第1讲 随机事件的概率

第1讲随机事件的概率

【2013年高考会这样考】

1．随机事件的概率在高考中多以选择题、填空题的形式考查，也时常在解答题中出现，应用题也是常考题型，并且常与统计知识放在一块考查．

2．借助古典概型考查互斥事件、对立事件的概率求法．

【复习指导】

随机事件的概率常与古典概型、互斥、对立事件、统计等相结合进行综合考查，对事件类型的准确判断和对概率运算公式的熟练掌握是解题的基础，因此，复习时要通过练习不断强化对事件类型的理解和公式的掌握，弄清各事件类型的特点与本质区别，准确判断事件的类型是解题的关键．

1．随机事件和确定事件

(1)在条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件．

(2)在条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件．

(3)必然事件与不可能事件统称为确定事件．

(4)在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件．

(5)确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C…表示．

2．频率与概率

(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数

n A为事件A出现的频数，称事件A出现的比例f n(A)＝n A

n为事件A出现的频率．

(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率f n(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．

3．互斥事件与对立事件

(1)互斥事件：若A∩B为不可能事件(A∩B＝?)，则称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生．

(2)对立事件：若A∩B为不可能事件，而A∪B为必然事件，那么事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生．

4．概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.

(2)必然事件的概率：P(A)＝1.

(3)不可能事件的概率：P(A)＝0.

(4)互斥事件的概率加法公式：

①P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )(A ，B 互斥)．

②P (A 1∪A 2∪…∪A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )(A 1，A 2，…，A n 彼此互斥)． (5)对立事件的概率：P (A )＝1－P (A )． 一条规律

互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件． 两种方法

求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：

(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；

(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P (A )＝1－P (A )，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”、“至少”型题目，用间接法就显得比较简便．

1．将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次”是( )． A ．必然事件 B ．随机事件 C ．不可能事件 D ．无法确定

答案 B

2．在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率为m n ，当n 很大时，P (A )与m

n 的关系是( )．

A ．P (A )≈m

n

B ．P (A )＜m

n

C ．P (A )＞m

n

D ．P (A )＝m

n

解析 事件A 发生的概率近似等于该频率的稳定值． 答案 A

3．(2012·兰州月考)从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是( )．

A ．至少有一个红球与都是红球

B ．至少有一个红球与都是白球

C ．至少有一个红球与至少有一个白球

D ．恰有一个红球与恰有二个红球

解析 对于A 中的两个事件不互斥，对于B 中两个事件互斥且对立，对于C 中两个事件不互斥，对于D 中的两个互斥而不对立．

答案 D

4．(2011·陕西)甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是( )． A.136 B.19 C.536 D.16

解析 若用{1,2,3,4,5,6}代表6处景点，显然甲、乙两人选择结果为{1,1}、{1,2}、{1,3}、…、{6,6}，共36种；其中满足题意的“同一景点相遇”包括{1,1}、{2,2}、{3,3}、…、{6,6}，共6个基本事件，所以所求的概率值为16.

答案 D

5．(2011·湖北)在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为________(结果用最简分数表示)．

解析 所取的2瓶中都是不过期的饮料的概率为P ＝C 227

C 230＝117145，则至少有1瓶为已过保质期饮料的

概率P ＝1－P ＝28

145.

答案

28145

考向一 互斥事件与对立事件的判定

【例1】判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任取一张． (1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”； (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；

(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”． [审题视点] 可用集合的观点判断． 解 (1)是互斥事件，不是对立事件．

原因是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”与“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件，但是，不能保证其中必有一个发生，这是由于还有可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．

(2)既是互斥事件，又是对立事件．

原因是：从40张扑克牌中，任意抽取1张．“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件． (3)不是互斥事件，也不是对立事件．

原因是：从40张扑克牌中任意抽取1张．“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两

个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．【反思与悟】对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件的关系．

【变式1-1】一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则()．

A．A与B是互斥而非对立事件

B．A与B是对立事件

C．B与C是互斥而非对立事件

D．B与C是对立事件

解析根据互斥事件与对立事件的意义作答，A∩B＝{出现点数1或3}，事件A，B不互斥更不对立；B∩C＝?，B∪C＝Ω，故事件B，C是对立事件．

答案 D

考向二随机事件的概率与频率

【例2】(2011·湖南)某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为：

140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.

(1)完成如下的频率分布表：

近20年六月份降雨量频率分布表

(2)

六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．

[审题视点] 第一问中的统计表是降雨量的统计表，只要根据给出的数据进行统计计算即可；第二问中根据给出的X，Y的函数关系，求出Y＜490或者Y＞530对应的X的范围，结合第一问的概率分布情况求解，或者求解其对立事件的概率．

解(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为

(2)由已知得Y ＝X

2＋425，故P (“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)＝P (Y ＜490或Y ＞

530)＝P (X ＜130或X ＞210)＝P (X ＝70)＋P (X ＝110)＋P (X ＝220)＝120＋320＋220＝3

10.

故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为3

10.

