高中数学讲义微专题03 利用数轴解决集合运算问题

微专题03 利用数轴解决集合运算问题

数形结合是解决高中数学问题的常用手段，其优点在于通过图形能够直观的观察到某些结果，与代数的精确性结合，能够快速解决一些较麻烦的问题。在集合的运算中，涉及到单变量的取值范围，数轴就是一个非常好用的工具，本文将以一些题目为例，来介绍如何使用数轴快速的进行集合的交并运算。 一、基础知识：

1、集合运算在数轴中的体现：

:A B 在数轴上表示为,A B 表示区域的公共部分 :A B 在数轴上表示为,A B 表示区域的总和

:U C A 在数轴上表示为U 中除去A 剩下的部分（要注意边界值能否取到）

2、问题处理时的方法与技巧：

（1）涉及到单变量的范围问题，均可考虑利用数轴来进行数形结合，尤其是对于含有参数的问题时，由于数轴左边小于右边，所以能够以此建立含参数的不等关系

（2）在同一数轴上作多个集合表示的区间时，可用不同颜色或不同高度来区分各个集合的区域。

（3）涉及到多个集合交并运算时，数轴也是得力的工具，从图上可清楚的看出公共部分和集合包含区域。交集即为公共部分，而并集为覆盖的所有区域

（4）在解决含参数问题时，作图可先从常系数的集合（或表达式）入手，然后根据条件放置参数即可

3、作图时要注意的问题：

（1）在数轴上作图时，若边界点不能取到，则用空心点表示；若边界点能够取到，则用实心点进行表示，这些细节要在数轴上体现出来以便于观察

（2）处理含参数的问题时，要检验参数与边界点重合时是否符合题意。 二、例题精析：

例1：（2009 安徽）集合{}

21213,0

3x A x x B x x +??

=-<=

，

则A

B =_______

思路：先解出,A B 的解集，()()11,2,,3,2A B ??=-=-∞-+∞ ?

?

?

，

作出数轴，则A

B 即为它们的公共部分。11,2A

B ?

?=-- ??

?

答案：11,2A

B ?

?=-- ??

?

例2：设集合{}

{}23,|8,S x x T x a x a S T R =->=<<+=，则a 的取值范围是____

思路：可解出()

(),15,S =-∞-+∞ ，而T 集合含有参数，作出数轴，先从容易作图的集

合做起，即画出S 的范围，由于S

T R =，而数轴上有一

部分区域没有被S 包含，那说明T 集合负责补S 空缺的部分，由于参数决定其端点位置，所以画出图像，有图像观察可得只需要：1

85

a a <-??

+>? 即可，解得：31a -<<-

答案：31a -<<- 小炼有话说：（1）含有参数的问题时，可考虑参数所起到的作用，在本题中参数决定T 区间的端点

（2）含有参数的问题作图时可先考虑做出常系数集合的图像，再按要求放置含参的集合 （3）注意考虑端点处是否可以重合，通常采取验证的方法，本题若3a =-或1a =-，则端点处既不在S 里，也不在T 里，不符题意。

例3：对于任意的x R ∈，满足()()222240a x a x -+--<恒成立的所有实数a 构成集合A ，使不等式43x x a -+-<的解集是空集的所有实数a 构成集合B ，则()R A C B =______

思路：先利用已知条件求出,A B ，再利用数轴画出R A

C B 的范围即可

解：由()()2

22240a x a x -+--< ① 恒成立，可得： 当20a -=即2a =时，①变为：40-<恒成立 当2a ≠时，若要①恒成立，则

()()2

20

22421620

a a a a -

43x x a -+-<解集为空等价于：,43x R x x a ?∈-+-≥

()min 43a x x ≤-+-

设()27,4

431,

3472,3x x f x x x x x x ->??

=-+-=<≤??-≤?

()min 1f x ∴= 1a ∴≤即(],1B =-∞ ()1,R C B ∴=+∞ (]1,2R A C B ∴=

小炼有话说：本题更多考察的地方在于,A B 集合的求解。A 集合要注意20a -=的情况，而不能默认为二次不等式，B 集合涉及解集与不等式恒成立问题之间的转化。在集合进行交并运算时，数轴将成为一个非常直观的工具，作图时要注意端点值的开闭。

例4：已知集合{}{}

0)12(,31122<+++-=≤++-=m m x m x x B x x x A ，若

A B ≠?，则实数m 的取值范围为

思路：先解出,A B 的解集，A B ?≠?意味着,A B 有公共部分，利用数轴可标注集合B 两端点的位置，进而求出m 的范围 解：113x x -++≤

当1x >时，31132x x x -++≤?≤

312

x ∴<≤ 当11x -<≤时，11323x x -++≤?≤恒成立

当1x ≤-时，31132x x x ---≤?≥- 3

12

x ∴-<≤-

33,22A ??

