矩阵变换习题课
二阶矩阵与变换
自主梳理
1．线性变换与二阶矩阵
在平面直角坐标系xOy 中，由?
????
x ′＝ax ＋by ，
y ′＝cx ＋dy ，(其中a ，b ，c ，d 是常数)构成的变换称
为线性变换．由四个数a ，b ，c ，d 排成的正方形数表??
??
??
a b c
d 称为________，其中a ，b ，c ，
d 称为矩阵的________，矩阵通常用大写字母A ，B ，C ，…或(a ij )表示(其中i ，j 分别为元素a ij 所在的行和列)．
2．矩阵的乘法
行矩阵[a 11a 12]与列矩阵??????b 11b 21的乘法规则为[a 11a 12]??????b 11b 21＝____________，二阶矩阵????
??a b c d 与列矩阵??????x y 的乘法规则为??????a b c d ????
??x y ＝____________.矩阵乘法满足____________律，不满足____________．
3．几种常见的线性变换
(1)恒等变换矩阵M ＝____________；
(2)旋转变换R θ对应的矩阵是M ＝_____________________________________________； (3)反射变换要看关于哪条直线对称．例如若关于x 轴对称，则变换对应矩阵为M 1＝????
??1 00 －1；若关于y 轴对称，则变换对应矩阵为M 2＝__________；若关于坐标原点对称，则变换对应矩阵M 3＝____________；
(4)伸压变换对应的二阶矩阵M ＝????
?
?k 1 00 k 2，表示将每个点的横坐标变为原来的________
倍，纵坐标变为原来的________倍，k 1，k 2均为非零常数；
(5)投影变换要看投影在什么直线上，例如关于x 轴的投影变换的矩阵为M ＝__________；
(6)切变变换要看沿什么方向平移，若沿x 轴平移|ky |个单位，则对应矩阵M ＝
__________，若沿y 轴平移|kx |个单位，则对应矩阵M ＝????
?
?1 0k 1.(其中k 为非零常数)．
4．线性变换的基本性质
设向量α＝??????x y ，规定实数λ与向量α的乘积λα＝__________；设向量α＝??????x 1y 1，β＝????
??x 2y 2，规定向量α与β的和α＋β＝__________.
(1)设M 是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ是一个任意实数，则①M (λα)＝__________，②M (α＋β)＝______________________________.
(2)二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成直线(或一点)．
自我检测
1．点A (3，－6)在矩阵?
???????
1 －10 12对应的变换作用下得到的点的坐标是________． 2．设??????4 －20 3??????x y ＝????
?? 0－1，则它表示的方程组为______________．
3．设矩阵A ＝????
??
1 －10 1，矩阵A 所确定的变换将点P (x ，y )变换成点Q ，则Q 点的坐
标为________．
4．设△OAB 的三个点坐标为O (0,0)，A (A 1，A 2)，B (B 1，B 2)，在矩阵M ＝??
??
??
1 k 0
1对应的变换下作用后形成△OA ′B ′，则△OAB 与△OA ′B ′的面积之比为____________________．
5．二阶矩阵M 对应的变换将点(1，－1)与(－2,1)分别变为点(－1，－1)与(0，－2)． (1)求矩阵M ；
(2)设直线l 在矩阵M 对应的变换作用下得到直线m ：x －y －4＝0，求l 的方程．
探究点一 几种常见的变换
例1 试讨论下列矩阵将所给图形变成了什么图形，并指出该变换是什么变换． (1)??????1 00 1，方程为y ＝2x ＋2； (2)????
??－1 0 0 1，点A (2,5)； (3)??????2 00 1，曲线方程为x 2＋y 2＝4.
变式迁移1 将点(2,4)先经过矩阵????
?
?1 00 2变换后，再绕原点逆时针旋转90°
角所得的点坐标为________．
探究点二 矩阵的乘法及几何意义
例2 验证下列等式，并从几何变换的角度给予解释： ??????1 11 3＝??????1 01 1??????1 00 2??????1 10 1.
变式迁移2 已知矩阵M ＝??????12 －3232 12和N ＝????
?? 22 22
－22 22
，求证：MN ＝NM .
探究点三 矩阵与变换的综合应用
例3已知A ＝??????cos α －sin αsin α cos α，B ＝???
?
??
cos β －sin βsin β cos β，试求AB ，并对其几何意义给予
解释．
1．常见的变换矩阵 (1)恒等变换矩阵为M ＝??
??
??
1
00
1；(2)伸压变换矩阵为M ＝??????k 00 1或M ＝?????
?1 00 k ；(3)反射
变换矩阵为M 1＝??????1 00 －1，M 2＝??????
－1 00 1，M 3＝????
??－1 0 0 －1；(4)旋转变换矩阵为M ＝
????
??cos θ －sin θsin θ cos θ；(5)投影变换矩阵为M 1＝??????1 00 0，M 2＝??????1 01 0，M 3＝???
???0 00 1；(6)切变变换
矩阵为M ＝??????1 k 0 1或M ＝????
?
?1 0k 1.
2．矩阵的乘法不满足交换律，不满足消去律，但满足结合律．
1．矩阵????
??
a b c d (左)乘向量???
???p q 的法则是________．
2．(2010·龙岩一模)在某个旋转变换中，顺时针旋转π
3
所对应的变换矩阵为________．
3．直线2x ＋y －1＝0经矩阵M ＝????
??
－1 00 －1的变换后得到的直线方程为________．
4．设a ，b ∈R ，若矩阵A ＝????
?
?a 10 b 将直线l ：
x ＋y －1＝0变为直线x －y －2＝0，则a ＝________，b ＝________.
5．已知A ＝????
?? 2 －3－4 6，B ＝??????8 45 5，C ＝??????5 －23 1.则AB ＝________，AC ＝________. 6．曲线y ＝sin x 在矩阵MN 变换下的函数解析式为________．(其中M ＝????
??1 00 2，N ＝?????
???12 00 1.) 7．在直角坐标系中，△OAB 的顶点坐标O (0,0)，A (2,0)，B (1，2)，△OAB 在矩阵MN 的
作用下变换所得的图形的面积为________(其中矩阵M ＝??????
1 00 －1，N ＝
????
??1
220
2
2
)． 8．已知二阶矩阵M 满足M ??????10＝??????10，M ??????11＝??????22，则M 2??????1－1＝________.
9． (2011·江苏)已知矩阵A ＝? ????1 12 1，向量β＝? ??
??12.求向量α，使得A 2α＝β.
10．(14分)(2010·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,0)，B (－2,0)，C (－2,1)．设k
为非零实数，矩阵M ＝????k 00 1，N ＝???
?0 11 0，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到的点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 的面积的2倍，求k 的值．
11．(14分)(2010·福建)已知矩阵M ＝????1b a 1，N ＝????c 0 2d ，且MN ＝???
