方案设计问题1

中考数学专题————方案设计问题

1、光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台.现将这50台联合收割机派往A 、B 两地区收割小麦，其中30台派往A 地区，20台派往B 地区．两地与该农

（1y (元)，求y 与x 间的函数关系式，并写出x 的取值范围；

（2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来；

（3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提出一条合理建议．

解：（1）若派往A 地区的乙型收割机为x 台，则派往A 地区的甲型收割机

为(30－x )台；派往B 地区的乙型收割机为（30－x ）台，派往B 地区的甲

型收割机为（x －10）台．

∴y ＝1600x ＋1800(30－x )＋1200(30－x )＋1600(x －10)＝200x ＋74000．

x 的取值范围是：10≤x ≤30(x 是正整数)．

（2）由题意得200x ＋74000≥79600，

解不等式得x ≥28.由于10≤x ≤30，∴x 取28，29，30这三个值，

∴有3种不同分配方案．①当x ＝28时，即派往A 地区甲型收割机2台，

乙型收割机28台；派往B 地区甲型收割机18台，乙型收割机2台．

②当x ＝29时，即派往A 地区甲型收割机1台，乙型收割机29台；派往B 地区甲型收割机19台，乙型收割机1台．

③当x ＝29时，即派往A 地区甲型收割机1台，乙型收割机29台；派往B 地区甲型收割机19台，乙型收割机1台．

③ 当x ＝30时，即30台乙型收割机全部派往A 地区；20台甲型收割机全部派往B 地区．

（3）由于一次函数y ＝200x ＋74000的值y 是随着x 的增大而增大的，

所以，当x ＝30时，y 取得最大值.如果要使农机租赁公司这50台联合

收割机每天获得租金最高，只需x ＝30，此时，y ＝6000＋74000＝80000．

建议农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往A 地区；20台甲型收

割要全部派往B 地区，可使公司获得的租金最高．

2．今年6月份，我市某果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆将这批水果全部运往深圳，已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，一种货车可装荔枝香蕉各2吨；

（1） 该果农按排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来，

（2） 甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，则该果农应选

哪种方案？使运费最少？最少运费是多少元？

解：（1）设安排甲种货车x 辆，则安排乙种货车（10－x ）辆，依题意，得

???≥-+≥-+13)10(230)10(24x x x x 解这个不等式组，得 ???≤≥7

5x x 75≤≤∴x ∵x 是整数，∴x 可取5、6、7，既安排甲、乙两种货车有三种方案：

① 甲种货车5辆，乙种货车5辆；

② 甲种货车6辆，乙种货车4辆；

第23题

③ 甲种货车7辆，乙种货车3辆；

（2）方法一：由于甲种货车的运费高于乙种货车的运费，两种货车共10辆，

所以当甲种货车的数量越少时，总运费就越少，故该果农应选择① 运费最少，最少运费是16500元； 方法二：方案①需要运费2000×5＋1300×5＝16500（元）

方案②需要运费2000×6＋1300×4＝17200（元）

方案③需要运费2000×7＋1300×3＝17900（元）

∴该果农应选择① 运费最少，最少运费是16500元；

3、（2013? 衢州）“五·一”假期，某火车客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候检票.经调查发现，在车站开始检票时，有640人排队检票.检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站.设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的.检票时，每分钟候车室新增排队检票进站16人，每分钟每个检票口检票14人．已知检票的前a 分钟只开放了两个检票口．某一天候车室排队等候检票的人数y （人）与检票时间x （分钟）的关系如图所示.

（1）求a 的值．

（2）求检票到第20分钟时，候车室排队等候检票的旅客人数．

（3）若要在开始检票后15分钟内让所有排队的旅客都能检票进

站，以便后来到站的旅客随到随检，问检票一开始至少需要同时

开放几个检票口？

解法1：设过（10，520）和（30，0）的直线解析式为y kx b =+，

得

10520300k b k b +=??+=?， ………………………4分

解得26780

k b =-??=?， ………………………5分 因此26780y x =-+，当20x =时，260y =，

即检票到第20分钟时，候车室排队等候检票的旅客有260人. ……………………6分

解法2：由图象可知，从检票开始后第10分钟到第30分钟，候车室排队检票人数每分钟减少26人， …………………5分

所以检票到第20分钟时，候车室排队等候检票的旅客有520-26×10=260人. …………6分

解法3：设10分钟后开放m 个检票口，由题意得，520+16×20-14m ×20=0， ………4分

解得m =3，………………………5分

所以检票到第20分钟时，候车室排队等候检票的旅客有520+16×10-3×10×14=260人. 6分

（3）设需同时开放n 个检票口，则由题意知

141501615n ?+?≥64， ……………………8分

解得4421

n ≥， ∵n 为整数，∴5n =， ……………………9分 答：至少需要同时开放5个检票口. ………10分

（说明：若通过列方程解得4421

n =，并得到正确答案5的，得3分；若列出方程并解得4421n =，但未

能得到正确答案的，得2分；若只列出方程，得1分）

4、（2011黑龙江省黑河，27，10分）建华小区准备新建50个停车位，以解决小区停车难的问题．已知新建1个地上停车位和1个地下停车位需0.5万元；新建3个地上停车位和2个地下停车位需1.1万元．

（1）该小区新建1个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？

（2）若该小区预计投资金额超过10万元而不超过11万元，则共有几种建造方案？

（3）已知每个地上停车位月租金100元，每个地下停车位月租金300元．在（2）的条件下，新建停车位全部租出．若该小区将第一个月租金收入中的3600元用于旧车位的维修，其余收入继续兴建新车位，恰好用完，请直接写出该小区选择的是哪种建造方案？

【解答】（1）解：设新建一个地上停车位需x万元，新建一个地下停车位需y万元，由题意得，

解得

0.1

0.4 x

y

=

?

