合肥工业大学2014级研究生《数值分析》试卷(A)评分标准

合肥工业大学研究生考试试卷(A)

课程名称 数值分析 考试日期 学院 2014级研究生 姓名 年级 班级 学号 得分

一、填空题 (每空2分，满分20分) 1. 设2014

2012

()657f x x

x

=-+，则差商[1,2,,2015]f = 6 .

2. 设函数(0.9) 1.2178,(1)1,(1.1)0.6018f f f =-=-=-, 用三点数值微分公式计算

(1)f '的近似值为 3.08

, (1)f ''的近似值为 18.04 .

3. 设T

(2,5,7,3)

=-x ，2

3

4

5A -=-??

?

???

，则2

=

x 1

Cond()A = 36 .

4. 函数()f x 以0,1,2为节点的二次Lagrange 插值多项式

2()p x =

(1)(2)(0)(2)(0)(1)

(0)(1)(2)(01)(02)(10)(12)(20)(21)

x x x x x x f f f ------++------.

5. 设S 是函数

f

在区间[0,2]上的三次样条：

()()()3

23

12,01,

()2111,

12,

x x x S x b x x x x c +-≤≤=--+-≤≤++???

则b

= -1 ，c = -3 .

6. 四阶Runge-Kutta 方法的局部截断误差是4

()O h ，其整体截断误差是5()O h .

二、(本题满分8分) *

x 的相对误差的绝对值不超过0.01%，求*

x 至

少应具有几位有效数字？

解 设*

x 至少应具有l 位有效数字. 因为45, 的第一个

非零数字是4，即*

x 的第一位有效数字14a =， 2分

根据题意及定理1.2.1知，

1

11411224

10100.01%10l l a -+-+-≤

?=

??≤=,

6分

解得5lg850.903 4.097l ≥-≈-=. 故取5l =，即*

x 至少应具有5位有效数字。

8分

三、(本题满分12分) 已知线性方程组1

2

3

1

2

3

1

2

3

1041,21072,3210 3.

x x x

x x x

x x x --+=-+-=++=??

???

(1) 写出求解上述方程组的Gauss –Seidel 迭代格式。

(2) 写出求解上述方程组的Jacobi 迭代格式的迭代矩阵J B . (3) 计算范数J B ∞

，判断上述Jacobi 迭代格式是否收敛？若收敛，试估计要达到

精度4

10

ε-=，Jacobi 迭代法所需的迭代步数；取初值

T

0(0,0,0)=x .

解 (1) 求解上述方程组的Gauss –Seidel 迭代格式为

()()()(1)()()123(1)(1)()21

3(1)

(1)(1)

31211011011041,272,323.k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++?=-+-?

?=-++??=--+??

4分 (2) 因为原方程组的系数矩阵

104100010000412107200010000732103200010000----????????

????????=-=++-=++????????????????????????

A L D U

， -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 装 订 线

所以求解上述方程组的Jacobi 迭代格式的迭代矩阵为

110

2110()150710310150J ---????=-+=-=-??

??--??

B D L U I D A . 8分

(3) 因为9101J

∞

=

用Jacobi 迭代法迭代一次得：()T (1)0.1,0.2,0.3=x ， {}(1)(0)max 0.10,0.20,0.300.3∞

-=---=x x 10分

4(1)(0)

(1)

10(1910)9

ln ln ln

ln 97.840.310

q k q ε--->=≈-x x 12分

故需要迭代98次。

四、(本题满分10分) 用下列表中的数据求次数不超过4次的插值多项式

()p x ，使之满足

()()i i p x f x =，0,1,2i =，和00

11()(),()()p x f x p x f x ''''==.（要求写出差商表）

解 根据表中的数据建立差商表

000

()2x f x ==

00000()2[,]1x f x f x x ===

11010011()3

[,]1[,,]0x f x f x x f x x x ====

1分

111101100111

()3[,]2[,,]0.5

[,,,]0.25x f x f x x f x x x f x x x x ===== 3分

22121120112001122()7[,]4[,,]2[,,,]0.75[,,,,]0.25

x f x f x x f x x x f x x x x f x x x x x ======

5分

则所求插值多项式为

2

00000010222

0011010011201()[][,]()[,,]()[,,,]()()[,,,,]()()p x f x f x x x x f x x x x x f x x x x x x x x f x x x x x x x x x =+-+-+--+--

8分

222

200.25(1)0.25(1)x x x x x =+++-+-

3420.250.25.x x x =+-+

10分

五、(本题满分12分) (1) 确定012,,A A A ，使下面的求积公式具有尽可能高的代数精度。

012()d (2)(0)(2)h

h

f x x A f h A f A f h -≈-++?

.

(2) 用两点古典Gauss 公式计算1

23

sin d I x x x =

?

的近似值。

解 (1) 设上述求积公式对2()1,,f x x x =准确成立，即

()()()()012

02322022,

022,2.

h A A A A h A h h A h A h ?=++??

=-+??=+?? 2分 解上述方程组，得 01243,23,43,A h A h A h ==-= 3分

于是上述求积公式化为

241()d (2)(0)(2)32h

h

h f x x f h f A f h -??

≈

--+????

?

. (*) 经验证，求积公式(*)对

3()f x x

=准确成立，但当4()f x x =时，(*)左边等于

4

25h ，而其右边等于5h ；即求积公式(*)对4()f x x =不准确成立；于是求积公式(*)具有3次代数精度。

5分

(2)

231212

0,1,1,()sin a b t t A A f x x x =======，

112210011222221001122222b a a b x t b a a b x t -+-+?=

+=?+= ?-+-+=+=?+= 6分 故用上述两点Gauss 公式计算1

230

sin d I x x x =

?

