兰坪白族普米族自治外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学卷

兰坪白族普米族自治县外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4232()a a a =+，则7

4

S a =（ ） A ．

74 B ．14

5

C ．7

D ．14 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式及其前n 项和，意在考查运算求解能力.

2． 已知d 为常数，p ：对于任意n ∈N *，a n+2﹣a n+1=d ；q ：数列 {a n }是公差为d 的等差数列，则￢p 是￢q 的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 3． 设函数的集合

，平面上点的集合

，则在同一直角坐标系中，P 中函数

的图象恰好经过Q 中

两个点的函数的个数是 A4 B6 C8 D10

4． 已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β．直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ?α，l ?β，则（ ） A ．α∥β且l ∥α B ．α⊥β且l ⊥β C ．α与β相交，且交线垂直于l D ．α与β相交，且交线平行于l 5．

若椭圆

+

=1的离心率

e=

，则m 的值为（ ）

A ．1 B

．

或

C

．

D ．3

或

6． 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A ． B ．

C ．

D ．

7． 设P 是椭圆+=1上一点，F 1、F 2是椭圆的焦点，若|PF 1|等于4，则|PF 2|等于（ ）

A ．22

B ．21

C ．20

D ．13

8． 双曲线：的渐近线方程和离心率分别是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

9． 设f （x ）是定义在R 上的恒不为零的函数，对任意实数x ，y ∈R ，都有f （x ）?f （y ）=f （x+y ），若a 1=，a n =f （n ）（n ∈N *），则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是（ ）

A ．[，2）

B ．[，2]

C ．[，1）

D ．[，1]

10．函数()()f x x R ?是周期为4的奇函数，且在02[,]上的解析式为(1),01

()sin ,12x x x f x x x ì-＃?=íp

，则

1741

()()46f f +=（ ） A ．716 B ．916 C ．1116 D ．1316

【命题意图】本题考查函数的奇偶性和周期性、分段函数等基础知识，意在考查转化和化归思想和基本运算能力．

11．数列1，，，，，，，，，，…的前100项的和等于（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

12．设n S 是等比数列{}n a 的前项和，425S S =，则此数列的公比q =（ ）

A ．-2或-1

B ．1或2 C.1±或2 D ．2±或-1

二、填空题

13．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知数列{S n }是首项和公比都是3的等比数列，则{a n }的通项公式a n = ．

14．已知直线5x+12y+m=0与圆x 2﹣2x+y 2

=0相切，则m= ．

15．命题p ：?x ∈R ，函数的否定为 ．

16．利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a 和b ，在a+b 为偶数的条件下，|a ﹣b|＞2发生的概率

是 ．

17．在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ=sinθ与ρcosθ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为．

18．已知数列1，a1，a2，9是等差数列，数列1，b1，b2，b3，9是等比数列，则的值为．

三、解答题

19．已知数列{a n}是等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，且a3=3，S3=9

（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；

（Ⅱ）设b n=log2，且{b n}为递增数列，若c n=，求证：c1+c2+c3+…+c n＜1．

20．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AD，

平面ADEF⊥平面ABCD，且BC=2EF，AE=AF，点G是EF的中点．

（Ⅰ）证明：AG⊥平面ABCD；

（Ⅱ）若直线BF与平面ACE所成角的正弦值为，求AG的长．

21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，椭圆C 过点P ? ??，直线1PF 交y 轴于Q ，且22,PF QO O =为坐标原点．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）设M 是椭圆C 上的顶点，过点M 分别作出直线,MA MB 交椭圆于,A B 两点，设这两条直线的斜率 分别为12,k k ，且122k k +=，证明：直线AB 过定点．

22．【镇江2018届高三10月月考文科】已知函数，其中实数为常数，为自然对数的底数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）当时，解关于的不等式

；

（3）当时，如果函数

不存在极值点，求的取值范围.

