全国中考数学试卷解析分类汇编 动态问题

动态问题

一.选择题

1.（2015湖南邵阳第9题3分）如图，在等腰△ABC中，直线l垂直底边BC，现将直线l 沿线段BC从B点匀速平移至C点，直线l与△ABC的边相交于E、F两点．设线段EF的长度为y，平移时间为t，则下图中能较好反映y与t的函数关系的图象是（）

A．B． C． D．

考点：动点问题的函数图象．.

专题：数形结合．

分析：作AD⊥BC于D，如图，设点F运动的速度为1，BD=m，根据等腰三角形的性质得∠B=∠C，BD=CD=m，当点F从点B运动到D时，如图1，利用正切定义即可得到y=tanB?t （0≤t≤m）；当点F从点D运动到C时，如图2，利用正切定义可得y=tanC?CF=﹣tanB?t+2mtanB （m≤t≤2m），即y与t的函数关系为两个一次函数关系式，于是可对四个选项进行判断．解答：解：作AD⊥BC于D，如图，设点F运动的速度为1，BD=m，

∵△ABC为等腰三角形，

∴∠B=∠C，BD=CD，

当点F从点B运动到D时，如图1，

在Rt△BEF中，∵tanB=，

∴y=tanB?t（0≤t≤m）；

当点F从点D运动到C时，如图2，

在Rt△CEF中，∵tanC=，

∴y=tanC?CF

=tanC?（2m﹣t）

=﹣tanB?t+2mtanB（m≤t≤2m）．

故选B．

点评：本题考查了动点问题的函数图象：利用三角函数关系得到两变量的函数关系，再利用函数关系式画出对应的函数图象．注意自变量的取值范围．

2.（2015湖北荆州第9题3分）如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ 的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（）

A B C．D．

考点：动点问题的函数图象．

分析：首先根据正方形的边长与动点P、Q的速度可知动点Q始终在AB边上，而动点P可以在BC边、CD边、AD边上，再分三种情况进行讨论：①0≤x≤1；②1＜x≤2；③2＜x≤3；分别求出y关于x的函数解析式，然后根据函数的图象与性质即可求解．

解答：解：由题意可得BQ=x．

①0≤x≤1时，P点在BC边上，BP=3x，

则△BPQ的面积=BP?BQ，

解y=?3x?x=x2；故A选项错误；

②1＜x≤2时，P点在CD边上，

则△BPQ的面积=BQ?BC，

解y=?x?3=x；故B选项错误；

③2＜x≤3时，P点在AD边上，AP=9﹣3x，

则△BPQ的面积=AP?BQ，

解y=?（9﹣3x）?x=x﹣x2；故D选项错误．

故选C．

点评：本题考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，三角形的面积，利用数形结合、分类讨论是解题的关键．

3．（2015?甘肃武威,第10题3分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P与点B、C都不重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，则下列图象中，能表示y与x 的函数关系的图象大致是（）

A．B．

C．D．

考点：动点问题的函数图象．

分析：证明△BPE∽△CDP，根据相似三角形的对应边的比相等求得y与x的函数关系式，根据函数的性质即可作出判断．

解答：解：∵∠CPD=∠FPD，∠BPE=∠FPE，

又∵∠CPD+∠FPD+∠BPE+∠FPE=180°，

∴∠CPD+∠BPE=90°，

又∵直角△BPE中，∠BPE+∠BEP=90°，

∴∠BEP=∠CPD，

又∵∠B=∠C，

∴△BPE∽△CDP，

∴，即，则y=﹣x2+，y是x的二次函数，且开口向下．故选C．

点评：本题考查了动点问题的函数图象，求函数的解析式，就是把自变量当作已知数值，然后求函数变量y的值，即求线段长的问题，正确证明△BPE∽△CDP是关键．4．（2015?四川资阳,第8题3分）如图4，AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O的路线匀速运动，设∠APB=y（单位：度），那么y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是

考点：动点问题的函数图象．.