的近似值：

1122[()()]2

b a I A f x A f x -≈+ 8分

1011110.111245.222f f ??-??=?+?≈?? ??

?? 10分

六、(本题满分10分). (1) 用改进的Newton 迭代法求方程4

3

2

330x x x x -+-=的重根，取初值

02x =，求21,x x .（要求先验证重根的重数。） (2) 用弦截法求上述方程的单根，取初值0

10.5,0.4x x ==，求23,x x .

解 (1) 记4

3

2

()33f x x x x x =-+-，因为

432(1)1313110f =-?+?-=，32

(1)41916110f '=?-?+?-=， 2

(1)12118160f ''=?-?+=，(1)2411860f '''=?-=≠，

所以*1x =是方程432

330x x x x -+-=的3重根。 1分

求*

x 的改进的Newton 迭代格式为

432

111111132

1111()3333,

1,2,.()4961

k k k k k k k k k k k k f x x x x x x x x k f x x x x ------------+-=-=-='-+-

4分

取初值0

2x =，代入上式计算得：121.14286, 1.00571x x ==. 5分

(2) 求*x 的弦截法格式为

12

11()()()

k k k k k k k x x x x f x f x f x -----=-

- 8分

()

()()

432

12111114

324321

1

1

12

2

2

2()33,

3333k k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x

x

x

x x

x

x

x -----------------+-=-

-+---+-

2,3,.k =

9分

取初值010.5,0.4x x ==，代入上式计算得：230.761506,0.810598x x ==.

10分

七、(本题满分10分) 求拟合下列表中数据的1次最小二乘多项式

1()p x ，取权1i ρ=，

0,1,2,3,4i =，并计算总误差Q .

解 根据题意，得

014,1,()1,(),1(0,1,2,3,4)i m n x x x i ??ρ====≡=

01234012341,2,3,4,5,1.3, 2.5, 3.9, 5.1, 6.4,

x x x x x y y y y y ==========

4

4

4

000100004

4

4

101110

(,)115,

(,)115,

(,)119.2,

(,)115,(,)55,(,)70.4.

i i i i i i i i i i i i i x f y x x x f x y ??????????=======?==?==?==?==?==?=∑∑∑∑∑∑

5分

得法方程组

0151519.2155570.4c c ????????????????

??=. 6分

解得010.0, 1.28.c c == 于是，所求多项式为1() 1.28p x x =. 8分

总误差

[][]4

2

2

10

()0.0081.28m i i i i i i Q y p x y x ===-=-=∑∑.

10分

八、(本题满分10分) (1) 写出改进的Euler 方法的增量函数(,,)t y h ?.

(2) 用改进的Euler 方法求解初值问题

4()()0,

(0)

1

t y t t y t y y

'+-==??

?的解()y t 在

0.2,0.4t t ==处的近似值，要求小数点后保留5位数字（取步长0.2h =）。

解 (1) 改进的Euler 方法的增量函数为

[]1

(,,)(,)(,(,)).2t y h f t y f t h y h f t y ?=

+++ 3分

(2) 根据题设知4(,)t f t y t y y

=-，则改进的Euler 方法的计算格式为

[]1111(,),(,)(,),2

n n n n n n n n n n y y h f t y h

y y f t y f t y ++++=+????=+?+?? 6分 由1)0(0==y y ，0.2h =，得

[]100010001140(,)10.2011,

10.24040.2(,)(,)1010.21 1.06,2211y y h f t y h y y f t y f t y ????

=+?=+?-?= ?????

?

?????????=+?+=+?-?+-?= ? ???????????

8分

[]2111211122

40.2(,) 1.060.20.2 1.06 1.16854,

1.06(,)(,)20.240.240.41.060.2 1.060.4 1.16854 1.20445.2 1.06 1.16854y y h f t y h

y y f t y f t y ????

=+?=+?-?= ?????

?=+?+??

?????

????=+

?-?+-?=? ? ??????????

10分

所以，()y t 在0.2,0.4t t ==处的近似值分别为121.06,

1.20445y y ==.

九、(本题满分10分) 若迭代函数()x ?在有限区[,]a b 上满足下列两个条件:

(1) 对任意的[,]x a b ∈，有()[,]x a b ?∈; (2)

()x ?'在[,]a b 上存在，且()0,|()|1x x L ??''≠≤<，

证明：(1) 对任意初值0[,]x a b ∈，由迭代格式1()(1,2,)k k x x k ?-== 产生的序列

{}k x 收敛到方程()x x ?=的根*

x ;

(2) 估计式 *

11k k k L x x x x L

--≤

-- 成立。

证 (1) 因为*x 是方程()x x ?=的根，所以)(**x x ?=. 由条件(1)知，

1()[,]k k x x a b ?+=∈. 由微分中值定理及条件(2)得：

*****1110()()()()k k k k k x x x x x x L x x L x x ???ξ---'-=-=-≤-≤≤-

5分

因为1L <，所以当k →∞时，对任意初值0[,]x a b ∈，序列{}k x 收敛到*

x .

6分

(2)

****111**11()()()()()()k k k k k k k k k k

x x x x x x L x x L x x x x L x x L x x ???ξ-----'-=-=-≤-=-+-≤-+- 9分

解得

*

11k k k L x x x x L

--≤

--.

10分