23．【常州市2018届高三上武进区高中数学期中】已知函数()()2

21ln f x ax a x x =+--，R a ∈．

⑴若曲线()y f x =在点()()

1,1f 处的切线经过点()2,11，求实数a 的值； ⑵若函数()f x 在区间()2,3上单调，求实数a 的取值范围； ⑶设()1

sin 8

g x x =，若对()10,x ?∈+∞，[]20,πx ?∈，使得()()122f x g x +≥成立，求整数a 的最小值．

24．甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影响，只要有一队获

胜4场就结束比赛．现已比赛了4场，且甲篮球队胜3场．已知甲球队第5，6场获胜的概率均为，但由于

体力原因，第7场获胜的概率为．

（Ⅰ）求甲队分别以4：2，4：3获胜的概率；

（Ⅱ）设X表示决出冠军时比赛的场数，求X的分布列及数学期望．

兰坪白族普米族自治县外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】C.

【解析】根据等差数列的性质，4231112()32(2)a a a a d a d a d

=+?+=+++，化简得1a d =-，∴17

4

176

7142732a d

S d a a d d

?+

===+，故选C.

2． 【答案】A

【解析】解：p ：对于任意n ∈N *

，a n+2﹣a n+1=d ；q ：数列 {a n }是公差为d 的等差数列，

则￢p ：?n ∈N *

，a n+2﹣a n+1≠d ；￢q ：数列 {a n }不是公差为d 的等差数列，

由￢p ?￢q ，即a n+2﹣a n+1不是常数，则数列 {a n }就不是等差数列，

若数列 {a n }不是公差为d 的等差数列，则不存在n ∈N *

，使得a n+2﹣a n+1≠d ，

即前者可以推出后者，前者是后者的充分条件， 即后者可以推不出前者， 故选：A ．

【点评】本题考查等差数列的定义，是以条件问题为载体的，这种问题注意要从两个方面入手，看是不是都能够成立．

3． 【答案】B

【解析】本题考查了对数的计算、列举思想

a ＝－时，不符；a ＝0时，y ＝log 2x 过点(，－1)，(1,0)，此时

b ＝0，b ＝1符合； a ＝时，y ＝log 2(x ＋)过点(0，－1)，(，0)，此时b ＝0，b ＝1符合；

a ＝1时，y ＝log 2(x ＋1)过点(－，－1)，(0，0)，(1，1)，此时

b ＝－1，b ＝1符合；共6个 4． 【答案】D

【解析】解：由m ⊥平面α，直线l 满足l ⊥m ，且l ?α，所以l ∥α， 又n ⊥平面β，l ⊥n ，l ?β，所以l ∥β．

由直线m ，n 为异面直线，且m ⊥平面α，n ⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m ∥n ， 与m ，n 异面矛盾．

故α与β相交，且交线平行于l ． 故选D ．

【点评】本题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．

5．【答案】D

【解析】解：当椭圆+=1的焦点在x轴上时，a=，b=，c=

由e=，得=，即m=3

当椭圆+=1的焦点在y轴上时，a=，b=，c=

由e=，得=，

即m=．

故选D

【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．解题时要对椭圆的焦点在x轴和y轴进行分类讨论．

6．【答案】D

【解析】

因为，有可能为负值，所以排除A，C，因为函数为减函数且，所以，排除B，故选D

答案：D

7．【答案】A

【解析】解：∵P是椭圆+=1上一点，F1、F2是椭圆的焦点，|PF1|等于4，

∴|PF2|=2×13﹣|PF1|=26﹣4=22．

故选：A．

【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题，解题时要熟练掌握椭圆定义的应用．

8．【答案】D

【解析】解：双曲线：的a=1，b=2，c==

∴双曲线的渐近线方程为y=±x=±2x；离心率e==

故选D

9． 【答案】C

【解析】解：∵对任意x ，y ∈R ，都有f （x ）?f （y ）=f （x+y ）， ∴令x=n ，y=1，得f （n ）?f （1）=f （n+1），

即

=

=f （1）=，

∴数列{a n }是以为首项，以为等比的等比数列，

∴a n =f （n ）=（）n

，

∴S n ==1﹣（）n ∈[，1）．

故选C ．

【点评】本题主要考查了等比数列的求和问题，解题的关键是根据对任意x ，y ∈R ，都有f （x ）?f （y ）=f （x+y ）得到数列{a n }是等比数列，属中档题．

10．【答案】C

11．【答案】A 【解析】解：

=1×

故选A ．

12．【答案】D 【解析】

试题分析：当公比1-=q 时，0524==S S ，成立.当1-≠q 时，24,S S 都不等于，所以

422

2

4==-q S S S , 2±=∴q ,故选D.

