大学物理学答案

3-8 质量1m 、长l 的均匀直棒，可绕垂直于棒的一端的水平轴O 无摩擦地转。它原来静止在平衡位置上。现在一质量为2m 的弹性小球飞来，正好在棒的下端与棒垂直地相撞。撞后，棒从平衡位置处摆动达到最大角度0

30θ=，如图，（1）设碰撞为弹性的，试计算小球的初速度的大小。 （2）相撞时，小球受到多大的冲量？ 解：（1）设u 为小球碰后的速度，由于弹性碰撞，碰撞过程角动量和动能守恒。所以有：

222121

3

m vl J m ul m l m ul ωω=+=+

化简得：12

(1)3m l v u m ω-=

22222121111

()2232m v m l m u ω=+ 化简得：222

2

12

(2)

3m l v u m ω-=

(2)

(1)

得：(3)v u l ω+=

21

2

3()(4)6m m v l m ω++=（1）（3）得：

撞后，由于无外力作用，棒的机械能应守恒，所以有：

201111

(1cos30)(5)22

m m gl ωω=-=

解得：

将（5）式代入（4

）式，得：2

v =

（2）根据动量定理，小球受到的冲量等于小球动量的增量，所以有：

222()I m u m v m v u =-=--

将（1）式和（5）式代入，

解得：I = 3-9 两轮A 、B 分别绕通过其中心的垂直轴向同一方向

转动，如图示。角速度分别为

题3-8图

1m

1150,200A B rad s rad s ωω--=?=?。已知两轮的半径与质量分别为

0.2,0.1,2,4.A B A B r m r m m kg m kg ====两轮沿轴线方向彼此靠近而接触，试求两轮

衔接后的角速度。

解：在两轮靠近的过程中，由于不受外力矩的作用， 角动量守恒，所以有：

222201111()()[()()]2222

A A A

B B B A A B B L L

m r m r m r m r ωωω=+=+即

2212211()()22100()11()()22A A A B B B

A A

B B m r m r rad s m r m r ωωω-+==?+

3-11 质量为0.06kg ，长0.2m 的均匀细棒，可绕垂直于棒的一端的光滑水平轴转动。如将此棒放在水平位置，然后任其开始转动。求：（1）开始转动时的角加速度；（2）落到竖直位置时的动能；（3）落到竖直位置时的动量矩（指对转轴）。取2

10g m s -=?。 解：（1）由转动定律M J α=，得2

11375()23

2l g

mg

ml rad s l

αα-==

=? （2）在转动过程中，由于不受外力作用，机械能守恒。所以落到竖直位置时的动能

等于初始位置时的势能。即01

0.06()2k P E E mgl J === （3

）由222111

()223

k E J ml ωωω=

==

得

23211(9.8410()3L J ml kg m s ω--====???

3-12 质量均匀分布的圆柱形木棒可绕水平固定轴在竖直面内转动，转轴过棒的中点与棒身垂直且光滑，棒长0.4l m =，质量11m kg =。当棒在竖直面内静止时，有一子弹在距棒中点

4

l 处穿透木棒，该子弹质量210m g =，初速大小1

0200v m s -=?，方向与棒和轴都垂直，子弹穿出棒后速度大小变为1

50v m s -=?，方向不变。求子弹穿出棒的瞬时棒的角速度的大小。

解：由碰撞过程角动量守恒，可得：

220

211

()4412

l l m v m v m l ω=+

解得：3

1201331010()(20050)11.25()10.4

m v v rad s m l ω--??=-=-=??自测题1 一、选择题

1、 有一质点在平面上运动，运动方程为2

2

34r t i t j =+

，则该质点作（ ） （A ）曲线运动；（B ）匀速直线运动；（C ）匀变速直线运动；（D ）变加速直线运动。 2、如图1-1所示，细绳通过两轻质定滑轮在两端各挂一个物块A 和B ，设A B m m =，初始A 、B 处于同一高度且都静止。若使B 偏离平衡位置θ角而来回摆动，则物块A 将 （ ）

（A ）保持不动； （B ）向上运动； （C ）向下运动； （D ）上下运动。

3、有一物体在Oxy 平面上运动，受力作用后其动量沿两轴方向的变化分别为x p i ?

