“扩展卡尔曼滤波法”无位置传感器无刷直流电机控制系统研究和实现
东南大学
硕士学位论文
“扩展卡尔曼滤波法”无位置传感器无刷直流电机控制系统研
究和实现
姓名：潘腾
申请学位级别：硕士
专业：电机与电器
指导教师：林明耀
20030901
摘要
无刷赢流电机．是随着电力电子技术的发展和新型永磁材料的出现而迅速成熟起来的一种机电一体化电机。随着无刷直流电机在各个领域的广泛应用，其常用的带位置传感器控制方法暴露出了越来越多的局限性。同时，随着计算机技术和电子技术的不断发展，基于高性能数字信号处理器的“状态观测器”法无位置传感器控制则渐渐成为研究的热点。
论文在详细介绍了“扩展卡尔曼滤波法”无位置传感器无刷直流电机控制原理的基础上．建立了基于“扩展｝尔曼滤波法”无位置传感器无刷直流电机控制系统模型，对模型中误差造成的原因作出了定性和定量的分析，给出了解决的办法。另外，论文以ＴｅｘａｓＩｎｓｔｒｕｍｅｎｔ公司的ＴＭｓ３２０ＬＦ２４０７Ａ数字信号处理器为核心，设计了一套基于“扩展卡尔曼滤波法”的无位置传感器无刷直流电机控制系统，井给出了备模块的设计电路。文中介绍了系统的各个组成部分，并给出了系统的抗干扰措施。
“三段式”起动技术是无传感器无刷直流电机控制中的常用起动方法，也是“扩展Ｒ尔曼滤波法”控制中的一个重要环‘箝。文中对“三段式”起动技术中转子定位、外同步加速和外同步到自同步的切换三部分进行了详细的分析和讨论，指出了备部分的难点，给出了相应的解决方法。基于“扩展旨尔曼滤波法”的控制系统中包含了大量的运算和多路的ＡＤ采集，因此不可避免存在系统和测鬣误差以及干扰噪卢，论文着重对系统误著、量测误差帛ｌ干扰噪声＝个方面作了详细的分析，并提出了解决的方法。对ｒ噪卢信号的数字化处理，论文探讨了常用的几种数字滤波算法并给出了仿真波形。
在前面所设计的控制系统的基础上，论文介绍了“扩展｝尔曼滤波法”无位置传感器无刷直流电机控制系统的运行调试过科，分析了调试中出现的问题并提出了解决的方法。最后，文中给出了系统调试中的电压、反电势以及相电流等信号的实测波形，并与仿真结果作了比较分析。
【关键词】无刷直流电机无位置状态观测器扩展卡尔曼滤波三段式起动
Ａｂｓｔｒａｃｔ
ＢｒｕｓｈｌｅｓｓＤＣｍｏｔｏｒ（ＢＬＤＣＭ）ｉｓａｋｉｎｄｏｆｅｌｅｃｔｒｏｍｅｃｈａｎｉｃａＩｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎｍａｃｈｉｎｅｒｙ，ｗｈｉｃｈｈａｓｂｅｅｎｒａｐｉｄｌｙｄｅｖｅｌｏｐｉｎｇｉｎｒｅｃｅｎｔｙｅａｒｓｗｉｔｈｔｈｅｈｅｌｐｏｆｔｈｅｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｏｆｔｈｅＰｏｗｅｒＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓｒｅｃｈｎｏｌｏｇｙａｎｄｔｈｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｎｅｗｔｙｐｅｏｆｐｅｒｍａｎｅｎｔｍａｇｎｅｔｍａｔｅｒｉａｌ，ＡｓｔｈｅＢＬＤＣＭｉｓｗｉｄｅｌｙｐｕｔｊｎｔｏｍａｎｙａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ．ｔｈｅＩｉｍｉｔａｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｔｒａｄｉｔｉｏｎａＪｃｏｎｔｒｏＩｍｅｔｈｏｄｗｉｔｈｓｅｎｓｏｒａｒｅ
ｅｘｐｏｓｅｄｇｒａｄｕａｌｌｙ．Ｍｅａｎｗｈｉｌｅ，ｗｉｔｈｔｈｅｈｅｌｐｏｆｔｈｅｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｏｆｔｈｅＣｏｍｐｕｔｅｒａｎｄｔｈｅＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓＴｅｃｈｎｏｌｏｇＹ，ｔｈｅｓｅｎｓｏｄｅｓｓｃｏｎｔｒｏｌｍｅｔｈｏｄｂａｓｅｄｏｎｓｔａｔｅｏｂｓｅｒｖｅｒａｎｄｈｉｇｈ
ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅＤＳＰｓｉｓｂｅｃｏｍｉｎｇｔｈｅｅｍｐｈａｓｉｓｏｆｔｈｅｒｅｓｅａｒｃｈ．
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ＥｘｔｅｎｄｅｄＫａｌｍａｎＦｉｌｔｅｒＫｅｙＷｏｒｄｓ：ＢＬＤＣＭｏｔｏｒＳｅｎｓｏｒｌｅｓｓ
Ｔｈｒｅｅ—ｓｔｅｐＳｔａｒｔｉｎｇＴｅｃｈｎｉｑｕｅ
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．ｆ５８２３２９东南大学学位论文独创性声明
本人声明所呈交的学位论文魑我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成巢。尽我所知，豫了文中特剐船醇稼注和致谢静穗方努，论文中不包含冀拖入己缀发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教商机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的潲志对本研究所做的任何贡献均融在论文中作了明确的说明并表示了谢意。
