2015年高考数学文真题分类汇编：专题七 不等式 Word版含解析

2015年高考文数真题分类汇编：专题七不等式

1.【2015高考四川，文9】设实数x，y满足

210

214

6

x y

x y

x y

+≤

?

?

+≤

?

?+≥

?

，则xy的最大值为( )

(A)25

2

(B)

49

2

(C)12 (D

)14

【考点定位】本题主要考查线性规划与基本不等式的基础知识，考查知识的整合与运用，考查学生综合运用知识解决问题的能力.

【名师点睛】本题中，对可行域的处理并不是大问题，关键是“求xy最大值”中，xy已经不

是“线性”问题了，如果直接设xy＝k，，则转化为反比例函数y＝k

x

的曲线与可行域有公共点

问题，难度较大，且有超出“线性”的嫌疑.而上面解法中，用基本不等式的思想，通过系数的配凑，即可得到结论，当然，对于等号成立的条件也应该给以足够的重视.属于较难题.

2.【2015高考广东，文4】若变量x，y满足约束条件

22

4

x y

x y

x

+≤

?

?

+≥

?

?≤

?

，则23

z x y

=+的最大值

为（）

A．10B．8C．5D．2【答案】C

【解析】作出可行域如图所示：

作直线0:l 230x y +=，再作一组平行于0l 的直线:l 23x y z +=，当直线l 经过点A 时，

23z x y =+取得最大值，由224x y x +=??

=?得：4

1x y =??=-?

，所以点A 的坐标为()4,1-，所以()max 24315z =?+?-=，故选C ．

【考点定位】线性规划．

【名师点晴】本题主要考查的是线性规划，属于容易题．线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．解题时要看清楚是求“最大值”还是求“最小值”，否则很容易出现错误；画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误．

3.【2015高考天津，文2】设变量,y x 满足约束条件20

20280

x x y x y ì-???

-?í?+-???,则目标函数3y z x =+的

最大值为（ ）

(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D)14 【答案】C 【解析】

()()51

3y 228992

2z x x x y =+=

-++-+?,当 2,3x y == 时取得最大值9,故选C.此题也可画出可行域,借助图像求解,

【考点定位】本题主要考查线性规划知识.

【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约束

条件求目标函数的最值,常见的结合方式有:纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结合,准确作出图形是解决问题的关键.

4.【2015高考浙江，文6】有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：2m ）分别为x ，y ，z ，且x y z <<，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/2m ）分别为a ，b ，c ，且a b c <<．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ）

A ．ax by cz ++

B ．az by cx ++

C ．ay bz cx ++

D ．ay bx cz ++ 【答案】B 【解析】

由x y z <<，a b c <<，所以()()()ax by cz az by cx a x z c z x ++-++=-+-

()()0x z a c =-->，故ax by cz az by cx ++>++；同理，()ay bz cx ay bx cz ++-++ ()()()()0b z x c x z x z c b =-+-=--<，

故

ay bz cx ay bx cz ++<++.

因为()

az by cx ay bz cx ++-++()()()()0

a z y

b y z a b z y =-+-=--<，

故

az by cx ay bz cx

++<++.故最低费用为az by cx ++.故选B. 考点：1.不等式性质；2.不等式比较大小.

【名师点睛】本题主要考查不等式的性质以及不等式比较大小.解答本题时要能够对四个选项利用作差的方式进行比较，确认最小值.本题属于容易题，重点考查学生作差比较的能力.

5.【2015高考重庆，文10】若不等式组20

22020x y x y x y m +-≤??

+-≥??-+≥?

,表示的平面区域为三角形，且其面积

等于

4

3

，则m 的值为（ ） (A)-3 (B) 1 (C)

4

3

(D)3 【答案】B

【解析】如图，，

由于不等式组20

22020

x y x y x y m +-≤??

+-≥??-+≥?