?2－2 00. ①求实数a ，b ，c ，d 的值；
②求直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的象的方程．
二阶矩阵与变换答案
自主梳理
1．二阶矩阵 元素 3.(2)????
??
cos θ －sin θsin θ cos θ
(3)??????－1 0 0 1 ????
??－1 0 0 －1 (4)k 1 k 2 (5)??????
1 00 0 (6)??
?
???
1 k 0 1 4.???
???λx λy
????
??
x 1＋x 2y 1＋y 2 (1)λMα Mα＋Mβ
自我检测
1．(9，－3) 2.?
????
4x －2y ＝0
3y ＝－1 3.(x －y ，y )
4．1∶1
解析 由题意知T M 为切变变换，故变换前后图形面积大小不变．
5．(1)????
?
?1 23 4 (2)x ＋y ＋2＝0 解析 (1)设M ＝??????a b c d ，则??????a b c d ?????? 1－1＝??????－1－1，??????a b c d ??????－2 1＝?????? 0－2.∴?????
a －
b ＝－1
c －
d ＝－1
.①
?
????
－2a ＋b ＝0
－2c ＋d ＝－2.② 由①②联立得a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝4，
故M ＝????
?
?1 23 4.
(2)设(x ′，y ′)为l 上任意一点，在经矩阵M 变换下对应的点为(x ，y )，
则??????1 23 4??????x ′y ′＝??????x y ∴?
???
?
x ＝x ′＋2y ′y ＝3x ′＋4y ′， 代入x －y －4＝0得x ′＋y ′＋2＝0， 即x ＋y ＋2＝0. 课堂活动区
例1 解题导引 对于已知变换前后的象和原象，要求变换矩阵这类问题，我们显然无法对所有的变换进行一一尝试，用待定系数法解题可起到事半功倍的效果．通过具体的矩阵对平面上给定图形(如正方形、三角形)的变换，应充分地认识到矩阵可表示如下的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影．
解 (1)所给方程表示的是一条直线．
设A (x ，y )为直线上的任意一点，经过变换后的点为A ′(x ′，y ′)． ∵??????1 00 1??????x y ＝??????x ′y ′， ∴x ＝x ′，y ＝y ′.
变换后的方程仍为y ＝2x ＋2. ∴该变换是恒等变换．
(2)经过变化后变为(－2,5)，它们关于y 轴对称，故该变换为关于y 轴的反射变换． (3)所给方程是以原点为圆心，2为半径的圆，设A (x ，y )为曲线上的任意一点，经过变
换后的点为A 1(x 1，y 1)，则??
????2 00
1??????
x y ＝??????2x y ＝????
??x 1y 1， ∴2x ＝x 1，y ＝y 1.
将之代入到x 2
＋y 2
＝4可得方程x 21
4＋y 1
24
＝4，此方程表示椭圆，所给方程表示的是圆，该
变换是伸压变换．
变式迁移1 (－8,2) 解析 由题意知
??????cos 90° －sin 90°sin 90° cos 90°
??????1 00 2??????
24 ＝??????0 －11 0??????1 00 2??????24＝??????0 －21 0??????24＝????
??－8 2 例2 解题导引 ①熟悉六种线性变换，方可理解矩阵乘法的几何意义．矩阵乘法MN 的几何意义为对向量连续依次实施的两次几何变换(先T N 后T M )的复合变换．
②因为矩阵的乘法运算不满足变换律，对应地，对一个向量a 先实施变换f ，再实施变换g 与先实施变换g ，再实施变换f ，其结果通常也是不一样的．因而做题时必须认真审题．弄清题意，不能混淆f (g (a ))和g (f (a ))．
解 等式右边表示的是对点(x ，y )先作沿x 轴的切变变换得(x ＋y ，y )，再将所得的点进行保持横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍的伸压变换得(x ＋y,2y )，最后将得到的点作沿y 轴的切变变换得(x ＋y ，x ＋3y )．等式左边表示的是将点(x ，y )作如下变换：
??????1 11 3??????x y ＝??????x ′y ′＝????
??x ＋y x ＋3y ，即它也是将点(x ，y )变成了点(x ＋y ，x ＋3y )，因此，等式两边表示的变换相同，所以有??????1 11 3＝??????1 01 1??????1 00 2?????
?1 10 1
变式迁移2 解 MN ＝??????12 －3232 12????
?? 22 22
－22 22
＝?
????
???2＋64 2－6
4
6－24 6＋2
4
，
NM ＝?????? 22 22－22 22??????12 －3
232 12＝?????
???2＋64 2－64
6－24 6＋24
，
故MN ＝NM .
例3 解题导引 M 的意义表示陆路的网络图为甲→乙；N 的意义表示航空的网络图为甲→乙．
解 (1)NM ＝??????1 11 0??????0 11 0＝????
??1 10 1，这说明，在此网络中可以选择先陆路后航空的旅行．
(2)M 2＝??????0 11 0??????0 11 0＝????
?
?1 00 1，这说明，在此网络中可以选择先陆路后再陆路的旅行．
(3)MNM ＝??
????0
11
0??????1 11 0??????0 11 0＝????
??0 11 1，这说明，在此网络中可以选择先陆路，再航空，然后再陆路的旅行．
变式迁移3 解 AB ＝??????cos α －sin αsin α cos α????
??
cos β －sin βsin β cos β
＝??????cos αcos β－sin αsin β －cos αsin β－sin αcos βsin αcos β＋cos αsin β －sin αsin β＋cos αcos β ＝????
??cos (α＋β) －sin (α＋β)sin (α＋β) cos (α＋β) AB 表示的变换为逆时针旋转α＋β.
A 表示逆时针旋转α，
B 表示逆时针旋转β. 课后练习区
1.??????a b c d ??????p q ＝??????ap ＋bq cp ＋dq
2.????
?? 12 32－32 12
解析 顺时针旋转π3即逆时针旋转5
3π，
变换矩阵为????
??cos 5π3 －sin 53
π
sin 5π3 cos 5π3
＝?
????? cos π3 sin π3－sin π3 cos π3＝????
?? 12
32
－32 12.
3．2x ＋y ＋1＝0
解析 由变换矩阵M 知坐标变换公式为????
?
x ′＝－x y ′＝－y
，
即?
????
x ＝－x ′y ＝－y ′， 代入直线方程2x ＋y －1＝0得2x ′＋y ′＋1＝0. 即2x ＋y ＋1＝0. 4．2 －1
解析 在直线l 上任取一点P (x ，y )，经矩阵变换后为点P ′(x ′，y ′)，
则由??????x ′y ′＝??????a 10 b ??????x y ＝??????ax ＋y by ，
得?