和

y p j -?

，则该力施于此物体的冲量大小为 （ ）（C ）

（A ）x y I p p =?+? （B ）x y I p p =?-? （C

）I =

（D

）I =

4、如图1-2所示，有一物体置于小车的左端，小车放在光滑的水平面上。用力F 拉物体使它从车的左端运动到右端，保持F 的大小和方向不变，以地面为参考系，在车固定和不固定的两种情况下，下列结论正确的是：（ ）

（A ）两种情况力F 作的功相等。

（B ）两种情况物体与车间的摩擦力对物体作的功相等， （C ））两种情况物体获得的动能相等。 （D ）两种情况由于摩擦而产生的热相等。

5、如图1-3所示，质点沿直线AB 作匀速运动，A 、B 为轨道直线上任意两点，O 为线外的任一定点（可视为垂直纸面的轴与纸面的交点），A L 和B L 代表质点在A 、B 两点处对定点O （轴）的角动量，则 （ ） （A ）A L 、B L 方向不同，但A B L L =。

图

1-2

（B ）A L 、B L 方向相同，但A B L L （C ）A L 、B L 的方向和大小都不同。 （D ）A L 、B L 的方向和大小都相同。

6、对于质点组，内力可以改变的物理量是 （ ） （A ）总动量 （B ）总角动量 （C ）总动能 （D ）总质量

7、如图1-4，一绳穿过水平桌面中心的小孔联接桌面上的小物块，令物块先在桌面上作以小孔为圆心的圆周运动，然后将绳的下端缓慢向下拉，则小物块的 （A ）动量、动能、角动量都改变。 （B ）动量不变，动能、角动量都改变。 （C ）动能不变，动量、角动量都改变。

（D ）角动量不变，动量、动能都改变。 ( )

8、如图1-5，均匀木棒OA 可绕其端点O 并与棒垂直的水平光滑轴转动。令棒从水平位置开始下落，在棒转到竖直位置的过程中，下列说法中正确的是： （A ）角速度从小到大，角加速度从小到大。 （B ）角速度从小到大，角加速度从大到小。 （C ）角速度从大到小，角加速度从大到小。 （D ）角速度从大到小，角加速度从小到大。

9、如图1-6，均匀木棒可绕过其中点的水平光滑轴在竖直面内转动。棒初始位于水平位

置，一小球沿竖直方向下落与棒的右端发生弹性碰撞。碰撞过程中，小球和棒组成的系统 （ ）（B ）

（A ）动量守恒、动能守恒。 （B ）动量守恒、角动量守恒。 （C ）角动量守恒、动能守恒。 （D ）只有动能守恒。

二、填空题

图

1-4

图1-6

1、 质点的运动方程为5cos ,5sin ()x t y t SI ππ==单位，则质点 （1）在第1s 内的位移 ，第1s 内的路程 。 （2）第1s 内的平均速度 ，第1s 内的平均速率 。 （3）任意时刻的速度 ，任意时刻的速率 。

（4）任意时刻的切向加速度 ，任意时刻的总加速度的大小 ，方向 。 2、如图1-7所示，质量相等的两物块A 、B 用轻弹簧相连后再用轻绳吊在天花板之下，初始系统平衡。迅速将绳在P 处烧断，则在绳断开瞬间，物块A 的加速度A a = ，物块B 的加速度B a = 。 3、一颗子弹在枪筒里前进时受到的合力大小为

5410400(),

3

F t SI ?=-单位子弹从枪口射出的速率为

1300m s -?，设子弹离开枪口时所受合力恰好为零。则（1）子弹在枪筒中所受合力的冲

量I = ；（2）子弹的质量m = 。

4、如图1-8所示，人造地球卫星绕地球沿椭圆轨道运转，地球在轨道的一个焦点上。A 、B 分别为轨道的远地点和近地点，到地心的距离设为A r 和 B r 。若卫星在A 点的速率为A v 则卫星在B 点的速率

