极限的多种求法_何向荣

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-327-

每项或每个因子极限存在才能适用。

例3、求

解:因2・23

-22

+1=13≠0,则

=.

对于“

”、“

”、“∞-∞”

等情况,不能直接用运算法则,必须用因式分解、有理化分子或分母、三角函数有关公式以及变量代换等方法,对函数进行恒等变形以约去零因子,使各项极限都存在再利用运算法则求极限。

例4、求

解:令1+2x=t4,则,

当x→0时,t→1.

于是=

三、利用左右极限求极限

对于求分段函数在分段点处的极限时,通常要分别讨论它的左右极限。当左右极限存在且相等时,函数的极限等于这个值;当左右极限不等或至少有一个不存在时,原极限不存在。

例5、求函数在分段点

x=1处的极限.

解:

,,

因为,故

不存

在。

四、利用两个重要极限求极限

极限的多种求法

何向荣  承德民族师专数学系  067000

一、利用初等函数的连续性求极限

由一切初等函数在其定义区间内连

续,因此求初等函数在其定义区间内的点x0处的极限,直接可用来表

示。

例1、求

解:由y=cos u,y=ln v的连续性,

cos(ln 1)=cos 0=1.

但当x→x0时,函数f(x)在x0点是间断的,不能直接代入数值计算,应根据具体函数的特性,对它进行适当地变形,设法消去分子、分母相同的无穷小量后,成为新的连续函数,再利用函数连续性求出函数的极限。

例2、求解:=

二、利用极限的运算法则求极限

运用极限的运算法则求极限,条件是

利用重要极限和

求极限时,往往要利用与其等价的变式

,有时也需用三

角公式、变量代换、倒代换等方法对函数进行变形,化成公式的标准形式,再利用重要极限公式来求极限。值得注意的是,能用重要极限求极限的题,大部分也能用洛必达法则解决,选用什么方法视具体情况而定。

例6、求解:

例7、求.

解:

例8、求

解:令lns-lna=t,显然x→a时,t→0。解得x=aet,于是

再令et-1=u,t→0时,u→0,解得t=ln(1+u)。

因此,原式=

对于无穷多项的和或无穷多个因子积的极限,常用恒等变形化为有限项的和或有限个因子积的极限。

例9、求极限

由于底是无穷多项和,因此要“裂项”将底化为有限项的形式,得不等式“1”型,再利用重要极限公式来求。

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