【反思与悟】 概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率．

【变式2-1】 某市统计的2008～2011年新生婴儿数及其中男婴数(单位：人)见下表：

(1)(2)该市男婴出生的概率约是多少？

解 (1)2008年男婴出生的频率为f n (A )＝n A n ＝11 453

21 840

≈0.524.

同理可求得2009年、2010年和2011年男婴出生的频率分别约为0.521、0.512、0.513.

(2)由以上计算可知，各年男婴出生的频率在0.51～0.53之间，所以该市男婴出生的概率约为0.52.

考向三 互斥事件、对立事件的概率

【例3】据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5,0.1. (1)求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率；

(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．

[审题视点] (1)根据互斥事件，第(1)问可转化为求被消费者投诉0次和1次的概率和．

(2)第(2)问可转化为求以下三种情形的概率和：①1,2月份各被投诉1次；②1,2月份各被投诉0,2次；③1,2月份各被投诉2,0次．

解 法一 (1)设事件A 表示“一个月内被投诉的次数为0”，事件B 表示“一个月内被投诉的次数为1”，

∴P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.4＋0.5＝0.9.

(2)设事件A i 表示“第i 个月被投诉的次数为0”，事件B i 表示“第i 个月被投诉的次数为1”，事件C i 表示“第i 个月被投诉的次数为2”，事件D 表示“两个月内共被投诉2次”． ∴P (A i )＝0.4，P (B i )＝0.5，P (C i )＝0.1(i ＝1,2)，

∵两个月中，一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次的概率为P (A 1C 2＋A 2C 1)， 一、二月份均被投诉1次的概率为P (B 1B 2)，

∴P (D )＝P (A 1C 2＋A 2C 1)＋P (B 1B 2)＝P (A 1C 2)＋P (A 2C 1)＋P (B 1B 2)，

由事件的独立性得

P (D )＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.5×0.5＝0.33.

法二 (1)设事件A 表示“一个月内被投诉2次”，事件B 表示“一个月内被投诉的次数不超过1次”． ∵P (A )＝0.1，∴P (B )＝1－P (A )＝1－0.1＝0.9. (2)同法一．

【反思与悟】 本题主要考查随机事件，互斥事件有一个发生的概率及相互独立事件同时发生的概率；实际生活中的概率问题，在阅读理解的基础上，利用互斥事件分类，有时还借助对立事件寻求间接求解问题的捷径，这类问题重在考查学生思维的灵活性和解决实际问题的能力．

【变式3-1】 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A 、B 、C ，求： (1)P (A )，P (B )，P (C )； (2)1张奖券的中奖概率；

(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． 解 (1)P (A )＝

11 000，P (B )＝101 000＝1100，P (C )＝501 000＝1

20

. 故事件A ，B ，C 的概率分别为11 000，1100，1

20

.

(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M ，则M ＝A ∪B ∪C .∵A 、B 、C 两两互斥，∴P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝1＋10＋501 000＝61

1 000.

故1张奖券的中奖概率为

61

1 000

. (3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，

∴P (N )＝1－P (A ∪B )＝1－????11 000＋1100＝9891 000. 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为989

1 000

.

事件对立与互斥的辨别问题

对事件的互斥性与对立性的辨别，在解题中要根据问题的具体情况作出准确的判断．互斥事件是不可能同时发生的两个事件，其概率满足加法公式，即若A ，B 互斥，则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )；对立事件是必然有一个发生的两个互斥事件，也就是说对立的两个事件首先必须是互斥的，而且这两个事件之和是一个必然事件，即一个事件A 与它的对立事件A 的概率之间有关系式P (A )＋P (A )＝1，用好这个关系对解决概率问题是非常有用的，它往往能使复杂的问题简单化．

【示例1】(2012·苏州模拟)甲：A 1，A 2是互斥事件；乙：A 1，A 2是对立事件，那么( )． A ．甲是乙的充分但不必要条件 B ．甲是乙的必要但不充分条件 C ．甲是乙的充要条件

D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 [审题视点]理清互斥与对立的概念、充要条件的判断方法.

解：两个事件是对立事件，则它们一定互斥，反之不成立，故选B.

【反思与悟】互斥的两个事件不一定是对立事件，因为这两个事件可能都不发生，但对立的两个事件一定互斥，即互斥是对立的必要条件，不互斥的两个事件一定不是对立事件. 【示例2】 抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1、

2、3、4、5、6)，事件A 表示“朝上一面的数是奇数”，事件B 表示“朝上一面的数不超过3”，求P (A ∪B )． [审题视点]判断事件A 与B 是否互斥.

[解析]事件A ∪B 可以分解成事件C 为“朝上一面的数为1，2，3”与事件D“朝上一面的数为5”这两个事件，则事件C 与D 互斥.

解：()()()()P A B P C D P C P D ==+

312

663

=

+= 【反思与悟】公式()()()P A B P A P B =+ 的前提条件是A 与B 彼此互斥，而在本题中的事件A 、B 并不互斥，所以在应用公式时，要特别注意是否具备应用公式的条件.