B v = 。

5、沿z 轴运动的质点所受合力(32)()F x i SI =+

单位。质点的质量1m kg =，由原点从静止出发，则质点到达3x m =处时，在这段位移上，合力F 对质点所作的功w =，质点在3x m =处的速率为v = 。

6、质量为m 的火箭从地面发射上升一个地球半径E R ，地球引力对火箭作的功w =。（设地球质量为E m ，引力常数为G ）

7、如图1-9所示，A 、B 两物块和滑轮C 的质量分别为,,A B C m m m ，滑轮半径为R 、对轴的转动惯量为21

2

C J m R =

。设桌面和转轴光滑，绳图1-7

B

m

图1-8

不伸长且质量不计，绳在滑轮上不打滑。则物块A 的加速度A a = 。

8、转动惯量为J 的飞轮以角速度0ω作定轴转动，受到与角速度的平方成正比的制动力矩作用（比例系数为k ），使其角速度逐渐减小。从开始制动到角速度减小为0

3

ω时所经

历的时间为 。

第六章 静电场

6-3

、在坐标原点及（）点分别放置电荷6

6

122.010, 1.010Q C Q C --=-?=?的点

电荷，求点1)P -处的场强（坐标单位为m ）。 解：(如图)，由点电荷的场强公式，可得：

1110011

11

001cos 4411sin 44232x y Q E E Q Q E E θπεθπεπε?=-=-

?=??

?

?==??=??

22

222

14(1)4y Q Q E E πεπε=-=-?

=--

3112000

()(3.9 6.8)10()324Q Q E j i j N C πεπε-=+-=-+??

6-5 一根玻璃棒被弯成半径为R 的半圆形，其上电荷均匀分布，总电荷量为q 。求半圆中心O 点的场强。

解：(如图)，在棒上取电荷元q

dq dl R

π=

，则 223

0044dq q

dE dl R R

πεπε=

= （方向如图） 由对称性分析，可知0,

x y E E E j ==

23

2002

sin sin sin 44y q q dE dE dl d R

R θθθθ

πεπε=-?=-

=-

22

22

00sin 42y q q E d R R π

θθπεπε=-

=-

?

1)-

22

02q E j R πε=-

6-6 如图所示，有一半径为R 的均匀带电圆环，总电荷量为q 。利用例6-4所得结果，（1）求环心处的场强；（2）轴线上什么地方场强最大？它的数值是多少？（3）画出轴线上的E x -曲线；（4）若是均匀带电的圆盘（半径为R ，电荷面密度为σ），你能否利用例6-4的结论提出计算此圆盘上离盘心x 处的场强的方法？

解:由例6-4知，均匀带电圆环在中心轴线上任一点

P 的场强为：2232

01

4()qx

E i R x πε=

+ （1）环心处（0x =）时 0E =

（2）令0dE

dx

= 即222322232225200113(

)[]04()4()()d qx q x dx R x R x R x πεπε=-=+++

解得2

x R =± （3）（略）

（4）取2

(

)(2)q

dq ds rdr R

σππ=?= 22232223222232

00

0(

)(2)1

1

()

4()4()2()q

x rdr xdq qxrdr R dE x r x r x R r x πππεπεπε=

=

=+++方向沿

轴正方向2223220

00(12()2R

qxrdr q E R r x R πεπε==+?

6-11 两个均匀的带电同心球面，内球面带有电荷1q ，外球面带有电荷2q ，两球面之间区域中距球心为r 的点的场强为1

2

3000N C r

-?方向沿球面半径指向球心，外球面之外距球心为r 的点的场强为

1

2

2000N C r

-?，方向沿球面半径向外。试求1q 和2q 各为多少？ 解：由高斯定理和已知条件可得：

1

661110220130001

()30004100.3310()

43

q E N C q C r r πεπε---=

?

=-?=-?=-?=-?161222012

20

()12000

()200040.5610()4q q E N C q q C r r

πεπε--+=

?

=?=?-=?

6-12 用高斯定理求均匀带正电的无限长细棒外的场强分布，设棒上电荷的线密度为λ。

解：由电荷的对称性分布可知，距无限长细棒距离相等的点的场强都相等，方向在垂直于细棒的平面内且呈发散状。

取以细棒为轴心，高为l 、底面半径为r 的圆柱面为高斯面，根据高斯定理，有：

22s

l E ds E ds E ds E ds rlE λπε?=?+?=?==????

