高中数学立体几何：垂直关系

高中数学立体几何：直线与平面垂直、平面与平面垂直

高考要求

1理解直线和平面垂直的概念掌握直线和平面垂直的判定定理；

2掌握三垂线定理及其逆定理

3掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理

4通过例题的讲解给学生总结归纳证明线面垂直的常见方法：（1）证直线与平面内的两条相交直线都垂直；（2）证与该线平行的直线与已知平面垂直；（3）借用面面垂直的性质定理；（4）同一法；⑸向量法

知识点归纳

1线面垂直定义：

如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a ⊥α2直线与平面垂直的判定定理：

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面3直线和平面垂直的性质定理:

如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行4三垂线定理

在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；

（2）推理模式：,,PO O PA A a PA a a OA αααα⊥∈?

=?⊥???⊥?

5．三垂线定理的逆定理：

在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直

推理模式： ,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈?

=?⊥???⊥?

．

注意：⑴三垂线指PA ，PO ，AO 都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理

⑵要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用6两个平面垂直的定义：

两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面7．两平面垂直的判定定理：

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直推理模式：a α?，a β⊥?αβ⊥．8．两平面垂直的性质定理：

若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面推理模式：,,,l a a l αβαβα⊥=⊥ ? a β

?⊥9向量法证明直线与平面、平面与平面垂直的方法：

①证明直线与平面垂直的方法：直线的方向向量与平面的法向量平行； ②证明平面与平面垂直的方法：两平面的法向量垂直

题型讲解

例1 已知直线a ⊥平面α，直线b ⊥平面α，O 、A 为垂足求证：a ∥b

证明：以O 为原点直线a 为z 轴，建立空间直角坐标系，,,i j k

为坐标向量，直线a 、b 的向量分别为,a b

设b

=（x ，y ，z ），

∵b ⊥α，

∴0b i ?= ，0b j ?=

，∴b =（0，0，z ）=z k ∴b k

，∴a ∥b

点评：因证明两直线平行，也就是证明其方向向量共线，所以，利用两向量共线的充要条件证明两直线平行是新教材基本的数学方法，应做到熟练运用

例2 已知P A ⊥⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上任意一点，过A 点作AE ⊥PC 于点E ，求证：AE ⊥平面PBC

证明：∵P A ⊥平面ABC ，∴P A ⊥BC

又∵AB 是⊙O 的直径，∴BC ⊥AC 而PC ∩AC =C ，∴BC ⊥平面P AC 又∵AE 在平面P AC 内，∴BC ⊥AE ∵PC ⊥AE ，且PC ∩BC =C ，

∴AE ⊥平面PBC

点评：证明直线与平面垂直的常用方法有：利用线面垂直的定义；利用线面垂直的判定定理；利用“若直线a ∥直线b ，直线a ⊥平面α，则直线b ⊥平面α”

例3 在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，B 1C 1=A 1C 1，A 1B ⊥AC 1，

求证：A 1B ⊥B 1C

证明：取A 1B 1的中点D 1，连结C 1D 1

∵B 1C 1=A 1C 1，∴C 1D 1⊥ABB 1A 1

连结AD 1，则AD 1是AC 1在平面ABB 1A 1内的射影，

∵A 1B ⊥AC 1，

∴A 1B ⊥AD 1

取AB 的中点D ，连结CD 、B 1D ，

则B 1D ∥AD 1，且B 1D 是B 1C 在平面ABB 1A 1内的射影∵B 1D ⊥A 1B ，∴A 1B ⊥B 1C

点评：证明异面直线垂直的常用方法有：证明其中一直线垂直于另外一直线所在的平面；利用三垂线定理及其逆定理

例4 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1，CD 的中点

（1）求证：AD ⊥D 1F ；（2）求AE 与D 1F 所成的角；（3）证明平面AED ⊥平面A 1FD 1

分析：涉及正方体中一些特殊的点、线、面的问题，建立空间直角坐标系来解，不仅容易找到解题方向，而且坐标也简单，此时“垂直”问题转化为“两向量数量积为0”的问题，当然也可用其它的证法证明：建立空间直角坐标系如图，并设AB=2，则A(0,0,0), D(0,2,0), A 1(0,0,2)

D 1(0,2,2)，E(2,0,1), F(1,2,0)(1)(0,2,0),AD =

1(1,0,2)

D F =- ∴ 1AD D F ?

