力的合成-高考物理通用讲义

2.1.4 力的合成

一、合力与分力

当一个物体受到几个力的共同作用时，可以用一个力代替它们，这个力产生的效果跟原来几个力共同作用的效果相同，那么这个力就叫做那几个力的合力，原来的几个力叫做分力。 思维拓展

如图1所示是大家都很熟悉的“曹冲称象”的故事。请思考：

图1

曹冲根据什么得到大象和船上石头的重力相等？其中包含什么思想方法？请你结合生活经验再举一个相似的例子。

提示：在船的吃水线相同的情况下，一头大象的重力与一堆石头的重力相当。其中包含了等效替代的思想方法，即一头大象和一堆石头的作用效果相同。结合生活经验举例：一桶水可以由一个成年人单独提起，也可以由两个小孩共同提起。两个小孩对水桶的作用效果与一个成年人对水桶的作用效果相同。 二、力的合成

1.定义：求几个力的合力的过程。

2.平行四边形定则：两个力合成时，以表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，

这两个邻边之间的对角线表示合力的大小和方向，这个法则叫平行四边形定则。

3.合力的大小：两个力合成时，两个分力间的夹角越大，合力就越小，合力的大小范围是|F1－F2|≤F≤F1＋F2。

思维拓展

两人同拉一辆车，如图2所示，每人都用100 N的力拉，车受到的拉力一定是200 N吗？

图2

提示不一定。两个力的合力并非等于两个力大小之和，应根据平行四边形定则，用作图或者计算的方法求得合力。

三、共点力

1.定义：作用在同一点上或它们的延长线交于一点的一组力。

2.力的合成适用范围：力的合成的平行四边形定则，只适用于共点力。

思考判断

(1)共点力一定作用于物体上的同一点。(×)

(2)共点力一定作用于同一物体上。(√)

(3)作用于同一物体上的所有力都是共点力。(×)

(4)作用于不同物体上的两个力，只要作用线交于一点，就可以进行力的合成。(×)

合力与分力的关系

[要点归纳]

1.合力与分力的三性

2.合力与分力的大小关系

[精典示例]

[例1] 下列关于合力的叙述中正确的是()

A.合力是原来几个力的等效替代，合力的作用效果与分力的共同作用效果相同

B.两个力夹角为θ(0°≤θ≤180°)，它们的合力随θ增大而增大

C.合力的大小总不会比分力的代数和大

D.不是同时作用在同一物体上的力也能进行力的合成运算

解析力的合成的基本出发点是力的等效替代。合力是所有分力的一种等效力，它们之间是等效替代关系。合力和作用在物体上各分力间的关系，在效果上是和各分力的共同作用等效，而不是与一个分力等效。A正确；只有同时作用在同一物体上的力才能进行力的合成的运算。D错误；就合力与诸分力中的一个分力的大小相比较，则合力的大小可以大于、等于或小于该分力的大小，这是因为力是矢量，力的合成遵循平行四边形定则，合力的大小不仅跟分力的大小有关，而且跟分力的方向有关。根据力的平行四边形定则和数学知识可知，两个分力间夹角为θ(0°≤θ≤180°)，它们的合力随θ增大而减小。当θ＝0°时，合力最大，为两分力的代数和；当θ＝180°时，合力最小，等于两分力的代数差。所以合力的大小总不会比分力的代数和大。故B、C错误。

答案 A

误区警示

力具有矢量性，力的合成不能简单地从代数加法入手，误以为合力一定大于分力。合力与分力之间不是简单的代数加法关系，它们满足平行四边形定则，合力的大小与方向取决于分力的大小及方向，合力的大小范围为|F1－F2|≤F≤F1＋F2，具

体取值应取决于两个分力的夹角。

[针对训练1] (多选)已知两个分力的大小为F 1、F 2，它们的合力大小为F ，下列说法中不正确的是( )