底

侧

侧

02E r

λ

πε=

6-16有一对点电荷，所带电荷量的大小都为q ，它们间的距离为2l 。试就下述两种情形求这两点电荷连线中点的场强和电势：（1）两点电荷带同种电荷；（2）两点电荷带异种电荷。 解：（1）根据点电荷的场强和电势公式，有：

122

200()4()

2q

q

E E l l πεπε==

=

方向相反 所以 0E =

121000224()2

q q q

V V V V l l l πεπεπε=====

（2）122200()4()2q q

E E l l πεπε===方向相同 所以 2

02q E l πε=（方向指向负电荷） 12000

24()2

q q

V V V l l πεπε=-===所以6-17 如图所示，A 点有电荷,q B +点有电荷q -，2,AB l OCD =是以B 为中心、l 为半径的半圆。

（1）将单位正电荷从O 点沿OCD 移到D 点，电

l

场力作功多少？

（2）将单位负电荷从D 点沿AB 延长线移到无穷远处，电场力作功多少？ 解：（1） 0

()q W OCD

-=是等势面 0011()()436q O D q

q

W V V J l l l πεπε+++=-=

-= 0()6q q q

W W W J l

πε-+=+=

（2）000(1)()(1)(

)()4436q q D D q q q W W W V V J l

l

l

πεπεπε-+-+-=+=-+=-+=?

6-19 在半径分别为1R 和2R 的两个同心球面上，分别均匀带电，电荷量各为

1Q 和2Q ，且 12R R <。求下列区域内的电势分布：（1）1;

r R <12(2)R r R <<；

（3）2r R >。

解：由高斯定理可得场强分别为：

110r R E <=时，

11222

0,4Q R r R E r

πε<<=

时

12

232

0,4Q Q r R E r

πε+>=

时 取无限远处为电势零点，根据电势的定义式，可得;

122

1

2

1

2111212

11232

20001

21()

444R R R r

r

R R R R r R Q Q Q Q Q V E dl E dr E dr E dr dr dr r

r R R πεπεπε∞∞∞

<+=?=++=+=+?????

? 时，

22

2

21211212

2232

200

02,

1()

444R R r

r

R r

R R r R Q Q Q Q Q V E dl E dr E dr dr dr r r r R πεπεπε∞∞∞

<<+=?=+=+=+????

?

时

1212

232

00,

44r

Q Q Q Q r R V dr r r

πεπε∞

++>==?

时 6-25A 、B 、C 是三块平行金属板，面积均为2

200cm ，A 、B 相距4.0,mm A 、C 相距

2.0,mm B 、C 两板都接地，如图所示。设A 板带正电7

3.010q C -=?，不计边缘效应（即

认为电场集中在平板之间且是均匀的）。（1） 若平板之间为空气（ 1.00r ε≈），求B 板和C 板上的感应电荷，以及A 板上的电势；（2）若在A 、B 间另充以 5r ε=的均匀电介质，再求B 板和C 板上的感应电荷，以及A 板上的电势。 解：（1）()

(1)C B q q q =-+

由 12A AC AB V E d E d =?=?，得：

12

00214

2(2)

2

C

B

C B B B

q q d d s

s

d q q q q d εε?=

?===

（1）、（2）联立，解得：7

72 2.010()3

1 1.010()3C B q q C q q C --?=-=-?????=-=-???

733

11124

0 2.010210 2.310()8.851020010

C

A AC q V E d d V s ε----?=?=?=??=???? （2）由1200C

B A r q q V d d s s εεε=

?=? 得2112()(2)5

C B B r d q q q d ε'==

（1）、(2)'联立，解得7

72610()77

51510()77C B q q C q q C --?=-=-????

?=-=-???

7

3211124

061072109.710()8.851020010

C A AC q V E d d V s ε----?=?=?=??=???? 6-28 一空气平板电容器的电容 1.0C pF =，充电到电荷为6

1.010Q C -=?后，将电源切断。（1）求板极间的电势差和电场能量；（2）将两极板拉开，使距离增到原距离的两倍，试计算拉开前后电场能的改变，并解释其原因。

解：（1）6

612

1.010 1.010()1.010

Q U V C --?===??