研究生签名：盎叠日期：通：宣：１７
东南大学学位论文使用授权声明
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辑
研究生签襄：渣蹙——导师签名：日期：０３．召．
驻ｒ
绪论
§０．１无刷直流电动机概述
无刷直流电动机（ＢｒｕｓｈｌｅｓｓＤＣＭｏｔｏｒ，以下简称ＢＬＤＣＭ）是近年来随着微处理器技术的发展和高开关频率、低功耗新型电力电子器件的应用，以及控制方法的优化和低成本、高磁能积的永磁材料的出现而成熟起来的一种新型直流电动机。无刷直流电动机在电磁结构上与有刷直流电动机相同，但它的电枢绕组被安置于定子上，励磁通过转子上安装的永久磁钢实现。该电机的电枢绕组一般采用多相形式，经由驱动器接到直流电源．驱动器中的电子换向器代替了有刷直流电机的电刷和机械换向器，各相逐次通电在空间产生磁场，和转子磁极主磁场相互作用，产生转矩。
无刷直流电动机一般可以分为两类：正弦波型永磁无刷直流电动机和方波型永磁无刷直流电动机。正弦波型永磁无刷直流屯动机（也称为永磁同步电机）反电势波形和供电电流波形均为正弦波，一般需要较为精密的转子位置信号，位置传感器结构较为复杂，成本较高，但其控制方法灵活，转矩波动小，一般用于伺服控制系统。方波型永磁无刷直流电动机，或者称为方波电机，其反电势波形和供电电流波形均为方波或近似方波的梯形波，控制系统对转子位置信号要求不高，只需获得若干个转子关键位置的离散信号就可以了，成本较低，加上其结构简单、控制方便，因此应用范围很，一。大多数情况下，无刷直流电机是指方波型永磁无刷直流电动机，在本论文中不做特殊说明的地方均指这类电机。
早在上个世纪３０年代，便有学者开始研究以电子换向器取代电刷机械换向的直流无刷电动机。１９７８年，原两德ＭＡＮＮＥＳＭＡＮＮ公司在汉诺威贸易博览会上推出ＭＡＣ方波无刷直流电动机及其驱动器，标志着方波无刷直流电动机技术进入了实用阶段。
近十多年来，随着电机技术及其相关学科的发展，无刷直流电动机在我国得到了迅速的发展和日益７“泛的应用。永磁无刷直流电动机是集特种电动机、功率驱动器、检测元件、微处理器、控制硬件和软件于一体的新一代机电一体化高科技产品，它既保持了普通直流电动机怠好的调速性能，又具有结构简单、起动力矩大、调速范围宽、损耗低、效率高、无滑动接触和换向火花、可靠性高、噪音低和使用寿命【乇等突出优点。因此．目前在先进的国家里，工业自动化领域中的有刷直流电动机已经逐步被无刷直流电动机所替代。无刷直流电动机在航空航天、数控机床、工业机器人、办公自动化设备、电动汽车和计算机外围设备等方面都获得了广泛应用。与此同时，无刷直流电动机的应用也深入到了民用领域，其数量和品种都以相当快的速度发展着。目前，国外在高档的风扇中采用了无刷直流电动机，在新一代的空调、洗农机、电冰箱、吸尘器等家用电器中，也大量采用无刷直流电动机来驱动。这种电动机结合新的控制技术、传感器技术和新的电子设备，大大提高了家用电器的性能，节约了能量。
无刷直流电机在工业平¨融用领域得到了广泛的使用，有着十分巨大的应用潜力。然而．无刷直流电动机相对于其它类玳电动机来说还是一种新型电动机，它的驱动、控制更是和电子技术息息相关，因此，对无刷直流电机本体及其控制方法进行系统、深入的研究，对国民生产建设以及人民日常生活有着十分重要的现实意义。
§０．２无刷直流电动机的控制方法
目前，无刷直流电动机的控制方法可主要分为有位置传感器控制方式和无位置传感器控制方式两种。
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§０．２．１有位置传感器控制方法
有位置传感器控制方式是指在无刷直流电动机定子上安装位置传感器来检测转予在运转过程中的位置，将转子磁钢磁极的位置信号转换成电信号，为逻辑开关电路提供正确的换相信息，以控制它们的导通与截止，使电动机电枢绕组中的电流随着转子位置的变化按次序换相，在空间形成步进式的旋转磁场．驱动永磁转子连续不断地旋转。位置传感器包括了磁敏式、光电式、电磁式、接近开关式、正余弦旋转变压器式以及编码器等。而其中又以前三种最为常见。电磁式位置传感器由于笨重复杂．在方波电机中己被淘汰；光电式位置传感器轻便可靠，抗干扰能力强，安装精度高，调整方便，应用较广。磁敏式位置传感器主要以霍尔位置传感器为主。霍尔式位置传感器主要分为非锁量式和锁量式两种。非锁量式霍尔位置传感器应用范围较小．只适用在一些简单应用场合（如１２０。三相三状态的无刷电机中）．锁量式霍尔位置传感器目前有比较成熟的Ｉｃ器件，具有体积小、简单可靠、安装灵活方便、易于实现机电一体化等优点，是目前应用最为广泛的位置传感器。
§０．２．２无位置传感器控制方法
无位置传感器无刷直流电机的控制是指不依赖位置传感器，通过另外的方式得到转子的位置信号、角速度等状态量，确定逆变器功率管的切换，进而对定子绕组进行换相。保持定子电流和反电势在相位上的严格同步的一种控韦４方式。在无位置传感器的控制方式中，研究的核心问题主要是如何通过软件和硬件的方法，构建一种转子状态量的检测电路。由于可以直接测量到的一般只有相电压和相电流这两个量，因此。国内外研究成果所提出的无位置传感器控制方法中，绝大部分都是基于以上两个观测量的，其中较为成熬的几类方法列举如下。
