2016届高考数学一轮复习 题组层级快练40(含解析)

题组层级快练(四十)

1．(2014·天津文)设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝( )

A ．2

B ．－2 C.12 D ．－12

答案 D

解析 S 1＝a 1，S 2＝a 1＋a 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1－6. ∵S 2

2＝S 1S 4，∴(2a 1－1)2

＝a 1(4a 1－6)． ∴4a 21－4a 1＋1＝4a 2

1－6a 1?a 1＝－12

.

2．在等差数列{a n }中，a 3＋a 11＝8，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6·b 8的值为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16

答案 D

解析 ∵{a n }为等差数列，∴a 7＝

a 3＋a 11

2

＝4＝b 7.

又{b n }为等比数列，b 6·b 8＝b 2

7＝16，故选D.

3．已知等比数列{a n }中的各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10

a 7＋a 8等于( )

A ．1＋ 2

B ．1－ 2

C ．3＋2 2

D ．3－2 2

答案 C

解析 记等比数列{a n }的公比为q ，其中q >0， 则有a 3＝a 1＋2a 2，

即a 1q 2

＝a 1＋2a 1q ，q 2

－2q －1＝0，q ＝1± 2. 又q >0，因此q ＝1＋ 2.

所以a 9＋a 10a 7＋a 8＝a 7q 2＋a 8q 2a 7＋a 8

＝q 2＝(1＋2)2

＝3＋2 2.

选C.

4．已知{a n }，{b n }均为等差数列，且a 2＝8，a 6＝16，b 2＝4，b 6＝a 6，则由{a n }，{b n }的公共项组成的新数列{c n }的通项公式c n ＝( )

A ．3n ＋4

B ．6n ＋2

C ．6n ＋4

D ．2n ＋2

答案 C

解析 设{a n }的公差为d 1，{b n }的公差为d 2，

则d 1＝

a 6－a 26－2＝8

4＝2，d 2＝b 6－b 26－2＝12

4

＝3. ∴a n ＝a 2＋(n －2)×2＝2n ＋4，

b n ＝b 2＋(n －2)×3＝3n －2.

∴数列{a n }为6,8,10,12,14,16,18,20,22，…，数列{b n }为1,4,7,10,13,16,19,22，…. ∴{c n }是以10为首项，以6为公差的等差数列． ∴c n ＝10＋(n －1)×6＝6n ＋4.

5．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2

－b n x ＋2n

的两个零点，则b 10等于( ) A ．24 B ．32 C ．48 D ．64

答案 D

解析 依题意有a n a n ＋1＝2n

，所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1

.

两式相除，得

a n ＋2

a n

＝2. 所以a 1，a 3，a 5，…成等比数列，a 2，a 4，a 6，…也成等比数列． 而a 1＝1，a 2＝2，

所以a 10＝2·24

＝32，a 11＝1·25

＝32. 又因为a n ＋a n ＋1＝b n ， 所以b 10＝a 10＋a 11＝64.

6．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a ＋b ＋c 的值为( )

A.1 C ．3 D ．4

答案 A

解析 由题意知，a ＝12，b ＝516，c ＝3

16

.故a ＋b ＋c ＝1，故选A.

7．数列{a n }是等差数列，若a 1，a 3，a 4是等比数列{b n }中的连续三项，则数列{b n }的公比为________． 答案 1

2

或1

解析 设数列{a n }的公差为d ，由题可知，a 2

3＝a 1·a 4，可得(a 1＋2d )2

＝a 1(a 1＋3d )，整理得(a 1＋4d )d ＝0，解得d ＝0或a 1＝－4d .当d ＝0时，等比数列{b n }的公比为1；当a 1＝－4d 时，a 1，a 3，a 4分别为－4d ，

－2d ，－d ，所以等比数列{b n }的公比为1

2

.

8．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则等比数列{a n }的公比为________． 答案 13

解析 设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，由4S 2＝S 1＋3S 3，得4(a 1＋a 1q )＝a 1＋3(a 1＋a 1q ＋a 1q 2

)，即3q 2

－q ＝0.∴q ＝13

.

9．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x ，以后每次生成的结果可将上一次生成的每一个数x 生成两个数，一个是－x ，另一个是x ＋3.设第n 次生成的数的个数为a n ，则数列{a n }的前n 项和

S n ＝________；若x ＝1，前n 次生成的所有数．．．

中不同的数的个数为T n ，则T 4＝________. 答案 2n

－1,10

解析 由题意可知，依次生成的数字个数是首项为1，公比为2的等比数列，故S n ＝1－2n

1－2＝2n

－1.

