2017_2018学年高中数学专题1.1变化率与导数试题新人教A版选修2_2 Word版 含答案

2017_2018学年高中数学专题1.1变化率与导数试题新人教A版选修2_2 Word版 含答案
2017_2018学年高中数学专题1.1变化率与导数试题新人教A版选修2_2 Word版 含答案

1.1 变化率与导数

1.平均变化率

设函数()y f x =,我们把式子___________称为函数()y f x =从1x 到2x 的平均变化率.习惯上用x ?表示21x x -,即21x x x ?=-.函数()y f x =的变化量是21()()y f x f x ?=-,于是,平均变化率可以表示为

y

x

??.其几何意义是函数()y f x =图象上的两点1122(,()),(,())A x f x B x f x 所在直线的___________.

注意:x ?是一个整体符号,而不是?与x 相乘. 2.瞬时速度

物体在不同时刻的速度是不同的,我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.设物体的运动规律为

()s s t =,则该物体在时刻t 的瞬时速度v 就是物体在t 到t t +?这段时间内,当t ?无限趋近于0时,

___________无限趋近的常数. 3.导数的概念

一般地,函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()lim lim x x f x x f x y

x x

?→?→+?-?=??,我们称它为函

数()y f x =在0x x =处的导数,记作___________,即00000()()()lim lim x x f x x f x y

f x x x

?→?→+?-?'==??.

注意:x ?不可以是0. 4.导数的几何意义

函数()y f x =在0x x =处的导数,就是曲线()y f x =在0x x =处的切线的___________,即

0000

()()

()lim

x f x x f x k f x x

?→+?-'==?.

5.导函数

对于函数()y f x =,当0x x =时,0()f x '是一个确定的数.这样,当x 变化时,___________便是一个关于x 的函数,我们称它为()f x 的导函数(简称导数).()y f x =的导函数有时也记作___________,即0

()()

()lim

x f x x f x f x y x

?→+?-''==?.

注意:函数()y f x =在0x x =处的导数与导函数是不同的,前者是一个数值,后者是一个函数,它们之

间的关系是:函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '就是导函数()f x '在0x x =处的函数值. K 知识参考答案:

求平均变化率

求函数()y f x =从1x 到2x 的平均变化率的三个步骤: (1)求出或者设出自变量的改变量:21x x x ?=-;

(2)根据自变量的改变量求出函数值的改变量:21()()y f x f x ?=-;

(3)求出函数值的改变量与自变量的改变量的比值,即2121

()()

f x f x y x x x -?=?-. 求函数2y x =在123x =,,附近的平均变化率,取x ?都为1

,在哪一点附近的平均变化率最大?

求函数在某点处的导数

(1)求函数()f x 在某点处的导数、求瞬时变化率的步骤简称为一差、二比、三极限. (2)利用定义求函数()y f x =在0x x =处的导数的两个注意点:

①在求平均变化率

y x ??时,要注意对y x ??的变形与约分,变形不彻底可能导致0lim x y x

?→??不存在.

②当对

y x ??取极限时,一定要把y

x

??变形到当0x ?→时,分母是一个非零常数的形式.

(1)求函数2()3f x x ax b =++在1x =处的导数;

(2)有一作直线运动的物体,其位移s 与时间t 的关系是23s t t =-,求此物体在2t =时的瞬时速度.

求曲线的切线

(1)如果所给点00(),P x y 就是切点,一般叙述为“在点P 处的切线”,此时只要求函数()f x 在点0

x x =

处的导数0()f x ',即得切线的斜率0()k f x =',再根据点斜式写出切线方程.

(2)如果所给点P 不是切点,应先设出切点00(),M x y ,再求切线方程.要特别注意“过点P 的切线”

这一叙述,点P 不一定是切点,也不一定在曲线上. 已知曲线31433

C y x =

+:. (1)求曲线C 上横坐标为2的点处的切线方程;

(2)第(1)小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点?

忽略增量的一致性而致错

设函数()f x 在1x =A .(1)f '

B .1

(1)f '-

C .2(1)f '-

D .(1)f '-

求切线方程时混淆“某点处”和“过某点”而致错

求过点()1,0-,且与曲线2()1f x x x =++相切的直线方程.

1.已知函数()y f x =,那么下列说法错误的是 A .00()()y f x x f x ?=?-+叫做函数值的增量

B .

00()()f x f x x x y x

?-+?=??叫做函数在0x 到0x x +?之间的平均变化率 C .()f x 在0x 处的导数记为y ' D .()f x 在0x 处的导数记为0()f 'x

2.设00()f x '=,则曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线 A .不存在

B .与x 轴平行或重合

C .与x 轴垂直

D .与x 轴相交但不垂直

3.设函数()f x 在1x =处可导,则0

(1)(1)

lim 2x f x f x

?→+?-=-?

