【高考领航】2015人教数学(理)总复习 专题六概率统计综合问题的解答Word版含解析]

专题六概率统计综合问题的解答

[对应学生用书P171]

考向一随机事件、古典概型与统计的综合问题

(2013·高考陕西卷)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次．根据年龄将大众评委分为5组，各组的人数如下：

(1)

其中从B组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表.

(2)在(1)中，若

的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率.

【方法分析】题目条件：已知总人数和各组人数在第一问中是分层抽样，抽样比为6

100，第二问针对A，B组各选1人．

解题目标：(1)求各组分层抽样的人数．

(2)求A，B组中支持1号的概率．

关系探究：第一问中由B组得出抽样比，其它各组按这个抽样比抽取人数．

第二问把A，B两组被抽到的人员用字母表示，把事件用符号表示，由古典概型计算概率．

【解题过程】(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：

(2)记从A12312号歌手；从B组抽

到的6位评委分别为b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6，其中b 1，b 2支持1号歌手，从{a 1， a 2，a 3}和{b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6}中各抽取1人的所有结果如图：

由树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a 1b 1，a 1b 2，a 2b 1，a 2b 2，共4种，故所求概率P ＝

418＝29

. 【回归反思】 (1)分层抽样，首先确定抽样比，各层都按这个抽样比确定人数． (2)为了便于列举基本事件个数，把元素用字母符号表示，本题采用树图法列举事件．

考向二 几何概型的综合问题

(2013·高考山东卷)在区间[－3，3]上随机取一个数x ，使得|x ＋1|－|x －2|≥1成

立的概率为________．

【方法分析】 题目条件：线型几何概型，事件的总长度为6，事件A 的长度是满足|x ＋1|－|x －2|≥1的x 的区间长．

解题目标：满足|x ＋1|－|x －2|≥1的概率．

关系探究：把所求转化为在区间[－3，3]上解不等式|x ＋1|－|x －2|≥1.

【解题过程】 当x<－1时，不等式可化为－x －1＋x －2≥1，即－3≥1，此式不成立，∴x ∈?；

当－1≤x ≤2时，不等式可化为x ＋1－(2－x)≥1，即x ≥1，∴此时1≤x ≤2； 当x>2时，不等式可化为x ＋1－x ＋2≥1，即3≥1，此式恒成立，∴此时x>2. 综上：不等式|x ＋1|－|x －2|≥1的解集为[1，＋∞)．

∴不等式|x ＋1|－|x －2|≥1在区间[－3，3]上的解集为[1，3]，其长度为2.又x ∈[－3，3]，其长度为6，由几何概型知识可得P ＝26＝1

3

.

【答案】 1

3

【回归反思】 (1)本题是解绝对值不等式，分零点讨论法分三个区域(－∞，－1)，[－1，2]，(2，＋∞)，最后解集是每个区域解集的并集[1，3]．

(2)|x ＋1|－|x －2|≥1可采用绝对值的几何意义及数形结合法求解．

当x ＝1或|x ＋1|－|x －2|＝1，

从数轴上看出，x ＞1时，|x ＋1|－|x －2|＞1.

考向三 统计图表与概率的综合问题

在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻

辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩等级为B的考生有10人．

(1)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数；

(2)若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；

(3)已知参加本考场测试的考生中，恰有2人的两科成绩等级均为A.在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取2人进行访谈，求这2人的两科成绩等级均为A的概率．【方法分析】题目条件：已知A，B，C，D，E的频率分布条形图．

解题目标：(1)“阅读与表达”为A级的人数；

(2)求“数学与逻辑”的平均分；

(3)求2人两科成绩均为A的概率．

关系探究：(ⅰ)“数学与逻辑”的10人转化为求该场的总人数，转化求“阅读与表达”的A级的人数．

(ⅱ)先求总分再求平均分．

(ⅲ)确定等级为A的人数，由古典概型求概率．

【解题过程】(1)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，

所以该考场有10÷0.25＝40(人)．

所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为40×(1－0.375－0.375－0.15－0.025)

＝40×0.075＝3.

(2)该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为

1

40[1×(40×0.2)＋2×(40×0.1)＋3×(40×0.375)＋4×(40×0.25)＋5×(40×0.075)]＝

2.9.

(3)因为两科考试中，共有6个A，又恰有2人的两科成绩等级均为A，所以还有2人只有一个科目成绩等级为A.

设这4人为甲、乙、丙、丁，其中甲、乙是两科成绩等级都是A的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取2人进行访谈，基本事件空间为

Ω＝{(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)}，一共有6个基本

事件．

设“随机抽取2人进行访谈，这2人的两科成绩等级均为A ”为事件M ，所以事件M 中包含的基本事件有1个，为(甲，乙)，则P(M)＝1

6

.

【回归反思】 (1)频率分布条形图中各频率之和仍为1.

(2)频率分布条形图是等级的分布，不是人的分布，共有6个A ，不是指6人为A ，而实际是4人为A ，这是易错的地方．

(3)是古典概型，用列举法求基本事件．

[对应学生用书P 172]

1．(2013·高考安徽卷)为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如图：

(1)计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；

(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为x －1，x －2，估计x －1－x －2

的值．

解析：(1)设甲校高三年级学生总人数为n. 由题意知30

n

＝0.05，解得n ＝600.

样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5，据此估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率为1－530＝56

.

(2)设甲、乙两校样本平均数分别为x ′1，x ′2. 根据样本茎叶图可知30(x ′1－x ′2)＝30x ′1－30x ′2

＝(7－5)＋(55＋8－14)＋(24－12－65)＋(26－24－79)＋(22－20)＋92＝2＋49－53－77＋2＋92＝15.

因此x ′1－x′2＝0.5，故x －1－x －

2的估计值为0.5分．

2．(2013·高考陕西卷)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生．

(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率P i (i ＝1，2，3)； (2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为i(i ＝1，2，3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．

甲的频数统计表(部分)

当i(i ＝1，2，3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．

解析：(1)变量x 是在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生的一个数，共有24种可能．

当x 从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故P 1＝1

2

；

当x 从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故P 2＝1

3；

当x 从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故P 3＝1

6

.

所以，输出y 的值为1的概率为12，输出y 的值为2的概率为1

3，输出y 的值为3的概

率为1

6

.

(2)当n ＝2 100时，甲、乙所编程序各自输出y 的值为i(i ＝1， 2，3)的频率如下：