１．状态观测器法
“状态观测器法”的基本思想就是以电机的转速、转子位置角、电流等参数为状态变量，在定义状态变量的基础上对电机建立数学模型，通过数字滤波的方法得出状态变量的离散值，从而实现对电机的控制。“状态观测器法”比较好的解决了电机在高速、重载情况下难丁二控制的问题，其良好的抗干扰噪声能力使其更适用于恶劣的工作环境。“状态观测器法”庞大的运算量曾在一段时间内限制了它的应用。随着计算机技术的飞速发展，托ｕ／ＭＰＵ主频不断地加快，以及具有高速运算能力的数字信号处理器（ＤＳＰ）的出现，“状态观测器法”已得到了越来越广泛的应用，并在其基础上衍生了许多新颖的控制方法。从使用的观测器种类来划分，可分为以下几种类型。
ａ．扩展帚尔曼滤波法（“ＥｘｔｅｎｄｅｄＫａｌｍａｎＦｉｌｔｅｒ”，以下简称ＥＫＦ）
ＥＫＦ通过建立电机的数学模型，周期性地检测外加电压、不导通相反电势和负载电流等变量，利用特定算法得到电机转子的位置以及速度的估计值。通过比较估计值与设定值的差值后经ＰＩＤ调节，达到了控制电机的目的，它是一种递推型滤波算法。在电机控制中，由于需要实现的控制目的不同，因此，选取的状态变量以及建立的系统模型和观测模型也不尽相同。如对转矩进行直接控制，需要选取定子磁链作为状态变量，相应的使用磁链闭环观测器作为系统模型”“…““…。在进行转速控制时，需要选取转速和转子位置作为状态量，相应的使用机电方程作为系统模型。
ｂ．维纳滤波法
“维纳滤波法”是一种线性最优非递归型的分析方法。它以均方估计误差最小为原则，计算滤波器中的各系数的加权值，从而对随机信号作出估计。维纳滤波在使用中需要全部的历史数据，因此在实际应用中需要非常惊人的存贮量，现己基本被淘汰。
ｃ．人工神经网络（ＡＮＮ）控制法
“人工神经网络法”是在观测器法的基础上，使用人工神经网络技术而诞生的一种控制方法。
２
２３４５
它通过自适应技术，模糊控制策略或神经网络控制策略来建立被测相的电压、电流和转子位置的相互关系，基于被测相电压和电流来独立地获得转子位置信号．借以提高转子位置检测精度的方法。其优点在于具有自适应、自学习等特性，可在线设计神经网络自适应学习规则，因此在解决速度和位置推算、对电动机参数和负载扰动的自适应问题以及对测量噪声敏感等问题上有其独特的优点。
反电势法
反电势法（以下简称Ｂａｃｋ－ＥＭＦ）是通过检测电枢反电势，从而得到转子位置角信号的控制方法。Ｂａｃｋ一啷又可以分为“反电势过零检测法”、“反电势逻辑电平积分比较法”等几种。ａ．“反电势过零检测法”
无刷直流电机运行过程中，捕捉到反电势正负交变的过零点后，再移相３０度，按照相序导通逻辑便可以得到功率管的触发信号，从而实现无位置传感器的无刷直流电机控制。“反电势过零检测法”原理简单并易于实现，因此得到了广泛的应用…。
ｂ．“反电势逻辑电平积分比较法”
“反电势逻辑电平积分比较法”是通过分别捕捉三相在非导通时刻反电势的过零信号，将该相的反电势信号转变为电平信号，并分别对该电平信号进行积分。由于这三路电平积分值中的任意两路均满足某种特定的比例关系，因此可以通过比较积分值的办法得到转子磁场的位置信号，得到换相所需的控制信息。
定子三次谐波法
“定子三次谐波法”通过检测电枢相电压中的３次谐波分量，并对这组测量值进行积分，当积分值为零时，便得到了功率管的开关信号。该方法有两种实现方案，一种在电枢的三个端点并接一个星型电阻网络．中点接引出电枢的中性线．通过滤波器分离出每个电阻上的三次谐波进行积分处理。当电机的中性线不便引出肘，这种方案不能使用。此时可测量星形电阻网络中性点与直流侧的中点之间的电压来获得三次谐波，不过必须使用滤波器来消除高频分量。总的来说，“定子三次谐波法”缺点比较明显。其附加设各多，安装不便，低速时，电机反电势信号较弱，三次谐波分鼙不容易得到。
第三相导通法
此方法又称“续流二极管法”。当无刷直流电机采用１２０。导通方式时，非导通相的绕组电流有一个续流的过程。只要监测并联在六个功率管上的续流二二极管的电流导通情况，便可以得到六个功率管的开荚顺序。
该方法可以提高电机的调迷范围，特别是可以拓宽电机的转速下限。但是这种方法要求逆变器必须工作在上下功率警轮流处于ＰＷＭ斩波方式，增大了控制难度。另外，对丁＝续流二极管导通的无效信号和毛刺干扰造成的误导通信号的去除也不易实现。这种方法的转子位置误差也比较大，反电势系数、绕组电感量不是常数、反电势波形不是标准的梯形波等因素都会造成转子位置误差，这就需要一定的补偿措施。正因为以上的种种缺点，这种方法在国内应用并不是很广泛，相对来说技术也不很成熟。
电感法
电感法有两种形式：一种用于凸极式永磁无刷直流电机。另一种是用于内嵌式磁钢结构的永磁无刷直流电机。第一种电感法主要是通过在起动过程中对电机绕组施加探测电压来判断其电感的变化。在凸极机中，绕组自感可表示成绕组轴线与转子直轴间夹角的偶次余弦函数，通过检测绕组自感的变化，就可判断出转子轴线的大致位置，再根据铁心饱和程度的变化趋势确定其极性，从而最终得到正确的位置信号。这种方法难度较大，且只能应用于凸极机，所以目前较少应用。与第一种方法相比，第二种方法才是真正意义上的电感法。在内嵌式永磁无刷直流电机中，绕组电感会因为转子位置的改变而发生相应变仡，通过检测这些交化，再经过一定计算，即可得到转子位置信号。
