8
【考点】正弦定理；余弦定理．
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；解三角形．
【分析】将sinA+cosA=两边平方，可解得sin2A=﹣，结合范围0＜A＜π，可得：cosA=﹣，由正弦定理化简3sinB=5sinC，可得：3b=5c①，根据余弦定理可得
49=b2+c2+bc②，由①②联立可解得b，c的值，从而得解．
【解答】解：∵sinA+cosA=，
∴两边平方，可得：1+sin2A=，解得：sin2A=﹣，
∵0＜A＜π，0＜2A＜2π，
∴解得：A=或（由sinA+cosA=舍去），可得：cosA=﹣，
∵3sinB=5sinC，可得：3b=5c①，
∴由a=7，根据余弦定理可得：49=b2+c2﹣2bccosA，
∴49=b2+c2+bc②，
∴由①②可解得：b=5，c=3，b+c=8．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二倍角的正弦函数公式，正弦定理，余弦定理的综合应用，熟练掌握和灵活应用相关公式是解题的关键，属于中档题．
4．（2016?朝阳区一模）在△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值为（）
A．B．或 C．D．或
【考点】余弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】利用余弦定理表示出cosB，整理后代入已知等式，利用同角三角函数间基本关系化简，求出sinB的值，即可确定出B的度数．
【解答】解：∵cosB=，
∴a2+c2﹣b2=2accosB，
代入已知等式得：2ac?cosBtanB=ac，即sinB=，
则B=或．
故选：B．
【点评】此题考查了余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
5．（2016?岳阳校级一模）△ABC中A，B，C的对边分别是a，b，c，面积S=，
则C的大小是（）
A．30°B．45°C．90°D．135°
【考点】余弦定理．
【专题】三角函数的求值．
【分析】已知等式左边利用三角形面积公式化简，右边利用余弦定理化简，整理求出
【解答】解：∵△ABC中，S=absinC，a2+b2﹣c2=2abcosC，且S=，
∴absinC=abcosC，即tanC=1，
则C=45°．
故选：B．
【点评】此题考查了余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
二．填空题（共4小题）
6．（2016?淮北一模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中A=120°，
b=1，且△ABC的面积为，则=2．
【考点】正弦定理．
【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．
【分析】先利用面积公式，求出边a=4，再利用正弦定理求解比值．
【解答】解：由题意，=×c×1×sin120°
∴c=4，
∴a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣2×1×4×（﹣）=21．
∴a=
∴==2．
故答案为：2．
【点评】本题的考点是正弦定理，主要考查正弦定理的运用，关键是利用面积公式，求出边，再利用正弦定理求解．
7．（2016?抚顺一模）已知△ABC的周长为，面积为，且，
则角C的值为．
【考点】正弦定理．
【专题】对应思想；综合法；解三角形．
【分析】由正弦定理得出a+b=，结合周长得出c和a+b，根据面积公式得出ab，利用余弦定理计算cosC．
【解答】解：∵，∴a+b=．
∵a+b+c=，∴，解得c=1．∴a+b=．
∵S=，∴ab=．
∴cosC===．
∴C=．
故答案为．
【点评】本题考查了正余弦定理在解三角形的应用，属于中档题．
8．（2016?榆林一模）在△ABC中，A=60°，b=1，=2．
【考点】正弦定理的应用．
【专题】计算题．
【分析】先利用面积公式，求出边a=2，再利用正弦定理求解比值．
【解答】解：由题意，，所以，，即=×c×1×sin60°
∴c=2，由余弦定理，a2=b2+c2﹣2bccosA=1+4﹣2×1×2×cos60°=3，解得a=
∴==2，
故答案为：2．
【点评】本题考查正弦定理的运用，关键是利用面积公式，考查计算能力．
9．（2016?广东模拟）顶点在单位圆上的△ABC中，角A，B，C所对的边分为a、b、c，若
sinA=，b2+c2=4，则S△ABC=．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【专题】方程思想；综合法；解三角形．
【分析】由正弦定理和已知可得a值，由余弦定理可得bc的值，整体代入S△ABC=bcsinA，
计算可得．
【解答】解：由题意和正弦定理可得a=2rsinA=，（r为△ABC外接圆半径1），
∵sinA=，∴cosA=±，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，
代入数据可得3=4±bc，解得bc=1，
∴S△ABC=bcsinA=，
故答案为：．
【点评】本题考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面积公式和整体代入，属基础题．三．解答题（共9小题）
10．（2016?安徽校级一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的值；