A .)1(f '

B .1

)2

1(f '-

C .2)1(f '-

D .)1(f '-

4.若曲线()y h x =在点()),(P a h a 处的切线方程为210x y ++=,则 A .)0(h a '= B .)0(h a '< C .)0(h a '>

D .()h a '不确定

5.在曲线21y x =+的图象上取一点(1,2)及附近一点1,2()x y +?+?,则y x

?=? A .1

+2x x

?+

?

B .1

2x x ?-

-? C .2x ?+

D .1

2x x

+?-?

6.若0()2f x '=,则000

()()

lim

2k f x k f x k

→--=

A .1-

B .2-

C .1

D .

12

7.已知()y f x =的图象如图所示,则()A f x '与()B f x '的大小关系是

A .()()A

B f x f x >''

B .()()A B f x f x =''

高中数学导数及微积分练习题

1.求 导:(1)函数 y= 2cos x x 的导数为 -------------------------------------------------------- (2)y =ln(x +2)-------------------------------------;(3)y =(1+sin x )2------------------------ ---------------------- (4)y =3x 2+x cos x ------------------------------------ ;(5)y =x 2cos(2x -π 3 )---------------------------------------- . (6)已知y =ln 3x e x ,则y ′|x =1=________. 2.设1ln )(2+=x x f ,则=)2('f ( ). (A).5 4 (B).5 2 (C).5 1 (D). 5 3 3.已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点 )0,(),0,0(1x ,)0,(2x ,且)(x f 在1x =-,2=x 时取得极值,则21x x ?的值为 ( ) (A).4 (B).5 (C).-6 (D).不确定 34.()34([0,1])1()1 () ()0 ()1 2 f x x x x A B C D =-∈-函数的最大值是( ) 5.设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ,则其表面积最小时,

底面边长为( ). (A).3V (B).32V (C).34V (D).32V 6.由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是( ). (A).18 (B). 3 38 (C). 3 16 (D).16 7.曲线3x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为6 1,则=a _________ 。 8.已知抛物线2y x bx c =++在点(12),处的切线与直线20x y ++=垂直,求函数2y x bx c =++的最值. 9.已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值.(1)讨论)1(f 和 )1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值;(2)过点)16,0(A 作曲线 )(x f y =的切线,求此切线方程.

高中数学导数之变化率问题

冷世平之教案设计【高二下】 选修2-2第一章导数及其应用第1课时 1 课题:§1.1.1变化率及导数的概念 三维目标: 1、 知识与技能 ⑴理解平均变化率的概念; ⑵了解瞬时速度、瞬时变化率的概念; ⑶理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵; ⑷会求函数在某点的导数或瞬时变化率; ⑸理解导数的几何意义。 2、过程与方法 ⑴通过大量的实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数; ⑵通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力; ⑶通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。 3、情态与价值观 ⑴通过学生的积极参与、学习变化率与导数的知识,培养学生思维的科学性、严密性,不断认识数形结合和等价转化的数学思想; ⑵通过运动的观点体会导数的内涵,使学生掌握导数的概念,从而激发学生学习数学的兴趣; ⑶通过对变化率与导数的学习,不断培养自主学习、合作交流、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神,提高参与意识和合作精神 教学重点:瞬时速度、瞬时变化率的概念及导数概念的形成,导数及几何意义的理解。 教学难点:在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率,导数及几何意义的理解。 教学过程: 一、引入课题: 为了描述现实世界中运动、过程等变化的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关: 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度。 二、讲解新课: 【探究1】气球膨胀率 同学们,相信大家都玩过气球吧,我们回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内气体的容量的增加,气球的半径增加的越来越慢, 从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是34 ()3 V r r π=,如果将半径r 表示为体积V 的函数, 那么()r V 。 【分析】⑴当V 从0增加到1时,气球半径增加了(1)(0)0.62()r r dm -≈,气球的平均膨胀率为(1)(0)0.62(/)10 r r dm L -≈-;⑵当V 从1增加到2时,气球半径增加了(2)(1)0.16()r r dm -≈,气球的平均膨胀率为(2)(1)0.16(/)21 r r dm L -≈-。可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了。 【思考】当空气容量从1V 增加到2V 时,气球的平均膨胀率是多少? 【答案】2121 ()()r V r V V V -- 【探究2】高台跳水

高中数学导数经典100题

题401:省峨山彝族自治县第一中学2018届高三2月份月考理科 已知函数()ln f x ax x =+,其中a 为常数,e 为自然对数的底数. (1)若()f x 在区间(0,]e 上的最大值为3-,求a 的值; (2)当1a =-时,判断方程ln 1|()|2x f x x = +是否有实根?若无实根请说明理由,若有实根请给出根的个数. 题402:2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷-(理六) 已知()ln()f x x m mx =+- (1)求()f x 的单调区间; (2)设1m >,12,x x 为函数()f x 的两个零点,求证:120x x +< 题403:省实验中学2018届高三上学期第六次月考数学(文) 已知函数2()ln (0)f x x a x a =-> (1)讨论函数()f x 在(,)a +∞上的单调性; (2)证明:322ln x x x x -≥且322ln 16200x x x x --+> 题404:西北师大附中2017届高三校第二次诊断考试试题数学(理科) 已知函数21()ln (1)..2 f x a x x a x a R =+-+∈ (1)求函数()f x 的单调区间; (2)若()0f x ≥对定义域的任意x 恒成立,数a 的取值围; (3)证明:对于任意正整数,,m n 不等式 111...ln(1)ln(2)ln()() n m m m n m m n +++>++++恒成立.