分析：根据图示，分三种情况：（1）当点P沿O→C运动时；（2）当点P沿C→D运动时；（3）当点P沿D→O运动时；分别判断出y的取值情况，进而判断出y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是哪个即可．

解答：解：（1）当点P沿O→C运动时，

当点P在点O的位置时，y=90°，

当点P在点C的位置时，

∵OA=OC，

∴y=45°，

∴y由90°逐渐减小到45°；

（2）当点P沿C→D运动时，

根据圆周角定理，可得

y≡90°÷2=45°；

（3）当点P沿D→O运动时，

当点P在点D的位置时，y=45°，

当点P在点0的位置时，y=90°，

∴y由45°逐渐增加到90°．

故选：B．

点评：（1）此题主要考查了动点问题的函数图象，解答此类问题的关键是通过看图获取信息，并能解决生活中的实际问题，用图象解决问题时，要理清图象的含义即学会识图．

（2）此题还考查了圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等．

5. （2015?四川省内江市，第11题，3分）如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为（）

A．B．2C． 2D．

考点：轴对称－最短路线问题；正方形的性质．.

分析：由于点B与D关于AC对称，所以BE与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE

最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的长，从而得出结果．

解答：解：由题意，可得BE与AC交于点P．

∵点B与D关于AC对称，

∴PD=PB，

∴PD+PE=PB+PE=BE最小．

∵正方形ABCD的面积为12，

∴AB=2．

又∵△ABE是等边三角形，

∴BE=AB=2．

故所求最小值为2．

故选B．

点评：此题考查了轴对称﹣﹣最短路线问题，正方形的性质，等边三角形的性质，找到点P的位置是解决问题的关键．

6. （2015?山东威海，第11题3分）如图，已知△ABC为等边三角形，AB=2，点D为边AB上一点，过点D作DE∥AC，交BC于E点；过E点作EF⊥DE，交AB的延长线于F 点．设AD=x，△DEF的面积为y，则能大致反映y与x函数关系的图象是（）

A．B． C． D．

考点：动点问题的函数图象．.

分析：根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，根据三角形内角和定理即可求得

∠F=30°，然后证得△EDC是等边三角形，从而求得ED=DC=2﹣x，再根据直角三角形的性质求得EF，最后根据三角形的面积公式求得y与x函数关系式，根据函数关系式即可判定．解答：解：∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=60°，

∵DE∥AB，

∴∠EDC=∠B=60°，

∵EF⊥DE，

∴∠DEF=90°，

∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；

∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，

∴△EDC是等边三角形．

∴ED=DC=2﹣x，

∵∠DEF=90°，∠F=30°，

∴EF=ED=（2﹣x）．

∴y=ED?EF=（2﹣x）?（2﹣x），

即y=（x﹣2）2，（x＜2），

故选A．

点评：本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，特殊角的三角函数、三角形的面积等．

7. （2015山东省德州市，11，3分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD 和△ACD的高，得到下面四个结论：

①OA=OD;

②AD⊥EF;

③当∠A=90°时，四边形AEDF是正方形；

④AE2+DF2=AF2+DE2.其中正确的是（）

A. ②③

B. ②④

C. ①③④

D.②③④

第11题图

【答案】D

考点：角平分线的性质；正方形的判定方法；全等三角形的判定、勾股定理

考点：几何动态问题函数图象

二.填空题

1. （2015?四川广安，第16题3分）如图，半径为r的⊙O分别绕面积相等的等边三角形、正方形和圆用相同速度匀速滚动一周，用时分别为t1、t2、t3，则t1、t2、t3的大小关系为t2＞t3＞t1．

考点：轨迹．.

分析：根据面积，可得相应的周长，根据有理数的大小比较，可得答案．

解答：解：设面积相等的等边三角形、正方形和圆的面积为3.14，

等边三角型的边长为a≈2，

等边三角形的周长为6；

正方形的边长为b≈1.7，

正方形的周长为1.7×4=6.8；

圆的周长为3.14×2×1=6.28，

∵6.8＞6.28＞6，

∴t2＞t3＞t1．

故答案为：t2＞t3＞t1．

点评：本题考查了轨迹，利用相等的面积求出相应的周长是解题关键．

三.解答题

1. （2015?四川甘孜、阿坝，第28题12分）如图，已知抛物线y=ax2﹣5ax+2（a≠0）与y 轴交于点C，与x轴交于点A（1，0）和点B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求直线BC的解析式；

（3）若点N是抛物线上的动点，过点N作NH⊥x轴，垂足为H，以B，N，H为顶点的三角形是否能够与△OBC相似？若能，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不能，请说明理由．

考点：二次函数综合题．.

