湖南省长沙市雅礼中学、河南省实验中学2018届高三联考数学理

长沙市雅礼中学、河南省实验中学2018届高三联合考试

数学（理科）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知复数满足||3z z i +=+，则z 对应点所在的象限是（） A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

2.设集合{}

22(,)|1A x y x y =+=，{}

(,)|3x

B x y y ==，则A

B 的子集的个数是（）

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

3.已知双曲线22

221y x a b

-=（0a >，0b >）的一个焦点为(0,2)F -该双曲线的方程为（）

A ．2

213x y -= B ．2

213

y x -= C ．2

213y x -= D ．2

x y -= 4.在数列{}n a 中，12a =，11

ln(1)1n n a a n n n

+=+++，则n a =（） A ．2ln n n + B ．2(1)ln n n n +- C ．2ln n n n +

D ．1ln n n n ++

5.某几何体的三视图如图所示，其中正视图由矩形和等腰直

角三角形组成，侧视图由半圆和等腰直角三角形组成，俯视图的实线部分为正方形，则该几何体的表面积为（）

A ．3π+

B ．4(1)π

C ．4(π

D ．4(1)π+

6.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”该著

作中提出了一种解决此问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚减一，即得．”通过

对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数n 是8的整数倍时，均可采用此方法求解．如图是解决这类问题的程序框图，若输入24n =，则输出的结果为（） A ．23

B ．47

C ．24

D ．48

7.郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（） A ．168种 B ．156种

C ．172种

D ．180

种

8.设A ，B ，C 是半径为1的圆O 上的三点，OA OB ⊥，则

()()OC OA OC OB -?-的最大值是（）

．1B

．1C

D ．1

9.将函数2sin cos y x x =+的图象向右平移?个单位长度，得到函数

2sin cos y x x =-的图象，则sin ?的值为（）

B ．

C ．

D ．

10.已知1

051

x e dx

n e =

-?，其中 2.71e =…，e 为自然对数的底数，则在4

(2)n x x

-的展开式中2x 的系数是（） A ．240

B ．80

C ．80-

D ．240-

11.过抛物线C ：2

4y x =的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，与抛物线准线交于M ，且3FM FP =，则||FP =（） A ．

B ．

C ．

D ．

12.已知函数()sin 2f x x =的图象与直线220kx y k π--=（0k >

）恰有三个公共点，这三个点的

横坐标从小到大分别为1x ，2x ，3x ，则1323()tan(2)x x x x --=（） A ．2-

B ．1-

C ．0

D ．1

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知实数x ，y 满足1,

1,0,

x y x y x -≤??

+≤??>?

则22x y x ++的最小值为．

14.已知点(,)P a b 在函数2

e y x

=（其中 2.71e =…，e 为自然对数的底数）

的图象上，且1a >，1b >，则ln b a 的最大值为．

15.现为一球状巧克力设计圆锥体的包装盒，若该巧克力球的半径为3，则其包装盒的体积的最小值为．

16.在平面四边形ABCD 中，120ABC ∠=?

，AC =，23AB BC =，2AD BD =，BCD ?

的面积为AD = ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.若数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n n S a λ=-（0λ>，*n N ∈）．（1）证明：数列{}n a 为等比数列，并求n a ；

（2）若4λ=，2,,

log ,n n n

a n

b a n ?=??是奇是偶（*n N ∈），求数列{}n b 的前n 项和n T ．

18.如图1，菱形ABCD 的边长为12，

60BAD ∠=?，AC 与BD 交于O 点，将菱

形ABCD 沿对角线AC 折起，得到三棱锥

B ACD -，点M 是棱BC

的中点，

DM =

（1）求证：平面ODM ⊥平面ABC ；

（2）求二面角M AD C --的余弦值．

19.某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量X （小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y （百斤）与使用某种液体肥料x （千克）之间对应数据为如图所示的折线图．

（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？请计算相关系数r 并加以说明（精确到0.01）；（若||0.75r >，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）

（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X 限制，并有如表关系：

若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．以过去50周的周光照量的频率作为周光照量发生的概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？

附：相关系数公式()()

x x y y r --=

∑

0.55≈

0.95≈．

20.设点A 为圆C ：224x y +=上的动点，点A 在x 轴上的投影为Q ，动点M 满足2MQ AQ =，动点M 的轨迹为E ．（1）求E 的方程；

（2）设E 与y 轴正半轴的交点为B ，过点B 的直线l 的斜率为k （0k ≠），l 与E 交于另一点为P ，若以点B 为圆心，以线段BP 长为半径的圆与E 有4个公共点，求k 的取值范围．