题405:一中2017-2018学年度高三年级第五次月考 数学(理)试 已知函数3()ln(1)ln(1)(3)()f x x x k x x k R =++---∈ (1)当3k =时,求曲线()y f x =在原点处的切线方程; (2)若()0f x >对(0,1)x ∈恒成立,求k 的取值围. 题406:第一中学2018届高三上学期期末考试数学(理) 已知函数()ln 1,a f x x a R x =+-∈ (1)若函数()f x 的最小值为0,求a 的值; (2)证明:(ln 1)sin 0x e x x +-> 题407:2017—2018学年度衡中七调理科数学 已知函数1()x f x e a -=+,函数()ln ,g x ax x a R =+∈ (1)求函数()y g x =的单调区间; (2)若不等式()()1f x g x ≥+在区间[1,)+∞恒成立,数a 的取值围 (3)若(1,)x ∈+∞,求证不等式12ln 1x e x x -->-+

高中数学导数经典习题

导数经典习题 选择题: 1.已知物体做自由落体运动的方程为21(),2 s s t gt ==若t ?无限趋近于0时, (1)(1)s t s t +?-?无限趋近于9.8/m s ,那么正确的说法是( ) A .9.8/m s 是在0~1s 这一段时间内的平均速度 B .9.8/m s 是在1~(1+t ?)s 这段时间内的速度 C .9.8/m s 是物体从1s 到(1+t ?)s 这段时间内的平均速度 D .9.8/m s 是物体在1t s =这一时刻的瞬时速度. 2.一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米,t 的单位是秒, 那么物体在3秒末的瞬时速度是( ) A .7米/秒 B .6米/秒 C .5米/秒 D .8米/秒 3. 若函数f(x)=x 2+b x +c 的图象的顶点在第四象限,则函数f /(x)的图象是( ) 4.函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)( x f y =在这点取极值的( ) A .充分条件 B .必要条件 C .充要条件 D .必要非充分条件 5.()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数,若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则 ()f x 与()g x 满足( ) A .()f x =()g x B .()f x -()g x 为常数函数 C .()f x =()0g x = D .()f x +()g x 为常数函数 6.. 若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于( ) A .sin α B .cos α C .sin cos αα+ D .2sin α 7. 已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的 取值范围是( ) A .),3[]3,(+∞--∞Y B .]3,3[- A x D C x B

高中数学导数练习题(有答案)

导数练习题(含答案) 【编著】黄勇权 一、求下函数的导数 (1)f (x )=2x 2+3x+2 (2)f (x )=3sinx+7x 2 (3)f (x )=lnx+2x (4)f (x )=2x +6x (5)f (x )=4cosx -7 (6)f (x )=7e x +9x (7)f (x )=x 3+4x 2+6 (8)f (x )=2sinx -4cosx (9)f (x )=log2x (10)f (x )= x 1 (11)f (x )=lnx+3e x (12)f (x )=2x x (13)f (x )=sinx 2 (14)f (x )=ln (2x 2+6x ) (15)f (x )=x 1x 3x 2++ (16)f (x )=xlnx+9x (17)f (x )= x sinx lnx + (18)f (x )=tanx (19)f (x )=x x e 1e 1-+ (20) f (x )=(x 2-x )3 【答案】 一、求下函数的导数 (1)f /=4x+3 (2)f /=3cos+14x (3)f /=x 1+2 (4)f /=2x ln2+6 (5)f /= -4sinx (6)f /=7e x (7)f /=3x 2+8x (8)f /=2cosx+4sinx

(9)因为f (x )=log2x =2ln lnx =lnx 2 ln 1? 所以:f /=(lnx 2ln 1?)/ =(2ln 1)?(lnx )/ =2ln 1?x 1 =ln2 x 1? (10)因为:f (x )=x 1 f /=2x x 1x 1) ()()('?-?'= x x 1210?- = x x 21- = 2x 2x - (11)f /= x e 3x 1+ (12)f (x )= 2x x =23x - f /=(2 3-)25x -= 3 x 2x 3- (13)f /=(sinx 2)/?(x 2)/=cosx 2?(2x )=2x ?cosx 2 (14)f /=[ln (2x 2+6x )]/?(2x 2+6x)/ = x 6x 212+? (4x+6) = x 3x 3x 22++ (15)f (x )=x 1x 3x 2++ = x+3+x 1 f /=(x+3+x 1)/= 1+0 -2x 1 =22x 1-x (16)f /=(x )/(lnx )+(x )(lnx )/+9 =lnx+x 1x ?+9 =lnx+10

