大学物理实验(二)讲义

大学物理实验（I I）实验讲义

华中科技大学物理学院实验教学中心

目录

实验1：偏振光实验 (1)

实验2：迈克尔逊和法布里-珀罗干涉仪 (5)

实验3：振动力学综合实验 (13)

实验4：RLC电路和滤波器 (22)

实验1：偏振光实验

【实验目的】

1.观察光的偏振现象，加深对其规律认识。

2.了解产生和检验偏振光的光学元件及光电探测器的工作原理。

3.掌握一些光的偏振态（自然光、线偏振光、部分偏振光、椭圆偏振光、圆偏振光）的鉴别方

法以及相互的转化。

【课前预习】

1.光的波动方程以及麦克斯韦方程组。

2.电磁波的偏振性及波片的性质。

【实验原理】

1、自然光与偏振光

麦克斯韦指出光波是一种电磁波，电磁波是横波。由于光与物质相互作用过程中反应比较明显的是电矢量E，故此，常用E表征光波振动矢量，简称光矢量。一般光源发射的光波，其光矢量在垂直于传播方向上的各向分布几率相等，这种光就称为自然光。光矢量在垂直于传播方向上有规则变化则体现了光波的偏振特性。如果光矢量方向不变，大小随相位变化，这时在垂直于光波传播方向的平面上光矢量端点轨迹是一直线，则称此光为线偏振光（平面偏振光），光矢量与传播方向构成的平面叫振动面如图1（a）。图1(b)是线偏振光的图示法，其中短线表示光矢量平行于纸面，圆点表示光矢量与纸面垂直。如果其光矢量是随时间作有规律的改变，光矢量的末端在垂直于传播方向的平面上的轨迹是圆或者椭圆，这样的光相应的被称为圆偏振光或者椭圆偏振光，如图1（c）。介于偏振光和自然光之间的还有一种叫部分偏振光，其光矢量在某一确定方向上最强，亦即有更多的光矢量趋于该方向，如图1（d）。任一偏振光都可以用两个振动方向互相垂直，相位有关联的线偏振光来表示。

2、双折射现象

当一束光入射到光学各向异性的介质时，折射光往往有两束，这种现象称为双折射。冰洲石（方解石）就是典型的双折射晶体，如通过它观察物体可以看到两个像。当一束激光正入射于冰洲石时，若表面已抛光则将有两束光出射，其中一束光不偏折，即o光，它遵守通常的折射定律，称为寻常光。另一束发生了偏折，即e光，它不遵守通常的折射定律，称为非常光。用偏振片检查可以发现，这两束光都是线偏振光，但其振动方向不同，其两束光的光矢量近于垂直。晶体中可以找到一个特殊方向，在这个方向上无双折射现象，这个方向称为晶体的光轴，也就是说在光轴方向o光和e光的传播速度、折射率是相等的。此处特别强调光轴是一个方向，不是一条直线。只有一个光轴的晶体称为单轴晶体，如冰洲石，石英，红宝石，冰等，其中又分为负晶体（o光折射率大于e光折射率，即n o>n e）和正晶体（n o

为双轴晶体，如云母、蓝宝石、橄榄石、硫磺等。

3、二向色性

光在某些晶体中传播时，晶体对o 光和e 光的吸收是不一样的，此特性称为二向色性。例如电气石的矿石晶体，对o 光有强烈的吸收作用，而对e 光则吸收很少。当自然光通过电气石晶片时，在很短的路程中o 光就被全部吸收，因此通过的光是与晶体内e 光相应的线偏振光，利用这一性质可以用来产生线偏振光。

4、起偏和检偏

根据晶体的二向色性，可制作偏振片（定义：偏振片允许透过的光矢量方向为其透光轴），它能将自然光变为线偏振光，此时偏振片称为起偏器；当偏振片用于检验偏振光的状态时，称为检偏器。

5、马吕斯定律

1808年，马吕斯实验中指出，强度为I o 的线偏振光透过偏振片后，透射光的强度为：

I=I 0cos 2θ (1)

式中，θ是两个偏振片透光轴之间的夹角，第1个偏振片用于将光源变为线偏振光，第2个则是用于检偏。显然两个偏振片平行放置，透过的光强最大；垂直时，处于消光状态。

图1（a ） 图1（b ）

图1（c ） 图1（d ）

6、波片-位相延迟器

波片也称位相延迟器，是由双折射晶体制成的平板状光学元件，其厚度为d 且光轴平行于表面。当一束单色平行自然光正入射到波晶片上时，光在晶体内部便分解为o 光与e 光。o 光电矢量垂直于光轴；e 光电矢量平行于光轴。o 光和e 光的传播方向不变，但由于传播速度不同，两束光的相位差可表示为，