∴=-????

22(21)0x m x m m -+++<

()()()10x m x m ∴-+-< 1

m x m ∴<<+ A

B ≠?

312m ∴+>-且3

2

m <

53,22m ??

∴∈- ???

例5：已知

{

{}2|5,|A x x B x x ax x a =-≥

=-≤-，当“x A ∈”是“x B ∈”

的充分不必要条件，则a 的取值范围是__________

思路：,A B 为两个不等式的解集，因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以A 是

B 的真子集。考虑解出两个不等式的解集，然后利用数轴求出a 的范围即可

解：()()2

50510

13521x x x x x x ?-≥??

-≥-≥?≤≤??-≥-??

[]1,3A ∴=

()2210x ax x a x a x a -≤-?-++≤ ()()10x x a ∴--≤

由A 是

B 的真子集可得：3a >

答案：()3,a ∈+∞

小炼有话说：1、熟悉充分必要条件与集合的联系：p 是q 的充分不必要条件?p 对应集合P 是q 对应集合Q 的真子集

2、处理含参问题时，秉承“先常数再参数”的顺序分析，往往可利用所得条件对参数范围加以限制，减少分类讨论的情况。例如在本题中，若先处理B ，则解不等式面临着分类讨论的问题。但先处理A 之后，结合数轴会发现只有图中一种情况符合，减掉了无谓的讨论。

例6：已知函数()221,02()1,,20

x x g x ax f x x x ?-≤≤?

=+=?--≤

得()()12g x f x =成立，则实数a 的取值范围是__________

思路：任取[]12,2x ∈-，则()1g x 取到()g x 值域中的每一个元素，依题意，存在2x 使得

()()12g x f x =，意味着()g x 值域中的每一个元素都在()f x 的值域中，即()g x 的值域为()f x 的值域的子集，分别求出两个函数值域，再利用子集关系求出a 的范围

解：[]20,2x ∈时，()[]20,3f x ∈ [)22,0x ∈-时，()[)24,0f x ∈-

()[]24,3f x ∴∈-

对于()g x ，分三种情况讨论

当0a >时，()[]21,21g x a a ∈-++ 214

1213a a a -+≥-?∴?≤?+≤?

(]0,1a ∴∈

当0a =时，()1g x =，符合题意 当0a <时，()[]21,21g x a a ∈+-+ 214

1213

a a a +≥-?∴?-≤?

-+≤?

[)1,0a ∴∈-

综上所述：[]1,1a ∈- 答案：[]1,1a ∈-

例7：已知集合{}{}|21,|A x x x B x a x b =><-=≤≤或，若(],2,4A B R A B ==，

则

b

a

=________ 思路：本题主要考察如何根据所给条件，在数轴上标好集合B 的范围。

从而确定出,a b 的值，如图所示：可得1,4a b =-=，所以4b

a

=- 答案：4-

例8：设(

)(){}{}{}2

2

|2

10,|0,|20A x x x x B x x

ax b A B x x =+-+>=++≤=+>，

{}|13A B x x =<≤，求,a b

思路：A 集合的不等式解集为()

()2,11,--+∞ ，集合B 为

一元二次不等式的解集，由题意可知B ≠?，设

20x ax b ++=的两根为()1212,x x x x < ，则[]12,B x x = ，

在数轴上作图并分析后两个条件：{}|20A B x x =+>说明B 将A 集合覆盖数轴的漏洞堵

上了，{}|13A

B x x =<≤说明B 与A 的公共部分仅有(]1,3，左侧没有公共部分，从而

[]12,B x x =的位置只能如此（如图），可得：121,3x x =-=，由韦达定理可得：2,3a b =-=- 例9：在R 上定义运算:2x

x y y

??=

-，若关于x 的不等式(1)0x x a ?+->的解集是{|22,}x x x R -≤≤∈的子集，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．22a -≤≤

B ．12a -≤≤

C ．31a -≤<-或11a -<≤

D ．31a -≤≤ 思路：首先将(1)0x x a ?+->变为传统不等式：()()

1001x

x x a x a ?+->?

<-+，

不等式含有参数a ，考虑根据条件对a 进行分类讨论。设解集为A ，因为[]2,2A ?-，所以首先解集要分空集与非空两种情况：当A =?时，则1a =-；当A ≠?时，根据a 的取值分类讨论计算出解集后再根据数轴求出a 的范围即可 解：()()()

1000211x x

x x a x a x a ?+->?>?<-+--+

设解集为A

当A =?时，则1a =- 当A ≠?时：

若101a a +>?>-时，()[]0,12,2A a =+?-

12a ∴+≤ 1a ∴≤ 11a ∴-<≤

若101a a +

12a ∴+≥- 3a ∴≥- 31a ∴-≤<-

综上所述：[]3,1a ∈- 答案：D

例10：已知()(01)f x mx x n n m =--<<+，若关于x 的不等式()0f x <的解集中的整数恰有3个，则实数m 的取值范围是（ ）

A. 36m <<

B. 13m <<

C. 01m <<

D. 10m -<<

解：所解不等式为mx x n <-，可以考虑两边平方后

去掉绝对值，因式分解可得：

()()110m x n m x n -++-

整数解可得：解集应该为封闭区间，所以x 的系数均大于

零，即10

110

m m m ->??>?