????
x ′＝ax ＋y ，y ′＝by . 所以ax ＋y －by －2＝0，即ax ＋(1－b )y －2＝0，
于是由a 1＝1－b 1＝－2－1
，解得a ＝2，b ＝－1.
5.?????? 1 －7－2 14，????
?? 1 －7－2 14
解析 AB ＝?????? 2 －3－4 6??????8 45 5＝??????
1 －7－
2 14，
AC ＝?????? 2 －3－4 6??????5 －23 1＝????
?? 1 －7－2 14.
6．y ＝2sin 2x
解析 MN ＝??
????1
00
2????????12 0 0 1＝?????
???12 0 0 2， 即在矩阵MN 变换下??????x y →??????x ′y ′＝?????
?
??12x 2y ，
则1
2y ′＝sin 2x ′，即曲线y ＝sin x 在矩阵MN 变换下的函数解析式为y ＝2sin 2x . 7．1
解析 MN ＝?
?????1 220 －22，????
??1
2
20 －
22
??????00＝??????
00，
????
??1 220 －22??????20＝??????20，?
???
??1
2
20 －
22
??????12＝?????? 2－1. 可知O ，A ，B 三点在矩阵MN 作用下变换所得的点分别为O ′(0,0)，A ′(2,0)，B ′(2，－1)．可知△O ′A ′B ′的面积为1.
8.????
??－2－4 解析 设M ＝??????a b c d ，由M ??????10＝??????10得，??????a c ＝????
??10，所以a ＝1，c ＝0. 由M ??????11＝??????22得，??????a ＋b c ＋d ＝????
??22，所以b ＝1，d ＝2.
所以M ＝????
?
?1 10 2.
所以M 2＝??????1 10 2??????1 10 2＝??????1 30 4. 所以M 2?????? 1－1＝??????1 30 4?????? 1－1＝????
??－2－4. 9．解 A 2＝? ????1 12 1? ????1 12 1＝? ???
?3 24 3.(4分)
设α＝? ????x y ，由A 2
α＝β，得? ????3 24 3? ????x y ＝? ????12，(7分)
从而????? 3x ＋2y ＝1，4x ＋3y ＝2，解得?????
x ＝－1，y ＝2.
所以α＝? ????－12.(14分)
10．解 由题设得MN ＝????k 00 1 ????0 11 0＝????
0 k 1 0.(4分) 由????0 k 1 0????00＝????00，????0 k 1 0????－20＝???? 0－2，
????0 k 1 0????－21＝???
?k －2，可知A 1(0,0)，B 1(0，－2)，C 1(k ，－2)．(10分) 计算得△ABC 的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是|k |，
由题设知|k |＝2×1＝2，所以k 的值为－2或2.(14分) 11．解 方法一 ①由题设得?????
c ＋0＝2，2＋a
d ＝0，
bc ＋0＝－2，
2b ＋d ＝0，
解得?????
a ＝－1，
b ＝－1，
c ＝2，
d ＝2.
(6分)
②因为矩阵M 对应的线性变换将直线变成直线(或点)，所以可取直线y ＝3x 上的两点
(0,0)，(1,3)．
由????1－1 －11????00＝????00， ????1－1 －11????13＝???
?－22得 点(0,0)，(1,3)在矩阵M 所对应的线性变换作用下的象分别是点(0,0)，(－2,2)．(12分) 从而直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的象的方程为y ＝－x .(14分) 方法二 ①同方法一．
②设直线y ＝3x 上的任意点(x ，y )在矩阵M 所对应的线性变换作用下的象是点(x ′，y ′)，由????x ′y ′＝????1－1 －11????x y ＝???? x －y －x ＋y ＝????－2x 2x
得y ′＝－x ′，即点(x ′，y ′)必在直线y ＝－x 上．由(x ，y )的任意性可知，直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的象的方程为y ＝－x .
【苏教版】高中数学选修4-2《矩阵与变换》.2.4 旋转变换
选修4－2矩阵与变换 2.2.4 旋转变换 编写人： 编号：005 学习目标 1、 理解可以用矩阵来表示平面中常见的几何变换。 2、 掌握旋转变换的几何意义及其矩阵表示。 学习过程： 一、预习： （一）阅读教材，解决下列问题： 问题1：P （x,y ）绕原点逆时针旋转180o 得到P ’(x ’,y ’),称P ’为P 在此旋转 变换作用下的象。其结果为''x x y y ?=-?=-?，也可以表示为''00x x y y x y ?=-+??=?-?，即''x y ??????＝ 1001-????-????????y x ＝x y -????-??怎么算出来的？ 归纳： 问题2：P （x,y ）绕原点逆时针旋转300得到P ’(x ’,y ’),试完成以下任务①写出象P ’； ②写出这个旋转变换的方程组形式；③写出矩阵形式. 问题3：把问题2中的旋转300改为旋转α角，其结果又如何？ 练习
1、在直角坐标系下，将每个点绕原点逆时针旋转120o 的旋转变换对应的二阶矩阵是 2、如果一种旋转变换对应的矩阵为二阶单位矩阵，则该旋转变换是 二、课堂训练： 例1．已知A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1),求矩形ABCD 绕原点逆时针旋转900后所得到的图形，并求出其顶点坐标，画出示意图. 例2、若△ABC 在矩阵M 对应的旋转变换作用下得到△A ′B ′C ′，其中A （0，0），B （1，3），C （0，2），A ′（0，0）， C ′（-3，1），试求矩阵M 并求B ′的坐标. 练习： 1. 将向量?? ????=12a 绕原点按逆时针方向旋转4π得到向量b ，则向量b 的坐标为=______________. 2. 在某个旋转变换中，顺时针旋转 3 π所对应的变换矩阵为 ＿＿＿＿＿＿． 三、课后巩固： 1. 曲线xy=1绕坐标原点逆时针旋转90°后得到的曲线方程是＿＿＿＿＿，变换对应的矩阵 是＿＿＿＿.
高考数学压轴专题最新备战高考《矩阵与变换》知识点总复习有解析
【高中数学】数学《矩阵与变换》高考知识点 一、15 1．已知矩阵2101M ?? =? ??? （1）求矩阵M 的特征值及特征向量； （2）若21α??=? ?-?? r ，求3M αv . 【答案】（1）特征值为2；对应的特征向量为210α?? =???? u u r （2）91????-?? 【解析】 【分析】 (1)先根据特征值得定义列出特征多项式，令()0f λ=解方程可得特征值，再由特征值列出 方程组即可解得相应的特征向量；(2)由12ααα=+u u r u u r r 可得333 12M M M ααα=+u u r u u r r ，求解即 可. 【详解】 （1）矩阵M 的特征多项式为2 1 ()0 1 f λλλ--= -(2)(1)λλ=--， 令()0f λ=，得矩阵M 的特征值为1或2， 当1λ=，时由二元一次方程0 000x y x y --=?? +=? . 得0x y +=，令1x =，则1y =-， 所以特征值1λ=对应的特征向量为111α?-? =? ??? ； 当2λ=时，由二元一次方程00 00 x y x y -=?? +=?. 得0y =，令1x =， 所以特征值2λ=对应的特征向量为210α?? =???? u u r ； （2）1221ααα??==+??-??u u r u u r r Q ， 333 12M M M ααα∴=+u u r u u r r 331212αα=+u u r u u r 311210????=+????-????91??=??-?? . 【点睛】 本题考查矩阵特征值与特征向量的计算，矩阵的乘法运算，属于基础题.