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计算，即可得到转子位置信号。
该方法在低速时探测电压容易被反电势所湮没，所以起动技术的实现难度较大，而且需要对绕组电感进行不间断的实时检测，应用不是很广泛。
另外，在无位置传感器无刷真流电机的控制技术上．国内外还提出了许多新的方法与技术。如涡流法，即在转子表面安装非磁性材料，通过检测因该材料中涡流而造成的断开相电压改变来获得转子位置信号的方法。电流法，郎根据电流波形决定换相时序的方法。以及矢量法等控制方法。这些方法实现起来难度较大，应用条件比较苛刻，只适用于特定的应用场合，因此应用不是很广泛。
值得指出的是，智能控制在无刷直流电机控制中的应用已逐渐成为科研的一个新趋势。智能控制包括：矢量控制、模糊算法、人工神经元网络和专家系统等。其中，经典ＰＩＤ控制与模糊算法结合所组成的Ｆｕｚｚｙ—ＰＩＤ控制、人工神经元网络和模糊控制相结合的复合控制以及人工神经元网络与数字滤波褶结合的自适应控制等控制方法代表着当前智能控制的研究方向。智能控制的最大特点是自适应、自学习和自组织等功能，能根据不同的具体情况调节自身的控制参数，即解决控制对象的不确定性问题。另外，自适应线性神经元技术无需对控制对象建模，解决了模型的不确定问题【ｌ”。但是，由于无刷直流电动机是一个多变量、非线性、强耦台的控制对象，在被铡的电压、电流量的解耦、线性化处理等方面还不是很成熟，还需进一步的研究。然而，随着微处理器和数字信号处理器技术的发展和控制理论的不断成熟，智能控制方法必将会进一步推动无刷直流电动机控制技术的发展。
§０．２．３无位置传感器控制方法的比较
转子位置角信号作为无刷直流电机换流控制的依据，在无刷直流电机控制中起着非常重要的作用。通过以上的介绍以及分析可见，“Ｂａｃｋ—ＥＭＦ”和“状态观测器法”都能比较方便、直观的得到位置角以及转速信号，这两种方法同时也是目前采用最为广泛的控制方法。然而随着技术的不断发展，“状态观测器法”的优势便逐渐显露出来。具体表现如下：
（１）“Ｂａｃｋ．ＥＭＦ”基本上以测量反电势的过零点为基准点，从测量一些特定的点得到转子位置角信号。当电机转速变化较大时，对反电势检测电路中滤波器相频特性的要求非常高。而
“状态观测器法”测最的是整段的反电势信号．因此，不存在过零点丢失的问题。
（２）当电机处于重载情况下，非导通相的电流续流时间会相应增长，有可能导致反电势信号过零点被淹没。
（３）“Ｂａｃｋ－ＥＭＦ”在电机转速较低的时候。由于反电势信号较弱，因此不容易捕捉到过零点。
在低速运行时无法使用。而“状态观测器法”基于模型运算的控制方式很好的克服了这个缺点。
（４）“Ｂａｃｋ．ＥＭＦ”在转速控制中需要另外制定～套速度估计器，而“状态观测器法”很好地把位置角和速度通过模型结合在一起。
（５）“Ｂａｃｋ－ＥＭＦ”由于控制精度的问题，只适用于调速控制。而“状态观测器法”则可以同时应用于转速控制、直接转矩控制和伺服控伟４等方面。
由此可见，虽然“Ｂａｃｋ．ＥＭＦ”具有原理简单，应用方便等优点，但同时其缺点也限制了它在更广泛场合Ｆ的应用。相对而言。“状态观测器法”原理稍显复杂，但其良好的性能以及适用于多数场合的优点必将使其成为以后无位置传感器无刷直流电机控制的新热点。
§０．３课题研究的背景、目的及内容
无刷直流电动机作为家用电器中的重要设备之一，无刷直流电动机的驱动中，变频是其节能的核心技术。
４其良好的节能效果受到了越来越多的关注。当前，各丈知名的家电生产商都推出了以变
绪论
频为核心技术的家电产品。如日立（ＨＩＴＡＣＨＩ）、海信等厂家均推出了基于无刷直流电动机驱动的变频空调。空调用变频压缩机可分为交流异步电动机和无刷直流电动机驱动两种。交流电动机成本低，制造工艺简单，但其节能效果较差。而无刷直流电机既有普通直流电机良好的起动性能和调速性能，又从根本上消除了换向火花、无线电干扰等弊端，具有寿命长、可靠性高、噪声低和控制方便等优点，理所当然的成为了变频空调驱动的发展方向。国内许多单位在方波无刷直流电动机的变频驱动方面投入了许多人力、物力，但其中有许多技术还有待成熟。特别是基于“状态观测器法”的方波无刷直流电动机驱动方面还处于理论研究的阶段。因此，研究这方面的控制技术具有十分重要的理论意义和应用价值。
目前，方波型永磁无刷直流电机无位置传感器控制技术中，最为成熟和实用的主要就是“反电势过零检测法””“。但是，“反电势过零检测法”无位置传感器无刷直流电机控制中还存在着一些明显的不足，如反电势过零检测法只能获得若干个离散的过零点信息，对滤波电路的相频特性要求较高，不适用于伺服控制等。而“状态观测器法”却能很好地解决以上问题，因此，研究“状态观测器法”对无刷直流电动机的控制有着很大指导意义。
“状态观测器”法根据不同的状态量选择，可以衍生出许多种不同的控制方法，主要针对不同的应用场合。同时，利用不同的数字滤波器，也可以达到不同的控制效果。在调速系统中，一般选用位置角、转速作为状态变量。卡尔曼滤波器以其出色的抗噪声干扰能力以及对时变、非平稳信号很强的处理能力成为当前控制系统中常用的一款数字滤波器。
