不定积分和定积分[1]

第五章 不定积分和定积分（1，2）

陈建英 王江顺主编 第一节 不定积分（1、2）

教学目的：理解原函数概念，掌握不定积分的概念、几何意义和特解 教学重点、难点：不定积分的概念和满足初始条件的特解。 教学形式：多媒体教室里的讲授法 教学时间：90分钟 一、引入新课 1．求下列函数F(x)=

133x ，F(x)= 1

3

3x +2的导数。 2．由导数的几何意义求：已知曲线上各点的切线斜率随x 的变化规律是k(x)= 2

x ，求曲线方程。

二、新授课

1．不定积分的概念

事实上，如果F(x)是/

F (x)= f(x) 的一个解，那么满足/

F (x)= f(x) 的所有解为F(x)+C(C 为任意实数)，我们把满足/

F (x)= f(x)的所有解表示为

()f x dx ?，即

()f x dx ? = F(x) + C.

我们称

()f x dx ?为f(x)的不定积分, F(x)称为f(x)的一个原函数.其中

“?”为积分符号,

f(x)为被积函数,x 为积分变量.

不定积分的定义： 在区间内，函数的带有任意常数项的原函数称为在区

间内的不定积分，记为

。

2．原函数的定义： 如果在区间内，可导函数

的导函数为，即，都

有或

，那么函数

就称为

或

在区间内原

函数。

例

，是的原函数。是在区间

内的原函数。

（1） 原函数存在定理 如果函数

在区间内连续，那么在区间内存在可导函数

，使

，都有

。

简言之：连续函数一定有原函数。 问题：(1)原函数是否唯一？ (2)若不唯一它们之间有什么联系？

例 ，(为任意常数)

（2）关于原函数的说明：

(1)若，则对于任意常数，都是的原函数。

(2)若和都是的原函数，则(为任意常数)

证

(

为任意常数)

于是,满足/F (x)= 2

x 的解为

2

x dx

=

13

3

x +C. 例1 求。

解

例2 求。

解

。

3．不定积分的几何意义：在几何上,不定积分是一族曲线,它是y=F(x)沿y 轴上下平

移得到的.例如, 2

x dx ?

所表示的曲线族如图5—1所示(其中C 分别取-1,0,1)

图 5—1

333111

1 , y= , y=1333

x x x =

-+) 由于在相同横坐标x 处,所有积分曲线的斜率均为f(x),因此 ,在每一条积分曲线上,以x 为横坐标的点处的切线彼此平行.

在实际问题中,经常需要求一个满足某特定条件的解.例如,在积分曲线族中,求过某一定点的曲线.实际上,这一问题就是要确定不定积分中的常数.

例3 设曲线过(1,2),在此曲线上任意点的切线斜率为2x,求此曲线方程. 解 先求斜率为2x 的曲线方程族

2y xdx =?

=2

x +C

因为所求曲线过点(1,2),代上式,得2=1+C,则C=1,于是,所求曲线方程为 y=2

x +1. 由不定积分的定义，可知 A

。

结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的。 三、本节小结：

原函数、不定积分、积分曲线族、不定积分的特解。 四、课堂练习：P92习题5--1 1．选择题：

(1) 下列等式中成立的是（ ）；

d

A. ()()

B.

()()d d

C. ()()

D. ()()d d f x dx f x f x dx f x dx x f x dx f x c d f x dx f x dx x

===+=??

??

(2) 在区间(,)a b 内，如果'()'()f x g x =，则下列各式中一定成立的是（ ）；

A. ()()

B. ()() 1

C. (())'(())'

D. '() '()f x g x f x g x f x dx g x dx f x dx g x dx

==+==????

五、课外作业：

已知平面曲线()y F x =上任一点(,)M x y 处的切线斜率为3

41k x =-，且曲线经

过点(1,3)P ，求该曲线的方程。

3．一质点作变速直线运动，速度()3cos v t t =，当0t =时，质点与原点的距离为

04s =，求质点离原点的距离s 和时间t 的函数关系。

4．已知2'()1f x x =+，且(0)1f =，求()f x 。

第五章不定积分和定积分（3，4）

第一节不定积分（3、4）

教学目的：掌握基本初等函数的不定积分公式，理解不定积分的性质。

教学重点、难点：重点是不定积分的积分公式。难点是理解不定积分的性质和应用。

教学形式：多媒体教室里的讲授法

教学时间：90分钟

教学年级：07级机械工程系

教学过程

一、引入新课

1．实例

。

启示能否根据求导公式得出积分公式？

2．结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式。

二、新授课

1．基本积分表

是常数);

说明：

简写为。

2．不定积分的性质

证

等式成立。

(此性质可推广到有限多个函数之和的情况)

。(是常数，例5求积分。

解

例6求积分。

解

例7求积分。

解

例8求积分。

解

说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表。

例9已知一曲线在点处的切线斜率为，且此曲线与轴的交点为，求此曲线的方程。

解

所求曲线方程为.