δ=2π(n o -n e )d/λ (2)

式中λ为光波在真空中的波长。通过调节双折射晶体的厚度，可以制作不同的波片，如下

1/4波片：δ=±（2k+1）π/2

(k=1，2，3……) 1/2波片：δ=±（2k+1）π

(k=1，2，3……) 全波片：δ=±2k π (k=1，2，3……) 一般来说，不论是任何波片都是相对一定波长而言。假如选择不同波长的光源，需要采用消色差波片，它是由几层不同的聚合物或晶体精确对准层叠而成的，其优点是在一定的带宽之内延迟量对波长的变化不敏感。波片按材料分，常见的有各种晶体波片，和聚合物波片，液晶波片。常用的晶体包括云母，方解石，石英等。另外液晶波片（液晶相位延迟器）是一种新型的可控相位延迟器，通过控制加在液晶两边的电压，可以改变液晶的双折射系数，从而改变通过液晶波片光的相位差。

本实验中采用云母波片，其适用的波长为632.8nm 。

（1）当线偏振光通过全波片时，其偏振态不变；

（2）当线偏振光通过半波片时，仍然为线偏振光，但其光矢量的振动面转动了2θ；

（3）当线偏振光通过1/4波片时，变为椭圆偏振光，当偏振片的透光轴与波片光轴夹角为45o 时，为圆偏振光。

7、椭圆偏振光通过检偏器后的光强

我们以图2为例说明椭圆偏振光通过检偏器后的光强

变化。如图P1为起偏器，C 为1/4波片，P2为检偏器。当

一束光通过P1后，变为线偏振光，其振幅为A ，当P1透

光轴与C 光轴夹角θ不为0o , 45o , 90o 时，通过波片C 后即为

椭圆偏振光。波片C 是双折射晶体，分解为o 光和e 光，

其振幅分别为：A o =Asin θ，A e =Acos θ，这里，A o 和A e 会产

生相位差δ。当o 光和e 光通过检偏器P2时，显然只有与

P2透光轴平行的分量才能通过。设P2透光轴与C 光轴夹角

为?，则o 光和e 光通过P2后的振幅为， A ee =A e cos ?=Acos θcos ? (3)

A oe =A o sin ?=Asin θsin ?

(4)

图2

这里需注意，A ee和A oe反向，故两者的相位差除了π/2，还要附加一个相位差π。这两束光的方向和频率相同，相位差恒定，合成之后的振幅为，

A2=(A ee2+A oe2+2A ee A oe cosδ')1/2(δ'=3/2 π? cosδ'=0) (5) 光强为I= A ee2+A oe2= A (cos2θ cos2?+ sin2θsin2?)

【实验仪器】

1.光学面包板（600?600?80mm）、He-Ne激光器、光电探测器及探头；

2.光学调整架，杆架、接杆、杆架底座、叉式压板；

3.光学元件：偏振片、1/4波片、1/2波片。

【实验程序】

（1）观察激光光源的偏振态

要求：光源等高传播，与偏振片、光电探测器同轴（通过其中心），正入射，旋转偏振片，每隔10o记录光强，旋转一周，极坐标作图光强I与角度的关系（I-θ），推荐origin软件。（2）验证马吕斯定律，研究透过两偏振器后的光强I与它们透光轴间夹角θ的关系

要求：光源等高传播，与两个偏振片P1P2、光电探测器同轴，正入射，旋转P2，观察光强变化及随角度变化的对称性，优化光路后，每隔10o记录光强，，旋转一周，极坐标作图I-θ，直角坐标作图I-cos2θ。

（3）判别1/4波片与1/2波片，写出依据。

要求：测量当线偏阵光通过1/2波片后，其透光轴变化的角度，至少测量5组数据，根据原理自行设计。

（4）通过1/4波片产生圆偏振光，优化光学元件的调节，记录结果。

要求：光源等高传播，与两个偏振片P1P2、1/4波片、光电探测器同轴，正入射。

程序：P1与P2正交，保持消光状态；在中间插入1/4波片，转动波片使得光强最小（消光状态），再转动波片45o；旋转P2观察光强变化范围；优化调节，尽量使得P1、P2、波片接近平行状态，观察光强变化范围（调到你认为较好的状态）；旋转P2一周，每隔10o记录光强，极坐标作图I-θ的关系。