2020高考矩阵与变换知识点基础与提高(含答案)
2020高考矩阵与变换知识点基础与提高（含答案） 主要考查二阶矩阵的基本运算，选修内容考的题目大都不难，同学们注意基本概念。 1求逆矩阵，注意2*2矩阵的乘法。 2利用矩阵求坐标式的方程。 (10上海 4)行列式6πcos 3πsin 6πsin 3π cos 的值是____________． 考点：行列式的运算法则 解析：考查行列式运算法则6πcos 3 πsin 6π sin 3πcos 02πcos 6πsin 3πsin 6πcos 3πcos ==-= 答案：0. (10福建 21)选修4－2：矩阵与变换 已知矩阵M ＝???? ??11b a ，??? ? ??=d c N 02，且???? ??-=0202MN ， (Ⅰ)求实数a ，b ，c ，d 的值；(Ⅱ)求直线x y 3=在矩阵M 所对应的线性变换下的像的方程． 考点：矩阵的基本运算和线形变换 解析：(1)?? ????-=??????++=????????????=020*******d b bc ad c d c b a MN ， 对应系数有???????-==-==????????=+-==+=1 212022022a d b c d b bc ad c ； (2)取x y 3=上一点()y x ,，设经过变换后对应点为()','y x ，则??????--=??????1111''y x ?? ????--=??????x y y x y x ，从而''x y =，所以经过变换后的图像方程为x y -=． 注意：本题相对基础，要求同学们对矩阵的基本运算方法，尤其是乘法 (09江苏 21)选修4－2：矩阵与变换 求矩阵?? ????=1223A 的逆矩阵. 考点：逆矩阵的求法，考查运算求解能力
矩阵的初等变换及其应用
线性代数 第一次讨论课 1.导语 2.讨论内容目录 3.正文 4.个人总结
导语: 矩阵是研究线性代数方程组和其他相关问题的有力工具，也是线性代数的主要研究啊、对象之一。它的理论和方法在自然科学、工程技术、社会科学等众多领域等都有极其广泛的应用。矩阵作为一些抽象数学的具体表现，在数学研究中占有极其重要的地位。本文从矩阵的概念讨论矩阵的运算及性质，进而讨论用途很广的矩阵的初等变换及其应用。 讨论内容目录 矩阵的初等变换及其应用 1.两个矩阵的等价 2.两个矩阵的乘积 3.将矩阵化为行阶梯型、行最简形、标准型 4.求矩阵的秩 5.求可逆矩阵的逆矩阵 6.求线性方程组的解 7.判断向量组的线性相关性 8.求向量组的秩与极大无关组 9.求矩阵的对角化矩阵（采用行列初等变换，对角线元素为特征值） 10.二次型化为标准形 正文 一、矩阵的等价 1.定义：若矩阵A经过一系列初等行变换化为B矩阵,则称A
与B 行等价；若矩阵A 经过一系列初等列变换化为B 矩阵,则称A 与B 列等价；若矩阵A 经过一系列初等变换化为B 矩阵,则称A 与B 等价（相抵）。 2.矩阵的等价变换形式主要有如下几种： 1）矩阵的i 行（列）与j 行（列）的位置互换； 2）用一个非零常数k 乘矩阵的第i 行（列）的每个元； 3）将矩阵的第j 行（列）的所有元得k 倍加到第i 行（列）的对应元上去； 即如果两个矩阵可通过有限次上述变换中的一个或几个的组合变为一样的，两个矩阵等价。 3. 矩阵等价具有下列性质 （1）反身性 任一矩阵A 与自身等价； （2）对称性 若A 与B 等价，则B 与A 等价； （3）传递性 若A 与B 等价，B 与C 等价，则A 与C 等价； 注意：矩阵作初等变换是矩阵的一种运算，得到的是一个新矩阵，这个矩阵一般与原矩阵不会相等。 下面举例说明矩阵等价及等价变换： 13640824100412204128--?? ?- ? ?-- ?-?? 13 r r +???→
2012矩阵论复习题
2012矩阵论复习题 1. 设+=R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为 y x y x ?=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 k x x k =? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由. 2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为 ),(112211y x y x y x y x +++=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 )2 )1(,(2121x k k kx kx x k -+=? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由. 3．设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=，试证明S 是3R 的子空间，并求S 的一组基和S dim . 4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间, )}()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈='= 证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim . 5. 设T 是2R 上的线性变换,对于基向量i 和j 有 j i i T +=)( j i j T -=2)( 1)确定T 在基},{j i 下的矩阵; 2)若j i e -=1 j i e +=32,确定T 在基},{21e e 下的矩阵. 6. 设T 是3R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有 k j k j i T -=++)( i k j T =+)( k j i k T 532)(++=
苏教版数学高二选修4-2矩阵与变换学案第01课时 矩阵的概念
第01课时 矩阵的概念 一、要点讲解 1．矩阵的概念： 2．矩阵的相等： 二、知识梳理 1．在数学中，将形如13?????? ，80908688??????，23324m ????-??这样的__________________称做矩阵．_____________________________________叫做矩阵的行，______________________ ________________叫做矩阵的列．通常称具有i 行j 列的矩阵为i ×j 矩阵． 2．__________________称为零矩阵；______________________称为行矩阵；____________ _______________称为列矩阵． 3．平面上向量α = (x ，y )的坐标和平面上的点P (x ，y )看作行矩阵可记为________，看作列矩阵可记为_________． 4．当两个矩阵A ，B ，只有当A ，B 的_______________________，并且____________________也分别相等时，才有A = B ． 三、例题讲解 例1． 用矩阵表示△ABC ，其中A (－1,0)，B (0，2)，C (2，0)． 例2． 设31,422x y A B z ????==????--???? ，若A = B ，求x ，y ，z ． 例3． 已知n 阶矩阵11221 21247712j n j n i i i j in n n n j nn a a a a A a a a a a a a a ????????=???????????? ，其中每行、每列都是等差数列，ij a 表示位于第i 行第j 列的数． (1)写出45a 的值； (2) 写出ij a 的计算公式． 四、巩固练习 1. 画出矩阵143111-????-?? 所表示的三角形，并求该三角形的面积．
高考数学压轴专题人教版备战高考《矩阵与变换》知识点总复习附解析