A.不可能出现F ＜F 1同时F ＜F 2的情况

B.不可能出现F ＞F 1同时F ＞F 2的情况

C.不可能出现F ＜F 1＋F 2的情况

D.不可能出现F ＞F 1＋F 2的情况

解析 如果F 1与F 2大小相等，方向相反，则其合力为零，既小于F 1又小于F 2，故选项A 错误；如果F 1、F 2同向，则合力F ＝F 1＋F 2，既大于F 1又大于F 2，故选项B 错误；合力F 的范围为|F 1－F 2|≤F ≤F 1＋F 2，因此，选项C 错误，D 正确。 答案

ABC

求合力的方法

[要点归纳] 1.作图法

根据平行四边形定则用作图工具作出平行四边形，然后用测量工具测量出合力的大小、方向，具体操作流程如下：

2.计算法

可以根据平行四边形定则作出分力及合力的示意图，然后由几何知识求解对角线，即为合力。以下为求合力的三种特殊情况：

[精典示例]

[例2] 如图3所示，两个人共同用力将一个牌匾拉上墙头。其中一人用了450 N 的拉力，另一个人用了600 N 的拉力，如果这两个人所用拉力的夹角是90°，求它们的合力。

图3

思路点拨 人的拉力是牌匾受到的两个力，明确了它们的大小和方向，可用作图法或计算法求出合力。 解析 法一 作图法

如图所示，用图示中的线段表示150 N 的力，用一个点O 代表牌匾，依题意作出力的平行四边形。用刻度尺量出平行四边形的对角线长为图示线段的5倍，故合力大小为F ＝150×5 N ＝

750 N ，用量角器量出合力F 与F 1的夹角θ＝53°。 法二 计算法

设F 1＝450 N ，F 2＝600 N ，合力为F 。

由于F 1与F 2间的夹角为90°，根据勾股定理，得 F ＝4502＋6002 N ＝750 N ，

合力F 与F 1的夹角θ的正切tan θ＝F 2F 1

＝600

450≈1.33，

所以θ＝53°

答案 750 N ，方向与较小拉力的夹角为53°

[针对训练2] 两个大小相等的共点力F 1、F 2，当它们间的夹角为90°时，合力大

小为20 N，那么当它们之间的夹角为120°时，合力的大小为()

A.40 N

B.10 2 N

C.20 2 N

D.10 3 N

解析设F1＝F2＝F0，当它们的夹角为90°时，根据平行四边形定则知其合力为2F0，即2F0＝20 N，故F0＝10 2 N。当夹角为120°时，同样根据平行四边形定则，其合力与F0大小相等，选项B正确。

答案 B

多个分力的合成方法

[要点归纳]

1.合成方法：多个力合成时，根据平行四边形定则先任选两个分力求出它们的合力，用求得的结果再与第三个分力求合力，直到求得所有分力的合力。

2.合成技巧：求解多分力的合力时，一般常见的合成技巧如下：

(1)将共线的分力合成(方向相同或相反)。

(2)将相互垂直的分力合成。

(3)两分力大小相等，夹角为120°时，合力大小等于分力大小，方向沿它们夹角的角平分线方向。

3.三个力合力范围的确定

(1)最大值：三个力方向相同时，三力合力最大，F m＝F1＋F2＋F3。

(2)最小值

①若一个力在另外两个力的和与差之间，则它们的合力的最小值为零。

②若一个力不在另外两个力的和与差之间，则它们的合力的最小值等于三个力中最大的力减去另外两个力的和。

[精典示例]

[例3] 5个力同时作用于质点m，此5个力大小和方向相当于正六边形的两条边和三条对角线，如图4所示，这5个力的合力的大小为F1的()