（2）若∠B=，BC边上中线AM=，求△ABC的面积．
【考点】正弦定理．
【专题】计算题；解三角形．
【分析】（1）利用正弦定理化边为角可求得cosA=，从而可得A；
（2）易求角C，可知△ABC为等腰三角形，在△AMC中利用余弦定理可求b，再由三角形面积公式可求结果；
【解答】解：（1）∵．
∴由正弦定理，得，化简得cosA=，
∴A=；
（2）∵∠B=，∴C=π﹣A﹣B=，
可知△ABC为等腰三角形，
在△AMC中，由余弦定理，得AM2=AC2+MC2﹣2AC?MCcos120°，即
7=，
解得b=2，
∴△ABC的面积S=b2sinC==．
【点评】该题考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，属基础题，熟记相关公式并灵活运用是解题关键．
11．（2016?郴州一模）若f（x）=cos2ax﹣sinaxcosax（a＞0）的图象与直线y=m（m＞0）相切，并且切点横坐标依次成公差为π的等差数列．
（1）求a和m的值；
（2）△ABC中a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．若（，）是函数f（x）图象
的一个对称中心，且a=4，求△ABC周长的取值范围．
【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．
【专题】综合题；解三角形．
【分析】（1）由题意，函数f（x）的周期为π，且最大（或最小）值为m，利用三角恒等变换可化简f（x），从而可求结果；
（2）由（，）是函数f（x）图象的一个对称中心可求A，利用正弦定理可把周长化为三角函数，进而可求答案；
【解答】解：（1）=，
由题意，函数f（x）的周期为π，且最大（或最小）值为m，而m＞0，，
∴a=1，；
（2）∵（是函数f（x）图象的一个对称中心，
∴，
又∵A为△ABC的内角，∴，
△ABC中，则由正弦定理得：，
∴
，
∵，
∴b+c+a∈（8，12]．
【点评】该题考查正弦定理、两角和与差的正弦函数、倍角公式等知识，考查学生综合运用知识解决问题的能力．
12．（2016?广安模拟）已知函数f（x）=（sin2x﹣cos2x+）﹣sin2（x﹣），x∈R （1）求函数f（x）的单调增区间：
（2）设△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，且f（B）=，b=2，求△ABC的面
积的最大值．
【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】（1）先利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，进而利用正弦函数的性质求得函数的单调区间．
（2）根据f（B）的值求得B，然后利用余弦定理建立关于a和c的等式，利用基本不等式求得ac的范围，最后利用三角形面积公式即可求得三角形面积的最大值．
【解答】解：（1）
=
，
由可得，
∴f（x）的单调递增区间为：．
（2），
∴，
在△ABC中，由余弦定理：4=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=ac，
∴
∴△ABC面积的最大值为．
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，三角函数图象与性质．考查了学生对三角函数基础知识的综合掌握．
13．（2016?河南一模）如图，在△ABC中，点D在BC边上，，
．
（Ⅰ）求sin∠C的值；
（Ⅱ）若BD=5，求△ABD的面积．
【考点】正弦定理．
【专题】计算题；转化思想；数形结合法；解三角形．
【分析】（Ⅰ）由同角三角函数基本关系式可求sin∠ADB，由．利用两角
差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求值得解．
（Ⅱ）先由正弦定理求AD的值，再利用三角形面积公式即可得解．
【解答】（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为，
所以．
又因为，
所以．
所以
=．…（7分）
（Ⅱ）在△ACD中，由，得．
所以．…（13分）
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值，正弦定理，三角形面积公式等知识的综合应用，考查了数形结合能力和转化思想，考查了计算能力，属于中档题．
14．（2016?青岛一模）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量
，向量，且．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若sinAsinC=sin2B，求a﹣c的值．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【专题】方程思想；转化思想；综合法；解三角形．
【分析】（I）由，可得2sin（A+C）﹣cos2B=0，解得tan2B=，
可得B．
（II）sinAsinC=sin2B，由正弦定理可得：ac=b2，再利用余弦定理即可得出．
【解答】解：（I）∵，∴2sin（A+C）﹣cos2B=0，
∴﹣2sinBcosB=cos2B，即sin2B=﹣cos2B，解得tan2B=，
∵，∴2B∈（0，π），∴，解得B=．
（II）∵sinAsinC=sin2B，由正弦定理可得：ac=b2，