(完整)高中数学导数典型例题

高中数学导数典型例题 题型一:利用导数研究函数的单调性、极值、最值 1. 已知函数32()f x x ax bx c =+++ 过曲线()y f x =上的点(1,(1))P f 的切线方程为y=3x +1 。 (1)若函数2)(-=x x f 在处有极值,求)(x f 的表达式; (2)在(1)的条件下,求函数)(x f y =在[-3,1]上的最大值; (3)若函数)(x f y =在区间[-2,1]上单调递增,求实数b 的取值范围 解:(1)极值的求法与极值的性质 (2)由导数求最值 (3)单调区间 零点 驻点 拐点————草图 2. 已知).(3232)(23R a x ax x x f ∈--= (1)当4 1||≤ a 时, 求证:)x (f 在)1,1( -内是减函数; (2)若)x (f y =在)1,1( -内有且只有一个极值点, 求a 的取值范围. 解:(1)单调区间 零点 驻点 拐点————草图 (2)草图——讨论 题型二:利用导数解决恒成立的问题 例1:已知322()69f x x ax a x =-+(a ∈R ). (Ⅰ)求函数()f x 的单调递减区间; (Ⅱ)当0a >时,若对[]0,3x ?∈有()4f x ≤恒成立,求实数a 的取值范围.

例2:已知函数222()2()21x x f x e t e x x t =-++++,1()()2 g x f x '=. (1)证明:当22t <时,()g x 在R 上是增函数; (2)对于给定的闭区间[]a b ,,试说明存在实数 k ,当t k >时,()g x 在闭区间[]a b , 上是减函数; (3)证明:3()2 f x ≥. 解:g(x)=2e^(2x)-te^x+1 令a=e^x 则g(x)=2a^2-ta+1 (a>0) (3)f(x)=(e^x-t)^2+(x-t)^2+1 讨论太难 分界线即1-t^2/8=0 做不出来问问别人,我也没做出来 例3:已知3)(,ln )(2-+-==ax x x g x x x f (1)求函数)(x f 在)0](2,[>+t t t 上的最小值 (2)对(0,),2()()x f x g x ?∈+∞≥恒成立,求实数a 的取值范围 解:讨论点x=1/e 1/e

(完整word)高中数学导数练习题

专题8:导数(文) 经典例题剖析 考点一:求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数,则(1)f '-的值是 。 解析:()2'2 +=x x f ,所以()3211'=+=-f 答案:3 考点二:导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ,处的切线方程是1 22 y x = +,则(1)(1)f f '+= 。 解析:因为21= k ,所以()2 1 1'=f ,由切线过点(1(1))M f ,,可得点M 的纵坐标为25,所以()2 5 1=f ,所以()()31'1=+f f 答案:3 例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-,处的切线方程是 。 解析:443'2 --=x x y ,∴点(13)-,处切线的斜率为5443-=--=k ,所以设切线方程为b x y +-=5,将点(13)-,带入切线方程可得2=b ,所以,过曲线上点(13)-,处的切线方程为:025=-+y x 答案:025=-+y x 点评:以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三:导数的几何意义的应用。 例 4.已知曲线C :x x x y 232 3 +-=,直线kx y l =:,且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ,求直线l 的方程及切点坐标。 解析:Θ直线过原点,则()000 ≠= x x y k 。由点()00,y x 在曲线C 上,则02030023x x x y +-=,∴ 2302 00 0+-=x x x y 。又263'2+-=x x y ,∴ 在 () 00,y x 处曲线C 的切线斜率为()263'02 00+-==x x x f k ,∴

变化率和导数(三个课时教案)

第一章导数及其应用 第一课时:变化率问题 教学目标: 1.理解平均变化率的概念; 2.了解平均变化率的几何意义; 3.会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点:平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率; 教学难点:平均变化率的概念. 教学过程: 一.创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.

二.新课讲授 (一)问题提出 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? ? 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33 4)(r r V π= ? 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(π V V r = 分析: 3 43)(π V V r =, ⑴当V 从0增加到1时,气球半径增加了 )(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(62.00 1) 0()1(L dm r r ≈-- ⑵当V 从1增加到2时,气球半径增加了 )(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(16.01 2)1()2(L dm r r ≈-- 可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了. 思考:当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少? 1 212) ()(V V V r V r --

高中数学导数及微积分练习题

1.求导:(1)函数y= 2cos x x 的导数为-------------------------------------------------------- (2)y =ln(x +2)-------------------------------------;(3)y =(1+sin x ) 2 ------------------------ ---------------------- (4)y =3x 2+x cos x ------------------------------------ ;(5)y =x 2cos(2x -π 3)---------------------------------------- . (6)已知y =ln 3x e x ,则y ′|x =1=________. 2.设1ln )(2+=x x f ,则=)2('f ( ). (A). 54 (B).52 (C).51 (D).5 3 3.已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ,)0,(2x ,且)(x f 在1x =-,2=x 时取得极值,则21x x ?的值为( ) (A).4 (B).5 (C).-6 (D).不确定 34.()34([0,1])1 ()1()()0()1 2f x x x x A B C D =-∈-函数的最大值是( ) 5.设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ,则其表面积最小时,底面边长为( ). (A).3V (B).32V (C).34V (D).32V 6.由抛物线x y 22 =与直线4-=x y 所围成的图形的面积是( ). (A).18 (B). 3 38 (C). 3 16 (D).16 7.曲线3 x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为6 1 ,则=a _________ 。 8.已知抛物线2y x b x c =++在点(1 2),处的切线与直线20x y ++=垂直,求函数2y x bx c =++的最值.