当x ＝1时，第1次生成的数为1，第2次生成的数为－1,4，第3次生成的数为1,2；－4,7，第4次生成的数为－1,4；－2，5；4，－1；－7,10.故T 4＝10.

10．(2015·吉林实验中学一模)在直角坐标平面内，已知点P 1(1,2)，P 2(2,22

)，P 3(3,23

)，…，P n (n,2n

)，….若n 为正整数，则向量P 1P 2→＋P 3P 4→＋P 5P 6→

＋…＋P 2n －1P 2n 的纵坐标为________．

答案 23

(4n

－1)

解析 P k P k ＋1＝(k ＋1－k,2

k ＋1

－2k )＝(1,2k

)，于是P 1P 2→＋P 3P 4→＋P 5P 6→

＋…＋P 2n －1P 2n 的纵坐标为2＋23＋2

5

＋…＋2

2n －1

＝2 1－4n

1－4＝23

(4n －1)．

11．在等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1＝b 1＝1，b 4＝8.{a n }的前10项和S 10＝55. (1)求a n 和b n ；

(2)现分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．

答案 (1)a n ＝n ，b n ＝2

n －1

(2)2

9

解析 (1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q .依题意得

S 10＝10＋

10×9

2

d ＝55，b 4＝q 3＝8， 解得d ＝1，q ＝2，所以a n ＝n ，b n ＝2n －1

.

(2)分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)．符合题意的基本事件有2个：(1,1)，(2,2)．

故所求的概率P ＝2

9

.

12．(2014·湖北)已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．

答案 (1)a n ＝2或a n ＝4n －2 (2)当a n ＝2时，不存在，当a n ＝4n －2时，存在，n 最小值为41 解析 (1)设数列{a n }的公差为d ，依题意，2,2＋d,2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2

＝2(2＋4d )． 化简得d 2

－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；

当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2.

从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n .显然2n <60n ＋800， 此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立． 当a n ＝4n －2时，S n ＝

n [2＋ 4n －2 ]

2

＝2n 2

.

令2n 2

>60n ＋800，即n 2

－30n －400>0， 解得n >40或n <－10(舍去)．

此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的n ；

当a n ＝4n －2时，存在满足题意的n ，其最小值为41.

13．某林场为了保护生态环境，制定了植树造林的两个五年计划，第一年植树16a 亩，以后每年植树面积都比上一年增加50%，但从第六年开始，每年植树面积都比上一年减少a 亩．

(1)求该林场第6年植树的面积；

(2)设前n (1≤n ≤10且n ∈N )年林场植树的总面积为S n 亩，求S n 的表达式． 答案 (1)该林场第6年植树的面积为80a 亩

(2)S n

＝?????

32a [ 3

2

n

－1]， 1≤n ≤5，n ∈N ，211a ＋ 166a －na n －5

2

， 6≤n ≤10，n ∈N

解析 (1)该林场前5年的植树面积分别为16a,24a,36a,54a,81a . ∴该林场第6年植树的面积为80a 亩． (2)设第n 年该林场植树的面积为a n 亩， 则a n ＝?????

32

n －1×16a ， 1≤n ≤5，n ∈N ，

86－n a ， 6≤n ≤10，n ∈N .

∴当1≤n ≤5时，S n ＝16a ＋24a ＋…＋(32

)n －1

×16a

＝16a [1－ 32 n

]

1－32

＝32a [(32)n

－1](亩)．

当6≤n ≤10时，S n ＝16a ＋24a ＋36a ＋54a ＋81a ＋80a ＋…＋(86－n )a ＝211a ＋80a ＋…＋(86－n )a ＝211a ＋[80a ＋ 86－n a ] n －5

2

＝211a ＋ 166a －na n －5

2(亩)．

∴所求S n 的表达式为

S n

＝?????

32a [ 3

2 n

－1]， 1≤n ≤5，n ∈N ，211a ＋ 166a －na n －5

2

， 6≤n ≤10，n ∈N .