【最新】单元《矩阵与变换》专题解析 一、15 1．已知函数cos 2()sin 2m x f x n x = 的图象过点( 12 π 和点2( ,2)3 π -. （1）求函数()f x 的最大值与最小值； （2）将函数()y f x =的图象向左平移(0)??π<<个单位后，得到函数()y g x =的图象；已知点(0,5)P ，若函数()y g x =的图象上存在点Q ，使得||3PQ =，求函数 ()y g x =图象的对称中心. 【答案】（1）()f x 的最大值为2，最小值为2-；（2）(,0)()24 k k Z ππ +∈. 【解析】 【分析】 （1）由行列式运算求出()f x ，由函数图象过两点，求出,m n ，得函数解析式，化函数式为一个角的一个三角函数式，可求得最值； （2）由图象变换写出()g x 表达式，它的最大值是2，因此要满足条件，只有(0,2)Q 在 ()g x 图象上，由此可求得?，结合余弦函数的性质可求得对称中心． 【详解】 （1）易知()sin 2cos 2f x m x n x =- ，则由条件，得sin cos 66 44sin cos 233m n m n ππππ?-=????-=-?? ， 解得 1.m n = =- 故()2cos22sin(2)6 f x x x x π =+=+ . 故函数()f x 的最大值为2，最小值为 2.- （2）由（1）可知： ()()2sin(22)6 g x f x x π ??=+=++ . 于是，当且仅当(0,2)Q 在()y g x =的图象上时满足条件. (0)2sin(2)26g π?∴=+=. 由0?π<<，得.6 π ?= 故()2sin(2)2cos 22 g x x x π =+ =. 由22 x k =+ π π，得().24 k x k Z ππ = +∈ 于是，函数()y g x =图象的对称中心为：(,0)()24 k k Z ππ +∈. 【点睛】 本题考查行列式计算，考查两角和的正弦公式，图象平移变换，考查三角函数的性质，如最值、对称性等等．本题主要是考查知识点较多，但不难，本题属于中档题．
矩阵与变换练习题
矩阵与变换 编写：陈爱兵 审核：黄爱华 1.由曲线22 221x y 变换为曲线221812x y ，变换矩阵为____________； 2.已知矩阵31 cos60 sin 602 2,31sin60 cos60 22A B ，则先A 后B 的变换所对应的矩阵是 ______________； 3.若81 1 10 10 1x ，则12 log x =__________； 4.若点22,A 在矩阵cos sin sin cos αααα 对应的变换作用下得到的点为(1,0)，则α=________； 5.若矩阵 a b A c d 有两个不等的特征值,m n ，则22m n =___________； 6.在密码学中，常用二阶矩阵对信息进行加密。现在我们先将英文字母数字化1,2,,26a b z ，发送方要传递的信息是：come on 。双方约定的矩阵是5 1 7 3， 则发送的密码应该是_______________； 7.已知在矩阵M 的作用下点(1,2)A 变成了点(11,5)A ，点(3,1)B 变成了点(5,1)B ，点(,0)C x 变成了(,2)C y ，求矩阵M 并求,x y 的值。
8.若cos sin (R)sin cos x θθθθθ，试求2()23f x x x 的最值。 9.已知矩阵(), 1,2x A f x B x x C a ，若A BC ，求函数()f x 在1,2上最小值。
10.已知矩阵A 对应的变换是先将某平面图形上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，再将所得图形绕原点按顺时针方向旋转90°。 ⑴求矩阵A 及A 的逆矩阵B ； ⑵已知矩阵 3 32 4M ，求M 的特征值和特征向量； ⑶若81α 在矩阵B 的作用下变换为β，求50M β(运算结果用指数式表示)。 11.在直角坐标系中，已知△ABC 的顶点坐标为A(0,0)，B(1,1)，C(0,2)，求△ABC 在矩阵MN 作用下变换所得到的图形的面积，这里矩阵0 10 1N=1 0 1 0M ，-????=? ???????。
矩阵初等变换及应用
矩阵初等变换及应用 王法辉 摘要：矩阵初等变换是高等代数的重要组成部分。本文对初等变换进行了研究探讨，详细介绍了与矩阵初等变换有关的基础知识。在阐述矩阵初等变换方法及应用原理的基础上，首先重点讨论该方法在解决高等代数相关计算问题上的应用，如求多项式的最大公因式、求逆矩阵解矩阵方程、求解线性方程组、判定向量的线性相关性、化二次型为标准型、求空间的基等。尤其是利用矩阵初等变换法求空间的基(解空间、特征子空间、核、值域等)的问题的计算,以具体实例生动的展示出问题的内在关系,最后给出了该方法在解决实际问题中的应用。本文理论分析与实际相结合，凸现了矩阵初等变换法直接、便利、有效的威力与作用。 关键词：矩阵初等变换；最大公因式；线性相关性；二次型；空间的基 1 导言 在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程。在数学的学习和应用中，矩阵理论是高等代数的重要组成部分，矩阵初等变换方法更是贯穿高等代数理论的始终。应用初等变换证明命题过程容易被接受，同时也是解决高等代数相关计算问题最直接、便利、有效的方法。此外，还有大量的各种各样的，表面上看完全没有联系的问题的解决,都可以通过相同的方法实现：矩阵的初等变换。 因此，对矩阵初等变换方法及应用进行探讨，无疑是十分必要和重要的。 目前，有许多文献涉及到对矩阵初等变换方法该的讨论，但比较零散。在研读文献的基础上，对矩阵初等变换的内涵进一步挖掘，使矩阵初等变换方法的威力作用得以充分展示是重要也是必要的。 2 矩阵及其初等变换
2.1 矩阵 由n m ?个数)j ,,,2,1(==m i a ij （i =1,2, ,j =1,2,n ， ）排成m 行n 列 的数表 ? ? ??? ???????=mn m m n n a a a a a a a a a A 2 1 22221 11211 称为m 行n 列的矩阵，简称n m ?矩阵。 2.2 矩阵的初等变换及初等矩阵 矩阵有行列之分，因此有如下定义 定义1 矩阵的初等行（列）变换是指如下三种变换 (1)交换矩阵某两行（列）的位置，记为j i r r ? )(j i c c ?； (2)把某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，记为j i kr r + )(j i kc c +； (3)用一个非零常数k 乘以某一行（列），记为i kr )(i kc ，k ≠0； 矩阵的初等行变换及初等列变换统称为矩阵的初等变换。 定义2 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。有以下3种形式 (1)互换矩阵E 的i 行和j 行的位置，得 ? ???? ? ??? ?? ? ????? ???????????????? ?=1101111011),( j i P ； (2)用数域P 种非零数c 乘E 的i 行，得
矩阵的初等变换及应用的总结
矩阵的初等变换及应用 内容摘要： 矩阵是线性代数的重要研究对象。矩阵初等变换是线性代 数中一种重要的计算工具，利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩，确定向量组向量间的线性关系。 一矩阵的概念 定义：由于m x n 个数aij (i=1 , 2,….,m; j=1 , 2,…., n)排成的m行n列的数表，称为m行n列，简称m x n矩阵 二矩阵初等变换的概念 定义：矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换 1. 初等行变换 矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换： ⑴交换矩阵的两行佼换一两行,记作.); (2) 以一个非零的数 '乘矩阵的某一行(第.行乘数卜，记作…); (3) 把矩阵的某一行的，倍加到另一行(第一行乘 '加到.行, 记为). 1.初等列变换 把上述中“行”变为“列”即得矩阵的初等列变换 3，如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A 与矩阵B等价，记作A~B 矩阵之间的等价关系具有下列基本性质：
⑴反身性； (2) 对称性若小丄,，则； (3) 传递性若丄丄,/,则」. 三矩阵初等变换的应用 1.利用初等变换化矩阵为标准形 定理：任意一个m x n矩阵A，总可以经过初等变换把它化为标准形 ■ 4■ ■ 1 F行二0 ■ ■ < 泓1 2. 利用初等变换求逆矩阵 求n阶方阵的逆矩阵：即对n x 2n矩阵(A| E)施行初等行变换，当把左边的方阵A变成单位矩阵E的同时，右边的单位矩阵也就变成了方阵A的逆矩阵A A(-1) 即(A|E)经过初等变换得到(E|AA(-1)) 这种计算格式也可以用来判断A是否可逆，当我们将A化 为行阶梯形矩阵时， 若其中的非零行的个数等于n时，则A可逆，否则A不可逆。
