【高中数学】人教A选修2-2练习：第2章 推理与证明2.1.2 Word版含解析
第二章 2.1 2.1.2
A 级 基础巩固
一、选择题
1．(2016·滨州高二检测)“三段论”①只有船准时起航，才能准时到达目的港；②这艘船是准时到达目的港的；③这艘船是准时起航的，其中大前提是导学号 84624507( A )
A ．①
B ．②
C ．①②
D ．③
[解析] 根据三段论的定义，①为大前提，②为小前提，③为结论，故选A ． 2．(2016·福州高二检测)“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理方法属于导学号 84624508( A )
A ．演绎推理
B ．类比推理
C ．合情推理
D ．归纳推理
[解析] 大前提为所有金属都能导电，小前提是金属，结论为铁能导电，故选A ． 3．(2017·崇仁县校级月考)有个小偷在警察面前作了如下辩解：是我的录像机，我就一定能把它打开．看，我把它打开了．所以它是我的录像机．请问这一推理错在导学号 84624509( A )
A ．大前提
B ．小前提
C ．结论
D ．以上都不是
[解析] ∵大前提的形式：“是我的录像机，我就一定能把它打开”错误；故此推理错误原因为：大前提错误，故选A ．
4．(2016·大同高二检测)函数y ＝x cos x －sin x 在下列哪个区间内是增函数导学号 84624510( B )
A ．(π2，3π2)
B ．(π，2π)
C ．(3π2，5π2
)
D ．(2π，3π)
[解析] 令y ′＝x ′cos x ＋x (－sin x )－cos x ＝－x sin x >0. 由选项知x >0，sin x <0.∴π 5．(2016·三明高二检测)观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝导学号 84624511( D ) A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x) [解析]观察所给例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，∵g(x)＝f′(x)，∴g(－x)＝－g(x)，选D． 6．(2016·锦州市高二检测)若三角形两边相等，则该两边所对的内角相等，在△ABC中，AB＝AC，所以在△ABC中，∠B＝∠C，以上推理运用的规则是导学号84624512(A) A．三段论推理B．假言推理 C．关系推理D．完全归纳推理 [解析]∵三角形两边相等，则该两边所对的内角相等(大前提)， 在△ABC中，AB＝AC，(小前提) ∴在△ABC中，∠B＝∠C(结论)， 符合三段论推理规则，故选A． 二、填空题 7．求函数y＝log2x－2的定义域时，第一步推理中大前提是a有意义时，a≥0，小前提是log2x－2有意义，结论是__log2x－2≥0__.导学号84624513 [解析]由三段论方法知应为log2x－2≥0. 8．以下推理过程省略的大前提为：__若a≥b，则a＋c≥b＋c__.导学号84624514 ∵a2＋b2≥2ab， ∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab. [解析]由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a2＋b2，故大前提为：若a≥b，则a＋c≥b＋c. 三、解答题 9．将下列演绎推理写成三段论的形式.导学号84624515 (1)菱形的对角线互相平分． (2)奇数不能被2整除，75是奇数，所以75不能被2整除． [解析](1)平行四边形的对角线互相平分大前提 菱形是平行四边形小前提 菱形的对角线互相平分结论 (2)一切奇数都不能被2整除大前提 75是奇数小前提 75不能被2整除结论 10．(2016·南京高二检测)设m为实数，利用三段论证明方程x2－2mx＋m－1＝0有两个 相异实根.导学号 84624516 [解析] 因为如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的判别式Δ＝b 2－4ac >0， 那么方程有两个相异实根．(大前提) Δ＝(－2m )2－4(m －1)＝4m 2－4m ＋4＝(2m －1)2＋3>0，(小前提) 所以方程x 2－2mx ＋m －1＝0有两个相异实根．(结论) B 级 素养提升 一、选择题 1．下面是一段“三段论”推理过程：若函数f (x )在(a ，b )内可导且单调递增，则在(a ，b )内，f ′(x )>0恒成立．因为f (x )＝x 3在(－1,1)内可导且单调递增，所以在(－1,1)内，f ′(x )＝3x 2>0恒成立，以上推理中导学号 84624517( A ) A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．结论正确 D ．