考点：等比数列的性质.

二、填空题

13．【答案】．

【解析】解：∵数列{S n}是首项和公比都是3的等比数列，∴S n =3n．

故a1=s1=3，n≥2时，a n=S n ﹣s n﹣1=3n﹣3n﹣1=2?3n﹣1，

故a n=．

【点评】本题主要考查等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，数列的前n项的和Sn与第n项an 的关系，属于中档题．

14．【答案】8或﹣18

【解析】【分析】根据直线与圆相切的性质可知圆心直线的距离为半径，先把圆的方程整理的标准方程求得圆心和半径，在利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离为半径，求得答案．

【解答】解：整理圆的方程为（x﹣1）2++y2=1

故圆的圆心为（1，0），半径为1

直线与圆相切

∴圆心到直线的距离为半径

即=1，求得m=8或﹣18

故答案为：8或﹣18

15．【答案】?x0∈R，函数f（x0）=2cos2x0+sin2x0＞3．

【解析】解：全称命题的否定是特称命题，即为?x

∈R，函数f（x0）=2cos2x0+sin2x0＞3，

故答案为：?x

∈R，函数f（x0）=2cos2x0+sin2x0＞3，

16．【答案】．

【解析】解：由题意得，利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，基本事件的总个数是6×6=36，即（a，b）的情况有36种，

事件“a+b为偶数”包含基本事件：

（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），

（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6）

（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）共18个，

“在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2”包含基本事件：

（1，5），（2，6），（5，1），（6，2）共4个，

故在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的概率是P==

故答案为：

【点评】本题主要考查概率的计算，以条件概率为载体，考查条件概率的计算，解题的关键是判断概率的类型，从而利用相应公式，分别求出对应的测度是解决本题的关键．

17．【答案】（1，2）．

【解析】解：由2ρcos2θ=sinθ，得：2ρ2cos2θ=ρsinθ，

即y=2x2．

由ρcosθ=1，得x=1．

联立，解得：．

∴曲线C1与C2交点的直角坐标为（1，2）．

故答案为：（1，2）．

【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查了方程组的解法，是基础题．

18．【答案】．

【解析】解：已知数列1，a1，a2，9是等差数列，∴a1+a2 =1+9=10．

数列1，b1，b2，b3，9是等比数列，∴=1×9，再由题意可得b2=1×q2＞0 （q为等比数列的公比），

∴b2=3，则=，

故答案为．

【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质应用，属于中档题．

三、解答题

19．【答案】已知数列{a n}是等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，且a3=3，S3=9

（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；

（Ⅱ）设b n=log2，且{b n}为递增数列，若c n=，求证：c1+c2+c3+…+c n＜1．

【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．

【专题】计算题；证明题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列．

【分析】（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，从而可得3（1++）=9，从而解得；

（Ⅱ）讨论可知a2n+3=3?（﹣）2n=3?（）2n，从而可得b n=log2=2n，利用裂项求和法求和．【解析】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，

则3（1++）=9，

解得，q=1或q=﹣；

故a n=3，或a n=3?（﹣）n﹣3；

（Ⅱ）证明：若a n=3，则b n=0，与题意不符；

故a2n+3=3?（﹣）2n=3?（）2n，

故b n=log2=2n，

故c n==﹣，

故c1+c2+c3+…+c n=1﹣+﹣+…+﹣

=1﹣＜1．

【点评】本题考查了数列的性质的判断与应用，同时考查了方程的思想应用及裂项求和法的应用．

20．【答案】

【解析】（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：因为AE=AF，点G是EF的中点，

所以AG⊥EF．

又因为EF∥AD，所以AG⊥AD．…

因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，

AG?平面ADEF，

所以AG⊥平面ABCD．…

（Ⅱ）解：因为AG⊥平面ABCD，AB⊥AD，所以AG、AD、AB两两垂直．

以A为原点，以AB，AD，AG分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系

则A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，4，0），

设AG=t（t＞0），则E（0，1，t），F（0，﹣1，t），

所以=（﹣4，﹣1，t），=（4，4，0），=（0，1，t）．…

设平面ACE的法向量为=（x，y，z），

由=0，=0，得，

令z=1，得=（t，﹣t，1）．

因为BF与平面ACE所成角的正弦值为，

所以|cos＜＞|==，…

即=，解得t2=1或．

所以AG=1或AG=．…

【点评】本题考查线面垂直的证明，考查满足条件的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

21．【答案】（1）

2

21

2

x

y

+=；（2）证明见解析.