题6-25图

6611

1.010 1.0100.5()22

e W UQ J -==????=

（2）由于拉开前后板极的电荷量不变，场强大小0Q

E s

ε=

不变，而U E d =?，可见拉开后两板间的电势差是原来的2倍，即02U U =。

00011

(2) 1.00.50.5()22

e e e W W W Q U QU J ?=-=-=-=

外力克服电场力作功，电势能增加。

6-29 平板电容器两极间的空间（体积为V ）被相对介电常数为r ε的均匀电介质填满。极板上电荷的面密度为σ。试计算将电介质从电容器中取出过程中外力所作的功。

解：22

00001111()(

)()2222e r r r W QU S d Sd V σσσσεεεεεε===?=? 同理，可得 2

12e W V σε==? 根据功能关系，外力作的功等于电容器电势能的增量，所以有：

20011

(1)2e e r

V W W W σεε=-=-

自测题（2）

一、 选择题（每小题给出的几个答案中，只有一个是正确的）

1、 平行板空气电容器的两极板间的距离为d ，极板面积为S ，两极板所带电荷分别为q +和

q -，若d 很小时，则两极板相互作用的静电力为

（A ）

2201

.4q d πε（B ）20.q S ε（C ）20.2q S ε（D ）2

.2q S

2、 如图1-1所示，闭合面S 内有一点电荷1q ，P 为S 面上一点，在S 面外的A 点另一点

电荷2q 。若将2q 移至也在S 面外的B 点，则

（A ）穿过S 面的E

通量改变，P 点的场强不变。 （B ）穿过S 面的E

通量不变，P 点的场强改变。 （C ）穿过S 面的E

通量和P 点的场强都不变。

2

（D ）穿过S 面的E

通量和P 点的场强都改变。 3、 如图1-2所示，一圆环均匀带电0q -，另有 两个带电荷

都为q +的点电荷位于环的轴线上，分别在环的两侧，它们到环心的距离都等于环的半径R 。当此电荷系统处于平衡时，则0

q

q （数值比）为 （ ）

（A （B ）C （D ）4

4、 如图1-3所示，B 和C 是同一圆周上的两点，A 为圆内的任意点，

当在圆心处置一正点电荷时，则正确的是 （ ） (A ）

B

C A A

E dl E dl ?>??

? （B ）B C A

A

E dl E dl ?

（C ）

B

C A

A

E dl E dl ?=??

? （D ）B A

E dl ?? 和C A

E dl ??

大小不确定。

5、如图1-4所示，AB 和CD 为两段同心（在点O ）的圆弧，它们所张的圆心角都是?。两圆弧都均匀带正电，并且电荷的线密度也相等。设AB 和CD 在O 点产生的电势分别为1V 和2V ，则正确的是 （ ）

(A ）12V V > （B ）12V V < （C ）12V V = （D ）1V 、2V 大小不定。

6、有一半径为R 的金属球壳，其内部充满相对介电常数为r ε的均匀电介质，球壳外面是真空。当球壳上均匀带有电荷Q 时，则此球壳上面的电势为 (A ）

04r Q R πεε （B ）

4r Q R

πε

（C ）04Q R

πε （D ）

011

()4r

Q R πεε- （ ） 7、如图1-5所示，一带正电荷的质点在电场中从A 点经C 点运动到B 点，轨迹为

C 点处场强方向正确的是四个图中的 （ ）

图1-2

图1-3

C

8、如图1-6，图中的实线为E

线，虚线表示等势面，则由图可判定 （ ） (A ）,.A B C A B C E E E V V V >>>> （B ）,.A B C A B C E E E V V V <<<< （C ）,A B C E E E >>.A B C V V V << （D ）,.A B C A B C E E E V V V <<>>