图4

A.3倍

B.4倍

C.5倍

D.6倍

方法点拨先将F1与F4合成，再将F2与F5合成，最后求5个力的合力。

与F3箭头相连后形成以F1和F4为邻边的

解析如图所示，F

平行四边形，F3为所夹的对角线，(即F1与F4的合力为F3)同

理可知，F2与F5的合力也为F3，故5个力的合力等于3倍的

F3，又F3等于2倍的F1，则5个力的合力等于6倍的F1，D

正确。

答案 D

方法总结

(1)五个力可根据特点分组合成

(2)要利用好正六边形的几何特性。

[针对训练3] 如图5所示，在同一平面内，大小分别为1 N、2 N、3 N、4 N、5 N、6 N的六个力共同作用于一点，其合力大小为()

图5

A.0

B.1 N

C.2 N

D.3 N

解析先分别求1 N和4 N、2 N和5 N、3 N和6 N的合力，大小都为3 N，且三个合力互成120°角，如图所示：

根据平行四边形定则知，图中三个力的合力为零，即题中所给六个力的最终合力为零。故A正确，B、C、D错误。

答案 A

1.(多选)两个共点力F1、F2大小不同，它们的合力大小为F，则()

A.F1、F2同时增大一倍，F也增大一倍

B.F1、F2同时增加10 N，F也增加10 N

C.F1增加10 N，F2减少10 N，F一定不变

D.若F1、F2中的一个增大，F不一定增大

解析F1、F2同时增大一倍，F也增大一倍，选项A正确；F1、F2同时增加10 N，F不一定增加10 N，选项B错误；F1增加10 N，F2减少10 N，F可能变化，选项C错误；若F1、F2中的一个增大，F不一定增大，选项D正确。

答案AD

2.某同学在单杠上做引体向上，在图中的四个选项中双臂用力最小的是()

解析根据两个分力大小一定时，夹角增大，合力减小可知：双臂拉力的合力一定(等于同学自身的重力)，双臂的夹角越大，所需拉力越大，故双臂平行时，双臂的拉力最小，故B正确。

答案 B

3.(多选)作用在同一点的两个力，大小分别为5 N和2 N，则它们的合力可能是()

A.5 N

B.4 N

C.2 N

D.9N

解析根据|F1－F2|≤F≤F1＋F2得，合力的大小范围为3 N≤F≤7 N，故选项A、B正确。

答案AB

4.如图所示，三个大小相等的力F作用于同一点O，则合力最小的是()

解析将相互垂直的F进行合成，则合力的大小为2F，再与第三个力F合成，即有合力的大小为(2－1)F；将方向相反的两个力合成，则合力为0，再与第三个力F合成，则有合力大小为F，合力最大；将互成120°角的任意两力进行合成，可知，这三个力的合力为零，合力最小；将左边两个力进行合成，再与右边合成，则有合力的大小为(3－1)F；由上分析可知，故C正确，A、B、D均错误。

答案 C

5.如图6所示，一条小船在河中向正东方向行驶，船上挂起一风帆，帆受侧向风作用，风力大小F1为100 N，方向为东偏南30°，为了使船受到的合力能恰沿正东方向，岸上一人用一根绳子拉船，绳子取向与河岸垂直，求出风力和绳子拉力的合力大小及绳子拉力F2的大小。

图6

解析如图所示，以F1、F2为邻边作平行四边形，使合力F沿正东方向，

则F ＝F 1cos 30°＝100×3

2 N ＝50

3 N 。

F 2＝F 1sin 30°＝100×1

2 N ＝50 N 。 答案 50

3 N 50 N

基础过关

1.(多选)对两个大小不等的共点力进行合成，则 ( ) A.合力一定大于每个分力 B.合力可能同时垂直于两个分力 C.合力的方向可能与一个分力的方向相反

D.两个分力的夹角在0°到180°之间变化时，夹角越小，合力越大

解析 不在同一条直线上的两个力合成时，遵循平行四边形定则，故合力可能大于、小于或等于任意一个分力，故A 错误；合力是两分力构成的平行四边形的对角线，而对角线不可能同时垂直两个边，故B 错误；当两分力方向相反时，则合力可以与一个分力的方向相反，故C 正确；两个大小不变的力，其合力随两力夹角的减小而增大，故D 正确。 答案 CD