14．已知在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x 2

＝1上，数列{b n }中，点(b n ，

T n )在直线y ＝－12

x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和．

(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列； (3)若c n ＝a n ·b n ，求证：c n ＋1

解析 (1)由已知点A n 在y 2

－x 2

＝1上知，a n ＋1－a n ＝1. ∴数列{a n }是一个以2为首项，以1为公差的等差数列． ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋n －1＝n ＋1. (2)∵点(b n ，T n )在直线y ＝－1

2x ＋1上，

∴T n ＝－1

2

b n ＋1.①

∴T n －1＝－1

2

b n －1＋1(n ≥2)．②

①②两式相减，得b n ＝－12b n ＋1

2b n －1(n ≥2)．

∴32b n ＝12b n －1，∴b n ＝1

3

b n －1. 由①，令n ＝1，得b 1＝－12b 1＋1，∴b 1＝23.

∴{b n }是以23为首项，以1

3

为公比的等比数列．

(3)由(2)可知b n ＝23·? ????13n －1＝2

3n .

∴c n ＝a n ·b n ＝(n ＋1)·2

3n .

∴c n ＋1－c n ＝(n ＋2)·23

n ＋1

－(n ＋1)·2

3

n

＝23n ＋1

[(n ＋2)－3(n ＋1)] ＝

2

3n ＋1

(－2n －1)<0.

∴c n ＋1

1．若正项数列{a n }满足lg a n ＋1＝1＋lg a n ，且a 2 001＋a 2 002＋a 2 003＋…＋a 2 010＝2 013，则a 2 011＋a 2 012＋a 2

013

＋…＋a 2 020的值为( ) A ．2 013·1010

B ．2 013·1011

C ．2 014·1010

D ．2 014·1011

答案 A

解析 由条件知lg a n ＋1－lg a n ＝lg

a n ＋1a n ＝1，即a n ＋1

a n

＝10，所以{a n }为公比是10的等比数列．因为(a 2 001＋…＋a 2 010)·q 10

＝a 2 011＋…＋a 2 020，所以a 2 011＋…＋a 2 020＝2 013·1010

，选A.

2．气象局用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为

n ＋49

10

(n ∈N *

)元，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最

少)，一共使用了( )

A ．600天

B ．800天

C ．1 000天

D ．1 200天

答案 B

解析 由第n 天的维修保养费为

n ＋49

10

(n ∈N *

)元，可以得出观测仪的整个耗资费用，由平均费用最少

而求得最小值成立时的相应n 的值．

设一共使用了n 天，则使用n 天的平均耗资为3.2×104

＋ 5＋n ＋49

10 n

2n ＝3.2×104

n ＋n 20＋99

20

，当且仅

当3.2×10

4

n

＝n

20

时取得最小值，此时n ＝800，故选B.

3．一个蜂巢有1只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了2个伙伴；第二天3只密蜂飞出去，各自找回了2个伙伴，…，如果这个找伙伴的过程继续下去且都能找回2个伙伴，第五天所有蜜蜂都归巢后，蜂巢中一

共有________只蜜蜂．

答案 243

解析 第一天有1＋2只，第二天有a 2＝3a 1＝9只，第三天有a 3＝3a 2＝27只，……，故第n 天为a n

＝3n ，则a 5＝35

＝243只．

4．设关于x 的不等式x 2

－x <2nx (n ∈N *

)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100

的值为________．

答案 10 100

解析 由x 2

－x <2nx (n ∈N *)，得0

2

＝10 100.

5．为了增强环保建设，提高社会效益和经济效益，郑州市计划用若干年更换10 000辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型车和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆，计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a 辆．

(1)求经过n 年，该市被更换的公交车总数S (n )；

(2)若该市计划用7年的时间完成全部更换，求a 的最小值． 答案 (1)S (n )＝S n ＋T n ＝256[(32)n －1]＋400n ＋n n －1 2

a (2)147

解析 (1)设a n ，b n 分别为第n 年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，

依题意知，数列{a n }是首项为128，公比为1＋50%＝3

2的等比数列，数列{b n }是首项为400，公差为a

的等差数列．

所以数列{a n }的前n 项和S n ＝128×[1－ 32 n

]

1－32＝256[(32)n

－1]．

数列{b n }的前n 项和T n ＝400n ＋

n n －1

2

a .

所以经过n 年，该市被更换的公交车总数 S (n )＝S n ＋T n ＝256[(32

)n －1]＋400n ＋n n －1

2

a .

(2)若用7年的时间完成全部更换，则S (7)≥10 000，

即256×[(32)7－1]＋400×7＋7×62a ≥10 000，即21a ≥3 082，所以a ≥3 08221.

又a ∈N *

，所以a 的最小值为147.