21.已知函数2()x x x f x ae ae xe =--（0a ≥， 2.718e =…，e 为自然对数的底数），若()0f x ≥对于x R ∈恒成立．（1）求实数a 的值；

（2）证明：()f x 存在唯一极值点0x ，且

02ln 211

()244

f x e e +≤<．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 过点(2,4)M --，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2

sin

2cos ρθθ=．

（1）写出直线l 的参数方程（α为常数）和曲线C 的直角坐标方程；

（2）若直线l 与C 交于A 、B 两点，且||||40MA MB ?=，求倾斜角α的值． 23.选修4-5：不等式选讲

已知函数()|1||1|f x m x x =---+．（1）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；

（2）若二次函数2

23y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围．

长沙市雅礼中学、河南省实验中学2018届高三联合考试试题数学（理科）答案一、选择题

1-5:DACCA 6-10:BBADB 11、12：CB

二、填空题

13.4 14.e 15.72π

16.三、解答题

17.解：（1）由题意可知112S a λ=-，即1a λ=；

当2n ≥时，111(2)(2)22n n n n n n n a S S a a a a λλ---=-=---=-，即12n n a a -=；所以数列{}n a 是首项为λ，公比为2的等比数列，所以12n n a λ-=?．

（2）由（1）可知当4λ=时1

n n a +=，从而12,1,n n n b n n +?=?+?是奇，

是偶．

n 为偶数时，2

(31)

4(14)2

142

n n

n T ++-=+

-； n 为奇数时，11n n n T T b ++=-1

21(311)

4(14)

2(2)142

n n n n +++++-=+-+-

14(21)(1)(5)

234n n n n +-++=+--

14(21)(1)(3)34

n n n +--+=+，

综上，1

4(21)(4),34

4(21)(1)(3),34n n n n n

n T n n n +?-++??=?--+?+??

是偶，是奇． 18.（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD DC =，OD AC ⊥，

ADC ?中，12AD DC ==，120ADC ∠=?，

∴6OD =，

又M 是BC 中点，∴1

OM AB =

，又MD = ∵222OD OM MD +=，∴DO OM ⊥， ∵OM ，AC ?平面ABC ，OM AC O =，

∴OD ⊥平面ABC ，

又∵OD ?平面ODM ，∴平面ODM ⊥平面ABC ．（2）解：由题意，OD DC ⊥，OB OC ⊥，

又由（1）知OB OD ⊥，建立如图所示空间直角坐标系，由条件知：(6,0,0)D

，(0,A -

，

M ，

故AM =

，AD =，设平面MAD 的法向量(,,)m x y z =，

则0,0,m AM m AD ??=???=??

即30,60,

z x ?+=??+=??

令y =3x =，9z =，

∴(3,m =．

由条件知OB ⊥平面ACD ，故取平面ACD 的法向量为(0,0,1)n =，所以，393

cos ,31||||

m n m n m n ?<>=

?，由图知二面角M AD C --为锐二面角，故二面角M AD C -- 19.解：（1）由已知数据可得2456855x ++++=

=，34445

y ++++==，

因为

()()(3)(1)000316i

i x

x y y =-

-=-?-

++++?=∑，

所以相关系数()()

x x y y r --=

∑

0.95=

=≈，

因为0.75r >，所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系．

（2）记商家周总利润为Y 元，由条件可知至少需要安装1台，最多安装3台光照控制仪． ①安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元； ②安装2台光照控制仪的情形：

当70X >时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润300010002000Y =-=元，当3070X <≤时，2台光照控制仪都运行，此时周总利润230006000Y =?=元，故Y 的分布列为：

所以()10000.250000.790000.14600E Y =?+?+?=元．

综上可知，为使商家周利润的均值达到最大应该安装2台光照控制仪． 20.解：（1）设点(,)M x y ，由2MQ AQ =，得(,2)A x y ，由于点A 在圆C ：2

4x y +=上，则2

44x y +=，

即点M 的轨迹E 的方程为2

214x y +=．（2）由（1）知，E 的方程为2

214

x y +=，因为E 与y 轴的正半轴的交点为B ，所以(0,1)B ，所以故B 且斜率为k 的直线l 的方程为1y kx =+（0k ≠）．

由22

1,1,4

y kx x y =+???+=??得22(14)80k x kx ++=，

设11(,)B x y ，22(,)P x y ，因此10x =，22

814k

x k

+，

12|||BP x x =-=

由于圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设在y 轴左侧的椭圆上有两个不同的公共点P ，T ，满足||||BP BP =，此时直线BP 斜率0k >，设直线BT 的斜率为1k ，且10k >，1k k ≠，