（5）测量椭圆偏振光通过检偏器的光强

根据原理自行设计，极坐标作图I-?的关系，与理论公式比较。

【参考文献】

杨晓雪等，大学物理，华中科技大学出版社出版，2010年8月

熊永红等，大学物理实验，科学出版社出版，2007年8月

记录实验过程，强调规范，作图标准，总结影响实验结果的因素

实验2：迈克尔逊和法布里-珀罗干涉仪

【实验目的】

1、掌握迈克尔逊干涉仪和法布里-珀罗（F-P ）干涉仪的工作原理和调节方法；

2、了解各类型干涉条纹的形成条件、花纹特点和变化规律；

3、测量激光、钠灯光源的波长及双黄线的波长差；

4、测量空气的折射率。

【实验原理】

一、迈克尔逊干涉仪

1881 年，迈克尔逊设计了一种干涉仪,并与其合作者用此仪器进行了三项著名实验：迈克尔逊一莫雷实验，实验结果否定了―以太‖的存在，为相对论的提出奠定了实验基础；将干涉仪用于光谱的精细结构的研究；利用光谱线的波长，标定标准米尺。后来人们以迈克尔逊的干涉仪为原型，又设计出了用于各种目的干涉仪。现在，迈克尔逊干涉仪已得到广泛地应用，如通过测量可动镜的移动距离可以来求得光的波长；若已知光源的波长又可测量微小的距离；它也是光学媒质性质的研究工具。

图1 迈克尔逊干涉仪光路图

迈克尔逊干涉仪有多种多样的形式，其基本光路如图1 所示。1M 、2M 是一对平面反射镜，1G 、2G 是厚度和折射率都完全相同的一对平行玻璃板，1G 称为分光板，在其表面A 镀有半反射、半透射膜（半透明的铬或铝），使射到其上的光线分为光强度差不多相等的反射光和透射光，与

1M 、2M 均成45°

角，2G 称为补偿片，它与1G 平行。如果光源的面积不够大，可在它前面放一片磨沙玻璃或扩束透镜，以扩大视场。

当光照到1G 上时，在半透膜上分成相互垂直的两束光，透射光1射到1M ，经1M 反射后，透过2G ，在1G 的半透膜上反射到达E ；反射光2射到2M ，经2M 反射后，透过1G 射向E 。由

于光线2前后共通过1G 三次，而光线1只通过1G 一次，因此可以加一个补偿片2G ，这样两束光在玻璃中的光程便相等了，于是计算这两束光的光程差时，只需计算两束光在空气中的光程差就可以了。对于单色性很好的光源，补偿片不是必需的，通过调节1M 、2M 的距离也可以达到等光程的目的，而对于单色性差的光源（比如白光）就必须加补偿片（想一想为什么？）。

当观察者从E 处向1G 看去时，除直接看到2M 外还可以看到1M 的像1

M '。于是1、2两束光如同从2M 与1

M '反射来的，因此迈克尔逊干涉仪中所产生的干涉和1M '～2M 间形成的空气薄膜的干涉等效。

（一）干涉条纹

（1）等倾干涉

图2 等倾干涉等效光路图

调节1M 和2M ,使它们严格垂直，即1M '与2M 平行。如图2所示，对于入射角为δ的光线，

1M '与2M 反射光的光程差为 22tan sin 2cos cos d d d δδδδ?=-?= (1)

式中，d 为1

M '和2M 的间距。由上式，可以得到产生明暗条纹的条件 arccos ,2(21)arccos ,4k d k d λδλδ?=???+?=??明条纹暗条纹

(2) 其中0,1,2k = ，为整数。

图3 等倾干涉条纹的变化

由(1)式，当0δ=时，2d ?=，光程差最大，对应最高级次的条纹，若满足2d k λ=，则中心为明条纹，当间距d 减小2λ时，总条纹数目将减小1条；当间距d 增大2λ时，总条纹数目