=0×1+2×1+0×(-2)=0, ∴AD ⊥D 1F

O b

A B C

O E P A B C D A 1B 1C 1D 1

A 1

B 1

C 1

（2）AE =（2，0，1） 1D F =（1，0，-2），||5AE =

，|1|5

D F = 设A

E 与D 1

F 的夹角为θ，则cos θ=

2(10012|

F D ||AE |F D AE 11=-?+?+?=

?所以，直线AE 与D 1F 所成的角为90°（3）由（1）知D 1F ⊥AD ，

由（2）知D 1F ⊥AE ，

又AD ∩AE=A ，∴D 1F ⊥平面AED ，∵D 1F ?平面A 1FD 1M ∴平面AED ⊥平面A 1FD 1

例5 如图，已知AB 是圆O 的直径，PA 垂直于O 所在的平面，C 是圆周上不同于,A B 的任一点，求证：平面PAC ⊥平面PBC ．

分析：根据“面面垂直”的判定定理，要证明两平面互相垂直，只要在其中一个平面中寻找一条与另一平面垂直的直线即可

解：∵AB 是圆O 的直径，∴AC BC ⊥，

又∵PA 垂直于O 所在的平面，∴PA BC ⊥， ∴BC ⊥平面PAC ，又BC 在平面PBC 中，所以，平面PAC ⊥平面PBC ．

点评：由于平面PAC 与平面PBC 相交于PC ，所以如果平面PAC ⊥平面PBC ，则在平面PBC 中，垂直于PC 的直线一定垂直于平面PAC ，这是寻找两个平面的垂线的常用方法小结:

1有关异面直线垂直的问题，除了用定义法外，还常常借助三垂线定理，转化为同一平面内的直线的垂直问题来处理或在两直线上分别取它们的方向向量，然后证它们的数量积为0

2证明直线和平面垂直我们可以用定义法，即证明直线与平面内的任一条直线垂直，但常用的还是线面垂直的判定定理，证明直线垂直于平面内的两条相交直线，当然再证这直线（这平面）与已知直线（或平面）重合，有时侯将线面垂直问题转化为证面面垂直问题，也许会给你带来意想不到的收获

3面面垂直的问题一般转化为线面垂直的问题来解决，如证面面垂直可转化为证明一个平面经过另一个平面的垂线

用向量法证明垂直，就是证有关向量的数量积为0 学生练习

1“直线l 垂直于平面α内的无数条直线”是“l ⊥α”的 A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件答案：B

2给出下列命题，其中正确的两个命题是

①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行 ②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面 ③直线m ⊥平面α，直线n ⊥m ，则n ∥

α ④a 、b 是异面直线，则存在唯一的平面α，使它与a 、b 都平行且与a 、b 距离相等 A ①② B ②③ C ③④ D ②④

解析：①错误如果这两点在该平面的异侧，则直线与平面相交②正确如下图，平面α∥β，A ∈α，C ∈α，D ∈β，B ∈β且E 、F 分别为AB 、CD 的中点，过C 作CG ∥AB 交平面β于G ，连结BG 、GD 设H 是CG 的中点，则EH ∥BG ，HF ∥GD ∴EH ∥平面β，HF ∥平面β

∴平面EHF ∥平面β∥平面α ∴EF ∥α，EF ∥β

③错误直线n 可能在平面α内

④正确如右上图，设AB 是异面直线a 、b 的公垂线段，E 为AB 的中点，过E 作a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′、b ′确定的平面即为与a 、b 都平行且与a 、b 距离相等的平面，并且它是唯一确定的

βα

D E F

G H

αA

B b

E a '

b 'A

O P

答案：D

3在正方形SG 1G 2G 3中，E 、F 分别是G 1G 2、G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，沿SE 、SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1、G 2、G 3三点重合，重合后的点记为G ，那么，在四面体S —EFG 中必有 A SG ⊥平面EFG B SD ⊥平面EFG C FG ⊥平面SEF D GD ⊥平面SEF

解析：注意折叠过程中，始终有SG 1⊥G 1E ，SG 3⊥G 3F ，即SG ⊥GE ，SG ⊥GF ，所以SG ⊥平面EFG 选A 答案：A

4P A 垂直于以AB 为直径的圆所在的平面，C 为圆上异于A 、B 的任一点，则下列关系不正确的是 A P A ⊥BC B BC ⊥平面P AC C AC ⊥PB D PC ⊥BC

解析：由三垂线定理知AC ⊥PB ，故选C

答案：C

5△ABC 的三个顶点A 、B 、C 到平面α的距离分别为2 cm 、3 cm 、4 cm ，且它们在α的

同侧，则△ABC 的重心到平面α的距离为__________

解析：如下图，设A 、B 、C 在平面α上的射影分别为A ′、B ′、C ′，△ABC 的重心为

G ，连结CG 交AB 于中点E ，又设E 、G 在平面α上的射影分别为E ′、G ′，则E ′∈A ′B ，G ′∈C ′E ，EE ′=

21（A ′A +B ′B ）=2

，CC ′=4，CG ∶GE =2∶1，在直角梯形EE ′C ′C 中可求得GG ′=3 答案：3 cm 6在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，当底面四边形ABCD 满足条件_______时，有A 1C ⊥B 1D 1（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）