则||BT =

10=，

即2

1(14(14k k +=+ 所以222222111()(18)0k k k k k k -++-=，由于12k k ≠，因此222211180k k k k ++-=，

故22

122

11119

8188(81)

k k k k +==+--．因为2

0k >，所以21810k ->，

因此22

119188(81)8k k =

+>-，又因为0k >

，所以4

k >，又因为1k k ≠，所以2222

180k k k k ++-≠，

所以42

8210k k --≠，又因为0k >

，解得2

k ≠

，

所以2(,)k ∈+∞，

综上所述，k 的取值范围为22222(,(,)(,)(,)224422

-∞-

--+∞．

21.解：（1）由()()0x x f x e ae a x =--≥，可得()0x g x ae a x =--≥，因为(0)0g =，所以()(0)g x g ≥，从而0x =是()g x 的一个极小值点，

由于'()1x

g x ae =-，所以'(0)10g a =-=，即1a =．当1a =时，()1x g x e x =--，'()1x

g x e =-，

∵(,0)x ∈-∞时，'()0g x <，()g x 在(,0)-∞上单调递减，

(0,)x ∈+∞时，'()0g x >，()g x 在(0,)+∞上单调递增；

∴()(0)0g x g ≥=，故1a =．

（2）当1a =时，2()x x x f x e e xe =--，'()(22)x x

f x e e x =--．

令()22x

h x e x =--，则'()21x

h x e =-，

∵(,ln 2)x ∈-∞-时，'()0h x <，()h x 在(,ln 2)-∞-上为减函数；

(ln 2,)x ∈-+∞时，'()0h x >，()h x 在(ln 2,)-+∞上为增函数，

由于(1)0h -<，(2)0h ->，所以在(2,1)--上存在0x x =满足0()0h x =， ∵()h x 在(,ln 2)-∞-上为减函数，

∴0(,)x x ∈-∞时，()0h x >，即'()0f x >，()f x 在0(,)x -∞上为增函数，

0(,ln 2)x x ∈-时，()0h x <，即'()0f x <，()f x 在0(,ln 2)x -上为减函数，

(ln 2,0)x ∈-时，()0h x <，即'()0f x <，()f x 在(ln 2,0)-上为减函数， (0,)x ∈+∞时，()0h x >，即'()0f x >，()f x 在(0,)+∞上为增函数，

因此()f x 在(ln 2,)-+∞上只有一个极小值点0，

综上可知，()f x 存在唯一的极大值点0x ，且0(2,1)x ∈--． ∵0()0h x =，∴00220x e x --=，所以0

2220000

000222()()()(1)224

x x x x x x x f x e

e x e x +++=--=-+=-，0(2,1)x ∈--，

∵(2,1)x ∈--时，22144x x +-

<，∴01()4f x <； ∵1ln

(2,1)2e ∈--，∴021ln 21

()(ln )224f x f e e e

≥=+；综上知：

02ln 211

()244

f x e e +≤<． 22.解：（1）∵倾斜角为α的直线过点(2,4)M --，

∴直线l 的参数方程是2cos ,

4sin x t y t αα

=-+??

=-+?（t 是参数），

∵曲线C 的极坐标方程为2

sin 2cos ρθθ=，∴曲线C 的直角坐标方程是：22y x =．

（2）把直线的参数方程代入2

2y x =，得2

sin (2cos 8sin )200t t ααα-++=，

∴1222cos 8sin sin t t ααα++=

，122

sin t t α

=，根据直线参数方程的几何意义

12220||||||40sin MA MB t t α==

=，故4πα=或34

α=，

又∵2

(2cos 8sin )80sin 0ααα?=+->，

∴34

α=

． 23.解：（1）当5m =时，52,1,()3,11,52, 1.x x f x x x x +<-??

=-≤≤??->?

由()2f x >得不等式的解集为3

3|2

2x x ??

．（2）由二次函数2223(1)2y x x x =++=++，该函数在1x =-取得最小值2，

因为2,1,()2,11,2,1,m x x f x m x m x x +<-??

=--≤≤??->?

在1x =-处取得最大值2m -，

所以要使二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，只需22m -≥，即4m ≥．

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