高中数学选修2-2导数--导数的运算(解析版)

高中数学选修2-2导数--导数的运算(解析版) 1.若f (x )=sin π 3 -cos x ,则f ′(α)等于( ) A .Sin α B .Cos α C .sin π3+cos α D .cos π 3+sin α [答案] A [解析] ∵f (x )=sin π 3 -cos x ,∴f ′(x )=sin x ,∴f ′(α)=sin α,故选A. 2.设函数f (x )=x m +ax 的导数为f ′(x )=2x +1,则数列{1 f (n ) }(n ∈N *)的前n 项和是( ) A.n n +1B .n +2n +1C.n n -1 D .n +1n [答案] A [解析] ∵f (x )=x m +ax 的导数为f ′(x )=2x +1,∴m =2,a =1,∴f (x )=x 2+x , ∴f (n )=n 2+n =n (n +1),∴数列{1 f (n ) }(n ∈N *)的前n 项和为: S n =11×2+12×3+13×4+…+1 n (n +1)=????1-12+????12-13+…+????1n -1n +1 =1-1n +1=n n +1 ,故选A. 3.已知二次函数f (x )的图象如图所示,则其导函数f ′(x )的图象大致形状是( ) [答案] B [解析] 依题意可设f (x )=ax 2+c (a <0,且c >0),于是f ′(x )=2ax ,显然f ′(x )的图象为直线,过原点,且斜率2a <0,故选B. 4.已知函数f (x )的导函数为f ′(x ),且满足f (x )=2xf ′(e)+ln x ,则f ′(e)=( ) A .e - 1B .-1C .-e - 1 D .-e [答案] C [解析] ∵f (x )=2xf ′(e)+ln x ,∴f ′(x )=2f ′(e)+1x ,∴f ′(e)=2f ′(e)+1 e , 解得f ′(e)=-1 e ,故选C.

高中数学 3.1变化率与导数教案 新人教A版选修1-1

与导数教案 新人教A 版选修1-1 [教学目的] 1.了解导数形成的背景、思想和方法;正确理解导数的定义、几何意义; 2.使学生在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率,建立导数的概念;掌握用导数的定义求导数的一般方法 3.在教师指导下,让学生积极主动地探索导数概念的形成过程,锻炼运用分析、抽象、归纳、总结形成数学概念的能力,体会数学知识在现实生活中的广泛应用。 [教学重点和难点]导数的概念是本节的重点和难点 [教学方法]讲授启发,自学演练。 [授课类型]:新授课 [课时安排]:1课时 [教 具]:多媒体、实物投影仪 [教学过程] 一、复习提问(导数定义的引入) 1.什么叫瞬时速度?(非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度) 2.怎样求非匀速直线运动在某一时刻t0的速度? 在高台跳水运动中,如果我们知道运动员相对于水面的高度h (单位:m )与起跳后的时间t (单位:s )存在关系()105.69.42 ++-=t t t h ,那么我们就会计算 任意一段的平均速度v ,通过平均速度v 来描述其运动状态,但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度,那么如何求运动员的瞬时速度呢?问题:2秒时的瞬时速度是多少?

表格1 表格2 0?t 时,在[]t ?+2,2这段时间内 ()()()1 .139.41.139.422222-?-=?-?+?= ?+-?+-=t t t t t t h h v ()()()1 .139.41.139.422222-?-=??-?-= -?+-?+=t t t t t h t h v 当-=?t 0.01时,-=v 13.051; 当=?t 0.01时,-=v 13.149; 当-=?t 0.001时,-=v 13.095 1; 当=?t 0.001时,-=v 13.104 9; 当-=?t 0.000 1时,-=v 13.099 51; 当=?t 0.000 1时,-=v 13.100 49; 当-=?t 0.000 01时,-=v 13.099 951; 当=?t 0.000 01时,-=v 13.100 049; 当-=?t 0.000 001时,-=v 13.099 995 1; 当=?t 0.000 001时,-=v 13.100 004 9; 。。。。。。 。。。。。。 问题:1你能描述一下你算得的这些数据的变化规律吗?(表格2) 关于这些数据,下面的判断对吗? 2.当t ?趋近于0时,即无论t 从小于2的一边,还是t 从大于2的一边趋近于2时,