三、本节小结：

1．原函数的概念：；2。不定积分的概念：

3．基本积分表(1) ；4。求微分与求积分的互逆关系

5．不定积分的性质

四、作业

1．课堂练习：思考题

符号函数

在内是否存在原函数？为什么？

思考题解答

不存在。

假设有原函数

但在处不可微，故假设错误。所以在内不存在原函数。

结论每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数。

2．课外作业P92习题5--1

5．计算下列不定积分：

2

2

2

2

2

3

2

(1) (; (2) ;

1

135

(3) (1); (4) ;

2

(5) (+2+); (6) (3)

x x x

x

x dx dx

x

x

du dx

u x

x dx e e d

x

-

+

+

-

-

??

??

?

2

2

;

cos2

(7) ; (8) sin;

cos sin2

(9) 3; (10) .

x x

x

x x

dx dx

x x

e dx

-

?

??

?

第五章 不定积分和定积分（5，6）

第一节 不定积分（5、6）

教学目的：能熟练地用Integrate[ ]语句或工具栏按钮求函数的不定积分

教学重点、难点：初等函数的不定积分 教学形式：编程机房里的讲解与操作 教学时间：90分钟

教学年级：07级机械工程系 教学过程 一、引入新课

1．默写不定积分公式；

2．对于如下函数的不定积分的思考 （1）

sin2xdx ?，2

x xe

dx -?

，2sin xdx ?；

（2）cos x xdx ?

， xInxdx ?

，sin x

e xdx ?

；

二、新授课

1．利用Mathematica 计算不定积分

在Mathematica 强大的符号运算功能面前，各种不定积分的运算技巧就显得微不足道了。Mathematica 计算不定积分的方法为：

方法（一） Integrate[被积函数，积分变量]

方法（二）利用工具栏按钮

输入被积函数和积分变量，来求函数的不定积分。

命令Integrate 主要用于计算被积函数是初等函数的不定积分。Mathematica 只给出被

积函数的一个原函数，不加常数C 。

例1

计算不定积分：; 解 这个不定积分用手工计算是相当复杂的，Mathematica 却能轻易求得。 I n [1]: =Integrate[x (1+x^2) ^ (1/2) / (2+11x^2), x]

311

ArcTan ????

??

即:

其中ArcTan[x]

不同的答案,而且Mathematica 不自动化简对数式或某些三角函数式,只能由人再化简. 对于在函数中出现的除积分变量外的参数，在计算中统统当作常数处理，请看下面例子。

例 2 计算不定积分；

2

()ax bx c dx ++?

。

解 In[1]：=Integrate[ax^2+bx+c,x]

O u t [1] =c x+23

23

bx ax + 例 3 计算下列不定积分； （1

）

； （2）2

2(12)(1)x dx x x ++?； （3）sin()Inx dx ?； （4

）

； （5）sin 3x e xdx ?； （6）8sin xdx ?。 解 In[1];=Integrate[Arc Sin[x]/(1-x^2)^(1/2),x]

Integrate[x^2 / ((1+2x) (1+x^2)),x] Integrate [Sin [log[x]], x]

Integrate [((1+x)/ (1-x)) ^ (1/2), x] Integrate [Exp[x] Sin [3x], x]

Integrate [Sin[x] ^8, x]

2111

[2][12][1][]1055Out Log x Log x ArcTan x =

+++- 11

[3][[]][[]]22Out xCos Log x xSin Log x =-+

[4]Out =

1[5](3[3][3])10

x

Out e Cos x Sin x =

-+ 840672[2]168[4]32[6]3[8]

[6]3072

x Sin x Sin x Sin x Sin x Out -+-+=

例 4 计算不定积分:

()xf x dx ''?。

解 {}[1]:[ [[],,2]],]In Integrate x D f x x x =

或者采用输入按钮输入 [][1]: [],xx In Integrate

x f x x =?

[1][][]Out f x xf x '=-+ 还需要指出的是， 有些不定积分，如

2

x e dx ?、x e dx x ?、dx ln x ?

、 虽然这些不定积分都存在，却不能用初等函数表达所求的结果。通常称为“积不出”。

对这些函数Mathematic 也无能为力，只能输出原积分表达式，例如， 例 5 求sin(sin )x dx ?

。

解 [1]:[in[[]],]In Integrate S Sin x x = [1][[]Out Sin Sin x dx =?

三、本节小结：

用Mathematica 计算不定积分的语句：

方法（一） Integrate[被积函数，积分变量]

方法（二）利用工具栏按钮

输入被积函数和积分变量，来求函数的不定积分。

四、操作练习：

6．用Mathematica 计算下列不定积分

(1) sin 3; (2) ;xdx ?

