吉林省东北师范大学附属中学高考数学二轮复习 导数及其应用教案 文

第5讲 导数及其应用

【高考考情解读】 导数的概念及其运算是导数应用的基础，这是高考重点考查的内容．考查方式以客观题为主，主要考查：一是导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义；二是导数的应用，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题、证明不等式以及讨论方程的根等，已成为高考热点问题；三是应用导数解决实际问题．

1． 导数的几何意义

函数y ＝f(x)在点x ＝x0处的导数值就是曲线y ＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，其切线方程是y －f(x0)＝f′(x0)(x －x0)． 2． 导数与函数单调性的关系

(1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.

(2)f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常数，函数不具有单调性． 3． 函数的极值与最值

(1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题．

(2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有．

(3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最值．

4． 四个易误导数公式及两个常用的运算法则 (1)(sin x)′＝cos x. (2)(cos x)′＝－sin x.

(3)(ax)′＝axln a(a>0，且a≠1)． (4)(logax)′＝1

xln a (a>0，且a≠1)．

(5)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．

(6)????f x g x ′＝f′ x g x －f x g′ x [g x ]2

(g(x)≠0).

考点一 导数几何意义的应用

例1 (1)过点(1,0)作曲线y ＝ex 的切线，则切线方程为________． (2)(2013·南京模拟)在平面直角坐标系xOy 中，设A 是曲线C1：y ＝ax3＋1(a>0)与曲线C2：x2＋y2＝5

2的一个公共点，若C1在A 处的切线与C2在A 处的切线互相垂直，则实数a 的值

是________．

答案 (1)e2x －y －e2＝0 (2)4

解析 (1)设切点为P(x0，ex0)，则切线斜率为ex0， 切线方程为y －ex0＝ex0(x －x0)，

又切线经过点(1,0)，所以－ex0＝ex0(1－x0)，

解得x0＝2，切线方程为y －e2＝e2(x －2)， 即e2x －y －e2＝0.

(2)设A(x0，y0)，则C1在A 处的切线的斜率为f′(x0)＝3ax20，C2在A 处的切线的斜率为－

1

kOA ＝－x0y0

，

又C1在A 处的切线与C2在A 处的切线互相垂直， 所以(－x0

y0)·3ax20＝－1，即y0＝3ax30，

又ax30＝y0－1，所以y0＝3

2，

代入C2：x2＋y2＝52，得x0＝±1

2

，

将x0＝±12，y0＝3

2

代入y ＝ax3＋1(a>0)，得a ＝4.

(1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线

中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点． (2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．

(1)直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ax2＋2＋ln x 相切于点P(1,4)，则b 的值为________．

(2)若曲线f(x)＝xsin x ＋1在x ＝π

2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a ＝

________.

答案 (1)－1 (2)2

解析 (1)由点P(1,4)在曲线上，可得a×12＋2＋ln 1＝4， 解得a ＝2，故y ＝2x2＋2＋ln x ．所以y′＝4x ＋1x .

所以曲线在点P 处的切线斜率k ＝y′|x ＝1＝4×1＋1

1＝5.

所以切线的方程为y ＝5x ＋b.由点P 在切线上， 得4＝5×1＋b ，解得b ＝－1. (2)f′(x)＝sin x ＋xcos x ，f′(π

2

)＝1，

即函数f(x)＝xsin x ＋1在点x ＝π

2处的切线的斜率是1，

直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率是－a

2，

所以(－a

2

)×1＝－1，解得a ＝2.

考点二 利用导数研究函数的性质 例2 (2013·广东)设函数f(x)＝x3－kx2＋x(k ∈R)． (1)当k ＝1时，求函数f(x)的单调区间；

(2)当k<0时，求函数f(x)在[k ，－k]上的最小值m 和最大值M. 解 f′(x)＝3x2－2kx ＋1，

(1)当k ＝1时，f′(x)＝3x2－2x ＋1＝3????x －132＋2

3>0， ∴f(x)在R 上单调递增．

(2)当k<0时，f′(x)＝3x2－2kx ＋1，其图象开口向上，对称轴x ＝k

3，且过(0,1)点．

①当Δ＝4k2－12＝4(k ＋3)(k －3)≤0，即－3≤k<0时， f′(x)≥0，f(x)在[k ，－k]上单调递增． ∴m ＝f(x)min ＝f(k)＝k ，

M ＝f(x)max ＝f(－k)＝－2k3－k. ②当Δ＝4k2－12>0，即k<－3时，

令f′(x)＝0得x1＝k ＋k2－33，x2＝k －k2－3

3

，

且k

∴m ＝min{f(k)，f(x1)}，M ＝max{f(－k)，f(x2)}． 又f(x1)－f(k)＝x31－kx21＋x1－k ＝(x1－k)(x21＋1)>0， ∴m ＝f(k)＝k ， 又f(x2)－f(－k)＝x32－kx22＋x2－(－k3－k·k2－k) ＝(x2＋k)[(x2－k)2＋k2＋1]<0， ∴M ＝f(－k)＝－2k3－k.

综上，当k<0时，f(x)的最小值m ＝k ，最大值M ＝－2k3－k.

利用导数研究函数性质的一般步骤：

(1)确定函数的定义域； (2)求导函数f′(x)；

(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0. ②若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解． (4)①若求极值，则先求方程f′(x)＝0的根，再检查f′(x)在方程根的左右函数值的符号． ②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况来求解． (5)求函数f(x)在闭区间[a ，b]的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值．

(2013·浙江)已知a ∈R ，函数f(x)＝2x3－3(a ＋1)x2＋6ax.

(1)若a ＝1，求曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；

(2)若|a|>1，求f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值． 解 (1)当a ＝1时，f′(x)＝6x2－12x ＋6， 所以f′(2)＝6.

又因为f(2)＝4，所以切线方程为6x －y －8＝0. (2)记g(a)为f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值． f′(x)＝6x2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －1)(x －a)． 令f′(x)＝0，得到x1＝1，x2＝a.