高中数学导数题型总结

导数 经典例题剖析 考点一:求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数,则(1)f '-的值是 。 考点二:导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ,处的切线方程是1 22 y x = +,则(1)(1)f f '+= 。 例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-,处的切线方程是 。 考点三:导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C :x x x y 232 3 +-=,直线kx y l =:,且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ,求直线l 的方程及切点坐标。 考点四:函数的单调性。 例5.已知()132 3 +-+=x x ax x f 在R 上是减函数,求a 的取值围。 例6. 设函数3 2 ()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。 (1)求a 、b 的值; (2)若对于任意的[03]x ∈, ,都有2 ()f x c <成立,求c 的取值围。 点评:本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数()x f 的极值步骤:①求导数()x f '; ②求()0'=x f 的根;③将()0'=x f 的根在数轴上标出,得出单调区间,由()x f '在各区间上取值的正负可确定并求出函数()x f 的极值。

例7. 已知a 为实数,()() ()a x x x f --=42 。求导数()x f ';(2)若()01'=-f ,求() x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小值。 解析:(1)()a x ax x x f 442 3 +--=,∴ ()423'2 --=ax x x f 。 (2)()04231'=-+=-a f ,2 1= ∴a 。()()()14343'2 +-=--=∴x x x x x f 令()0'=x f ,即()()0143=+-x x ,解得1-=x 或3 4 =x , 则()x f 和()x f '在区间[] 2,2- ()2 91= -f ,275034-=??? ??f 。所以,()x f 在区间[]2,2-上的最大值为 275034-=?? ? ??f ,最 小值为()2 9 1= -f 。 答案:(1)()423'2 --=ax x x f ;(2)最大值为275034- =?? ? ??f ,最小值为()2 91=-f 。 点评:本题考查可导函数最值的求法。求可导函数()x f 在区间[]b a ,上的最值,要先求出函数()x f 在区间()b a ,上的极值,然后与()a f 和()b f 进行比较,从而得出函数的最大最小值。 考点七:导数的综合性问题。 例8. 设函数3 ()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数,其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线 670x y --=垂直,导函数'()f x 的最小值为12-。(1)求a ,b ,c 的值; (2)求函数()f x 的单调递增区间,并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值。

高中数学-导数的概念及运算练习

高中数学-导数的概念及运算练习 1.y =ln 1 x 的导函数为( ) A .y ′=-1 x B .y ′=1 x C .y ′=lnx D .y ′=-ln(-x) 答案 A 解析 y =ln 1x =-lnx ,∴y ′=-1 x . 2.(·东北师大附中摸底)曲线y =5x +lnx 在点(1,5)处的切线方程为( ) A .4x -y +1=0 B .4x -y -1=0 C .6x -y +1=0 D .6x -y -1=0 答案 D 解析 将点(1,5)代入y =5x +lnx 成立,即点(1,5)为切点.因为y ′=5+1x ,所以y ′|x =1=5+1 1=6. 所以切线方程为y -5=6(x -1),即6x -y -1=0.故选D. 3.曲线y =x +1 x -1在点(3,2)处的切线的斜率是( ) A .2 B .-2 C.12 D .-12 答案 D 解析 y ′=(x +1)′(x -1)-(x +1)(x -1)′(x -1)2=-2 (x -1)2,故曲线在(3,2)处的切线的斜率k = y ′|x =3=-2(3-1)2=-1 2 ,故选D. 4.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t 秒后的位移为s =13t 3-32t 2 +2t ,那么速度为零的时刻是( ) A .0秒 B .1秒末 C .2秒末 D .1秒末和2秒末 答案 D 解析 ∵s=13t 3-32t 2+2t ,∴v =s ′(t)=t 2 -3t +2. 令v =0,得t 2 -3t +2=0,t 1=1或t 2=2. 5.(·郑州质量检测)已知曲线y =x 2 2-3lnx 的一条切线的斜率为2,则切点的横坐标为( ) A .3 B .2 C .1 D.12 答案 A

高二数学导数测试题(经典版)

一、选择题(每小题5分,共70分.每小题只有一项就是符合要求得) 1.设函数()y f x =可导,则0(1)(1) lim 3x f x f x ?→+?-?等于( ). A.'(1)f B.3'(1)f C.1 '(1)3f D.以上都不对 2.已知物体得运动方程就是4321 4164 S t t t =-+(t 表示时间,S 表示位移),则瞬时速度 为0得时刻就是( ). A.0秒、2秒或4秒 B.0秒、2秒或16秒 C.2秒、8秒或16秒 D.0秒、4秒或8秒 3.若曲线21y x =-与31y x =-在0x x =处得切线互相垂直,则0x 等于( ). C.23 D.23或0 4.若点P 在曲线323 3(34 y x x x =-++上移动,经过点P 得切线得倾斜角为α,则角α得取值范围就是( ). A.[0,]π B.2[0,)[,)23 ππ π C.2[,)3ππ D.2[0,)(,)223 πππ 5.设'()f x 就是函数()f x 得导数,'()y f x =得图像如图 所示,则()y f x =得图像最有可能得就是 3x ))-7.已知函数3 2 ()f x x px qx =--分别为( ). A.427 ,0 B.0,427 C.427- ,0 D.0,427 - 8.由直线21=x ,2=x ,曲线x y 1 =及x 轴所围图形得面积就是( ). A 、 415 B 、 417 C 、 2ln 21 D 、 2ln 2 9.函数3 ()33f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值,则( ). A.01b << B.1b < C.0b > D.1 2 b < 10.21y ax =+得图像与直线y x =相切,则a 得值为( ). A.18 B.14 C.1 2 D.1