2.如图1所示，一水桶上系有三条绳子a 、b 、c ，分别用它们提起相同的水时，下列说法中正确的是( )

图1

A.a绳受力最大

B.b绳受力最大

C.c绳受力最大

D.三条绳子受力一样大

解析对水桶研究：受到重力和绳子的两个拉力作用，根据平衡条件得知：两个拉力的合力与重力平衡，大小等于重力，方向竖直向上。根据两个分力大小一定时，夹角增大，合力减小可知，两个拉力的合力一定，夹角越小，绳子拉力越小，夹角越大，绳子拉力越大。根据几何关系得绳子越长，夹角越小，夹角越小，绳子的拉力越小，而绳子越短，夹角越大，绳子的拉力越大，c绳子夹角最大，故c绳受力最大。

答案 C

3.如图2所示，A、B为同一水平线上的两个绕绳装置，转动A、B改变绳的长度，使光滑挂钩下的重物C缓慢下降。关于此过程绳上拉力大小的变化，下列说法中正确的是()

图2

A.不变

B.逐渐减小

C.逐渐增大

D.不能确定

解析当改变绳的长度，使光滑挂钩下的重物C缓慢下降时，两绳间的夹角会逐渐变小，而它们的合力是不变的，故这两个分力的大小将会变小，选项B正确。

答案 B

4.如图3所示，F1、F2为两个相互垂直的共点力，F是它们的合力。已知F1的大

小等于3 N ，F 的大小等于5 N 。若改变F 1、F 2的夹角，则它们的合力的大小还可能是( )

图3

A.0

B.4 N

C.8 N

D.12 N

解析 由题意得F 2＝F 2－F 21＝4 N ，故F 1、F 2的合力范围为1 N ≤F ≤7 N ，选项B 正确。 答案 B

5.小娟、小明两人共提一桶水匀速前行，如图4所示，已知两人手臂上的拉力大小相等且为F ，两人手臂间的夹角为θ，水和水桶的总重力为G ，则下列说法中正确的是( )

图4

A.当θ为120°时，F ＝G 2

B.不管θ为何值，均有F ＝G 2

C.当θ＝0时，F ＝G

2 D.θ越大时，F 越小

解析 两分力相等，由力的合成可知，θ＝120°时，F 合＝F 分＝G ，θ＝0时，F 分＝12F 合＝G

2，故C 正确，A 、B 错误；θ越大，在合力一定时，分力越大，故D 错误。 答案 C

6.(多选)一物体同时受到同一平面内的三个力的作用，下列力的合力可能为零的是( )

A.4 N、8 N、9 N

B.7 N、4 N、3 N

C.1 N、5 N、10 N

D.1 N、8 N、8 N

解析两个力的合力的范围是|F1－F2|≤F≤F1＋F2。三个力的合力的求法是先求两个力的合力，然后将这个合力与第三个力合成，得到总的合力。A中，前两个力的合力范围是4 N≤F′≤12 N，包含了9 N在内，当前两个力的合力大小正好为9 N，且与第三个力方向相反时，其总的合力为零，因此A正确；同理，B、D正确，C错误。

答案ABD

7.物体只受两个力F1和F2的作用，F1＝30 N，方向水平向左，F2＝40 N，方向竖直向下，求这两个力的合力F。

解析法一作图法

设定每单位长度表示10 N，则分别取3个单位长度、4个单位长度，

自O点引两条有向线段OF1和OF2分别表示力F1、F2。以OF1和

OF2为两个邻边作平行四边形如图所示，则对角线OF就是所求的

合力F。量出对角线的长度为5个单位长度，则合力的大小F＝5×10

N＝50 N。用量角器量出合力F与分力F1的夹角θ为53°，方向斜向左下。

法二计算法

实际上是先运用数学知识，再回到物理情景中。在如图所示的平行四边形中，△OFF1为直角三角形，根据直角三角形的几何关系，可以求得斜边OF的长度和OF与OF1间的夹角，将其转化为物理问题，就可以求出合力F的大小和方向，

