回归分析总结

第十二章 多元回归分析

在许多实际问题中，影响因变量的因素有一个时，我们用一元回归分析解决问题，但是影响因变量的因素往往有多个，此时问题就上升到了一个因变量同多个自变量的多元回归问题。当因变量与自变量之间为线性关系时，我们称之为多元线性回归。

多元性性回归分析的原理同一元线性回归基本相同，但计算上要复杂得多。 主要知识点：

建立的回归模型中回归系数和误差项分别代表的含义：

回归系数)2,1,0(k i i

=β表示当其他 1-k 个自变量不变时，第i 个自变量

一个单位因变量y 的平均变动量；

误差项ε表示不能由各个自变量与y 之间的线性关系所解释的变异性。 利用软件用最小二乘法对参数进行估计的方法及步骤：

在Excel 中使用“工具”→“数据分析” →“回归” →输入数据区域→“确定”，即可得到各参数的估计值，此时便可以写出回归方程。 拟合优度的检验方法：

方法一：多重判定系数

1012

2≤≤-==R R SST

SSE SST SSR

R 2

表示在因变量y 的总变差中被估计的回归方程所解释的比例；

故R 2

越大越好。 方法二：估计标准误差 1

()?2

e

---=∑k n y

y S

i

i

S

e

表示根据所建立的回归方程，用自变量来预测因变量时，平均

预测误差的大小；

故S e 越小越好，越小说明波动性越小。

用软件进行线性关系检验的方法：

在Excel 中，在“工具”→“数据分析” →“回归” →方差分析一栏中有“SignificanceF ”值（即P 值），当α

p 时，接受原假设。

回归系数的检验：

检验单个自变量对因变量的影响是否显著，检验步骤同线性关系的检验，检验过

程中可能会因为“多重共线性”问题导致某些自变量无法通过检验。

检验步骤：第1步：提出假设。对于任意参数)2,1(k i i

=β有

0:0

=β

i

H

0:1

≠β

i

H

第2步：计算检验的统计量t 。

)1(~?

?--=k n t S t

i

i

i

ββ

第3步：做出统计决策。

给定显著性水平α，根据自由度=n-k-1查t 分布表，得

t 2

α

的值。若t t α>，则拒绝原假设；若t t 2α<，则不拒

绝原假设。

多重共线性：

产生原因：自变量之间的相关性； 检验方法：

方法一：检验模型中各对自变量之间是否显著相关，若显著相关则暗示

存在多重共线性；

方法二：当模型的线性关系检验（F 检验）显著时，几乎所有回归系数β

i

的t 检验却不显著；

方法三：当回归系数的正负号与预期的相反时也预示着多重共线性的存

在；

问题的处理：

方法一：将一个或多个相关的自变量从模型中剔除，使保留的自变量尽

可能不相关；

方法二：如果要在模型中保留所有的自变量，那就应该：

ⅰ 避免根据t 统计量对单个参数β进行检验。

ⅱ 对因变量y 值得推断（估计或预测）限定在自变量样本值

的范围内。

利用回归方程进行预测：

利用给定的k 个自变量，求出因变量y 的平均值的预测区间和个别值的预测区间。

变量选择：

原理：对统计量进行显著性检验，将一个或一个以上的自变量引入模型，如果增加一个自变量会使得残差平方和（SSE ）明显减少，则将该自变量留在模型中，否则剔除。

主要方法：1）向前选择2）向后剔除3）逐步回归

本章知识结构如下：

1、 建立回归模型 εβ

βββ+++++=x x

x k

k

y 2

2

1

1

回归方程 x

x

x k

k

y β

βββ

++++= 2

2

1

1

2、 利用最小二乘法对参数进行估计

参数包括ββββk

2

1

，，

本章例题

对于绝大多数的钢种而言，磷是有害的元素之一，要求含磷越低越好，经过试验技术人员发现，高磷钢的效率与高磷钢的出钢量及高磷钢中的FeO 含量有一定关系, 所测数据如下表：

方法一：多重判定系数

R 2

方法二：估计标准误差 S

e

1) 提出假设 2) 计算统计量)1,(~)

1(----=

k n k F k n SSE K

SSR F

3) 作出决策 αα,,,P F F

a) 向前选择 b) 向后剔除 c) 逐步回归

a) 计算各对自变量之间的相关系数，并对各相关系数进行显著性检验；

b) 当模型的线性关系进行F 检验显著时，几乎所有回归系数βi

的t 检验却不显著；

c) 回归系数与预期的的相反； 多 元 回 归 分 析

含量(x)

设高磷钢的效率为y、高磷钢的出钢量为x1、高磷钢中的FeO含量为x2用Excel进行回归，回答下面的问题：

（1）写出估计的回归方程。

（2）在高磷钢的效率的总变差中，被估计的回归方程所解释的比例是多少？（3）检验回归方程的线性关系是否显著（05

.0

=

α）。

（4）检验各回归系数是否显著（05

.0

=

α）。

（5）检验所建立的回归方程是否存在多重共线性。

解：用Excel进行回归分析输出如下所示：

回归统计

Multiple R 0.688844

R Square 0.474506

Adjusted R Square 0.369407

标准误差 3.846481

观测值13

方差分析

df SS MS F Significance F

回归分析 2 133.5981 66.79907 4.514849 0.040072

残差10 147.9542 14.79542

总计12 281.5523

Coefficients 标准误差P-value Lower

95%

Upper

95%

下限

95.0%

上限

95.0%

Intercept 75.14378 9.487736 1.29E-05 54.00379 96.28377 54.00379 96.28377 出钢量0.215485 0.074578 0.016124 0.049314 0.381655 0.049314 0.381655 FeO含量-0.84321 0.548418 0.155181 -2.06516 0.378745 -2.06516 0.378745 （1）由此可得到高磷钢的效率与高磷钢的出钢量及高磷钢中的FeO含量的回

归方程：x x y 2184321.0215485.014378.75-+=

其中回归系数215485.01

=β表示，在FeO 含量不变时，高磷钢的效率每增

加一个单位，高磷钢的出钢量将增加0.215485个单位。

84321

.02

-=β

表示，在高磷钢的出钢量不变时，高磷钢的效率每增加一个单位，FeO 含量要降低0.84321个单位。

（2）在回归统计一栏中有R 2

=0.474506，所以在高磷钢的效率的总变差中，被估计的回归方程所解释的比例是47.75%。

（3）在方差分析一栏中有Significance F （即P 值）=0.040072，在05.0=α的显著性水平下，有P<α,故拒绝原假设，说明高磷钢的效率与高磷钢的出钢量和高磷钢中的FeO 含量之间存在显著性的线性关系。

（4）由回归分析输出的结果中的P-value （即P 值）一栏可以看出，只有出钢量对应的回归系数通过了检验。

说明在影响高磷钢的效率的两个变量中，只有出钢量的影响是显著的，而高磷钢中的FeO 含量则对高磷钢的效率没有显著性影响。 （5）

各相关系数检验的统计量如下表所示：

查表得2010.2)213(2=-?t ，由于统计量小于2010.2)213(2=-?t ，所以接受

原假设，说明两个自变量之间没有显著的相关关系。故不存在多重共线性。

出钢量 FeO 含量

出钢量 1

FeO 含量 0.256003 1

出钢量 FeO 含量

出钢量 1

FeO 含量 0,878336 1

出钢量、FeO 含量之间的相关矩阵

各相关系数检验的统计量