分析：（1）把点A坐标代入抛物线y=ax2﹣5ax+2（a≠0）求得抛物线的解析式即可；

（2）求出抛物线的对称轴，再求得点B、C坐标，设直线BC的解析式为y=kx+b，再把B、C两点坐标代入线BC的解析式为y=kx+b，求得k和b即可；

（3）设N（x，ax2﹣5ax+2），分两种情况讨论：①△OBC∽△HNB，②△OBC∽△HBN，根据相似，得出比例式，再分别求得点N坐标即可．

解答：解：（1）∵点A（1，0）在抛物线y=ax2﹣5ax+2（a≠0）上，

∴a﹣5a+2=0，

∴a=，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣x+2；

（2）抛物线的对称轴为直线x=，

∴点B（4，0），C（0，2），

设直线BC的解析式为y=kx+b，

∴把B、C两点坐标代入线BC的解析式为y=kx+b，得

，

解得k=﹣，b=2，

∴直线BC的解析式y=﹣x+2；

（3）设N（x，x2﹣x+2），分两种情况讨论：

①当△OBC∽△HNB时，如图1，

=，

即=，

解得x1=5，x2=4（不合题意，舍去），

∴点N坐标（5，2）；

②当△OBC∽△HBN时，如图2，

=，

即=﹣，

解得x1=2，x2=4（不合题意舍去），

∴点N坐标（2，﹣1）；

综上所述点N坐标（5，2）或（2，﹣1）．

点评：本题考查了二次函数的综合题，以及二次函数解析式和一次函数的解析式的确定以及三角形的相似，解答本题需要较强的综合作答能力，特别是作答（3）问时需要进行分类，这是同学们容易忽略的地方，此题难度较大．

2. （2015?山东威海，第25题12分）已知：抛物线l1：y=﹣x2+bx+3交x轴于点A，B，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，其对称轴为x=1，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（5，0），交y轴于点D（0，﹣）．

（1）求抛物线l2的函数表达式；

（2）P为直线x=1上一动点，连接P A，PC，当P A=PC时，求点P的坐标；

（3）M为抛物线l2上一动点，过点M作直线MN∥y轴，交抛物线l1于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．

考点：二次函数综合题．.