则F＝F21＋F22＝50 N，tan θ＝F2

F1＝

4

3，θ为53°，合力F与F1的夹角为53°，方

向斜向左下。

答案50 N，方向为与F1的夹角成53°角斜向左下方

能力提升

8.如图所示，F1、F2、F3恰好构成封闭的直角三角形，这三个力的合力最大的是()

解析由矢量合成法则可知A图的合力为2F3，B图的合力为0，C图的合力为2F2，D图的合力为2F1，因F2为直角三角形的斜边，故这三个力的合力最大的为C图。

答案 C

9.如图5所示，一根粗细不均匀的木材用两根轻绳水平悬挂在天花板上，下列判断正确的是()

图5

A.木材的重心位置在AB的中点

B.绳OA的拉力大于OB的拉力

C.绳OA的拉力小于OB的拉力

D.两绳的拉力均比木材的重力大

解析木材是粗细不均匀的，其重心不一定在几何中心，故A错误；设木材的质量为m，对木材受力分析，然后采用合成法，如图，根据力的合成与几何知识，得T OA＝mg sin 37°，T OB＝mg sin 53°，可以看出绳子OA的拉力小于OB的拉力，且两绳子的拉力都比木材的重力小，故C正确，B、D错误。]

答案 C

10.两个共点力同向时合力为a，反向时合力为b，当两个力垂直时合力大小为()

A.a2＋b2

B.a2＋b2

2

C.a＋b

D.a2＋b2 2

解析假设两个力分别为F1、F2则

同向时：F 1＋F 2＝a ① 反向时：F 1－F 2＝b ②

当两力垂直时：F ＝F 2

1＋F 22③

由①②得F 1＝a ＋b 2，F 2＝a －b 2， 代入③得F ＝a 2＋b 2

2，选项B 正确。

答案 B

11.如图6所示是轿车常用的千斤顶，当摇动把手时，螺纹轴就能迫使千斤顶的两臂靠拢，从而将汽车顶起。当车轮刚被顶起时汽车对千斤顶的压力为1.0×105 N ，此时千斤顶两臂间的夹角为120°。下列判断正确的是( )

图6

A.此时千斤顶每臂受到的压力大小均为5.0×104 N

B.此时千斤顶对汽车的支持力为1.0×104 N

C.若继续摇动把手，将汽车顶起，千斤顶每臂受到的压力将增大

D.若继续摇动把手，将汽车顶起，千斤顶每臂受到的压力将减小

解析 车轮刚被顶起时，千斤顶两臂支持力的合力为千斤顶对汽车的支持力，等于汽车对千斤顶的压力，大小为1.0×105 N ，B 项错误；两臂夹角为120°，由力的合成可知千斤顶每臂受到的压力为1.0×105 N ，A 项错误；继续摇动把手，将汽车顶起，千斤顶两臂夹角减小，每臂受到的压力减小，D 项正确，C 项错误。 答案 D

12.如图7所示，物体A 、B 都处于静止状态，其质量分别为m A ＝5 kg ，m B ＝10 kg ，OB 呈水平，OP 与竖直方向成45°角。g 取10 m/s 2，求：

图7

(1)三根细绳OP、OA、OB的拉力分别为多大？

(2)物体B与水平面间的摩擦力为多大？

解析(1)先以A为研究对象，

可得拉力F T OA＝m A g＝50 N

再以结点为研究对象，进行受力分析，如图所示：

由几何关系可知，F T OB＝F T OA＝50 N；

F T OP＝F2T OB＋F2T OA＝2F T OA＝50 2 N。

(2)对物体B受力分析，

根据平衡条件，B与水平面间的摩擦力

F f＝F T OB＝50 N。

答案(1)50 2 N50 N50 N(2)50 N