本课题的主要研究内容是以无刷直流电机为样机，设计一套采用“基于扩展卡尔曼滤波法”无位置传感器方式的无刷直流电机控制系统，在原理分析的基础上进行电路设计和仿真，并完成系统的实际调试运行。该控制系统需要达到如下功能：实现无刷直流电机在无位置传感器条件下的起动、变频调速功能等。论文的具体工作如下：
１．详细阐述“基于扩展｝尔曼滤波法”无位置传感器无刷直流电机控制的原理．建立系统模璎。
２．讨论对方波无刷直流电动机控制系统中应用卡尔曼滤波法所作的线性化工作。
３．殴计“基于扩展卡尔曼滤波法”无位置传感器无刷直流电机控制系统的硬件电路，包括电源的设计，微处理器的选择，驱动电路和保护电路的设计等，并在设计中加入抗干扰措施。
４．在完成硬件电路设计的基础上，根据控制系统所要实现功能，设计“基于扩展膏尔曼滤波法”无能置传感器无刷直流电机控制系统的软件程序，包括主程序、外同步起动程序、换相信号输出程序、位置误差补偿程序，数字滤波程序等。
５．“基于扩展｝尔曼滤波法”无位置传感器无刷直流电机控制系统的调试，包括硬件电路的调试。软硬件系统的联调，并对调试运行结果进行分析。
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第一章“扩展卡尔曼滤波法”无位置传感器ＢＬＤＣＭ控制
§１．１概述
卡尔曼滤波是线性是小均方误差准则下随机信号的最优递推型估计器【１ｑ。它主要解决系统的状态和信号的最优估计问题，即由被噪声污染的观测信号求状态或者信号的最优滤波器。“滤波”二字就是滤掉噪声还状态本来面目之意。在有传感器或者检测仪表的系统中。常常遇到这类问题。因为一方面传感器或者检测仪表带有一定测量噪声（即测量随机误差）．另一方面在检测过程中还可能受到其他噪声干扰。从解决这类问题的目的来看，这些问题是单纯最优估计问题。如地震勘探反射系数序列估计问题就是估计系统的输入白噪声问题，从白噪声中得出地层几何形状的重要信息。这类问题叫做输入估计或者反卷积问题。有些问题是与控制问题有关的，如本系统中检测和估计电机转子位置和速度就是为了控制电机的转速。
解决最优滤波问题有三种方法：维纳滤波方法，卡尔曼滤波方法和现代时间序列分析方法。经典维纳滤波方法是一种频域方法，要在物理上实现要求谱分解和传递函数的部分分式展开。这种方法要求信号是平稳随机过程，要求存储全部历史数据，滤波器不是递推的，计算量和存储量大，不能实时应用。现代频域维纳滤波方法对经典维纳滤波方法进行了改进，通过求解Ｄｉｏｐｈａｎｔｉｎｅ方程可直接得到物理上可实现的维纳滤波器，避免了部分分式的展开，可处理多维信号和非平稳随机信号。昔尔曼滤波方法是一种时域方法，它基于状态空间模型来解决最优滤波问题，最终将问题归结为求解Ｒｉｃｃａｔｉ方程。同经典维纳滤波方法相比，卡尔曼滤波器具有递推形式，便于在计算机上实现和实时应用，可处理时变系统、非平稳信号和多维信号．但是它要求精确的系统模型和噪声统计。
§１．２卡尔曼滤波的基本原理
卡尔曼滤波的应用是基于状态空间模型的。假设系统的状态变量是一个随机信号，其数学模型是一个由含有向噪声序列｛ｃｏ（ｋ））驱动的一阶自递归过程，其动态数学模型为：
曼（七）＝ｏ＠）?章Ｇ一１）＋∞（七一１）（１．１）信号测量过程的数学模型为：
ｙ０）＝ｕＣｋ）．量（七）＋ｙ（．ｉ｝）（１．２）随机信号的递归型估计器的一般表达式写为：
量＠）＝ｏ伍）?章（七一１）＋置（七）．ｙ伍）（１．３）以均方最小为准则对估计器的加权系数ｏ（ｔ）、Ｋ（ｔ）进行最优化。递归型估计器在第ｋ步对信号ｘ（七）的估计误差为：
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第一章扩展卡尔曼滤波法无位置传感器ＢＬＤＣＭ控制
均方估计误差为
ｅ坼）＝ｘ（．ｉ｝）一曼仁）＝
Ｐ＠）＝ｋ＠）．ｅ７犯）Ｊ工．以）一毫（七）
ｘ２（ｋ）一岛＠）
‰伍）一矗＠）
ｑ（七）
ｅ：＠）
；
ｅｑ＠）
Ｅｋ（七汗Ｅｂ＠）－ｅ：＠）】…Ｅｋ，（七）．白＠）】］
Ｅ瞳：忙）?ｑ＠）】Ｅｐ：＠汗…Ｅｋ：犯）．ｅ：（七）】ｌ
Ｅｋ。以；．ｑ（七）】Ｅｌ。辑；．。：忙）】：：：Ｅｐ。０盱Ｊ
（１．４）
ｌＥ－Ｅｚ．．．鼻。Ｉ
—ｌ最ｌＢ：…Ｂ。ｌ
ｌ；－．．；Ｉ
嘛只：…厶Ｊ
¨５、可见，滤波协方蔫矩阵ＪＤ忙）是一个（ｑＸｑ）阶矩阵，其对角线上诸元素即为各信号分量的均方滤波误差。所谓向量｝尔曼滤波器，实际上就是一种能对向量随机信号进行最优线性滤波的递归型滤波器。“最优”的含义．是指能使每个信号分量的均方估计误差同时为最小。
张眦懒帕，就要求器一ｏ，鬻＝。
粼一２Ｅ肚”。∽谁＿１）一酬嘶肚㈦）｝＿０（１ｓ）
磊一２Ｅ㈣一州谁－Ｉ）一删删嘶）｝＝ｏ（１，）
根据有关矩阵论的知识，一个ｍＸｎ阶矩阵Ｆ对另一个ｐＸｑ阶矩阵Ａ求偏导数的结果是一个ｐＸｑ阶矩阵，每个元素分别为Ｆ对Ａ中每个对应元素求偏导数‘”１。根据以上方法，我们可以得出以下的完整的递推算法：
量＠）＝中＠）?量＠一１）＋Ｋ“）?ｐＯ）一日似）．量伍一１）】
●滤波增菔方程
Ｋ（女）。而瓜Ｐ（面ｋｌｋ－币１）．Ｈ而（ｋ）７
