西北工业大学弹性力学课件第二章
第二章应力状态
研究对象——三维弹性体
微分单元体入手
超静定问题
静力平衡、几何变形和本构关系等三方面的条件
本章从静力学观点出发，讨论一点的应力状态，建立平衡微分方程和边界条件。
目录
§2.1体力和面力
§2.2应力与应力张量
§2.3二维应力状态与平衡微分方程§2.4应力状态的描述
§2.5边界条件
§2.6主应力与应力主方向
§2.7应力球张量和球应力偏张量
§2.1体力和面力
?物体外力
?——分为两类
?体力
?面力
?体力和面力分别为物体单位体积或者单位面积的载荷。
§2.2应力与应力张量
内力——外界因素作用下，物体内部各个部分之间的相互作用力。
附加内力
应力
应力矢量
p n 随截面的法线方向n的方向改变而变化
S
S
?
?
?
F
p lim
n
→
=
?应力状态——一点所有截面应力矢量的集合。?显然，弹性体内某确定点各个截面的应力?——应力状态必然存在一定的关系。
?应力状态分析——讨论一点截面方位改变引起的应力变化趋势。
?应力状态对于结构强度是十分重要的。
?准确描述应力状态，合理的应力参数。
?为了探讨各个截面应力的变化趋势，确定可以描述应力状态的参数，通常将应力矢量分解。
应力矢量沿坐标分解
——没有工程意义
正应力和切应力
正应力s n与切应力t n
与结构强度关系密切
根据截面方位不能完全确定切应力应力分量——应力张量
应力张量可以描述一点应力状态
??
??
? ??=????? ??=333231232221131211s s s s s s s s s s t t t s t t t s s z zy zx yz y yx xz xy x ij 应力张量
?应该注意——?应力分量是标量?箭头仅是说明方向
§2.3平衡微分方程平衡
物体整体平衡，内部任
何部分也是平衡的。
对于弹性体，必须讨论
一点的平衡。
微分平行六面体单元
平衡微分方程
切应力互等定理
ji
ij s s =0
,=+bj i ij F s 0=+??+??+??bx zx yx x F z
y x t t s 00
=+??+??+??=+??+
??+
??bz z
yz z by zy y xy F z
y x F z
y
x
s t t t s t §2.5 平衡方程2
§2.4应力状态
如果应力张量能够描述一点的应力状态，则
1.应力张量可以描述其它应力参数；
2.坐标变换与应力张量关系；
3.最大应力及其方位的确定。
?公式表明：已知应力张量，可以确定任意方位微分面的应力矢量。
?当然可以确定正应力s n 与切应力t n 。
j
ij i n p s =应力矢量与应力分量的关系
●应力不仅随位置改变而变化，而且随截面方位改变而变化。
●同一点由于截面的法线方向不同，截面上的应力也不同。
●讨论应力分量在坐标变换时的变化规律。
?任意斜截面的应力
?转轴公式
?——应力分量满足张量变化规则
?应力张量为二阶对称张量
?转轴公式表明：新坐标系下的六个应力分量可通过原坐标系的应力分量确定。
?应力张量可以确定一点的应力状态。
?坐标轴转轴后，应力分量发生改变。但是作为整体所描述的应力状态没有变化。
`
```jj ii ij j i n n s s =
平面应力状态转轴公式
——弹性力学以坐标系定义应力分量；
材料力学以变形效应定义应力分量。正应力二者定义没有差异而切应力定义方向不同
)
sin (cos sin cos )()sin (cos 2cos sin )sin cos 2sin cos 2
2
1``2
2
`2
2
`θθt θθs s t θθt θs θs s θθt θs θs s -+-=++=-+=xy y x y x xy y x y xy y x x
§2.5边界条件
弹性体的表面，应力分量必须与表面力满足面力边界条件，维持弹性体表面的平衡。边界面力已知——面力边界S s
i
ij sj n F s =面力边界条件——
确定的是弹性体表面外力与弹性体内部趋近于边界的应力分量的关系。
面力边界条件描述弹性体表面的平衡，平衡微分方程描述弹性体内部的平衡。这种平衡只是静力学可能的平衡。
真正处于平衡状态的弹性体，还必须满足变形连续条件。
位移边界条件
边界位移已知——位移边界S u
位移边界条件就是弹性体表面的变形协调
弹性体临近表面的位移与已知边界位移相等
w
w u v u u ===
混合边界条件弹性体边界
S＝S
s ＋S
u
部分边界位移已知——位移边界S
u
部分边界面力已知——面力边界S s
不论是面力边界条件，位移边界条件，还是混合边界条件，任意边界的边界条件数必须等于3个。
§2.6主应力与应力主方向
转轴公式描述了应力随坐标转动的变化规律结构强度分析需要简化和有效的参数
——最大正应力、最大切应力以及方位
主应力和主平面——应力状态分析重要参数应力不变量——进一步探讨应力状态
?主应力和主平面
?主应力分析
)(0)(0
)(=-++=+-+=++-n m l n m l n m l z yz xz yz y xy xz xy x s s t t t s s t t t s s 关于l ，m ，n 的齐次线性方程组，
非零解的条件为方程组的系数行列式等于零，即0=---s
s t t t s s t t t s s z zy zx yz y yx xz
xy x 展开
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13=-+-I I I s s s