分析：（1）由对称轴可求得b，可求得l1的解析式，令y=0可求得A点坐标，再利用待定系数法可求得l2的表达式；

（2）设P点坐标为（1，y），由勾股定理可表示出PC2和P A2，由条件可得到关于y的方程可求得y，可求得P点坐标；

（3）可分别设出M、N的坐标，可表示出MN，再根据函数的性质可求得MN的最大值．解答：解：（1）∵抛物线l1：y=﹣x2+bx+3的对称轴为x=1，

∴﹣=1，解得b=2，

∴抛物线l1的解析式为y=﹣x2+2x+3，

令y=0，可得﹣x2+2x+3=0，解得x=﹣1或x=3，

∴A点坐标为（﹣1，0），

∵抛物线l2经过点A、E两点，

∴可设抛物线l2解析式为y=a（x+1）（x﹣5），

又∵抛物线l2交y轴于点D（0，﹣），

∴﹣=﹣5a，解得a=，

∴y=（x+1）（x﹣5）=x2﹣2x﹣，

∴抛物线l2的函数表达式为y=x2﹣2x﹣；

（2）设P点坐标为（1，y），由（1）可得C点坐标为（0，3），

∴PC2=12+（y﹣3）2=y2﹣6y+10，P A2=[1﹣（﹣1）]2+y2=y2+4，

∵PC=P A，

∴y2﹣6y+10=y2+4，解得y=1，

∴P点坐标为（1，1）；

（3）由题意可设M（x，x2﹣2x﹣），

∵MN∥y轴，

∴N（x，﹣x2+2x+3），x2﹣2x﹣

令﹣x2+2x+3=x2﹣2x﹣，可解得x=﹣1或x=，

①当﹣1＜x≤时，MN=（﹣x2+2x+3）﹣（x2﹣2x﹣）=﹣x2+4x+=﹣（x﹣）2+，显然﹣1＜≤，∴当x=时，MN有最大值；

②当＜x≤5时，MN=（x2﹣2x﹣）﹣（﹣x2+2x+3）=x2﹣4x﹣=（x﹣）2﹣，显然当x＞时，MN随x的增大而增大，

∴当x=5时，MN有最大值，×（5﹣）2﹣=12；

综上可知在点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值为12．

点评：本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、勾股定理等知识点．在（1）中求得A点的坐标是解题的关键，在（2）中用P点的坐标分别表示出P A、PC是解题的关键，在（3）中用M、N的坐标分别表示出MN的长是解题的关键，注意分类讨论．本题考查知识点较为基础，难度适中．

3.（2015?山东日照，第22题14分）如图，抛物线y=x2+mx+n与直线y=﹣x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．

（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：

（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接P A，过点P作PQ⊥P A交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？

考点：二次函数综合题；线段的性质：两点之间线段最短；矩形的判定与性质；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．.

专题：压轴题．

分析：（Ⅰ）只需把A、C两点的坐标代入y=x2+mx+n，就可得到抛物线的解析式，然后求出直线AB与抛物线的交点B的坐标，过点B作BH⊥x轴于H，如图1．易得∠BCH=∠ACO=45°，BC=，AC=3，从而得到∠ACB=90°，然后根据三角函数的定义就可求出tan∠BAC的值；

（Ⅱ）（1）过点P作PG⊥y轴于G，则∠PGA=90°．设点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得x＞0，则PG=x，易得∠APQ=∠ACB=90°．若点G在点A的下方，①当∠P AQ=∠CAB 时，△P AQ∽△CA B．此时可证得△PGA∽△BCA，根据相似三角形的性质可得

AG=3PG=3x．则有P（x，3﹣3x），然后把P（x，3﹣3x）代入抛物线的解析式，就可求出点P的坐标②当∠P AQ=∠CBA时，△P AQ∽△CBA，同理，可求出点P的坐标；若点G在点A的上方，同理，可求出点P的坐标；（2）过点E作EN⊥y轴于N，如图3．易得AE=EN，则点M在整个运动中所用的时间可表示为+=DE+EN．作点D关于AC的对称点D′，连接D′E，则有D′E=DE，D′C=DC，∠D′CA=∠DCA=45°，从而可得∠D′CD=90°，

DE+EN=D′E+EN．根据两点之间线段最短可得：当D′、E、N三点共线时，DE+EN=D′E+EN 最小．此时可证到四边形OCD′N是矩形，从而有ND′=OC=3，ON=D′C=D C．然后求出点D 的坐标，从而得到OD、ON、NE的值，即可得到点E的坐标．

解答：解：（Ⅰ）把A（0，3），C（3，0）代入y=x2+mx+n，得

，

解得：．

∴抛物线的解析式为y=x2﹣x+3．

联立，

解得：或，

∴点B的坐标为（4，1）．

过点B作BH⊥x轴于H，如图1．

∵C（3，0），B（4，1），

∴BH=1，OC=3，OH=4，CH=4﹣3=1，

∴BH=CH=1．

∵∠BHC=90°，

∴∠BCH=45°，BC=．

同理：∠ACO=45°，AC=3，

∴∠ACB=180°﹣45°﹣45°=90°，

∴tan∠BAC===；

（Ⅱ）（1）存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似．过点P作PG⊥y轴于G，则∠PGA=90°．