将增大1条。图3描述了1

M '与2M 的距离d 变化时，等倾干涉条纹的变化的变化情况：d 较大时，干涉条纹数目较多，条纹间距较密；旋转1M 的调节螺杆，使1

M '逐渐靠近2M 时，将会看到条纹逐渐向中心缩进，条纹间距也变得稀疏；1

M '与2M 完全重合时，中央斑点扩大到整个视场；此时继续同向旋转1M 的调节螺杆，1

M '又将远离2M ，可以看到有条纹逐渐从中心冒出来，条纹间距重新变密。d 变化过程中缩进或冒出的条纹数可以定量表示为： 2d

N λ??= (3)

其中N ?为缩进或冒出的条纹数，d ?为距离d 的改变量。上式也可以用来测量入射光的波长。

（2）等厚干涉

图4 等厚干涉光路图

1M 和2M 不严格垂直时，1M '与2M 会有一定的交角，

两镜所在的平面之间会有一个交线（这个交线可能不在两个镜子上）。考虑与1

M '与2M 交线距离为a 处以δ角入射的光束，该光束经过两镜片反射产生的光程差为

22tan cos 2tan tan a a a θδθθδ?≈≈-

(4) 若a 、δ与θ都很小，以致2tan a θδλ<<时，光程公式可以近似为2tan a θ?≈，此时将产

生等厚干涉条纹。当两镜的距离较大，以致2

tan a θδ为λ量级时，该项将起作用，条纹将不是严格的等厚线，而是两端朝着背离中央条纹方向弯曲的曲线。a 愈大，条纹弯曲愈明显。

图5 等厚干涉条纹的变化

（二）利用迈克尔逊干涉仪测量空气的折射率

在迈克尔逊干涉仪中，动镜位置的微小变化或在一个光路中放置一段介质，都可以改变两光路的相位关系，这个特点可以用来测量微小位移或测定介质的折射率。本实验中，我们将测量空气的折射率。

在适当的低气压下，空气的折射率随着空气的压力成线性变化，当然，对于真空，其大气压力为0，折射率恰好是1。用激光器做光源，将内壁长为 l 的小气室置于迈克尔逊干涉仪光路中，固定在反射镜1M 前。调节干涉仪，获得适量等倾干涉条纹之后，向气室里充气，再稍微松开阀门，以较低的速率放气的同时，计数干涉环的变化数m ?，以及相应的气压变化值P ?，可得气压为P 时的空气折射率为（自己推导）

12m n P L P λ?=+? (5)

二、法布里-珀罗（F-P ）干涉仪

图6 法布里-珀罗干涉仪光路图

（一）干涉条纹

法布里-珀罗干涉仪，是由两块各有一面镀高反射膜的玻璃板1G 和2G 组成的（图6），镀膜面相对，夹一层厚度均匀的空气膜，入射光会在两个反射膜之间多次反射，每次经2G 反射的过程中都会有一部分光透射出来，这些透射光能够产生多光束叠加干涉，形成细窄明亮的干涉条纹。假定光束的入射角为θ，那么任一对相邻光束的光程差为

2cos d θ?= (6)

计算可以得出透射光束叠加后的光强（自己推导）: 022141sin (1)I I R R πλ'=?+- (7)

式中，R 是反射率。这个结果表明，I '随?改变而改变。并且，当

2cos d m m θλ?=== （0,1,2） (8)

时I '为极大值。当

(21)2cos 2m d λθ+?== （m=0,1,2） (9)

时，I '为极小值。

（二）用法布里－珀罗干涉仪测量钠黄双线的波长差

钠灯可以发出两个波长相近的黄光，因此当用钠灯作为法布里－珀罗干涉仪光源时，会观察到两套干涉环，调节G1 和G2 两镜距离，两套干涉环的相对位置会发生变化(图7)，它们有时重合在一起，有时又会相互分开，利用这个特点可以测量钠黄双线的波长差。

考虑到人眼能较准确的判断双线之间是否等距离，因此我们的测量点选在一套干涉环恰好夹在另一套干涉环中间（相互居中）时。此时一条黄线生成亮环的地方，恰是另一条黄线生成暗环的地方。

图7 钠光双黄线产生的两套干涉环的变化情况

根据透射光的加强条件2cos d m θλ=，同时注意到应用法布里－珀罗干涉仪时，能在视场中形成干涉条纹的入射光线的θ角都很小，即cos 1θ≈。因此，当一环系位于另一环系中间时，则有 11112122d m m λλ??==+ ??? (10)