+>?，另一方面，解集区间内有3个整数，从端点作为突破口分析，两

个端点为,11

n n x x m m =-=-+，因为01n m <<+，所以()0,11

n

x m =

∈+，进而结合数轴分析可得三个整数解为{}0,1,2--，所以另一个端点的取值范围为

()()3221311

n

m n m m -≤-

<-?-<<--①，而01n m <<+②，所以只要①②有交集，则可找到符合条件的,n m ，结合数轴可得：()211m m -<+，求出()1,3m ∈ 答案：()1,3m ∈

三、近年模拟题题目精选：

1、（2016四川高三第一次联考）已知集合{}{}

|2,,|1,M x x x R N x x a a R =<∈=-≤∈，若N M ?，则a 的取值范围是（ ）

A. 01a ≤≤

B. 1a ≤

C. 1a <

D. 01a << 2、（2014吉林九校二模，1）已知{}{}|12,|3M x x N x x =-<≤=≤ ，则()R C M N =

（ ）

A.[]

2,3

B. (]2,3

C.(][],12,3-∞-

D. (](],12,3-∞-

3、（重庆八中半月考，1）设全集为R ，集合{}

12,01A x x B x x ?

?

=≤=>??-??

，则A

B =

（ ）

A. []2,2-

B. [)2,1-

C. (]1,2

D. [)2,-+∞ 4、已知函数()

f x =

的定义域为M ，()()ln 1g x x =+的定义域为N ，则

()R M

C N =（ ）

A. (-∞

B. )?+∞?

C. ()+∞

D. (

-∞

5、（2014，浙江） 已知集合{}

{}2

|20,|12P x x x Q x x =-≥=<≤，则()R C P Q =（ ）

A. [)0,1

B. (]0,2

C. ()1,2

D. []1,2

6、（2014，山东）设集合{}[]{}

|12,|2,0,2x A x x B y y x =-<==∈，则A

B =（ ）

A. []0,2

B. ()1,3

C. ()1,4

D. [)1,3 7、设集合{}

{}|237,|121A x x B x m x m =-≤=+≤≤-，若A B A =，则实数m 的取

值范围是_________

8、已知全集U R =，集合{}{}

2|340,|28x

A x x x

B x =-->=>，那么集合()

U C A B =

（ ）

A. ()3,4

B. ()4,+∞

C. (]3,4

D. []3,4 9、若关于x 的不等式2

2

)12(ax x <-的解集中整数恰好有3个，则实数a 的取值范围是_______.

习题答案： 1、答案：B

解析：若0a <，则N =?符合题意，若0a =，则{}1N =符合题意，当0a >时，解得：

()()2,2,1,1M N a a =-=-+，

由N M ?可知：12

0112

a a a -≥-??<≤?+≤?，综上可得：1a ≤ 2、答案：D

解析：(](),12,R C M =-∞-+∞，在数轴上标出,R C M N 的区域即可得出()

R C M N

3、答案：C

解析：分别解出,A B 中的不等式，:22,:1A x B x -≤≤>，所以(]1,2A B =

4、答案：A

解析：()f x 的定义域

：(2

20x M ->?=，()g x 的定义域：

()101,x N +>?=-+∞，所以(),1R C N =-∞-，(

)(R M

C N =-∞

5、答案：C

解析：解出P 中不等式：0x ≤或2x ≥，所以()0,2R C P =，则()()1,2R C P Q =

6、答案：D

解析：集合A 为解不等式：()122121,3x x x -

7、答案：3m ≤

解析：A 集合为[]2,5-，由A

B A =可知B A ?；当B =?时，可得

1212m m m +>-?<，当B ≠?时，结合数轴可得：1212

12

32153m m m m m m m +≤-≥????

+≥-?≥-????-≤≤??即23m ≤≤，综上可得：m 的取值范围是3m ≤

8、答案：C

解析：2

3404x x x -->?>或1x <- ()

(),14,A ∴=-∞-+∞

[]1,4U C A =-

283x x >?> ()3,B ∴=+∞ ()(]3,4U C A B ∴=

9、答案：2549,916a ??

∈

???

解析：因为不等式等价于014)4(2<+-+-x x a ，其中014)4(2=+-+-x x a 中的

04>=?a ，且有04>-a ，故40<

a

x a

-<

<+2121，

212141<+

，解得a 的范围为)16

49

,925(