9、如图1-7所示，x 轴上的两个电荷量都为q +的点电荷相距2a ，球面S 的 球心O 位于左边电荷处，半径为a 。

1S 和2S 为球面上两块相等的小面积，分别位于点O 的左

右两侧。设通过1S 、2S 的E 通量分别为1ψ和2ψ，通过球面S 的E

通量为s ψ，则正确的

是：（ ） (A ）120

,.s q

ψψψε>=

（B ）120

2,.s q

ψψψε<=

（C ）120

,.s q

ψψψε==

(D )120

,.s q

ψψψε<=

10、极板间为真空的平行板电容器充电后与电源断开，今将两极板用绝缘工具拉开一些距离，则下列结论中不正确的是 （ ）

(A ）电容器两极板间的电势差增大。 （B ）电容器的电容减少。 （C ）电容器中电场能量增加。 （D ）电容器两极间的电场强度增大。 二、填空题

图1-6

V

B V A V B

A

图1-7

1、 说明下列各式的物理意义：

（1）E dS ? 。

（2）

01i

S

S E dS q ε?=

∑?

（内）

。

（3）E dl ?

。 （4）b

a

E dl ??

。

（5）

0L

E dl ?=?

。

2、一均匀带电的空心橡皮球，在吹大的过程中始终维持球状，球内任意点的场强，电势 ；始终在球外的任意点的场强，电势 （填写变大、变小或不变）。

3、如图1-8（a ）在一边长为a 的正六边形的六个顶点放置六个点电荷q +（或q -），则此六边形中心O 处的场强大小为E =，场强方向为 。若如图（b ）放置，并把一试验电荷0q 由无限远处移至O 点，则电场力所作的功为。（取零电势点在无限远。）

4、设有一无限长均匀带电直线，如图1-9所示。电荷线密度为.A B λ、两点分别在线的两侧，它们到线的距离分别为a 和b 。则A B 、两点间的电势差为。将一试验电荷0q 从A 点移到B 点，带电直线和0q 组成的系统的电势能改变量为 。

5、如图1-10所示，一点电荷q 位于不带电的空腔导体（灰色者）腔内。设有三个封闭曲面1S 、2

S 和3S （用虚线表示），在这三个曲面中，E

通量

为零的曲面是，场强处处为零的曲面是 。

q + ()

b q

()a

q - 图1-8

A B a

?

b

图1-9

λ

?

6、电荷线密度分别为1λ和2λ的两平行均匀带电长直导线，相距为d ，则单位长度上的电荷受到的静电力大小为 。

7、一半径为R 的球体均匀带电，电荷体密度为ρ，则球体外距球心为r 的点的场强大小为；球体内距球心为r 的点的场强大小为 。

8、两无限大的平行平面均匀带电，面电荷密度都是(0)σσ>，如图1-11所示，则区域I 中各点场强1E = ，区域Ⅱ中各点场强2E = ，，区域Ⅲ中各点场强3E = 。（E

方向用单

位矢量i

表示）

9、半径为1R 的导体球A ，带有电荷q ，球外有一内外半径分别为2R 和3R 的同心导体球壳B ，壳上带有电荷Q 。则球A 的电势A V =，球壳B 的电势B V =。（取零电势点在无限远。）

10、两无限大金属平板A 和B 的面积都是S ，平行相对，板间距离为d 。将两板接电源后，使两板电势分别为,0.A B V V V ==现将另一带电荷q 、面积也为S

厚度可不计的金属薄片平行相对地插在A 、B 两板之间，如图1-12所示。则金属薄片C 的电势c V = 。

第七章 稳恒磁场

7-5、如图1所示，已知一均匀磁场的磁感应强度

0.2B T =，方向沿x 轴正向。试求：

（1）通过图中abcd 面的磁通量； （2）通过图中befc 面的磁通量；

σ+

σ+

Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

i

图

1-11

30

（3）通过图中aefd 面的磁通量。

解：（1）cos 0.2(0.40.3)(1)0.24()m B S BS T ?π=?==??-=-

（2）由于n S B ⊥ ，cos 02

m B S BS π

?=?==

（3）从abcd 面穿入的磁感线全部从aefd 穿出，所以0.24()m T ?=

7-6一载有电流7.0I A =的硬导线，转折处为半径0.10r m =的四分之一圆周ab 。均匀外磁场的大小为 1.0B T =，其方向垂直于导线所在的平面，如图2所示，求圆弧ab 部分所受的力。

解：在圆弧上任取一电流元Idl ，根据安培定律dF Idl B =?