高中数学-变化率与导数_提高

变化率与导数 【学习目标】 (1)理解平均变化率的概念; (2)了解瞬时速度、瞬时变化率的概念; (3)理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵; (4)会求函数在某点的导数或瞬时变化率; 【要点梳理】 知识点一:平均变化率问题 1.变化率 事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值; 2.平均变化率 一般地,函数f(x)在区间[]21,x x 上的平均变化率为:2121 ()() f x f x x x -- 要点诠释: ① 本质:如果函数的自变量的“增量”为x ?,且21x x x ?=-,相应的函数值的“增量”为 y ?,21()()y f x f x ?=-,则函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率为 2121 ()()f x f x y x x x -?=?- ② 函数的平均变化率可正可负,平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势. 即递增或递减幅度的大小。 对于不同的实际问题,平均变化率富于不同的实际意义。如位移运动中,位移S (m )从t 1秒到t 2秒的平均变化率即为t 1秒到t 2秒这段时间的平均速度。 高台跳水运动中平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态,要想更精确地刻画物体运动,就要研究某个时刻的速度即瞬时速度。 3.如何求函数的平均变化率 求函数的平均变化率通常用“两步”法: ①作差:求出21()()y f x f x ?=-和21x x x ?=- ②作商:对所求得的差作商,即2121 ()()f x f x y x x x -?=?-。 要点诠释: 1. x ?是1x 的一个“增量”,可用1x x +?代替2x ,同样21()()y f x f x ?=-。 2. x V 是一个整体符号,而不是V 与x 相乘。 3. 求函数平均变化率时注意,x y V V ,两者都可正、可负,但x V 的值不能为零,y V 的值可以为零。若

(完整版)高二数学选修2-2导数单元测试题(有答案)

导数复习 一.选择题 (1) 函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为 ( ) A .),2(+∞ B .)2,(-∞ C .)0,(-∞ D .(0,2) (2)曲线3231y x x =-+在点(1,-1)处的切线方程为( ) A .34y x =- B 。32y x =-+ C 。43y x =-+ D 。45y x =- a (3) 函数y =a x 2 +1的图象与直线y =x 相切,则a = ( ) A . 18 B .41 C .2 1 D .1 (4) 函数,93)(2 3-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值,则a = ( ) A .2 B .3 C .4 D .5 (5) 在函数x x y 83-=的图象上,其切线的倾斜角小于4 π 的点中,坐标为整数的点的 个数是 ( ) A .3 B .2 C .1 D .0 (6)函数3()1f x ax x =++有极值的充要条件是 ( ) A .0a > B .0a ≥ C .0a < D .0a ≤ (7)函数3()34f x x x =- ([]0,1x ∈的最大值是( ) A . 1 2 B . -1 C .0 D .1 (8)函数)(x f =x (x -1)(x -2)…(x -100)在x =0处的导数值为( ) A 、0 B 、1002 C 、200 D 、100! (9)曲线313y x x =+在点413?? ???,处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( ) A.19 B.29 C.13 D.23 .10设函数()1 x a f x x -= -,集合M={|()0}x f x <,P=' {|()0}x f x >,若 M P,则实数a 的取值范围是 ( ) A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞) 11.若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直,则l 的方程为( ) A .430x y --= B .450x y +-= C .430x y -+= D .430x y ++= 12函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ,导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示,则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点( ) A .1个 B .2个 C .3个D . 4个 13. y =e sin x cos(sin x ),则y ′(0)等于( ) A.0 B.1 C.-1 D.2 14.经过原点且与曲线y =5 9++x x 相切的方程是( ) A.x +y =0或25 x +y =0 B.x -y =0或25 x +y =0 C.x +y =0或 25 x -y =0 D.x -y =0或 25 x -y =0 15.设f (x )可导,且f ′(0)=0,又x x f x )(lim 0 '→=-1,则 f (0)( ) A.可能不是f (x )的极值 B.一定是f (x )的极值 C.一定是f (x )的极小值 D.等于0 16.设函数f n (x )=n 2x 2(1-x )n (n 为正整数),则f n (x )在[0,1]上的最大值为( ) A.0 B.1 C.n n )221(+- D.1)2 ( 4++n n n 17、函数y=(x 2-1)3+1在x=-1处( ) A 、 有极大值 B 、无极值 C 、有极小值 D 、无法确定极值情况 18.f(x)=ax 3+3x 2+2,f ’(-1)=4,则a=( ) A 、3 10 B 、3 13 C 、3 16 D 、3 19 19.过抛物线y=x 2 上的点M (4 1,21)的切线的倾斜角是( ) A 、300 B 、450 C 、600 D 、900 20.函数f(x)=x 3-6bx+3b 在(0,1)内有极小值,则实数b 的取值范围是( ) a b x y ) (x f y ?=O