选修4-2 矩阵与变换 第一节 线性变换与二阶矩阵
第一节 线性变换与二阶矩阵 1．矩阵的相关概念 (1)由4个数a ，b ，c ，d 排成的正方形数表?????? a b c d 称为二阶矩阵，数a ，b ，c ，d 称为矩 阵的元素．在二阶矩阵中，横的叫行，从上到下依次称为矩阵的第一行、第二行；竖的叫列，从左到右依次称为矩阵的第一列、第二列．矩阵通常用大写的英文字母A ，B ，C ，…表示． (2)二阶矩阵?? ?? ?? 00 0称为零矩阵，简记为0，矩阵?? ?? ??1 00 1称为二阶单位矩阵，记作E 2. 2．矩阵的乘法 (1)行矩阵[]a 11a 12与列矩阵?? ?? ?? b 11b 21的乘法规则：为[]a 11a 12?? ? ? ?? b 11b 21＝[]a 11×b 11＋a 12×b 21. (2)二阶矩阵??????a 11 a 12a 21 a 22与列向量??????x 0y 0和乘法规则：??????a 11 a 12a 21 a 22??????x 0y 0＝??????a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0. (3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：
??????a 11 a 12a 21 a 22??????b 11 b 12b 21 b 22＝???? ??a 11×b 11＋a 12×b 21 a 11×b 12＋a 12×b 22a 21×b 11＋a 22×b 21 a 21×b 12＋a 22×b 22. (4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律 即(AB )C ＝A (BC )， AB ≠BA ， 由AB ＝AC 不一定能推出B ＝C . 一般地两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算． 3．线性变换的相关概念 (1)我们把形如???? ? x ′＝ax ＋by y ′＝cx ＋dy (*)的几何变换叫做线性变换，(*)式叫做这个线性变换的坐 标变换公式，P ′(x ′，y ′)是P (x ，y )在这个线性变换作用下的像． (2)对同一个直角坐标平面内的两个线性变换σ、ρ，如果对平面内任意一点P ，都有σ(P )＝ρ(P )，则称这两个线性变换相等，简记为σ＝ρ，设σ，ρ所对应的二阶矩阵分别为A ，B ，则A ＝B . 4．几种常见的线性变换 (1)由矩阵M ＝?? ?? ??1 00 1确定的变换T M 称为恒等变换， 这时称矩阵M 为恒等变换矩阵或单位矩阵，二阶单位矩阵一般记为E .平面是任何一点(向量)或图形，在恒等变换之下都把自己变为自己． (2)由矩阵M ＝???? ?? a 00 1或M ＝?? ?? ??1 00 k (k >0)确定的变换T M 称为(垂直)伸压变换，这时称矩 阵M ＝?? ?? ?? k 00 1或M ＝?? ?? ??1 00 k 伸压变换矩阵． 当M ＝?? ?? ??k 00 1时确定的变换将平面图形作沿x 轴方向伸长或压缩，当k >1时伸长，当 0 矩阵与变换练习二 一．填空题 1．用矩阵与向量的乘法的形式表示方程组???-=-=+1y 2x 2y 3x 2是_______?? ????-=????????????-122132y x 2. 将变换??????-+=??????''→??????y x y x y x y x 252写成矩阵的乘法形式是_______.?? ??????????-=??????''y x y x 2152 3.对任意的二阶非零矩阵A 、B 、C ，下列命题中:（1）AB=BA ; （2）AB ≠0; （3）若AB=AC ，则B=C;（4）A （BC ）=（AB ）C; （5）A 2≠0; （6）A A AA 11--=，其中真命题的序号 为 （4）（6） 4.已知3π βα=+，M=??????-αα αα cos sin sin cos N=??????-ββββcos sin sin cos ,则 NM=_________?? ??????????-212 3 2321 5.设,,a b R ∈若M=?? ????b a 01把直线l ：2x+y+7=0变换为自身，则a = ，b = 1 ；-1 6. 若??????-=1001A ，则5A =_________?? ????-1001 7.若01010101A B ????=????????，则矩阵A=_________，B=_________。1120,0101A B ????==???????? 二、解答题 8.求关于直线y=3x 的反射变换对应的矩阵A ． 解：在平面上任取一点P （x ，y ），点P 关于y=3x 的对称点P （x ′，y ′） 则有：?????'+?='+-=?'-'-23213x x y y x x y y 解得：?? ???+='+-='y x y y x x 54535354 ????????????????-=??????''y x y x 54535354 A=???? ??????-54535354 9.已知矩阵?? ????-=??????=0110,0110N M .在平面直角坐标系中，设直线210x y -+=在矩 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 第一节 矩阵的初等变换 初等行变换 ()1()i j r r ?对调两行，记作。 ()20()i k r k ≠?以数乘以某一行的所有元素，记作。 ()3()i j k r kr +把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去，记作。 初等列变换：把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把“r ”换成“c ”。 扩展 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换，初等变换的逆变换仍为初等变换, 且类型相同。 矩阵等价 A B A B 如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵，就称矩阵与等价。 等价关系的性质 （1）反身性 A~A 2 A ~B , B ~A;（）对称性若则 3 A ~B,B ~C, A ~C （）传递性若则。（课本P59） 行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也是非零行的第一个非零元。 行最简形矩阵：行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0. 标准型：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如r m n E O F O O ???= ???的矩阵，称为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵A 等价的矩阵中形状最简单的矩阵。 初等变换的性质 设A 与B 为m ×n 矩阵，那么 (1);r A B m P PA B ?=:存在阶可逆矩阵，使 (2)~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使 (3)P ;A B m P n Q AQ B ?=:存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使 初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。 初等矩阵的性质 设A 是一个m ×n 矩阵，则 （1）对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵； ~;r A B m P PA B ?