推理形式错误 [解析] ∵对于可导函数f (x )，若f (x )在区间(a ，b )上是增函数，则f ′(x )≥0对x ∈(a ，b )恒成立．∴大前提错误，故选A ． 2．下面几种推理过程是演绎推理的是导学号 84624518( A ) A ．因为∠A 和∠ B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，所以∠A ＋∠B ＝180° B ．我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油 C ．由6＝3＋3,8＝3＋5,10＝3＋7,12＝5＋7,14＝7＋7，…，得出结论：一个偶数(大于4)可以写成两个素数的和 D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1 2????a n －1＋1a n －1(n ≥2)，通过计算a 2，a 3，a 4，a 5的值归纳 出{a n }的通项公式 [解析] 选项A 中“两条直线平行，同旁内角互补”是大前提，是真命题，该推理为三段论推理，选项B 为类比推理，选项C 、D 都是归纳推理． 二、填空题 3．“∵α∩β＝l ，AB ?α，AB ⊥l ，∴AB ⊥β”，在上述推理过程中，省略的命题为__如果两个平面相交，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面__. 导学号 84624519 4．(2016·深圳高二检测)已知2sin 2α＋sin 2β＝3sin α，则sin 2α＋sin 2β的取值范围为 [0，5 4 ]∪{2} .导学号 84624520 [解析] 由2sin 2α＋sin 2β＝3sin α 得sin 2α＋sin 2β＝－sin 2α＋3sin α ＝－(sin α－32)2＋9 4且sin α≥0，sin 2α∈[0,1]． 因为0≤sin 2β≤1，sin 2β＝3sin α－2sin 2α， 所以0≤3sin α－2sin 2α≤1. 解之得sin α＝1或0≤sin α≤1 2， 令y ＝sin 2α＋sin 2β，当sin α＝1时，y ＝2. 当0≤sin α≤12时，0≤y ≤5 4 . 所以sin 2α＋sin 2β的取值范围是[0，5 4]∪{2}． 三、解答题 5．判断下列推理是否正确？为什么？导学号 84624521 ①“因为过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提)，而A ，B ，C 为空间三点(小前提)，所以过A ，B ，C 三点只能确定一个平面(结论)．” ②∵奇数3,5,7,11是质数，9是奇数，∴9是质数． [解析] ①错误．小前提错误．因为若三点共线，则可确定无数平面，只有不共线的三点才能确定一个平面． ②错误．推理形式错误，演绎推理是由一般到特殊的推理，3,5,7,11只是奇数的一部分，是特殊事例． 6．已知a ，b ，c 是实数，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，g (x )＝ax ＋b .当－1≤x ≤1时，|f (x )|≤1. 导学号 84624522 (1)求证：|c |≤1. (2)当－1≤x ≤1时，求证：－2≤g (x )≤2. [证明] (1)因为x ＝0满足－1≤x ≤1的条件，所以|f (0)|≤1.而f (0)＝c ，所以|c |≤1. (2)当a >0时，g (x )在[－1,1]上是增函数，所以g (－1)≤g (x )≤g (1)． 又g (1)＝a ＋b ＝f (1)－c ， g (－1)＝－a ＋b ＝－f (－1)＋c ， 所以－f (－1)＋c ≤g (x )≤f (1)－c ， 又－1≤f (－1)≤1，－1≤f (1)≤1，－1≤c ≤1， 所以－f (－1)＋c ≥－2，f (1)－c ≤2，所以－2≤g (x )≤2. 当a <0时，可用类似的方法，证得－2≤g (x )≤2. 当a ＝0时，g (x )＝b ，f (x )＝bx ＋c ， g (x )＝f (1)－c ，所以－2≤g (x )≤2. 综上所述，－2≤g (x )≤2. C 级 能力拔高 用三段论证明并指出每一步推理的大、小前提．如图，在锐角三角形ABC 中，AD ，BE 是高线，D 、E 为垂足，M 为AB 的中点.导学号 84624523 求证：ME ＝MD ． [证明] ∵有一个内角为直角的三角形为直角三角形，(大前提) 在△ABD 中，AD ⊥CB ，∠ADB ＝90°，(小前提) ∴△ABD 为直角三角形．(结论) 同理△ABE 也为直角三角形． ∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，(大前提) M 是直角三角形ABD 斜边AB 上的中点，DM 为中线，(小前提) ∴DM ＝12AB (结论)，同理EM ＝1 2 AB ． ∵和同一条线段相等的两条线段相等，(大前提) 又∵DM ＝12AB ，EM ＝1 2AB (小前提) ∴ME ＝MD (结论)．