21(3) ; (4) ; (1)

dx x -?

? 2

4

(5) ; (6) ;1x

x xe dx dx x

-+??

222(7) ; (8) 3;1x x

x e dx dx e

+??

2

arctan (9) (10) 1x

dx dx x +? 1

2221

(11) ; (12) ;3412

(13) ; (14) ;

1sin 34x

e dx dx x x x x dx dx x x x ++++++?

???

(15) ; (16) .dx

7．

2

2

2225/2

(1) ; (2)

;

(3) ; (4) ;

(5) ; (6) (1)dx x x dx x +???7

;(7) ; (8) .(3)

x

dx x -??

8．

222(1) cos3; (2) sin ;

(3) ; (4) (1)5;

(5) ln ; x x x xdx x xdx x e dx x dx xdx -?????2

(6) sin ;(7) sin(ln ); (8) .(1)

x x

e xdx xe x dx dx x +???

9．

232

2311

(1) ; (2) ;

(3)441025

(3) ; (4) ; 1(1)(2)

(5) ; (2)dx dx x x x x x x dx dx x x x x x dx x -++---++-?

????4

22

(6) .

(1)x dx x +? 10．

5424

6

221

(1) ; (2) cos ;

35cos sin (3) sin cos ; (4) ; cos sin 1tan (5) ; (6) . sin 5cos sin 2dx xdx x

x x xdx dx x

x x

dx dx x x x

+++?

?????

第五章不定积分和定积分（7，8）

第二节定积分（1、2）

教学目的：通过微元法理解定积分的直观概念

教学重点、难点：微元法的思想

教学形式：多媒体教室里的讲授法

教学时间：90分钟

教学过程

一、引入新课

1．问题的提出

实例1(求曲边梯形的面积)曲边梯形由连续曲线、轴与两条直线、所围成。

用矩形面积近似取代曲边梯形面积

显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积。

观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。

（附：Flash说明）

曲边梯形如图所示，在区间内插入若干个分店，

把区间分成个小区间长度为

在每个小区间上任取一点，以为底，为高的小矩形面积为

曲边梯形面积的近似值为

当分割无限加细，即小区间的最大长度趋近于零时，曲边梯形面积

2．在古代，已经有了微元法的思想。例如，人们把圆分割成许多小扇形，用高为圆半径的

等腰三角形面积来代替小扇形面积，这些小扇形面积的和等于1

2

?半径?圆外切多边形周

长。当分割越细时，小扇形面积的和趋向于圆面积

二、新授课

1．定积分的定义

定义设函数在上有界，在中任意插入若干个分点

把区间分成个小区间，各小区间的长度依次为，，在

各小区间上任取一点()，作乘积并作为，记，如果不论对怎样的分法，也不论在小区间上点怎样的取法，只要当时，和总趋于确定的极限我们称这个极限为函数

在区间上的定积记为

注意：

(1)积分值仅与被积函数及积分区间有关而与积分变量的字母无关。

(2)定义中区间的分法和的取法是任意的。

(3)当函数在区间上的定积分存在时，称在区间上可积。

2．存在定理

定理1当函数在区间上连续时，称在区间上可积。

定理2设函数在区间上有界，且只有有限个间断点，则在区间上可积

例1利用定义计算定积分。

解将等分，分点为，()小区间的长度，()取，()

例2利用定义计算定积分。

解在中插入分点，典型小区间为，() 小区间的长度，取()

取即

三、本节小结：

定积分的实际例子和微元法 四、课堂练习：

1．利用定义求定积分1

30

(x dx ?

提示：把区间n 等分，取i ξ为小区间右端点，并注意

到3

3

3

2

2112(1))4

n n n +++=

+ 2．设质点作变速直线运动，其速度()2 (v t t =单位：/)cm s ，试用定积分处理问题 的4个步骤求质点在第1 s 内经过的路程。

第五章不定积分和定积分（9，10）

第二节定积分（3、4）

教学目的：理解定积分的概念及其几何意义，理解定积分的性质。

教学重点、难点：定积分的概念，牛顿—莱布尼兹公式。

教学形式：编程机房里的讲解与操作

教学时间：90分钟

教学过程

一、引入新课

曲边梯形面积求法的四个步骤：“分割”“以直代曲取近似”“作和”“求极限”

二、新授课

1．定积分的几何意义

曲边梯形的面积

曲边梯形的面积的负值

1．几何意义：

它是介于轴、函数的图形及两条直线，之间的各部分面积的代数和。在轴上方的面积取正号；在轴下方的面积取负号。

2．对定积分的补充规定：

(1)当时，；

(2)当时，。

说明在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小。 3．定积分

性质1：

证

(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)

性质2：(为常数)

证