施肥效果
施肥效果分析
摘要：
对土豆和生菜分别绘制出它们的产量与三种营养元素之间关系的散点图，拟合两变量之间的函数关系式。首先分别确定产量与施肥量之间的函数曲线类型，然后根据曲线类型对所求函数的对应关系进行假设，并利用已知数据计算出所需参数，最终确定变量之间的函数关系，得到最佳施肥量和最优产量。
关键词：施肥方案，散点图，曲线拟合，SPSS
一．问题重述
某地区作物生长所需的营养素主要是氮（N）、钾（K）、磷（P）.某作物研究所在该地区对土豆与生菜作了一定数量的实验,实验数据如下列表格所示（其中,公顷h a m
1042）.当一个营养素的施肥量变化时,总将另两个营养素的施肥量保持在第七个水平上,如对土豆产量关于M的施肥量做实验时,K和P的施肥量分别取为196 kg ha
/与327kg ha
/.试分析施肥量与产量之间的关系,并对所得结果从应用价值与如何改进等方面做出估价.。施肥量与产量之间的关系：土豆
N P K
施肥量（kg ha
/）
产量
(t h a
/)
施肥量
(kg ha
/
)
产量
(t h a
/)
施肥量
(kg ha
/
)
产量
(t h a
/)
0 15.18 0 33.46 0 18.98 34 21.36 24 32.47 47 27.35 67 25.72 49 36.06 93 34.86 101 32.29 73 37.96 140 38.52 135 34.03 98 41.04 186 38.44 202 39.45 147 40.09 279 37.73 259 43.15 196 41.26 372 38.43 336 43.46 245 42.17 465 43.87 404 40.83 294 40.36 558 42.77 471 30.75 342 42.73 651 46.22
生菜
N P K
施肥量(kg ha
/)
产量
(t h a
/)
施肥量
(kg ha
/)
产量
(t h a
/)
施肥量
(kg ha
/)
产量
(t h a
/)
0 6.37 0 11.2 0 15.75 49 9.48 28 12.7 47 16.76 98 12.46 56 14.56 93 16.89 147 14.33 84 16.27 140 16.24 196 17.10 112 17.75 186 17.56 294 21.94 168 22.59 279 19.20 391 22.64 224 21.63 372 17.97 498 21.34 280 19.34 456 15.84
587 22.07 336 16.12 558 20.11 685 24.53 392 14.11 651 19.40 二．模型假设和符号说明
2.1模型假设
（1）研究所的实验是在相同的实验条件（充分的水分供应、正确的耕作程序…）下进行的，产量的变化是由施肥量的变化引起的，产量与施肥量之间满足一定的规律；
（2）土壤本身已含有一定数量的氮、磷、钾肥，即具有一定的天然肥力；
（3）每次实验是独立进行的，互不影响。
2.2符号说明
，
N：分别表示氮、磷、钾的施肥量；
K
P,
y
：土豆的产量；
1
y
：生菜的产量；
2
三．问题分析和模型建立
利用散点图对所拟合问题的曲线类型做出判断。当需要拟合的两变量之间的函数关系式，首先要确定所求函数对应曲线的类型，然后根据曲线类型对所求函数的对应关系进行假设，并利用已知数据计算出所需参数，最终确定变量之间的函数关系。
我们可以分别绘制出土豆和生菜的产量与施肥量的散点图，从图像的角度判断函数关系，再根据题目所给数据确定最终的函数。
绘制土豆和生菜与三种营养素之间的散点图如下：
土豆产量与氮肥、磷肥、钾肥施用量之间关系的散点图
生菜产量与氮肥、磷肥、钾肥施用量之间关系的散点图
四．模型的求解
4.1土豆与三种营养元素的关系
考虑土豆产量与氮肥之间的数据变化, 可以看到, 当保持磷肥和钾肥施放水平不变时, 随着氮肥施用量的增加, 土豆产量也随之增加,但当施肥量达到一定程度( 336kg/ha) 后, 再增加施肥量时, 就会造成产量的下滑, 结合散点图, 可以判断土豆产量与氮肥施用量之间应该可以用二次函数关系来拟合。
其次考虑土豆产量与磷肥的关系, 当氮肥和钾肥都保持在确定的水平时, 可以看到, 随着磷肥施用量的增加, 土豆产量总体呈上升趋势, 但产量总的上升