?

=

?

，

答：新建一个地上停车位需0.1万元，新建一个地下停车位需0.4万元；（4分）﹙2﹚设新建m个地上停车位，则

10＜0.1m+0.4（50﹣m）≤11，

解得30≤m＜100

3

，

因为m为整数，所以m=30或m=31或m=32或m=33，

对应的50﹣m=20或50﹣m=19或50﹣m=18或50﹣m=17，

所以，有四种建造方案．（4分）

﹙3﹚建造方案是：建造32个地上停车位，18个地下停车位．（2分）

5、（2013四川绵阳，23，12分）

“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具。某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆。

（1）若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？

（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆。根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍。假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？

解：（1）设前4个月自行车销量的月平均增长率为x ,

根据题意列方程：64（1+x）2 =100 ,

解得x=-225%（不合题意，舍去）, x= 25%

100×(1+25%)=125(辆) 答：该商城4月份卖出125辆自行车。

（2）设进B型车x辆，则进A型车30000-1000x

500

辆，

根据题意得不等式组 2x≤30000-1000x

500

≤2.8x ，

解得 12.5≤x≤15,自行车辆数为整数，所以13≤x≤15,

销售利润W=（700-500）×30000-1000x 500

+（1300-1000）x . 整理得：W=-100x+12000， ∵ W 随着x 的增大而减小,

∴ 当x=13时，销售利润W 有最大值，

此时，30000-1000x 500

=34， 所以该商城应进入A 型车34辆，B 型车13辆。

6、（2013?临沂）为支援雅安灾区，某学校计划用“义捐义卖”活动中筹集的部分资金用于购买A ，B 两种型号的学习用品共1000件，已知A 型学习用品的单价为20元，B 型学习用品的单价为30元．

（1）若购买这批学习用品用了26000元，则购买A ，B 两种学习用品各多少件？ ．市后A 种水果每年每亩可获利0.3万元，B 种水果每年每亩可获利0.2万元，李叔叔决定在承包的山上种植A 、B 两种水果．他了解到需要一次性投入的成本为：A 种水果每亩1万元，B 种水果每亩0.9万元．设种植A 种水果x 亩，投入成本总共y 万元．

(1)求y 与x 之间的函数关系式；

(2)若李叔叔在开发时投入的资金不超过47万元，为使总利润每年不少于11．8万元，应如何安排种植面积（亩数x 取整数）？请写出获利最大的种植方案．

解：（1）y=0.1x+4.5 ．

(2)根据题意得：0.9(50)470.30.2(50)11.8

x x x x +-≤??+-≥? 解得：1820x ≤≤

所以，有如下种植方案：

B 水果20亩．

8、某电脑公司现有A ，B ，C 三种型号的甲品牌电脑和D ，E 两种型号的乙品牌电脑．希望

中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑．

（1） 写出所有选购方案(利用树状图或列表方法表示）；

（2） 如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A 型

号电脑被选中的概率是多少？

（3） 现知希望中学购买甲、乙两种品牌电脑共36台(价格如图所示)，恰好用了10万元

人民币，其中甲品牌电脑为A 型号电脑，求购买的A 型号电脑有几台．

解：（1） 树状图如下 列表如下：

有6可能结果：(A ，D )，（A ，E ），（B ，D ），（B ，E ），（C ，D ），（C ，E ）．

(注：用其它方式表达选购方案且正确给1分)

（2） 因为选中A 型号电脑有2种方案，即(A ，D )（A ，E ），所以A 型号电脑被选中的概率是3

1 （3） 由（2）可知，当选用方案（A ，D ）时，设购买A 型号、D 型号电脑分别为x ，y 台，根据题

意，得???=+=+.10000050006000,36y x y x 解得?

??=-=.116,80y x 经检验不符合题意，舍去； (注：如考生不列方程，直接判断(A ，D )不合题意，舍去，也给2分)

当选用方案（A ，Ｅ）时，设购买A 型号、Ｅ型号电脑分别为x ，y 台，

根据题意，得???=+=+.10000020006000,36y x y x 解得?

??==.29,7y x 所以希望中学购买了7台A 型号电脑．

9、已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示．

（1

（2）写出批发该种水果的资金金额w （元）与批发量m （kg ）之间的

函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什

么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．

（3） 经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价

之间的函数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出

60kg 以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经

销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大．

）

解：（1）解：图①表示批发量不少于20kg 且不多于60kg 的该种水果，可按5元/kg 批发；

图②表示批发量高于60kg 的该种水果，可按4元/kg 批发．

（2）解：由题意得： 2060 6054m m w m m ?=??

≤≤（））＞（，函数图象如图所示．由图可知资金金额满足 240＜w ≤300时，以同样的资金可批发到较多数量的该种水果．

（3）解法一：设当日零售价为x 元，由图可得日最高销量32040w m =-

当m ＞60时，x ＜6.5 由题意，销售利润为 2(4)(32040)40[(6)4]y x m x =--=--+ 当x ＝6时，160y =最大值，此时m ＝80即经销商应批发80kg 该种水果，日零售价定为6元/kg ，

当日可获得最大利润160元．

解法二：设日最高销售量为x kg （x ＞60）则由图②日零售价p 满足：

32040x p =-，于是32040x p -= 销售利润23201(4)(80)1604040

x y x x -=-=--+ 当x ＝80时，160y =最大值，此时p ＝6

即经销商应批发80kg 该种水果，日零售价定为6元/kg ，当日可获得最大利润160元．