=即存在阶可逆矩阵，使 （2）对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵； 即~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使 (3)~P ;A B m P n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使 （4）方阵A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等方阵1212,,,,l l P P P A PP P =L L 使。 （5）~r A A E 可逆的充分必要条件是。（课本P ？ ） 初等变换的应用 （1）求逆矩阵：()1(|)|A E E A -????→初等行变换或1A E E A -????????→ ? ????? 初等列变换。 （2）求A -1B ：A (,) ~ (,),r A B E P 即() 1(|)|A B E A B -??→行，则P =A -1B 。或1E A B BA -????????→ ? ????? 初等列变换. 第二节 矩阵的秩 习题课答案 一 1). 设A 为n 阶可逆矩阵, λ是A 的特征值,则*A 的特征根之一是(b )。 (a) 1 ||n A λ - (b) 1||A λ- (c) ||A λ (d) ||n A λ 2). 正定二次型1234(,,,)f x x x x 的矩阵为A ，则( c )必成立. ()a A 的所有顺序主子式为非负数 ()b A 的所有特征值为非负数 ()c A 的所有顺序主子式大于零 ()d A 的所有特征值互不相同 3).设矩阵111 11A α αββ?? ?= ? ???与000010002B ?? ? = ? ??? 相似,则,αβ的值分别为( a )。 (a) 0,0 (b) 0,1 (c) 1,0 (d) 1,1 二 填空题 4)若四阶矩阵A 与B 相似，A 的特征值为1111 ,,,2345 ，则1B E --= 24 。 5)设532644445A -?? ?=- ? ?-?? ,则100 A = 10010010010010010010010010010010010010032(21)223312(23)442232(31)2(31)2(13)231?? +---- ? +---?- ? ?--?-? ? 三 计算题 3.求三阶矩阵1 261 725027-?? ? ? ?--? ? 的Jordan 标准型 解 1261725027E A λλλλ+--?? ?-=--- ? ?+??,将其对角化为210001000(1)(1)λλ?? ? ? ?+-??.故A 的若 当标准形为100110001-?? ? - ? ??? .■ 【高考会这样考】 1．本部分高考命题的一个热点是矩阵变换与二阶矩阵的乘法运算，考题中多考查求平面图形在矩阵的对应变换作用下得到的新图形，进而研究新图形的性质． 2．本部分高考命题的另一个热点是逆矩阵，主要考查行列式的计算、逆矩阵的性质与求法以及借助矩阵解决二元一次方程组的求解问题． 【复习指导】 1．认真理解矩阵相等的概念，知道矩阵与矩阵的乘法的意义，并能熟练进行矩阵的乘法运算． 2．掌握几种常见的变换，了解其特点及矩阵表示，注意结合图形去理解和把握矩阵的几种变换． 3．熟练进行行列式的求值运算，会求矩阵的逆矩阵，并能利用逆矩阵解二元一次方程组． 基础梳理 1．乘法规则 (1)行矩阵[a 11 a 12]与列矩阵????b 11b 21 的乘法规则： [a 11 a 12]????b 11b 21＝[a 11×b 11＋a 12×b 21]． (2)二阶矩阵????a 11a 21 a 12a 22与列向量??? ?x 0y 0的乘法规则： ????a 11a 21 a 12a 22 ????x 0y 0＝??? ?a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0. (3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下： ????a 11a 21 a 12a 22 ??? ?b 11b 21 b 12b 22＝ ????a 11×b 11＋a 12×b 21a 21×b 11＋a 22×b 21 a 11×b 12＋a 12×b 22a 21×b 12＋a 22×b 22 (4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律．即(AB )C ＝ 《选修4 - 2：矩阵与变换》高考题（2014-2008） 1、（2014年江苏）已知矩阵1211,121A B x -????==????-????，向量2a y ??=???? v ，,x y 是实数，若Aa Ba =v v ，求,x y 的值。 2、（2013年江苏）已知矩阵1012,0206A B -????==???????? ，求矩阵B A 1-。 3、（2012年江苏）已知矩阵A 的逆矩阵113441122-??-??=????-???? A ，求矩阵A 的特征值． 4、（2011年江苏）已知矩阵1121A ??=????，向量12β??=???? ，求向量α，使得2A αβ=． 5、（2010年江苏）在平面直角坐标系xOy 中，A(0,0),B(-2,0),C(-2,1),设k ≠0，k ∈R ， M=??????100k ,N=??????0110,点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点1A 、1B 、1C ，111C B A ?的面积是ABC ?面积的2倍，求实数k 的值 6、（2009年江苏）求矩阵3221A ??=???? 的逆矩阵. 7、（2008年江苏）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2241x y +=在矩阵????2 00 1对应的变 换作用下得到曲线F ，求F 的方程． 《选修4 - 2：矩阵与变换》高考题（2014-2008）解答 （2013年江苏）已知矩阵1012,0206A B -????==? ???????，求矩阵B A 1-。 解：设矩阵A 的逆矩阵为??????d c b a K K ,则?? ????-2001K K ??????d c b a K K =??????1001K K ，即??????--d c b a 22K K =??????1001K K ， 故a=-1，b=0，c=0，d=21∴矩阵A 的逆矩阵为??????? ??-=-210011ΛK A , ∴B A 1-=???? ?????-21001ΛK ??????6021K K =????? ???--3021ΛK （2012年江苏）已知矩阵A 的逆矩阵113441122-??-??=????-???? A ，求矩阵A 的特征值． 解析： （2011年江苏）已知矩阵1121A ??=????，向量12β??=???? ，求向量α，使得2A αβ=． 解析： 设x y α??=??，由2 A αβ=得： 321432x y ??????=????????????，32111,43222x y x x y y α+==--????∴∴∴=????+==???? （2010年江苏）在平面直角坐标系xOy 中，A(0,0),B(-3,),C(-2,1),设k ≠0，k ∈R ， 矩阵知识点归纳 (一)二阶矩阵与变换 1．线性变换与二阶矩阵 在平面直角坐标系xOy 中，由? ??? ? x ′＝ax ＋by ，y ′＝cx ＋dy ，(其中a ，b ，c ，d 是常数)构成的变换称 为线性变换．由四个数a ，b ，c ，d 排成的正方形数表???? ? ?a b c d 称为二阶矩阵，其中a ，b ，c ， d 称为矩阵的元素，矩阵通常用大写字母A ，B ，C ，…或(a ij )表示(其中i ，j 分别为元素a ij 所在的行和列)． 2．矩阵的乘法 行矩阵[a 11a 12]与列矩阵??????b 11b 21的乘法规则为[a 11a 12]???? ??b 11b 21＝[a 11b 11＋a 12b 21]，二阶矩阵??????a b c d 与列矩阵??????x y 的乘法规则为??????a b c d ??????x y ＝??????ax ＋by cx ＋dy .矩阵乘法满足结合律，不满足交换律和消去律． 3．几种常见的线性变换 (1)恒等变换矩阵M ＝???? ? ?1 00 1； (2)旋转变换R θ对应的矩阵是M ＝???? ?? cos θ －sin θsin θ cos θ； (3)反射变换要看关于哪条直线对称．