Ｐ（女ｌｋ－１）＝中－Ｐ（ｋ一１）?０７＋９（七一１）●滤波协方差方程
７
（１．８）（１．９）（１．１０）
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Ｐ忙）＝，ｏ（ｋｌｋ－１）一足＠）．Ｈ＠）．ｅ（ｋｌｋ－１）
流程框图如图１－１所示。
埏ｂ
倒１－１卡尔曼滤坡原理框幽
对于以上递推过程，我们可以得到以下的物理过程：在尚未获得ｋ时刻的新测量样值ｙ忙）之前，从（ｋ－１）时刻对信号ｘ（ｋ一１）所做出的估计量Ｇ一１）出发，根据由信号数学模型（１．１）所确定的规律来对第ｋ步的信号ｘ＠）进行预估。由于信号数学模型中的动态噪声的确切数值∞忙一１）无从得知，故对ｘ＠）的预估值只能取作中?量＠一１）。可以看出，式（１．３）右侧的第一项量忙一１）就是在未获得任何新信息的情况Ｆ，根据以往的测量数据对第女步的信号ｘＯ）所作的预估。
在第ｋ步的新洲鼙样值ｙ（七）尚未得到之前，还可对第≈步将要测得的新测量样值ｙ（ｋ）进行预估。此时只能从对第ｋ步的信号ｘ＠）的预估值中?曼似一１），根据量测方程ｙ（七）＝Ⅳ．ｘ（≈）＋ｖ（女）来对第ｋ步将要测最的ｙ（ｋ）做出预估。由于量测噪声ｖ（ｋ）的确切数值无从得知．故对ｙ（ｋ）的预估值只能取作ｙ（女ｌｋ－１）＝Ｈ?量（☆ｌｋ－１）。
当得到第ｋ步的新测鼙样值ｙ（尼）后，若所测量的ｙ（七）值与其预估值ｙ（ｋｌｋ－１）＝Ｈ?膏（ｔｌｋ－１）之差为零，则说明第ｋ步的新测量样值中不包含任何新的信息。因此信号实测值与预估值之著ｙ亿）一ｙＯＩｋ－１）成为第七步测量中的新息。
当得到了新测耸样值ｙ（ｋ）后，可利用第．ｉ｝次测量中的新息乘上一个比例系数足以）作为修正项，对未测＿ｙ（七）前对信号所给山的预估值进行修正，从而得到第ｋ步对信号的估计值曼亿）。向量卡尔曼滤波的子程序算法框幽如幽１．２所示。
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第一章扩展卡尔曼滤波法无位置传感器ＢＬＤＣＭ控制
图ｌ－２向量卡尔曼滤波子程序框凰
§１＿３卡尔曼预测器与滤波器的比较
ＥＫＦ是一套同时具有滤波和预测的递推算法。因此，明确卡尔曼滤波器（以Ｆ简称滤波器）和譬尔曼预测器（以Ｆ简称预测器）的关系，是推导扩展卡尔曼滤波器的重要前提。
滤波器和预测器都是基于均方估计误差最小为准则的，从前文的定义可以知道，所谓的滤波器其实是一个“估计器”。由以上的ｐ尔曼滤波原理并根据统计估计理论可以知道，我们在尚未测得第ｋ步的新测量值娴前，对第女步的信号ｄｔ）及其测量值娴的预估值，实际就是把第Ｏ一１）步当作“当前”，把第ｋ步当作“朱来”时对缸ｔ）和胸的预测值。因此所谓“滤波”，是指根据过去和当前的测最数据对信号的当前值作出估计【Ｉ“。很多应用场合下，我们除了需要对信号的当前值作出估计，还希望对信号的未来值作出预测，这时便需要使用到预测器。从上文滤波器的原理分析可以看出，其实在第批一１）步中信号爿≈）及其测量值娴的预估值曾经作为中间环节而存在，而所谓预测，则是根据过去和当前的测量数据对信号的未来值作出估计【Ｉ“。如果我们把离散时标ｋ每增一作为一个步欧，那么预测按步数可以分为一步预测、二步预测、ｎ步预测。预测本质上一个外推法，因此预测的步数越多．预测的误差就越大。由以上分析，我们可以得到一个可同时进行忙尔曼滤波和一步预测的估计器框图。
图１．３可同时进行昔尔曼滤波和预测的估计器框图
许多参考资料中，对滤波的下标没有一个明确的说明，但是从图１－３中我们可以清楚的看到：￡。严格意义上当写成ｉ。，即第ｋ步的修正值；ｉ。ｌ。则表示第ｋ步对第（ｋ＋１）步的预测值：娴应当写成多。ｒ表示根据第ｋ步的校正值预测第ｋ步的测量值。由此可以引伸，信号的误差估计协方
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差阵也有滤波和预测之分。因此，在扩展卡尔曼滤波的算法过程中，校正与预测概念的清晰将直接影响到算法流程是否正确。
§１．４无位置传感器ＢＬＤＣＭ控制中扩展卡尔曼滤波器的设计
在明确了｝尔曼滤波器和预测器的关系后，我们便可以以无传感器ＢＬＤＣＭ为基础开始设计扩展卡尔曼滤波器。在无刷直流电机无位置传感器控制系统中，由于只能测量电压和电流信号，因而转子的转速和位置只能通过机电方程来计算。将方程写成状态变量方程，取状态变量为功（电角速度）、０（电角度），将相电流，负载转矩作为输入。在理想情况下，我们就可以直接算出０．２，０。但实际上，相电流和负载转矩均会引入误差，因而直接计算出来的数据是不准确的。这样，我们就需要用扩展卡尔曼滤波器来滤除噪声，提取电角速度和电角度。扩展卡尔曼滤波法模型除了需要系统状态方程之外还需要观测方程，在系统里利用反电势ｅ关于∞，目的函数作为观测方程。
§１．４．１系统模型的建立
对ｆ—一个非线性时变系统，其系统模型的最一般形式可以表示为
ｘ＠＋１）＝ｏ忙）?ｚ＠）＋ｒＯ）?“＠）＋Ｇ０）．∞＠）（１．１２）
其中ｘ表示系统的状态量，击状态转移矩阵，ｒ输入增益矩阵，ｕ输入信号，Ｇ干扰系数矩阵，ｕ干扰输入。
由于电机是一个机电能量转换系统，它对外表现出的动力学特性同样也符合牛顿运动方程。因此，我们可以考虑以ｒ经典牛顿运动方程。