其中1λ和2λ（1λ<）为钠黄光的两个相近的波长。动镜继续移动，经过二环系重合，再度达到居中时，又有

22122322d m m λλ??==+ ??? (11) 两式相减得

2121121222()()()d d m m m m λλλ-=-=-+ (12) 2

12

1122121()2()d d d d λλλλλ-=≈-- (13)

其中21λ可取二波长平均值的平方，对钠黄双线可取(589.3nm)2。

【实验仪器】

图8 迈克尔逊干涉仪相关组件，图中元件为：1.激光器 2. 凸透镜1（扩束透镜） 3.分光板 4.固定镜 5.动镜 6.位移台 7.测微螺旋 8.凸透镜2（用于放大条纹图像）9.接收屏架

本实验是在光学面包板上完成的，主要部件包括分光板、两个反射镜1M 、2M ，其中1M 为动镜，装在一个位移台上，转动测微螺旋，通过杠杆的作用，动镜随之移动，测微螺旋每前进0.01mm ，动镜移动0.001mm ，两个聚焦透镜，一个用作扩束镜，一个用于放大激光的干涉条纹以便于观察。

光源包括氦氖激光器与钠光灯两种。

在装有动镜的位移台上，还固定有两块一面镀膜的玻璃板，这是用作法布里-珀罗干涉仪的主要部件。

分光板、聚焦透镜等可以通过支持棒和底座安装光学面包板上，也可以通过叉式压板固定在光学面包板上（图8）。

激光形成的干涉条纹可以通过接收屏观测，而钠光灯形成的干涉条纹可以直接观察或借助于测微目镜观察

另备有气室及气压计，是用来测定空气折射率的。

【实验内容 】

一、干涉条纹的观察

使用氦氖激光器作为光源。按图8所示，将分光板、固定镜、动镜以及接收屏安装在光学面包板上，可先不安装聚焦透镜。注意安装时初步估算光程，使两束光的光程大致相等，调节各镜片等高共轴。各部分安装好后，可以通过各个镜片的小螺丝进行微调，要求激光发出的光束与动镜垂直，与分光板成45度角，经过分光板反射的光与固定镜垂直。调节前先思考一下，怎样判定以上的几点要求是否得到了满足？

以上调节好了以后，两束光在屏上的光点应该重合，这时，在激光器前面加上聚焦透镜1即可

在屏上看到干涉条纹。在屏前加上聚焦透镜2可使条纹放大，更便于观察。

仔细调节平面镜，逐步把干涉环的圆心调到视场中央，即可获得等倾干涉图样。转动测微螺旋改变1M 、2M 之间的相对位置，观察并记录条纹的变化情况。注意观察变化规律与图 3 所示的是否一样。

转动测微螺旋，使动镜向条纹逐一消失于环心的方向移动，直到视场内条纹极少时，仔细调节平面镜，使其少许倾斜，转动测微螺旋，使弯曲条纹向圆心方向移动，可见陆续出现一些直条纹，即等厚干涉条纹。转动测微螺旋改变1M 、2M 之间的相对位置，观察并记录条纹的变化情况。注意观察变化规律与图 5 所示的是否一样。

二、测量激光的波长

取等倾干涉条纹的清晰位置，记下测微螺旋读数0d ，沿此前方向转动测微螺旋，同时默数冒出或消失的条纹，每50环记一次读数，直测到第250 环为止，用逐差法计算出Δd 。由下式计算激光的波长，并与理论值比较： 2d N λ?=? (14)

注意：测微螺旋每转动0.01mm ，动镜随之移动0.001mm 。即d 应为测微螺旋移动距离乘以0.1。

三、测量空气的折射率

测量时， 利用打气球向气室内打气， 读出气压表指示值1P ，然后再缓慢放气， 相应地看到有条纹缩进或冒出。当缩进或冒出 30m ?=个条纹肘， 记录气压表读数2P 值。然后重复前面的步骤， 共取6 组数据。 求出对应的气室内压强变化值的平均值12P P P ?=-。

注意，实验中使用的为表压式气压计，即测量的是与大气压之差。大气压可取 1.0133×105 Pa 。实验用的气室长度为10.0cm 。

四、观察多光束干涉现象

调节螺杆使1G 和2G 两个镜面相距约1mm ，然后将氦氖激光器安置在法布里－珀罗干涉仪光路上，装上观察屏。若激光束在两个镜面之间反射后，在屏上形成一列光点，须利用镜子的调节旋钮消除镜面间的倾斜角，使这些光点重合，就说明两镜面已近乎平行。这时将扩束器装入光路中，就能够从屏上观察到多光束干涉圆环。改变1G 和2G 间距，观察条纹的变化情况。