例如若关于x 轴对称，则变换对应矩阵为M 1＝??????1 00 －1；若关于y 轴对称，则变换对应矩阵为M 2＝???? ?? －1 0 0 1；若关于坐标原点对称，则变换对应矩阵M 3＝???? ?? －1 0 0 －1； (4)伸压变换对应的二阶矩阵M ＝???? ??k 1 00 k 2，表示将每个点的横坐标变为原来的k 1 倍，纵 坐标变为原来的k 2倍，k 1，k 2均为非零常数； (5)投影变换要看投影在什么直线上，例如关于x 轴的投影变换的矩阵为M ＝??????1 00 0； (6)切变变换要看沿什么方向平移，若沿x 轴平移|ky |个单位，则对应矩阵M ＝???? ? ?1 k 0 1， 若沿y 轴平移|kx |个单位，则对应矩阵M ＝???? ??1 0k 1.(其中k 为非零常数)． 4．线性变换的基本性质 设向量α＝??????x y ，规定实数λ与向量α的乘积λα＝??????λx λy ；设向量α＝??????x 1y 1，β＝???? ??x 2y 2，规定向量α与β的和α＋β＝???? ?? x 1＋x 2y 1＋y 2. (1)设M 是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ是一个任意实数，则①M (λα)＝λMα，②M (α＋β)＝Mα＋Mβ. (2)二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成直线(或一点)． 设计 （20 届）分块矩阵的初等变换及其应用 所在学院 专业班级信息与计算科学 学生姓名学号 指导教师职称 完成日期年月 摘要：本文介绍了矩阵，分块矩阵的一些基本概念，同时也介绍了分块矩阵的初等变换，分块矩阵的初等变换在一些问题中的相关应用，如利用分块矩阵的初等变换计算矩阵的行列式，求矩阵的逆，在秩问题中的应用，在相似问题中的应用以及在其他方面的应用，用22 分块矩阵的初等变换证明实对称矩阵的正定性。并根据各种的应用给出了大量的例题，充分体现了分块矩阵的初等变换在代数学中所具有一定的优越性。 关键词：分块矩阵；初等变换；行列式；矩阵的逆；应用 Elementary block matrix transform and its application Abstract：This article introduces some basic concepts of the matrix and partitioned matrix，also introduces the elementary transformation of partitioned matrix and the related application in some problems. For example, using the elementary transformation of partitioned matrix to compute matrix's determinant or get the inverse of a matrix. Also it introduces the application of partitioned matrix in some rank problems, similar problems and other problems, using the 22 elementary transformation of partitioned matrix to prove the definiteness of symmetric matrix. According to different kinds of application, it lists a lot of examples, which fully indicate the superiority of partitioned matrix's elementary transformation in algebra. Key words：partitioned matrices; elementary transformation; determinant; the inverse of a matrix; Application 矩阵论复习题 1. 设+=R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为 y x y x ?=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 k x x k =? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由. 2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为 ),(112211y x y x y x y x +++=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 )2 )1(,(2121x k k kx kx x k -+=? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由. 3．设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=，试证明S 是3R 的子空间，并求S 的一组基和S dim . 4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间, )}()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈='= 证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim . 5. 设33:R R T →是线性变换， ()()321323213212,,2,,x x x x x x x x x x x T -++-+= 求T 的零空间)(T N 和像空间)(T R 的基和维数. 6. 设T 是3R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有 k j k j i T -=++)( i k j T =+)( k j i k T 532)(++= 1)确定T 在基},,{k j i 下的矩阵; 2)求T 的像空间的基与维数. 2.1.1 矩阵的概念 1.矩阵的概念，零矩阵，行矩阵，列矩阵; 2.矩阵的表示； 3.相等的矩阵; 2.1.2 二阶矩阵与平面列向量的乘法1.二阶矩阵与平面向量的乘法规则; 2.理解矩阵对应着向量集合到向量集合的映射; 3.待定系数法是由原象和象确定矩阵的常用方法. 2.1 2.1 二阶矩阵与平面向量 二阶矩阵与平面向量 1,3形如??????8090,6085??????23324m ???????的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写黑体的拉丁字母A 、B 、C …表示，或者用(a ij )表示，其中i,j i,j 分别表示元素a ij ij 所在的行与列. 同一横排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的列. 组成矩阵的每一个数（或字母）称为矩阵的元素。 13?????? 80906085??????23324m ???????21矩阵×22×矩阵23矩阵×0所有元素均为的矩阵叫做0矩阵. ,. 对于两个矩阵、的行数与列数分别相等，且对应位置上的元素也分别相和时，记等才相等作A B B A A B = [][][]111112211111121111122121,规定： 行矩阵与列矩阵的乘法法则为 ＝b a a b b a a a b a b b ?????? ??×+×???? 01112212200110120111221220210220.x a a b b y x a x a y a a b b y b x b y ???????????? ×+×????????????×+×?????? 二阶矩阵与列向量的乘法规则为＝矩阵与变换练习二(含答案)
知识点总结 矩阵的初等变换与线性方程组
矩阵论习题课答案
【高考精品复习】选修4-2 矩阵与变换 矩阵与变换
矩阵与变换(江苏高考题)
矩阵知识点归纳
分块矩阵的初等变换及其应用[含论文、综述、开题-可编辑]
2016矩阵论复习题
高中数学选修4-2矩阵与变换知识点复习课课件_苏教版