∞２０）ｏ＋口。ｆ（１．１３）
口＝Ｏｏ＋％?ｔ＋÷－口?，２（１．１４）设第ｋ步的状态媾ｘ（七）＝［‰ＯｏＹ，在忽略干扰的情况下，将以上系统以周期为Ｔ作离散化处理，我们可以得到以Ｆ方程：
乩。书删。槲口∽柳考虑到ＢＬＤＣＭ的机电方程具有如下形式：
，掣＝一Ｂｏｏ＋ｐ伍一瓦）（１．１６）
ａ＇ｔ。。１。’
其中，ｕ为电角速度，０为转子磁通电角度，Ｐ为极对数，Ｂ为粘性阻尼系数，Ｊ为转动惯量，Ｔ。为电机电磁转矩，ＴＬ为平均负载转矩。
考虑到式（１．１５）中的ａ和式（１．１６）中的＿ｄｏ－３表示同一个变量，因此将式（１．１６）作代换以后替换式（１．１５），我们可以得到以下系统模型：
乩．＝陶［划孙监学］∽?，，
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第一章扩展卡尔曼滤波法无位置传感器ＢＬＤＣＭ控制
根据扩展卡尔曼滤波算法的原理，可定义以下变量含义：
ｚ＝瞄臼Ｉｒ为二维状态矢量，ｍ＝［三：：：］＝臣翱、ｒ＝［丁孚丁为状态函数，“：！ｉ王二王２二！竺为输入控制量。
当忽略粘性阻尼系数Ｂ后．式（１．１７）可以简化为：
乩。书黝。槲［掣］∽㈣
输入控制最ｕ中包含了磁通和电流对机电方程的影响。
至此，我们得到了扩展｝尔曼滤波法中的系统模型的表达式。需要指出的是，式（１．１８）是在忽略了系统噪声、粘性阻尼系数的情况下得到的。实际应用中，这两个因素应分别视情况来进行处理。
§１．４．２观测模型的建立
｝尔曼滤波算法构成的控制系统要求必须有一＋ＮＪｏｌ，ｆ言＇９ｘ０）的测量值ｙ０）作为输入鼙。但无位置传感器ＢＬＤＣＭ控制系统并不能直接得到瞄ｏｒ的测量值，只能通过所能测到的电量进行一系列的变换，得到状态量的测量值。冈此，观测模型的建立便显得非常的重要。
１．观测模型的提山
ＢＬＤＣＭ所能得到的测茸值的数耸非常有限，通常电枢端电压、相电流等。本系统通过采集端电压和相电流，进行一系列的运算变换后，建立一个卡尔曼滤波算法的观测模型。
当ＢＬＤＣＭ的驱动方式使用１２０。导通方式时．反电势的波形为近似的梯形波，三相反电势互差１２０。电角度，波形如图ｌ＿４所示。
图１－４三相反电势原理图
从图中可以看出：任一时刻，总有～相绕组处于悬空状态，对测得的端电压作一定变换以后便可以得到该相的反电势信号。图１－５为对实际样机的仿真计算结果。
东南』；＝学硕士学位论文
图１．５反电势曲线
对以上曲线作傅立叶展开。考虑１、３、５、７次谐波，可以得到相应的拟合函数：，（口）＝０．０６９５＋１５，０９９７ｃｏｓ（Ｏ）一２３．１４８９ｓｉｎ（８）＋５．７１５０ｃｏｓ（３０）＋０．９０３７ｓｉｎ（３０）
＋０．２３３６ｃｏｓ（５０１＋０．６７７５ｓｉｎ（５０）＋０．２９３４ｃｏｓ（７０）一０．１８７２ｓｉｎ（７０）、７在忽略电枢反应的情况下，可以认为ＢＬＤＣＭ气隙磁场中的主磁通为永磁体所产生，反电势波形的幅值与转速近似成比例。电机的转速不等ｙ－３００（转／分）时，反电势可表达为ｅ＝矿（目），其中々＝蠡。如果＿Ｌｆｊ角速度表示，Ｎｋ２盖≥。由于５、７次谐波近似完全抵消ａ傅立叶展开取１、３次谐波分量，反电势表达式为：
Ｐ＝志．【ｏ．０６９５＋１５．０９９７ｃｏｓ（沪２３．１４８９Ｓｉｎ（０）（１２。）
＋５．７１５０ｃｏｓ（３０）＋０．９０３７ｓｉｎ（３０）］
实际系统中，能测量的电压量只有电枢的端电压，它是每一相对地的电压。式（１．２０）等号左边代表测量的浮空相反电势，它是电枢端点对中性点的电势差，因此需要作一定的变换将端电压转换为反电势。假设其中某两相导通（如Ａ、Ｂ相．电流从Ａ相流入，Ｂ相流出），
图Ｉ－６Ａ、Ｂ相通电示意图
由图１．６，我们可以得到方程（１．２１）～（１．２３）：
‰一‰＝町”“警蝎
（１．２１）
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第一章扩展卡尔曼滤波法无位置传感器ＢＬＤＣＭ控制
一‰＝Ｒｎ＇ｉ８＋Ｌｓ＠ｔ＋％
％一‰＝ｅ（－其中，ＶＩＮ为外施直流电压，ＶＮ为星型连接中点对地ＥｇＥ，
Ｌｘ为ｘ相电感，Ｅｘ为Ｘ相反电势。Ｖｘ为Ｘ相对地电压ａ且，ＩＡ＝－－‘曰因此－方程（１．２２）改写为：一‰＝一凡?‘一Ｌａ?生ｄｔ＋％
消去ｖ。后，根据三相对称性得出反电势方程组：ｅ。＝玎
铲甄
铲玎（１．２２）（１．２３）
Ｒｘ为Ｘ相电枢电阻。ｔｘ为ｘ相相电流，由于三相对称，因此Ｌ＾＿ｋ，ＲＡ２Ｒ分并
（１．２４）
由方程组（１．２５），可根据任一时刻的导通情况以及外施电压的大小，得到该时刻悬空相反电势。２．模型的线性化
｝尔曼滤波要求模型是线性化的，但方程（１２０）是个非线性函数，冈此有必要对它线性化。作线性化后的滤波器称为“次最优”（域“次优”）滤波器。线性化的思路是对该二元函数作一阶泰勒展开，但是这个函数的严重１Ｆ线性使得其展开式在远离展开点处与原函数的误差太大。因此在矧定点作泰勒展开对丁．Ｉ：程麻州没有实际意义。假定我们已经有了第ｋ－１次的状态量［＆％一１ｏｋ一，】１，那么我们在第ｋ步时可以以【ｃｏｋ一．ｏｋ一｜］７点为展开点，这种处理可以把误差限制在尽可能小的范围。应用中就是在每尔曼滤波的每次采样运算过程中均以上一次的状态为展开点以缩小误差，但这样处理的同时也大大加重了系统的运算负担。