五、用法布里－珀罗干涉仪测量钠黄双线的波长差

将氦氖激光器换成低压钠灯。调节1G 和2G 两个镜面相距约1mm 。仔细调节1G 、2G 的调节旋钮，消除镜面间的倾斜角，直到观察到一系列明亮细锐的多光束干涉圆环。经过更细致的调节，

当圆环很清晰且干涉环不随眼睛的移动发生直径大小的变化，表明两个镜面已经严格平行了。在调解过程中，要注意避免两镜相碰。

实验时，转动测微螺旋，先使1G 和2G 两镜逐渐靠近，直到几乎接触（但不可相碰），此时钠黄光产生的两个干涉环系实际上相重合。随着动镜逐渐移开，两个环系也逐渐分开，直到一环系恰好位于另一环系中间时，记下测微螺旋读数1d ，继续移远动镜，两个环系经过重合又分开，当一环系再次恰好位于另一环系中间位置时，记下测微螺旋读数2d ，重复测量5次。

【数据处理】

1.计算氦氖激光器的波长，并与理论值比较，计算相对误差。

2.计算在标准大气压下空气的折射率（公式自己推导），并与理论值比较，计算相对误差。

3. 计算钠黄双线的波长差，并与理论值比较，计算相对误差。

【思考题】

1.当用非单色光（比如白光）作为迈克尔逊干涉仪的光源时，为什么就必须加补偿片？估算一下，利用钠光灯作光源时，是否可以不加补偿片？

2.设计一个实验，利用迈克尔逊干涉仪测定钠光灯的相干长度。

3.在迈克尔逊干涉仪中，如何判断1

M 与2M 平行？其依据是什么？ 4.设计一个实验，利用迈克尔逊干涉仪测定已知折射率的透明薄膜的厚度。

5.试比较法布里一珀罗干涉仪所产生的干涉条纹与迈克尔逊干涉仪所产生的干涉条纹的异同。

6.为什么法布里一珀罗干涉仪的分辨本领和测量精度比迈克尔逊干涉仪高?

实验3：振动力学综合实验

【实验目的】

1. 研究音叉振动系统的受迫振动、阻尼振动及共振现象的物理规律。

2. 研究波在弦上的传播规律及驻波形成的条件。

【实验内容】

1. 研究音叉振动系统在周期外力作用下速度共振的幅度与强迫力频率的关系，测量及绘制它们的关系曲线，并求出共振频率和振动系统振动的锐度（其值等于Q 值）。

2. 音叉双臂振动与对称双臂质量关系的测量，求音叉振动频率f （即共振频率）与附在音叉双臂一定位置上相同物块质量m 的关系公式。

3. 采用测量共振频率的方法，测量一对附在音叉上的物块m x 的未知质量。

4. 在音叉增加阻尼力情况下，测量音叉共振频率及锐度，分析阻尼力对共振频率及锐度的影响。

5. 测量拉紧弦不同弦长的共振频率。

6. 测量弦线的线密度。

7. 测量弦振动时波的传播速度。

【课前预习】

1. 振动系统的物理规律

2. 波的传播规律

【实验原理】

1、简谐振动与阻尼振动

物体的振动速度不大时，它所受的阻力大小通常与速率成正比，若以F 表示阻力大小，可将阻力写成下列代数式：

dt

dx F γγμ-=-= （1） 式中γ是与阻力相关的比例系数，其值决定于运动物体的形状、大小和周围介质等的性质。 物体的上述振动在有阻尼的情况下，振子的动力学方程为：

kx dt dx dt

x d m --=γ22 其中m 为振子的等效质量，k 为与振子属性有关的劲度系数。 令m

m k γδω==2,20，代入上式可得： 022022=++x dt dx dt

x d ωδ （2）

式中0ω是对应于无阻尼时的系统振动的固有角频率，δ为阻尼系数。

当阻尼较小时，式（2）的解为：

)cos(00?ωδ+=-t e A x t （3） 式中220δωω-=。

由公式(3)可知，如果δ=0，则认为是无阻尼的运动，这时)cos(00?ω+=t A x ，成为简谐运动。在δ≠0，即在有阻尼的振动情况下，此运动是一种衰减运动。从公式220δωω-=可知，相邻两个振幅最大值之间的时间间隔为：