得：dF IBdl =（方向沿半径指向外）

设Ob 方向为x 轴正方向，Oa 方向为y 轴正方向，

且 dF 与Ob 的夹角设为θ，则： cos cos cos sin sin sin x y

dF dF IB dl IBr d dF dF IB dl IBr d θθθθ

θθθθ===??

===? 2020

cos 7.0 1.00.10.7()sin 7.0 1.00.10.7()x y F IBr d IBr N F IBr d IBr N ππ

θθθθ?===??=????===??=???

? 1.0()

arctan

4

y x x

F F N Ob F π

α=≈==

与的夹角

7-8 一半圆形闭合线圈，半径0.1R m =，通有电流10I A =，放在均匀磁场中，磁场方向与线圈平面平行，大小为0.5T ，如图3所示，求线圈所受力矩的大小。

解：221sin 10(0.1)0.522

7.810()

n M ISe B ISB N m ππ-=

?==???=??

7-11一条无限长直导线在在一处弯折成半径为R 的圆弧，如图4所示，若已知导线中电流强度为I ，试利用毕奥-萨伐尔定律求（1）当圆弧为半圆周时，圆心O 处的磁感应强度B ；（2）当圆弧为

1

4

圆周时，圆心O 处的磁感应强度B 。

图3

解：由毕奥-萨伐尔定律02

4r

Idl e dB r μπ?=

知，由于场点O 与直线电流的夹角总是为000180或，所以0

204r

Idl e dB r μπ?== 。因而，总的磁感强度只是由圆弧电流产生的。 （1）在圆弧上任取电流元Idl

，

000022

2sin 90444()

r Idl e Idl Idl dB r R R μμμπππ?===

方向垂直纸面向里

000220

444R

I

Idl I B dB R R R R

πμμμπππ====

??

（2）同理可得：0002

220

4428R

I

Idl I R B dB R R R

πμμμπππ==

==

??

7-12 如图5所示，两根导线沿半径方向引到铁环上的A 、B 两点，并在很远处电源相连，求环中心的磁感应强度。

解：（如图5）01

1122l I l

B r r

μπ=?（方向向外）

022222l I l

B r r

μπ=（方向向里）

011222()4B I l I l r

μ

π=- （1）

又因为12l l 、并联，所以1122I R I R =（12R R 、为12l l 、的

电阻）即

12

21

I R I R = 根据电阻定律，又有

2211

R l R l

=，所以1221I l

I l =，即 1122I l I l = （2）

（2）式代入（1）式，得0B =

7-13一长直导线ab ，通有电流120I A =，其旁放置一段导线cd ，通有电流210I A =，且

ab 与cd 在同一平面上，c 端距ab 为1cm ，d 端距ab 为10cm ，如图6所示。求导线cd 所

受的作用力。

解：直电流ab 在周围空间产生磁场，直电流cd 放在其磁场中，受到安培力的作用。

c

21I d

图5

2l

在cd 上任取一电流元2I dr ，距ab 的垂直距离为r ，则：

01

2I B r

μπ=

（方向垂直纸面向里） 01012

2222I I I dr dF I dr B I dr r r

μμππ=?=?=

（方向向上） 1075012

0121ln102102010 2.39.210()22cm cm I I I I dr F dF N r μμππ

--====????=???

7-17如图7所示，载流长直导线中的电流为I 。求通过矩形面积CDEF 的磁通量。

解：在距载流长直导线距离为r 处的磁感强度为

02I

B r

μπ=

（方向垂直纸面向里） 在矩形线框中取面元ds ldr = 则通过面元ds 的磁通量为：

0022I Il dr

d B ds ldr r r μμ?ππ=?==

00ln 22b a Il Il dr

b

d r

a

μμ??ππ===

??

第八章 电磁感应 电磁场

8-3 一长直导线，通有电流5I A =，在与其相距2

5.010d m -=?处放一矩形线圈，线圈1000匝，线圈在如图8-1所示位置以速度2

1

310v m s --=??沿垂直于长导线的方向向右运动的瞬时，线圈中的感应电动势是多少？方向如何？（设线圈长24.010b m -=?，宽22.010a m -=?。

） 解：BC 、AD 边不切割磁感线，不产生感应电动势．

AB 产生电动势

01()d 2d

B

A

I

N v B l NvBb Nvb

μεπ=??==?