答案：A 1C 1⊥B 1D 1或四边形A 1B 1C 1D 1为菱形等 7设正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则（1）A 点到CD 1的距离为________；（2）A 点到BD 1的距离为________；

（3）A 点到面BDD 1B 1的距离为_____________；（4）A 点到面A 1BD 的距离为_____________；（5）AA 1与面BB 1D 1D 的距离为__________

答案：（1）

26 （2）36 （3）22 （4）33 （5）2

2 8Rt △ABC 在平面α内的射影是△A 1B 1C 1，设直角边AB ∥α，则△A 1B 1C 1的形状是_____________三角形解析：根据两平行平面的性质及平行角定理，知△A 1B 1C 的形状仍是Rt △ 答案：直角

4在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为CC 1的中点，AC 交BD 于点O ，求证：A 1O ⊥平面MBD 证明：连结MO

∵DB ⊥A 1A ，DB ⊥AC ，A 1A ∩AC =A ，∴DB ⊥平面A 1ACC 1 又A 1O ?平面A 1ACC 1，∴A 1O ⊥DB

在矩形A 1ACC 1中，tan ∠AA 1O =22，tan ∠MOC =2

，

∴∠AA 1O =∠MOC ，

则∠A 1OA +∠MOC =90°∴A 1O ⊥OM ∵OM ∩DB =O ，∴A 1O ⊥平面MBD

9在三棱锥S —ABC 中，N 是S 在底面ABC 上的射影，且N 在△ABC 的AB 边的高CD 上，点M ∈SC ，截面MAB 和底面ABC 所成的二面角M —AB —C 等于∠NSC ，求证：SC ⊥截面MAB

证明：∵CD 是SC 在底面ABC 上的射影，AB ⊥CD ，∴AB ⊥SC 连结MD ∵∠MDC =∠NSC ，∴DM ⊥SC ∵AB ∩DM =D ，∴SC ⊥截面MAB

10如下图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AB =8，∠BAC =60°，PC ⊥平面ABC ，PC =4，M 为AB 边上的一个动点，求PM 的最小值

解：∵P 是定点，要使PM 的值最小，只需使PM ⊥AB 即可要使PM ⊥AB ，由于PC ⊥平面ABC ， ∴只需使CM ⊥AB 即可

∵∠BAC =60°，AB =8，∴AC =AB ·cos60°=4

∴CM =AC ·sin60°=4·2

=23 ∴PM =22CM PC +=1216+=27

11在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AB =2，BC =a ，又侧棱P A ⊥底面ABCD

αA B A'B'C'

E'C

G 'G E A B C M P

（1）当a 为何值时，BD ⊥平面P AC ?试证明你的结论

（2）当a =4时，求证：BC 边上存在一点M ，使得PM ⊥DM

（3）若在BC 边上至少存在一点M ，使PM ⊥DM ，求a 的取值范围

分析：本题第（1）问是寻求BD ⊥平面P AC 的条件，即BD 垂直平面P AC 内两相交直线，易知BD ⊥P A ，问题归结为a 为何值时，BD ⊥AC ，从而知ABCD 为正方形

（1）解：当a =2时，ABCD 为正方形，则BD ⊥AC

又∵P A ⊥底面ABCD ，BD 平面ABCD ，

∴BD ⊥P A ∴BD ⊥平面P AC 故当a =2时，BD ⊥平面P AC

（2）证明：当a =4时，取BC 边的中点M ，AD 边的中点N ，连结AM 、DM 、

∵ABMN 和DCMN 都是正方形，

∴∠AMD =∠AMN +∠DMN =45°+45°=90°，即DM ⊥AM 又P A ⊥底面ABCD ，由三垂线定理得，PM ⊥DM ，故当a =4时，BC 边的中点M 使PM ⊥DM

（3）解：设M 是BC 边上符合题设的点M ， ∵P A ⊥底面ABCD ，∴DM ⊥AM

因此，M 点应是以AD 为直径的圆和BC 边的一个公共点，则AD ≥2AB ，即a ≥4为所求

点评：本题的解决中充分运用了平面几何的相关知识因此，立体几何解题中，要注意有关的平面几何知识的运用事实上，立体几何问题最终是在一个或几个平面中得以解决的

A B C D

M N P