【解析】

试

题解析：

（1）22PF QO =，∴212PF F F ⊥，∴

1c =， 2222

221

121,1a b c b a b

+==+=+， ∴221,2b a ==，

即2

212

x y +=； （2）设AB 方程为y kx b =+代入椭圆方程

222

12102k x kbx b ??+++-= ???，22

221

,112

2

A B A B kb b x x x x k k --+==++，

11,A B MA MB A B y y k k x x --==，∴()

11

2A B A B A B A B MA MB A B

A B

y x x y x x y y k k x x x x +-+--+=+=

=，

∴1k b =+代入y kx b =+得：1y kx k =+-所以， 直线必过()1,1--．1 考点：直线与圆锥曲线位置关系．

【方法点晴】求曲线方程主要方法是方程的思想，将向量的条件转化为垂直.直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解． 22．【答案】（

1

）单调递增区间为 ；单调递减区间为

．（2）

（3）

【解析】试题分析：把

代入由于对数的真数为正数，函数定义域为

，所以函数化为，求导后在定义域下研究函数的单调性给出单调区间；代入，，分

和

两种情

况解不等式；当时，

，求导

，函数不存在极值点，只需

恒成立，根据这个要求得出的范围.

试题解析：

（2）时，．

当时，原不等式可化为．

记，则，

当时，，

所以在单调递增，又，故不等式解为；当时，原不等式可化为，显然不成立，

综上，原不等式的解集为．

23．【答案】⑴2a =⑵11,,64

????-∞?+∞ ????

??

?

⑶2

【解析】试题分析：（1）根据题意，对函数f x （）求导，由导数的几何意义分析可得曲线y f x =（）

在点11f （，（））处的切线方程，代入点

211（，），计算可得答案； （2）由函数的导数与函数单调性的关系，分函数在（23，）上单调增与单调减两种情况讨论，综合即可得答案；

（3）由题意得，2min max f x g x +≥（）（），

分析可得必有()()215

218

f x ax a x lnx +--≥＝ ，对f x （）求导，对a 分类讨论即可得答案． 试题解析：

⑵

()()()

211'ax x f x x

-+=

，

∴若函数()f x 在区间()2,3上单调递增，则210y ax =-≥在()2,3恒成立，

410{ 610

a a -≥∴-≥，得14a ≥；

若函数()f x 在区间()2,3上单调递减，则210y ax =-≤在()2,3恒成立，

410{ 610

a a -≤∴-≤，得1

6a ≤，

综上，实数a 的取值范围为11,,64

??

??-∞?+∞ ????

?

??

；

⑶由题意得，()()min max 2f x g x +≥，

()max 1

28g x g π??== ???，

()min 158f x ∴≥，即()()215

21ln 8

f x ax a x x =+--≥，

由()()()()()2

22112111'221ax a x ax x f x ax a x x x

+---+=+--==， 当0a ≤时，()10f <，则不合题意；

当0a >时，由()'0f x =，得1

2x a

=或1x =-（舍去）， 当1

02x a

<<时，()'0f x <，()f x 单调递减， 当1

2x a

>

时，()'0f x >，()f x 单调递增． ()min 115

28

f x f a ??∴=≥ ???，即117ln 428a a --≥，

整理得，()117ln 2228a a -?≥， 设()1ln 2h x x x =-，()211

02h x x x

∴=+>'，()h x ∴单调递增，

a Z ∈，2a ∴为偶数，

又()172ln248h =-<，()17

4ln488

h =->，

24a ∴≥，故整数a 的最小值为2。

24．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）设甲队以4：2，4：3获胜的事件分别为A ，B ，

∵甲队第5，6场获胜的概率均为，第7场获胜的概率为，

∴

，

，

∴甲队以4：2，4：3获胜的概率分别为

和

．

（Ⅱ）随机变量X 的可能取值为5，6，7，

∴

，P （X=6）=

，P （X=7）=

，

∴随机变量X 的分布列为

5 6 7

【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，独立重复试验概率的乘法公式的应用，考查分析问题解决问题的能力．