,表示的平面区域为ABC ?，且其面积等于43，

再注意到直线:20AB x y +-=与直线:20BC x y m -+=互相垂直，所以ABC ?是直角三角形，

易知，(2,0),(1,1)A B m m -+,2422

(

,)33

m m C -+;从而112222122223

ABC m S m m m ?+=

+?+-+?

=4

3， 化简得：2

(1)4m +=，解得3m =-,或1m =，检验知当3m =-时，已知不等式组不能表示一个三角形区域，故舍去，所以1m =;故选B. 【考点定位】线性规划与三角形的面积.

【名师点睛】本题考查线性规划问题中的二元一次不等式组表示平面区域，利用已知条件将三角形的面积用含m 的代数式表示出来，从而得到关于m 的方程来求解.本题属于中档题，注意运算的准确性及对结果的检验.

6.【2015高考湖南，文7】若实数,a b

满足

12

a b

+=，则ab 的最小值为( ) A

B 、2

C 、

D 、

4 【答案】C 【解析

】121200a b ab a b a b +=∴=

+≥=∴≥

＞，＞，，（当且仅当2b a =时取等号），所以ab 的最小值为，故选C. 【考点定位】基本不等式

【名师点睛】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．

7.【2015

高考重庆，文14】设,0,5a b a b >+=,________. 【答案】23

【解析】由222ab a b ≤+两边同时加上22a b + 得2

2

2

()2()a b a b +≤+

两边同时开方即得：

a b +≤

（0,0a

b >>且当且仅当

a b

=时取“=”），

≤

==13a b +=+,

即

73

,22

a b ==时，“=”成立）

，故填：23. 【考点定位】基本不等式.

【名师点睛】本题考查应用基本不等式求最值，先将基本不等式222ab a b ≤+转化为a b +≤（a>0,b>0且当且仅当a=b 时取“=”）再利用此不等式来求解.本题属于中档题，注意等号成立的条件.

8.【2015高考新课标1，文15】若x ,y 满足约束条件20

210220x y x y x y +-≤??

-+≤??-+≥?

,则z =3x +y 的最大值

为 ． 【答案】4

【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线0l ：30x y +=，平移直线0l ，当直线

l :

z =3x +y 过点A 时，z 取最大值，由2=0

21=0

x y x y +-??-+?解得A （1,1），∴z =3x +y 的最大值为4.

考点：简单线性规划解法

【名师点睛】对线性规划问题，先作出可行域，在作出目标函数，利用z 的几何意义，结合可行域即可找出取最值的点，通过解方程组即可求出做最优解，代入目标函数，求出最值，要熟悉相关公式，确定目标函数的意义是解决最优化问题的关键，目标函数常有距离型、直线型和斜率型.

9.【2015高考陕西，文11】某企业生产甲乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示，如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为3万元.4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）

A ．12万元

B ．16万元

C ．17万元

D ．18万元 【答案】D

【解析】设该企业每天生产甲乙两种产品分别x ，y 吨，则利润34z x y =+

由题意可列0,0321228x y x y x y ≥≥??

+≤??+≤?

，其表示如图阴影部分区域：

当直线340x y z +-=过点(2,3)A 时，z 取得最大值324318z =?+?=， 故答案选D 。 【考点定位】线性规划.

【名师点睛】1.本题考查线性规划在实际问题中的应用，在解决线性规划的应用题时，可依据

以下几个步骤：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件和目标函数；

②由约束条件画出可行域；③分析目标函数z 与直线截距之间的关系；④使用平移直线法求出最优解；⑤还原到现实问题中.2.本题属于中档题，注意运算的准确性.

10.【2015高考湖南，文4】若变量x y ，满足约束条件1

11x y y x x +≥??

-≤??≤?

，则2z x y =-的最小值

为( )

A 、1-

B 、0

C 、1

D 、2 【答案】A 【解析】

由约束条111x y y x x +≥??

-≤??≤?作出可行域如图，由图可知，最优解为A ，联立

()10

0,111x y x A y x y +=?∴∴?-?=?

?