22

022δωπ

ωπ

-==T （4） 与无阻尼的周期02ωπ=

T 相比，周期变大。

2、受迫振动 实际的振动都是阻尼振动，一切阻尼振动最后都要停止下来．要使振动能持续下去，必需对振子施加持续的周期性外力，使其因阻尼而损失的能量得到不断的补充．振子在周期性外力作用下发生的振动叫受迫振动，而周期性的外力又称驱动力．实际发生的许多振动都属于受迫振动．例如声波的周期性压力使耳膜产生的受迫振动，电磁波的周期性电磁场力使天线上电荷产生的受迫振动等。

为简单起见，假设驱动力有如下的形式：

t F F ωcos 0=

式中0F 为驱动力的幅值，ω为驱动力的角频率。

振子处在驱动力、阻力和线性回复力三者的作用下，其动力学方程成为

t F kx dt dx dt

x d m ωγcos 022+--= （5） 仍令m

m k γδω==2,20，得到： t m

F x dt dx dt x d ωωδcos 202022=++ （6） 微分方程理论证明，在阻尼较小时，上述方程的解是：

)c o s ()c o s (02200?ω?δωδ+++-=-t A t e A x t （7）

式中第一项为暂态项，在经过一定时间之后这一项将消失，第二项是稳定项．在振子振动一段时间达到稳定后，其振动式即成为：

)c o s (?ω+=t A x （8）

应该指出，上式虽然与自由简谐振动式（即在无驱动力和阻力下的振动）相同，但实质已有所不同．首先其中ω并非是振子的固有角频率，而是驱动力的角频率，其次A 和?不决定于振子的初始状态，而是依赖于振子的性质、阻尼的大小和驱动力的特征。事实上，只要将式（8）代入方程（6) ，就可计算出

()22222002

20

4)(ωδωωω

ωγω+-=-+=m F k m F A （9） ω

ωγ

?k m tg -= （10）

其中：m m

k ?==δγω2,20 在稳态时，振动物体的速度

)2cos(max π?ω++==t v dt dx v （11） 其中 2

20

m a x )(ω

ωγk m F v -+= （12） 3、共振

在驱动力幅值0F 固定的情况下，应有怎样的驱动角频率ω才可使振子发生强烈振动？这是个有实际意义的问题。下面分别从振动速度和振动位移两方面进行简单分析。

3.1 速度共振

从相位上看，驱动力与振动速度之间有相位差2π?+，一般地说，外力方向与物体运动方向并不相同，有时两者同向，有时两者反向。同向时驱动力做正功，振子输入能量；反向时驱动力做负功，振子输出能量。输入功率的大小可由v F ?计算。设想在振子固有频率、阻尼大小、驱动力幅值0F 均固定的情况下，仅改变驱动力的频率ω，则不难得知，如果满足最大值0=-ωk m 时，振子的速度幅值max v 就有最大值。

由0=-ωωk m 可得：

m k ==0ωω，m F F v δγ200max ==，这时∞→?tg ，2π?-=

由此可见，当驱动力的频率等于振子固有频率时，驱动力将与振子速度始终保持同相，于是驱动力在整个周期内对振子做正功，始终给振子提供能量，从而使振子速度能获得最大的幅值。这一现象称为速度共振。速度幅值max v 随ω的变化曲线如图1所示。

显然γ或δ值越小，max v ~ω关系曲线的极值越大。描述曲线陡峭程度的物理量一般用锐度表示，其值等于品质因素：

1

20120

f f f Q -=-=ωωω （13） 其中0f 为0ω对应的频率，1f 、2f 为max v 下降到最大值的0.707倍时对应的频率值。

图1 速度共振曲线 图2 位移共振曲线

3.2、位移共振 驱动力的频率ω为何值时才能使音叉臂的振幅A 有最大值呢？对式（9）求导并令其一阶导数为零，即可求得A 的极大值及对应的ω值为：

2200

2δ

ωδ-=m F A （14） δωω220-=r （15）

由此可知，在有阻尼的情况下，当驱动力的圆频率r ωω=时，音叉臂的位移振幅A 有最大值，称为位移共振，这时的ω＜ω0。位移共振的幅值A 随ω的变化曲线如图2所示。