量仅为9.27, 说明磷肥的变化对土豆产量的影响比较小, 观察数据可以发现, 虽然随着磷肥施用量的增加, 土豆产量偶有下降的情况, 但基本上还是平稳上升, 结合散点图, 可以将二者的关系拟合为分式关系。
最后, 钾肥与土豆产量之间的关系比较复杂, 总体来看, 依然是随着施肥量的增加, 土豆产量也随之增加, 但增幅很大, 而且尽管增加过程中有一次较大起伏( 7—8 水平) , 但最终趋势是趋向于平稳, 结合散点图, 可认为其函数为指数关系, 取不同钾肥水平下产量的对数, 描绘散点图如下图所示：
土豆产量对数与钾肥散点图
01234
50
100
200
300
400500
600
700
施肥量
产量对数
系列1
由该图可以看出, 产量的对数与钾肥的施用水平间几乎呈线性关系, 因此考虑拟合该曲线为指数函数是合理的。 ( 2) 确定各变量间函数关系
由上段的讨论, 可以确定土豆产量与各营养素施用水平之间的函数关系为:
112
11a y c n b n ++=
2
21a p y b p +=
k
c e
b 3331a y +=
i i i c b a ,,等为待拟合常数。
4.2 生菜与三种营养元素的关系
直接利用SPSS 进行曲线估计可得，生菜产量与氮肥、磷肥、钾肥用量之间拟合的函数关系（见下图） 用SPSS 软件拟合可得到结果
4.3模型求解 4.3.1土豆产量的求解
编制Matlab 程序，对上述拟合问题进行求解， 可以解得：
0003.01-=a 1971.01=b 7416.141=c 0222
.02=a 6675.02=b
6644.423=a 3945.233-=b 009.03-=c
从而所拟合的函数为：
氮肥：416.714971.10003.00-(y 21++=n n N ） 磷肥：675
.602220.0p
P y 1
+=p ）（
钾肥：k
e 09.001
945.323644.624K y --=）（ 4.3.2生菜产量的求解
利用SPSS 曲线估计对上述拟合问题进行求解,由数据分析可得拟合函数为三次函数时2R 均比较大，因此三个图的拟合曲线均可利用三次函数表示： 令i i i i d n c n b n a +++=23y
8
4859.1a --=e
0b 4= 099.0c 4= 357.10d 4=
7
5064.1a -=e 0b 5= 88.0c 5= 661.5d 5= 8
6423.5a -=e
5691.25b --=e 18.00c 6= 11.715d 6=
氮肥: 375.10099.0859.1)(y 382++-=-n n e N 磷肥：661.588.0064.1)(y 372++=-n n e P
钾肥：711.15018.0291.5423.5)(y 27382++-=--n n e n e K
分析结果表明土豆的产量对N 具有强线性依赖性, 而生菜是对P ；最佳施肥方案中N 、P 、K 的用量土豆为292, 246,542（ 公斤/公顷）, 生菜为213,667 , 427（公斤/公顷）。对应产量为43.18和23.13吨/公顷, 且均在试验范围内达到, 可信性强；对土豆, 强影响因子依次为N 、K 、P, 对生菜为P 、N 、K ；
五、模型评价
5.1模型优缺点 5.1.1模型优点
本模型利用Matlab 编程,SPSS 曲线估计较成功地解决了施肥最佳方案问题, 方法简练, 道理清晰, 结果可信。SPSS 曲线估计用2
R 统计量比较得知虽适合曲线，最终得到拟合曲线函数表达式。
5.1.2模型缺点
在实际工作中, 三种肥料之间除了与产量有直接的数量关系外,还有彼此之间的交互作用。因此, 本模型只是一个初步的探讨, 要得到三种营养素与产量之间的准确关系, 应该在实验之初就采取正交实验或均匀设计的方法, 得到更有价值的实验数据, 从而更好的把握变量间的数量关系, 以达到直到农业生产实践的目的。
参考文献
[ 1] 李尚志,陈发来,吴耀华,张韵华.数学实验. 北京: 高等教育出版社.1999. [ 2] 薛定宇,陈阳泉.高等应用数学问题MATLAB 求解 . 北京: 清华大学出版社.
2000.
[ 3] 姜启源, 谢金星, 叶俊.数学模型( 第三版) . 北京: 高等教育出版社.2004.