由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，
∴ac=a2+c2﹣2accos，化为（a﹣c）2=0，解得a﹣c=0．
【点评】本题考查了正弦定理余弦定理的应用、数量积运算性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15．（2016?厦门一模）在△ABC中，点D在BC边上，已知cos∠CAD=，cos∠C=．
（1）求∠ADC；
（2）若，求BD．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【专题】数形结合；方程思想；转化思想；解三角形．
【分析】（1）由cos∠CAD=，cos∠C=，∠CAD，∠C∈（0，π），可得
sin∠CAD=，sin∠C=．可得cos∠ADC=﹣cos
（∠CAD+∠C）=﹣cos∠CADcos∠C+sin∠CADsin∠C．
（2）在△ADC中，由正弦定理可得：AD=，在△ABD中，∠ADB=π﹣∠ADC=，由余弦定理可得：10=BD2+18﹣2×?BD?，化简整理即可得出．
【解答】解：（1）∵cos∠CAD=，cos∠C=，∠CAD，∠C∈（0，π），
∴sin∠CAD==，sin∠C==．
∴cos∠ADC=﹣cos（∠CAD+∠C）=﹣cos∠CADcos∠C+sin∠CADsin∠C=﹣
×+=﹣．
又∠CDA∈（0，π），∴∠CDA=．
（2）在△ADC中，由正弦定理可得：AD==3，
在△ABD中，∠ADB=π﹣∠ADC=，
由余弦定理可得：10=BD2+18﹣2×?BD?，
化简得：BD2﹣6BD+8=0，解得BD=4或BD=2．
综上所述：BD=4或2．
【点评】本题考查了正弦定理余弦定理的应用、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16．（2016?长宁区一模）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量
，，若
∥．
（1）求角A、B、C的值；
（2）若，求函数f（x）=sinAsinx+cosBcosx的最大值与最小值．
【考点】正弦定理的应用；三角函数的恒等变换及化简求值；三角函数的最值．
【专题】计算题．
【分析】（1）由∥的条件得acosB=bcosA，由正弦定理把边化为角，再用两角差的正正
弦公式得sin（A﹣B）=0，在三角形内角的范围内得A=B，由向量模的值为3，得其平方为9，用坐标来表示，得关于cosA的方程，求得cosA的值，A是三角形内角，可得一个确定的角A，从而求出其它两角．
（2）用两角和的正弦公式把f（x）化为f（x）=sin（x+）的形式，由
【解答】解：（1）∵∥，
由正弦定理，得sinAcosB=sinBcosA，∴sin（A﹣B）=0，
又﹣π＜A﹣B＜π，∴A=B
而，
∴8+4sin2A=9，∴4（1+cosA）+4（1﹣cos2A）=9，
∴4cos2A﹣4cosA+1=0，∴（2cosA﹣1）2=0
∴，又0＜A＜π，∴，
∴．
（2），
∵
∴x=0时，，
时，．
【点评】此题是解三角形与三角函数的综合运用，在求角时，得到一个关于三角函数的等式，把这个式子要么全化成角，要么全化成边；求三角函数最值时，一般要把式子化为
y=Asin（ωx+φ）形式．
17．（2016?泰州一模）在△ABC中，角A，B的对边分别为a，b，向量=（cosA，sinB），
=（cosB，sinA）．
（1）若acosA=bcosB，求证：∥；
（2）若⊥，a＞b，求的值．
【考点】正弦定理的应用；平面向量共线（平行）的坐标表示；两角和与差的正切函数．【专题】计算题；规律型；转化思想；三角函数的求值；平面向量及应用．
【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，然后推出结果即可．
（2）利用向量的垂直，推出关系式，结合三角形的性质，求出A﹣B，然后求解即可．【解答】证明：（1）因为acosA=bcosB，
所以sinAcosA=sinBcosB，向量=（cosA，sinB），=（cosB，sinA）．
所以m∥n．…（7分）
（2）因为⊥，所以cosAcosB+sinAsinB=0，即cos（A﹣B）=0，
因为a＞b，所以A＞B，又A，B∈（0，π），所以A﹣B∈（0，π），则，…（12分）所以．…（14分）
【点评】本题考查正弦定理的应用，向量的平行于垂直条件的应用，考查分析问题解决问题的能力．
18．（2016?甘肃一模）在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，若=（cos2，1），
=（cos2（B+C），1），且∥．
（I）求角A；
（Ⅱ）当a=6，且△ABC的面积S满足=时，求边c的值和△ABC的面积．
【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理．
【专题】方程思想；综合法；解三角形．
【分析】（I）由向量平行列出方程解出cosA；
（II）根据余弦定理和面积公式解出tanC，使用正弦定理求出c，代入面积公式解出面积．【解答】解：（I）∵∥．∴cos2﹣cos2（B+C）=0，即（1+cosA）﹣cos2A=0，解得cosA=1（舍）或cosA=﹣．
∴A=．
（II）∵=，∴a2+b2﹣c2=4S=2absinC．又∵a2+b2﹣c2=2abcosC，∴tanC=．∴C=．
由正弦定理得，∴c==2．
sinB=sin（A+C）=sin=．
∴S△ABC===3．
【点评】本题考查了向量平行的条件，用正余弦定理解三角形．