设点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得x＞0，则PG=x．

∵PQ⊥P A，∠ACB=90°，

∴∠APQ=∠ACB=90°．

若点G在点A的下方，

①如图2①，当∠P AQ=∠CAB时，则△P AQ∽△CA B．

∵∠PGA=∠ACB=90°，∠P AQ=∠CAB，

∴△PGA∽△BCA，

∴==．

∴AG=3PG=3x．

则P（x，3﹣3x）．

把P（x，3﹣3x）代入y=x2﹣x+3，得

x2﹣x+3=3﹣3x，

整理得：x2+x=0

解得：x1=0（舍去），x2=﹣1（舍去）．

②如图2②，当∠P AQ=∠CBA时，则△P AQ∽△CB A．

同理可得：AG=PG=x，则P（x，3﹣x），

把P（x，3﹣x）代入y=x2﹣x+3，得

x2﹣x+3=3﹣x，

整理得：x2﹣x=0

解得：x1=0（舍去），x2=，

∴P（，）；

若点G在点A的上方，

①当∠P AQ=∠CAB时，则△P AQ∽△CAB，

同理可得：点P的坐标为（11，36）．

②当∠P AQ=∠CBA时，则△P AQ∽△CB A．

同理可得：点P的坐标为P（，）．

综上所述：满足条件的点P的坐标为（11，36）、（，）、（，）；（2）过点E作EN⊥y轴于N，如图3．

在Rt△ANE中，EN=AE?sin45°=AE，即AE=EN，

∴点M在整个运动中所用的时间为+=DE+EN．

作点D关于AC的对称点D′，连接D′E，

则有D′E=DE，D′C=DC，∠D′CA=∠DCA=45°，

∴∠D′CD=90°，DE+EN=D′E+EN．

根据两点之间线段最短可得：

当D′、E、N三点共线时，DE+EN=D′E+EN最小．

此时，∵∠D′CD=∠D′NO=∠NOC=90°，

∴四边形OCD′N是矩形，

∴ND′=OC=3，ON=D′C=D C．对于y=x2﹣x+3，

当y=0时，有x2﹣x+3=0，解得：x1=2，x2=3．

∴D（2，0），OD=2，

∴ON=DC=OC﹣OD=3﹣2=1，∴NE=AN=AO﹣ON=3﹣1=2，∴点E的坐标为（2，1）．

点评：本题主要考查了运用待定系数法求抛物线的解析式、求直线与抛物线的交点坐标、抛物线上点的坐标特征、三角函数的定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、两点之间线段最短、轴对称的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性强，难度大，准确分类是解决第（Ⅱ）（1）小题的关键，把点M运动的总时间+转化为DE+EN是解决第（Ⅱ）（2）小题的关键．

4.（2015?山东聊城,第25题12分）如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，OA=4，AB=3．动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动．当两个动点运动了x秒（0＜x＜4）时，解答下列问题：

（1）求点N的坐标（用含x的代数式表示）；

（2）设△OMN的面积是S，求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？

（3）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

考点：相似形综合题．.

分析：（1）由勾股定理求出OB，作NP⊥OA于P，则NP∥AB，得出△OPN∽△OAB，

得出比例式，求出OP、PN，即可得出点N的坐标；

（2）由三角形的面积公式得出S是x的二次函数，即可得出S的最大值；

（3）分两种情况：①若∠OMN=90°，则MN∥AB，由平行线得出△OMN∽△OAB，得出比例式，即可求出x的值；

②若∠ONM=90°，则∠ONM=∠OAB，证出△OMN∽△OBA，得出比例式，求出x的值即可．解答：解：（1）根据题意得：MA=x，ON=1.25x，

在Rt△OAB中，由勾股定理得：OB===5，

作NP⊥OA于P，如图1所示：

则NP∥AB，

∴△OPN∽△OAB，

∴，

即，

解得：OP=x，PN=，

∴点N的坐标是（x，）；

（2）在△OMN中，OM=4﹣x，OM边上的高PN=，

∴S=OM?PN=（4﹣x）?=﹣x2+x，

∴S与x之间的函数表达式为S=﹣x2+x（0＜x＜4），

配方得：S=﹣（x﹣2）2+，

∵﹣＜0，

∴S有最大值，

当x=2时，S有最大值，最大值是；

（3）存在某一时刻，使△OMN是直角三角形，理由如下：

分两种情况：①若∠OMN=90°，如图2所示：

则MN∥AB，

此时OM=4﹣x，ON=1.25x，

∵MN∥AB，

∴△OMN∽△OAB，

∴，

即，

解得：x=2；

②若∠ONM=90°，如图3所示：

则∠ONM=∠OAB，

此时OM=4﹣x，ON=1.25x，

∵∠ONM=∠OAB，∠MON=∠BOA，∴△OMN∽△OBA，

∴，

即，

解得：x=；

综上所述：x的值是2秒或秒．