CD 产生电动势

02()d 2π()

D

C

I

N v B l Nvb

a d με=??=-+?

∴回路中总感应电动势

I v

图7

60121

1() 6.8610()2πIbv N

V d d a

μεεε-=+=-=?+ 方向沿顺时针．

8-6如图8-2所示，通过回路的磁感应线与线圈平面垂直指向纸内，磁通量以下列关系式变化2

3

(671)10()t t Wb -Φ=++?，式中t 以秒计。求2t s =时回路中感应电动势的大小和方向。 解：233(671)10(127)10i d d

t t t dt dt

φε--=-

=-++?=-+? 当 2t s =时，3

2(1227)10

3.110()i V ε--=-?+?=-?

由右螺旋定则知，电动势方向为逆时针方向

8-7ab 、cd 两段导线，长度均为0.10m ，在b 处相接而成0

30角，如图8-3所示。若使导

线在均匀磁场中以速率1

1.5v m s -=?向右运动，磁场B 的方向垂直纸面向里，B

的大小为

22.510T -?。问a 、c 之间的电势差为多少？哪一端电势高？若导线向上运动，则又如何？

解：（1）以速率1

1.5v m s -=?向右运动时

203cos()sin 2

1.5

2.5100.10sin 30 1.910()

i v B l vBl vBl V πεθθ

--=-??=--=-=-????=-?

由右螺旋定则可以判定，感应电动势的方向向上， 所以c 点电势高。 （2）导线向上运动时

023cos30 2.5100.10 1.5(17.010()2

i Blv Blv V ε--=+=????+

=? 由右螺旋定则可以判定，感应电动势的方向向左，所以a 点电势高。

8-8一长直导线，载有电流40I A =。在其旁边放置一金属杆AB 。A 端与导线的距离为

0.1a m =，B 端与导线的距离为 1.0b m =，

如图8-4所示。设金属杆AB 以匀速1

2v m s -=?向上运动，试求此金属杆中的感应电动势，并问哪一端电势较高？

解:在AB 上距长直导线电流为r 处任取一微元dr ，根据动生

图8-2

????????

图8-3

电动势的定义式，可得：

000

()()(cos180)22I Iv dr d v B dr v dr r r μμεππ=??==-

1.07000.1

5ln10210402 2.3

223.6810()

Iv Iv

dr d r V μμεεππ

--==-=-=-????=-???

由右螺旋定则可以判定，感应电动势的方向向左，所以A 点电势高。

8-9 长为l 的一金属杆ab ，水平放置在均匀磁场B

中，如

图8-5所示。金属棒可绕O 点在水平面内以角速度ω旋转，O 点离a 端的距离为l k （设2k >）

。试求a 、b 两端的电势差，并指出哪端电势高。 解：（1）Ob 两端的电势差：

在金属棒上任取一微元dr ，根据动生电动势的定义式，可得：

0(cos180)d v B dr r Bdr r Bdr εωω=??==-

12

(1)

20

1

(1)2l k Ob Bl r Bdr k

ωεω-=-=-

-?

（电动势方向由b 指向O ，b 端电势低） （2）Oa 两端的电势差： 同理可得1

2(1)

2

1

2

l k Oa Bl r Bdr k ωεω-=

-=-

?

（电动势方向由a 指向O ，a 端电势低）

（3）22

222

1

12[(1)](1)02

22ab a b Bl Bl Bl U V V k

k k

ωωω=-=-

--

-=-> a 端电势高。

自测题（3）

一、选择题（每小题给出的答案中，只有一个是正确的）

1、一带电粒子的径迹如图3-1所示。此带电粒子进入均匀磁场B

（方向垂直纸面向里）中运动，穿过一水平放置的铅板b 后，继续在磁场中运动。则粒子带电的正负以及粒子穿过铅板的方向是（要考虑带电粒子穿过铅板将损失动能） （ ）

图8-5