由（14）式可知，位移共振幅值的最大值与阻尼δ有关。阻尼越大，振幅的最大值越小；阻尼越小，振幅的最大值越大。在很多场合，由于阻尼δ很小，发生共振时位移共振幅值过大，从而引起系统的损坏，这是我们需要十分重视的。

比较图1和图2可知，速度共振和位移共振曲线不完全相同。对于有阻尼的振动系统，当速度发生共振时，位移并没有达到共振。其原因在于，对于作受迫振动的振子在平衡点有最大幅值的速度时，其运动时受到的阻力也达到最大，于是在平衡点上的最大动能并没有能全部转变为回转点上的势能，以致速度幅值的最大并不对应位移振幅的最大．这就是位移共振与速度共振并不发生在同一条件下的原因．显然，如果阻尼很小，两种共振的条件将趋于一致，这一点也可从图2的位移共振曲线清楚地看出来。

4、音叉的振动周期与质量的关系

从公式（4）22

22δωπωπ

-==T 可知，在阻尼δ较小、可忽略的情况下有：

k

m T πωπ

220=≈ （16） 这样我们可以通过改变质量m ，来改变音叉的共振频率。我们在一个标准基频为256Hz 的音叉的两臂上对称等距开孔，可以知道这时的T 变小，共振频率f 变大；将两个相同质量的物块m X 对称地加在两臂上，这时的T 变大，共振频率f 变小。从式（16）可知这时：

)(402

2

X m m k T +?=π (17) 其中k 为振子的劲度系数，为常数，它与音叉的力学属性有关。m 0为不加质量块时的音叉振子的等效质量，m X 为每个振动臂增加的物块质量。

由式（17）可见，音叉振动周期的平方与质量成正比。由此可由测量音叉的振动周期来测量未知质量，并可制作测量质量和密度的传感器。

5、弦振动与驻波

张紧的弦线在交变磁场中受力，改变弦长或驱动频率，当弦长是驻波半波长的整倍数时，弦线上便会形成驻波。此时我们认为驱动器所在处对应的弦为振源，振动向两边传播，在劈 尖处反射后又沿各自相反的方向传播，最终形成稳定的驻波。实验仪器由测试架和信号源组成，测试架的结构如图3所示。

图3. 1—调节螺杆 2—圆柱螺母 3—驱动传感器 4—弦线 5—接收传感器 6—支撑板

7—张力杆 8—砝码 9—信号源 10—示波器 1235467

86

1Kg

图4

为了研究问题的方便，当弦线上最终形成稳定的驻波时，我们可以认为波动是从左端劈尖发出的，沿弦线朝右端劈尖方向传播，称为入射波，再由右端劈尖端反射沿弦线朝左端劈尖传播，称为反射波。入射波与反射波在同一条弦线上沿相反方向传播时将相互干涉，在适当的条件下，弦线上就会形成驻波。这时，弦线上的波被分成几段形成波节和波腹。如图4所示。

设图中的两列波是沿X轴相向方向传播的振幅相等、频率相同、振动方向一致的简谐波。向右传播的用细实线表示，向左传播的用细虚线表示，当传至弦线上相应点时，相位差为恒定时，它们就合成驻波用粗实线表示。由图4可见，两个波腹或波节间的距离都是等于半个波长，这可从波动方程推导出来。

下面用简谐波表达式对驻波进行定量描述。设沿X轴正方向传播的波为入射波，沿X轴负方向传播的波为反射波，取它们振动相位始终相同的点作坐标原点―O‖，且在X＝0处，振动质点向上达最大位移时开始计时，则它们的波动方程分别为：

Y1＝Acos2π(ft－x/ λ)

Y2＝Acos2π(ft＋x/ λ)

式中A为简谐波的振幅，f为频率，λ为波长，X为弦线上质点的坐标位置。两波叠加后的合成波为驻波，其方程为：

Y1＋Y2＝2Acos2π（x/ λ）cos2πft (18)

由此可见，入射波与反射波合成后，弦上各点都在以同一频率作简谐振动，它们的振幅为｜2Acos2π(x / λ) |，只与质点的位置X有关，与时间无关。

由于波节处振幅为零，即｜cos2π(x / λ) |＝0

2πx / λ＝(2k+1) π / 2 ( k=0.1. 2. 3. ······)

可得波节的位置为：

X＝（2K＋1）λ /4 (19)

而相邻两波节之间的距离为：

X K＋1－X K ＝[2（K＋1）＋1] λ/4－（2K＋1）λ / 4）＝λ / 2 (20)