?＝＝ , ∴2z x y =-在点A 处取得最小值为1-．故选：A ．

【考点定位】简单的线性规划

【名师点睛】求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有： (1)截距型：形如z ax by =+，求这类目标函数的最值常将函数z ax by =+转化为直线的斜截式：1

,(0)a y x z b b b

=-+≠，通过求直线的截距

z b

的最值间接求出z 的最值． (2)距离型：形如22

()()z x a y b =-+-. (3)斜率型：形如y b

z x a

-=

-.注意：转化的等价性及几何意义．

11.【2015高考福建，文10】变量,x y 满足约束条件02200x y x y mx y +≥??

-+≥??-≤?

，若2z x y =-的最大值

为2，则实数m 等于（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 【答案】C

x

–1

–2

–3

–4

1

2

3

4

–1–2–3–4

1

2

3B

O

C

【解析】将目标函数变形为2y x z =-，当z 取最大值，则直线纵截距最小，故当0m ≤时，

不满足题意；当0m >时，画出可行域，如图所示， 其中22(

,)2121

m

B m m --．显然(0,0)O 不是最优解，故只能22(,)2121m B m m --是最优解，代入目标函数得4222121

m

m m -=--，解得

1m =，故选C ．

【考点定位】线性规划．

【名师点睛】本题考查含参数的线性规划问题，首先要对目标函数进行分析，什么时候目标函数取到最大值，其次要对m 的符号讨论，以确定可行域，解该类题目时候，往往还要将目标直线的斜率和可行域边界的斜率比较，否则很容易出错． 12.【2015高考福建，文5】若直线1(0,0)x y

a b a b

+=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5 【答案】C 【解析】由已知得

111a b +=，则11=()()a b a b a b +++2+b a

a b

=+，因为0,0a b >>，所

以

+b a a b ≥，故4a b +≥，当=b a

a b

，即2a b ==时取等号． 【考点定位】基本不等式．

【名师点睛】本题以直线方程为背景考查基本不等式，利用直线过点寻求变量,a b 关系，进而利用基本不等式求最小值，要注意使用基本不等式求最值的三个条件“正，等，定”，属于中档题．

13.【2015高考安徽，文5】已知x ，y 满足约束条件0

401x y x y y -≥??

+-≤??≥?

，则y x z +-=2的最大值

是（ ）

（A ）-1 （B ）-2 （C ）-5 （D ）1 【答案】A

【解析】根据题意作出约束条件确定的可行域，如下图：

令y x z +-=2?z x y --=2，可知在图中)1,1(A 处，y x z +-=2取到最大值-1,故选A . 【考点定位】本题主要考查了简单的线性规划.

【名师点睛】在解决简单的线性规划问题时，考生作图和确定可行区域一定要细心，本题考查了考生的数形结合能力和基本运算能力.

14.【2015高考天津，文12】已知0,0,8,a b ab >>= 则当a 的值为 时

()22log log 2a b ?取得最大值.

【答案】4

【解析】()()()()22

222222log log 211log log 2log 2log 164,24

4a b a b ab +???≤===

???当

2a b =时取等号,结合0,0,8,a b ab >>=可得4, 2.a b ==

【考点定位】本题主要考查对数运算法则及基本不等式应用.

【名师点睛】在利用基本不等式求最值时,一定要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件,注意

创造“定”这个条件时常要对所给式子进行拆分、组合、添加系数等处理,使之可用基本不等式来解决,若多次使用基本不等式,必须保持每次取等的一致性.

15.【2015高考山东，文12】 若,x y 满足约束条件13,1y x x y y -≤??

+≤??≥?

则3z x y =+的最大值为 .

【答案】7 【解析】

画出可行域及直线30x y +=，平移直线30x y +=，当其经过点(1,2)A 时，直线的纵截距最大，所以3z x y =+最大为1327z =+

?=.

【考点定位】简单线性规划.

【名师点睛】本题考查了简单线性规划的应用，解答本题的关键，是掌握方法，准确画图，细心计算.