对了二元函数，其泰勒展开式为：
ｆ（ｘ，ｙ）＝ｆ（ｘｏ，蜘）＋∥（ｘ—ｘ。）＋∥（ｙ—ｙｏ）＋÷［．，：（ｓ—Ｘｏ）２＋／；（ｖ－ｙ。）２十２＿，；（ｓ—ｘ。）（＿一朋）］
（１．２６）
上式擐后一项中应写成名＋丘－但由高等代数可知ｔ由于‘，‘连续，因此‘＝／：。其中占位于Ｘｏ平｜Ｉｘ之间，１７位于Ｙｏ和Ｙ之间。
将式（１．２６）应用到函数（１．２０）后，我们可以得到以下函数：
ｅ＝而０３厂（目）
（１．２７）ｅｏ）２赢，（毋）
（１．２８）铲赤珊厂（口）
（１‘２９）ｅＬ＝０（１．３０）
‰。赤脚厂（臼）
（１?３１）‰２赤，（口）（１?３２）
５２、●／、／、／笠：笠：‰丁一一一■
％■
叁堕查兰婴圭兰垡堡三
一其中
８∞２气ｐ
，（口）＝０，０６９５＋１５．０９９７ｃｏｓ（０）一２３?１４８９ｓｉｎ（Ｏ）
＋５．７１５０ｃｏｓ（３８）＋０．９０３７ｓｉｎ（３０），。（口）＝－２３．１４８９ｃｏｓ（０）一１５．０９９７ｓｉｎ（Ｏ）＋２．７１１ｌｃｏｓ（３臼）一１７．１４５ｓｉｎ（３０）
，”（口）－２３．１４８９ｓｉｎ（Ｏ）?１５．０９９７ｃｏｓ（Ｏ）．８．１３３３ｓｉｎ（３０）－５１．４３５ｃｏｓ（３曰）
综上，我们可以得到如Ｆ观测模型表达式：
。＋。ｊ（峨，岛）岛：【ｅ：（ｎ）０，岛），ｅ：（国。，岛）］［；］（１．３３）（１．３４）
（Ｉ．３５）
（１．３６）
（１．３７）
测量值可以写成以Ｆ形式：
儿＝吼＋去％％厂‘（％）以（咋）‘Ｌ３８’
其中，Ｅ（“）代表观测模刑噪卢的数学期望。有关误差的分析将在后续章节中讨论口
设：
Ｈ．＝８０ｌ＿ｋ厅－ｆ（Ｏｋ一．）
日：＝丽１蛾一。ｆ＇（Ｏｋ—ｔ）结合式（１．３９）和（１．４０），观测模型可以改写为
虬：【Ｈ凰比］＋ＫＬ”Ｊｋｌｋ—Ｉ
由丁．第ｋ步的反电势既可以被测鬣同时也可以被模型（１．４１）预测§１．５扩展卡尔曼滤波器的算法流程
（１．３９）
（１．４０）
（１．４１）
围此观测模型已经成功建立。为符合传统卡尔曼滤波法的表示惯例，我们将扩展卡尔曼滤波的各个模型重写如＿
系统预测模型：
ｉ¨ＩＩ＝中ｋ、‰＋Ｌ‘蜥＋Ｇｔ‘ｑ系统校正模型
ｉ。。＝女。。一。＋Ｋ。．（ｙ。一Ｈｋ?Ｘ‘ｋｌｋ－ｉ）ｊｙ。系统观测模型：
Ｙｋ＝Ｈ々－筑＋唯卡尔曼增益方程：
Ｋ。：只。．Ｈ０｛Ｈ。．只。．Ｈｊ＋Ｒ。）．１１４
（１．４２）（１．４３）（１．４４）（１．４５）
第一章扩展卡尔曼滤波法无位置传感器ＢＬＤＣＭ控制滤波协方差矩阵：
只№＝最Ｈ一墨‘Ｈｋ。只¨
预测协方差矩阵：
最“Ｉ＝中々?最∥中：＋Ｇ女?Ｑ｝?Ｇ；
其中，各参数定义如下：
毫＝［０９口Ｉ中＝㈤ｒ＝［ｒ
（１．４６）（１．４７）
日＝［／ｔ．马］为观测矩阵，足＝［Ｋ％ｒ为卡尔曼增益，Ｐ＝『ＰＡ２１１；：］为协方差阵％和ｕ分别为系统干扰噪声向量平Ｌ嘲４耸干扰噪声向量。Ｑ々和Ｒｋ分别代表（Ｏｋ和屹的自相关阵。
为了便。ｒ在程序中对算法进行实现，我们可以将以上几个方程展开。以下对图１．３中几个重要环节参数作展开。
?｝尔曼增黼Ｋ可以展开为Ｆ式：
Ｋ＝
１日ｌ丘１＋４暑２ｌ
ｌ璺鱼＋皿最：ｊ
ＨｉｚＰｔＩ＋２一％吃＋雹发＋ｒ
兵中，ｉ＝ｌ，２。
?校止协方差阵可以展开为ｒ式：
ｐ一『，｛：一Ｋ；Ⅳ１只Ｉ－Ｋ，Ⅳ：鼻：只：一Ｋ：Ⅳ．只．一Ｋ！Ｈ：只：］
ｑ”一１只：一Ｋ：Ⅳ．只。一Ｋ２Ⅳ２鼻２最２一Ｋ２Ⅳ．鼻２一Ｋ，Ｈ，Ｐ，ｚｊ?预测协方著阵可以展开为ｒ式；
Ｐ一『只ｔ＋ｑ．中：。鼻。＋只：］
““‘一ｌ中：．只．＋Ｒ：中：。如：，只．＋只：）＋中：．只：＋足：＋穹：ｌ?鼙测矩阵：
日＝［Ｈ皿】＝ｌ去，（吼Ｊ志ｑ一。厂＋（哦。Ｉ在推导出扩展夤尔曼滤波所需的各个模型以后，我们可以清晰的写出它的算法流程图。（１．４８）（１．４９）（１．５０）（１．５１）
●●●严一：
东南大学硕士学位论文
计算校正协
方差阵Ｐｋ／ｋ
汁算状态量的兰
前校正值Ｘｋ［ｋ
’
ｌ计算状态量的
｝预测值Ｘｋ＋ｌ｝ｋ
计算预测协方
差阵Ｐｋ十ｌ｜ｋ
幽１—７ＥＫＦ算法流程图
至此，我们己建立了无位置传感器ＢＬＤＣＭ基于扩展卡尔曼滤波算法中所需的各个模型以及算法流程图。现总结如下：
１．卡尔曼滤波每一次迭代都分为校ｌＥ和预测两步。在校正中通过测量得到实际的观测变量值，与
上一次预测的值之著称为“新息”（有参考书称为“残差”Ｅｔ６１），“新息”与卡尔曼增益相乘得到状态量的一个校正量ｔ从而对状态量进行修正。预测中通过测量得到输入变量，利用数学模型对下一次的状态量进行预测。以上两步循环递推，构成了卡尔曼滤波算法的主要流程。
２．本系统模型由牛顿运动方程出发（也有参考文献直接从电机的机电方程出发），结合电机的机电方程。对连续系统作离散化后，得到系统的数学模型。
３．观测模型是在ＢＬＤＣＭ反电势与转速和位置角的关系上建立的。由于这个关系是非线性的，不能满足ｆ｝尔曼滤波要求线性模型的要求，因此，在一定：［程近似基础上对模型作了线性化处理。４．以上两个模型都是在忽略噪声的基础上建立的。从实验中看到，噪声是客观存在的．因此有关噪声的影响以及处理，将在后续章节中叙述。
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