函数极限与导数高中数学基础知识与典型例题

知识网 数学归纳法、数列的极限与运算1.数学归纳法: (1)由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法,通常叫做归纳法. 归纳法包含不完全归纳法和完全归纳法. ①不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特殊事例得出一般结论的推理方法. ②完全归纳法: 根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法 数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用,用不完全归纳法发现规律, 用数学归纳法证明结论. (2)数学归纳法步骤: ①验证当n取第一个 n时结论 () P n成立; ②由假设当n k =( , k N k n + ∈≥)时,结论() P k成立,证明当1 n k =+时,结论(1) P k+成立; 根据①②对一切自然数 n n ≥时,() P n都成立. 2.数列的极限 (1)数列的极限定义:如果当项数n无限增大时,无穷数列{}n a的项n a无限地趋近于某个常数a(即 n a a -无限地接近于),那么就说数列 {} n a以a为极限,或者说a是数列{} n a的极限.记为 lim n n a a →∞ =或当n→∞时, n a a →. (2)数列极限的运算法则: 如果{}n a、{}n b的极限存在,且lim,lim n n n n a a b b →∞→∞ ==, 那么lim() n n n a b a b →∞ ±=±;lim(); n n n a b a b →∞ ?=?lim(0) n n n a a b b b →∞ =≠ 特别地,如果C是常数,那么lim()lim lim n n n n n C a C a Ca →∞→∞→∞ ?=?=. ⑶几个常用极限: ①lim n C C →∞ =(C 为常数)②lim0 n a n →∞ = k (,a k 均为常数且N* ∈ k) ③ (1) 1 lim0(1) (1或1) 不存在 n n q q q q q ④首项为 1 a,公比为q(1 q<)的无穷等比数列的各项和为lim 1 n n a S q →∞ = - . 注:⑴并不是每一个无穷数列都有极限. ⑵四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况,但不能推广到无限个情况. 数 学 归 纳 法 、数 列 的 极 限 与 运 算 例 1. 某个命题与正整数有关,若当) (* N k k n∈ =时该命题成立,那么可推得当 = n1 + k时该命题也成立,现已知当5 = n时该命题不成立,那么可推得() (A)当6 = n时,该命题不成立(B)当6 = n时,该命题成立 (C)当4 = n时,该命题成立(D)当4 = n时,该命题不成立 例2.用数学归纳法证明:“)1 ( 1 1 1 2 1 2≠ - - = + + + + + +a a a a a a n n ”在验证1 = n时,左端 计算所得的项为 ( ) (A)1 (B)a + 1 (C)2 1a a+ + (D)3 2 1a a a+ + + 例3.2 2 21 lim 2 n n n →∞ - + 等于( ) (A)2 (B)-2 (C)- 2 1 (D) 2 1 例4. 等差数列中,若 n n S Lim ∞ → 存在,则这样的数列( ) (A)有且仅有一个(B)有无数多个 (C)有一个或无穷多个(D)不存在 例5.lim(1) n n n n →∞ +-等于( ) (A) 1 3 (B)0 (C) 1 2 (D)不存在 例6.若2 012 (2)n n n x a a x a x a x +=++++, 12 n n A a a a =+++,则2 lim 83 n n n A A →∞ - = + ( ) (A) 3 1 -(B) 11 1(C) 4 1(D) 8 1 - 例7. 在二项式(13)n x +和(25)n x+的展开式中,各项系数之和记为,, n n a b n是正整 数,则 2 lim 34 n n n n n a b a b →∞ - - =. 例8. 已知无穷等比数列{}n a的首项N a∈ 1 ,公比为q,且 n n a a a S N q + + + = ∈ 2 1 , 1, 且3 lim= ∞ → n n S,则= + 2 1 a a_____ . 例9. 已知数列{ n a}前n项和1 1 (1) n n n S ba b =-+- + , 其中b是与n无关的常数,且0 <b<1,若lim n n S →∞ =存在,则lim n n S →∞ =________. 例10.若数列{ n a}的通项21 n a n =-,设数列{ n b}的通项 1 1 n n b a =+,又记 n T是数 列{ n b}的前n项的积. (Ⅰ)求 1 T, 2 T, 3 T的值;(Ⅱ)试比较 n T与 1+ n a的大小,并证明你的结论. 例 1.D 2.C 例 3.A 例 4.A例 5.C将分子局部有理化,原式 =11 lim lim 2 11 11 n n n n n n →∞→∞ == ++ ++ 例6.A例7. 1 2 例8. 3 8 例9.1 例10(见后面)

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