2015年普通高等学校招生全国统一考试全国卷2文科数学

一、选择题：本大题共12道小题,每小题5分,共60分. 1．已知集合{}|12A x x =-<<,{}|03B x x =<<,则A B =（ ）

A ．()1,3-

B ．()1,0-

C ．()0,2

D ．()2,3 【答案】A

考点：集合运算. 2. 若为a 实数,且

2i

3i 1i

a +=++,则a =( ) A ．4- B ．3- C ．3 D ．4 【答案】D 【解析】

试题分析：由题意可得()()2i 1i 3i 24i 4a a +=++=+?= ,故选D. 考点：复数运算.

3. 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图,以下结论中不正确的是（ ）

A ．逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著

B ．2007年我国治理二氧化碳排放显现成效

C ．2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势

D ．2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 【答案】 D

考点：柱形图

4. 已知()1,1=-a ,()1,2=-b ,则(2)+?=a b a （ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 【答案】C 【解析】

试题分析：由题意可得22=a ,3,?=-a b 所以()2

22431+?=+?=-=a b a a a b .故选C.

考点：向量数量积.

5. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11 【答案】A 【解析】

试题解析：13533331a a a a a ++==?=,()

15535552

a a S a +===.故选A. 考点：等差数列

6. 一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）

1A.8 1B.7 1C.6 1D.5

【答案】D 【解析】

试题分析：截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的1

6

,所以截去部分体积与剩余

部分体积的比值为1

5

,故选D.

考点：三视图

7. 已知三点(1,0),

A B C,则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）

5 A. 3

4 D.

3

【答案】B

考点：直线与圆的方程.

8. 右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的,a b分别为14,18,则输出的a为（）

A.0

B.2

C.4

D.14

【答案】B 【解析】

试题分析：由题意输出的a 是18,14的最大公约数2,故选B. 考点：1. 更相减损术；2.程序框图. 9．已知等比数列{}n a 满足11

4

a =

,()35441a a a =-,则2a =（ ）

A.2

B.1 1

C.2 1

D.8

【答案】C 【解析】

试题分析：由题意可得

()235444412

a a a a a ==-?=,所以

34

1

82

a q q a =

=?= ,故211

2a a q ==

,选C.

考点：等比数列.

10. 已知B A ,是球O 的球面上两点,?=∠90AOB ,C 为该球面上的动点.若三棱锥

ABC O -体积的最大值为36,则球O 的表面积为（ ）

A.π36

B. π64

C.π144

D. π256 【答案】C

考点：球与几何体的切接.

11. 如图,长方形的边AB =2,BC =1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记

BOP x ∠= ,将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则的图像大致为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B

考点：函数图像

12. 设函数2

1

()ln(1||)1f x x x

=+-+,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ）

A ．1,13?? ???

B ．()1,1,3??-∞+∞ ???

C ．11,33??-

??? D ．11,,33????

-∞-+∞ ? ?

????

【答案】A 【解析】

试题分析：由2

1

()ln(1||)1f x x x =+-

+可知()f x 是偶函数,且在[)0,+∞是增函数,所以 ()()()()1

21212113

f x f x f x f x x x x >-?>-?>-?<< .故选A.

考点：函数性质

二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分

13. 已知函数()3

2f x ax x =-的图像过点（-1,4）,则a = ．

【答案】-2 【解析】

试题分析：由()3

2f x ax x =-可得()1242f a a -=-+=?=- .

考点：函数解析式

14. 若x ,y 满足约束条件50210210x y x y x y +-≤??

--≥??-+≤?

,则z =2x +y 的最大值为 ．

【答案】

8

考点：线性规划

15. 已知双曲线过

点(,且渐近线方程为1

2

y x =±,则该双曲线的标准方程为 ．

【答案】2

214

x y -=

考点：双曲线几何性质

16. 已知曲线ln y x x =+在点()1,1 处的切线与曲线()2

21y ax a x =+++ 相切,则

a = ．

【答案】8 【解析】

试题分析：由1

1y x

'=+

可得曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线斜率为2,故切线方程为21y x =-,与

()221y ax a x =+++ 联立得220ax ax ++=,显然0a ≠,所以由

2808a a a ?=-=?=.

考点：导数的几何意义. 三、解答题

17（本小题满分12分）△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,BD =2DC . （I ）求

sin sin B

C

∠∠ ；

（II ）若60BAC ∠=,求B ∠. 【答案】（I ）

1

2

；30.

考点：解三角形

试题解析：（I ）由正弦定理得

,,sin sin sin sin AD BD AD DC

B BAD

C CAD

==∠∠∠∠ 因为AD 平分

∠BAC ,BD =2DC ,所以sin 1

.sin 2

B D

C C B

D ∠==∠.

（II ）因为()180,60,C BAC B BAC ∠=-∠+∠∠=

所以()1

sin sin sin .2

C BAC B B B ∠=∠+∠=

∠+∠ 由（I ）知2sin sin B C ∠=∠,

所以tan 30.B B ∠=

∠= 考点：解三角形

18. （本小题满分12分）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A ,B 两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频率分布表.

A 地区用户满意度评分的频率分布直方图

（I ）在答题卡上作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度.（不要求计算出具体值,给出结论即可）

B 地区用户满意度评分的频率分布直方图

（II ）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：

估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.

【答案】（I ）见试题解析（II ）A 地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.

考点：1.频率分布直方图；2.概率估计.

19. （本小题满分12分）如图,长方体1111ABCD A B C D -中AB =16,BC =10,18AA =,点E ,F 分别在1111,A B D C 上,11 4.A E D F ==过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正

方形.

（I ）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）； （II ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值. 【答案】（I ）见试题解析（II ）

97 或7

9

考点：1.几何体中的截面问题；2.几何体的体积

20. （本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>> ,点(在C 上.

（I ）求C 的方程；

（II ）直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M ,证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.

【答案】（I ）22

22184

x y +=（II ）见试题解析

考点：直线与椭圆

21. （本小题满分12分）已知()()ln 1f x x a x =+-. （I ）讨论()f x 的单调性；

（II ）当()f x 有最大值,且最大值大于22a -时,求a 的取值范围. 【答案】（I ）0a ≤,()f x 在()0,+∞是单调递增；0a >,()f x 在10,

a ?

?

???

单调递增,在1,a ??

+∞ ???

单调递减；（II ）()0,1.

【解析】

考点：导数的应用.

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号

22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图O是等腰三角形AB C内一点,圆O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.

（I ）证明EF

BC ；

（II ）若AG 等于圆O 半径,且AE MN == ,求四边形EBCF 的面积.

【答案】（I ）见试题解析；（II

考点：1.几何证明；2.四边形面积的计算.

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,

:sin ,

x t C y t αα=??

=? （t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O

为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:.C C ρθρθ== （I ）求2C 与3C 交点的直角坐标；

（II ）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值.

【答案】（I ）()30,0,2?

???

；（II ）4.

【解析】

试题分析：（I ）把2C 与3C 的方程化为直角坐标方程分别为

2220

x y y +-=,

220

x y +-=,联立解

考点：参数方程、直角坐标及极坐标方程的互化. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式证明选讲 设,,,a b c d 均为正数,且a b c d +=+.证明：

（I ）若ab cd > ,>+

（II >是a b c d -<-的充要条件.

【答案】 【解析】

试题分析：（I ）由a b c d +=+及ab cd >,可证明

2

2

>,开方即得

>（II ）本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性与充分性来证

明. 试题解析：

解：（I ）因为2

2

a b c d =++=++

考点：不等式证明.