本题属于基础题，是简单线性规划问题中最为简单的一种求最值问题，在考查相关基础知识的同时，较好地考查了考生的作图能力及运算能力.

16.【2015高考湖北，文12】若变量,x y 满足约束条件4,2,30,x y x y x y +≤??

-≤??-≥?

则3x y +的最大值是

_________． 【答案】10.

【考点定位】本题考查线性规划的最值问题，属基础题.

【名师点睛】这是一道典型的线性规划问题，重点考查线性规划问题的基本解决方法，体现了数形结合的思想在数学解题中重要性和实用性，能较好的考查学生准确作图能力和灵活运用基础知识解决实际问题的能力.

17.【2015高考广东，文11】不等式2340x x --+>的解集为 ．（用区间表示） 【答案】()4,1-

【解析】由2340x x --+<得：41x -<<，所以不等式2340x x --+>的解集为()4,1-，所以答案应填：()4,1-． 【考点定位】一元二次不等式．

【名师点晴】本题主要考查的是一元二次不等式，属于容易题．解题时要注意2x 的系数是否为正数，如果2x 的系数是负数，一定要化为正数，否则很容易出现错误．

18.【2015高考北京，文13】如图，C ?AB 及其内部的点组成的集合记为D ，(),x y P 为D 中任意一点，则23z x y =+的最大值为 ．

【答案】7

【解析】由题图可知，目标函数

2

33

z

y x

=-+，因此当2,1

x y

==，即在点A处时z取得最

大值为7.

【考点定位】线性规划.

【名师点晴】本题主要考查的是线性规划，属于容易题．线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．解题时要看清楚是求“最大值”还是求“最小值”，否则很容易出现错误． 19.【2015高考浙江，文14】已知实数x ，y 满足221x y +≤，则2463x y x y +-+--的最大值是 ． 【答案】15 【解析】

22,2224631034,22x y y x

z x y x y x y y x

+-≥-?=+-+--=?

--<-?

由图可知当22y x ≥-时，满足的是如图的AB 劣弧，则22z x y =+-在点(1,0)A 处取得最大值5；当22y x <-时，满足的是如图的AB 优弧，则1034z x y =--与该优弧相切时取得

最大值，故10

15

z d -=

=，所以15z =，故该目标函数的最大值为15. 【考点定位】1.简单的线性规划；

【名师点睛】本题主要考查简单的线性规划.根据条件，利用分类讨论，确定目标函数的情况，画出可行域，根据线性规划的特点，确定取得最值的最优解，代入计算.本题属于中等题，主要考查学生数形结合的能力以及分类讨论思想. 20.【2015高考上海，文16】 下列不等式中，与不等式

23

28

2

<+++x x x 解集相同的是（ ）. A. 2)32)(8(2

<+++x x x B. )32(282

++<+x x x

C. 8

2

3212+<

++x x x D. 218322>+++x x x

【答案】B

【解析】因为022)1(322

2

>≥++=++x x x ，8+x 可能是正数、负数或零，所以由

)32(282++<+x x x 可得

23282<+++x x x ，所以不等式23

28

2

<+++x x x 解集相同的是)32(282++<+x x x ，选B.

【考点定位】同解不等式的判断.

【名师点睛】求解本题的关键是判断出022)1(322

2

>≥++=++x x x . 本题也可以解出各个不等式，再比较解集.此法计算量较大.

21.【2015高考上海，文9】若y x ,满足??

?

??≥≤+≥-020

y y x y x ，则目标函数y x z 2+=的最大值

为 . 【答案】3

【解析】不等式组表示的平面区域如图OAB ?（包括边界），联立方程组??

?=+=2

y x x

y ，解得

???==1

1

y x ，即)1,1(A ， 平移直线02=+y x 当经过点A 时，目标函数y x z 2+=的取得最大值，即321max =+=z

.

【考点定位】不等式组表示的平面区域，简单的线性规划.

【名师点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：

(1)在平面直角坐标系内作出可行域；

(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；

(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解； (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．