高考数学递推数列求通项专题

高考递推数列求通项题型分类归纳解析

包钢一中郝丽丽

通过一轮，二轮紧张而有序的高考复习，在大量的练习讲解中不断归纳充实，特将数列这个专题中的一类，即已知递推关系求数列通项总结分类，对学生手中的练习题目综合整理，使其考察方向及应考方法更清晰，学生更易掌握。类型1 )(1n f a a n n +=+

解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。例1:已知数列{}n a 满足2

11=a ，n n

a a n n ++

=+2

11，求n a 。

解：由条件知：1

11)

1(1

1+-

+=-+n n n n n n

a a n n

分别令

)

1(,,3,2,1-??????=n n ，代入上式得

)

1(-n 个等式累加之，即

)()()()(1342312--+??????+-+-+-n n a a a a a a a a

)11

1()4

1()3

11(n

n -

-+??????+-

+-= 所以n

a a n 111-

11=

a ，n

a n 123112

1-=-

∴

类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为

)(1n f a a n

n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

例2:已知数列{}n a 满足3

21=a ，n n a n n a 1

1+=

+，求n a 。

解：由条件知

11+=

+n n a a n

n ，分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累乘之，即

2-?????????

n n a a a a a a a a n

n 14

1-?

????????

a a n 11

又3

21=

a ，n

a n 32=

∴

例3:已知31=a ，n n a n n a 2

3131+-=+ )1(≥n ，求n a 。

解：12

3132

231232

)2(31)2(32

)1(31)1(3a n n n n a n +-?

+?-??????+---?

+---=

3437526

331348531n n n n n --=

????=

--- 。

变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+???+++=n n a n a a a a (n ≥2)，

则{a n }的通项1___

n a ?=?

n n =≥

解：由已知，得n n n na a n a a a a +-+???+++=-+13211)1(32，用此式减去已知式，得当2≥n 时，n n n na a a =-+1，即n n a n a )1(1+=+，又112==a a ，

n a a a a a a a a a n n =???====∴-1

21,

,4,

1，将以上n 个式子相乘，得2

!n a n =

)2(≥n

类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。

解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1λλ+=++n n a p a ，其中1

-=p q λ，再利用换元法转

化为等比数列求解。

例4:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .

解：设递推公式321+=+n n a a 可以转化为)(21λλ+=++n n a a 即321=?+=+λλn n a a .故递推公式为

)3(231+=++n n a a ,令3+=n n a b ，则4311=+=a b ,且

311=++=

++n n n

n a a b b .所以{}n b 是以41=b 为首

项，2为公比的等比数列，则11224+-=?=n n n b ,所以32

-=+n n a . 变式:（2006，重庆,文,14）

在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项n a =_______________

（key:32

-=+n n a ）类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。（或1n

n n a p a r q +=+,

其中p ，q, r 均为常数）。

解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1

+n q

，得：

a q

p q

a n

n n n 11

++引入辅助数列{}n b （其中

n n q

a b =

），得：q

b q

p b n n 11+

+再待定系数法解决。

例5:已知数列{}n a 中，6

51=a ,1

1+++=

n n n a a ，求n a 。

解：在1

21(

31+++=

n n n a a 两边乘以1

2+n 得：1)2(3

+?=?++n n

n n a a

令n n

n a b ?=2，则13

21+=

+n n b b ,解之得：n

n b )3

23-=

所以n n

n n b a )3

1(2)21

(

-==

变式：（见二模第22题）：n n n a a 3521?=++，n

n n a a )2(531-?=-+

变式：（08年高考全国卷2 20）*

11,3,N n S a a a n n n ∈+==+

解：,32,3111n n n n n n n n S S S S S a +=+=-=+++两边同除以 1

3+n ，得

++n

n n n S S ，

令1

111)

2)(

(

)

2)(

1(1),1(3

21,3

2,3

--++-=-=--=

n n n n n n n n

n n a b b b b b b S b 则；

n n a S 32

)3(1

+?-=∴-

类型5 递推公式为n n n qa pa

a +=++1

2（其中p ，q 均为常数）。

解法：把原递推公式转化为)(112n n n n a a k a a λλ+=++++，令??

?==-q

k p k λλ，解得k ,λ的值，借助数列

{}n n a a λ++1为等比数列，求得{}n a 通项。

例6:（2006，福建,文,22）

已知数列{}n a 满足*

12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈求数列{}n a 的通项公式；

（I ）解：n n n n n n n n a a a a k k k k a a k a a 22,21,1223

),(112112-=-???=-=?

????=?-==-+=+++++++λλλλλλ＝－

n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a 22

)(),(2;11)2(21

1211121

121=?-=--=-=?-=--++++-+又;由

122

1211-=????=-=-++n

n n

n n n n a a a a a 练习:已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 3

212+

++，求n a 。

731:()

443n n k e y a -=

--。

类型6 递推公式为n S 与n a 的关系式。(或()n n S f a =) 解法：利用???≥???????-=????????????????=-)2()1(11n S S n S a n n

与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。

例7：数列{}n a 前n 项和2

14---=n n n a S .（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公式n a .

解：（1）由2

14--

-=n n n a S 得：1

112

14-++-

-=n n n a S

于是)212

1()(1

11--++-

+-=-n n n n n n a a S S 所以1

112

1-+++

-=n n n n a a a n

n n a a 2

11+

=?+.

（2）应用类型4（n

n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ））的方法，上式两边

同乘以12+n 得：222

+=++n n

n n a a

由12

1412

1111=?-

-==-a a S a .于是数列{}n n

a 2是以2为首项，2为公差的等差数列，所以

n n a n n

2)1(222=-+=1

?n n n a

变式：（一轮复习示范卷7）数列{}n a 中，)2(1

22,12

1≥-==n S S a a n n

n ，求数列的前n 项和n S 。

Key:1

21-=

n S n

类型7 r n

n pa a =+1)0,0(>>n a p

解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为p a

a a

n n r log

log

1+=+，再利用待定系数法求解。

例8：（二轮复习示范卷3）已知数列｛n a ｝中，3

11,2n n a a a ==+，求数列{}.的通项公式

n a

解：由两边取以2为底的对数得n n a a 2

log

3log 1=+，

令n a n b 2

log

=，则1

122

23log -=??=-n n n n a b

类型8周期型

解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。

例9：若数列{}n a 满足???

????

<≤-≤≤=+)

121(,12)210(,21

n n n n a a a a a ，若761=a ，则20a 的值为_____75______。

变式:（2005，湖南,文，5）已知数列}{n a 满足)(1

,0*

11N n a a a a n n n ∈+-

=+，则20a = （）

A ．0

B ．3-

C ．3

D ．

3 Key: ( B )

(完整版)常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题

常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题【典型例题】 [例1] b ka a n n +=+1型。（1）1=k 时，}{1n n n a b a a ?=-+是等差数列，)(1b a n b a n -+?= （2）1≠k 时，设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1 比较系数：b m km =- ∴ 1-= k b m ∴ }1{-+ k b a n 是等比数列，公比为k ，首项为11-+k b a ∴ 11)1(1-?-+=-+ n n k k b a k b a ∴ 1)1(11--?-+=-k b k k b a a n n [例2] )(1n f ka a n n +=+型。（1）1=k 时，)(1n f a a n n =-+，若)(n f 可求和，则可用累加消项的方法。例：已知}{n a 满足11=a ，)1(1 1+= -+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。解： ∵ 11 1)1(11+- =+= -+n n n n a a n n ∴ n n a a n n 1111--= -- 112121---=---n n a a n n 21 3132-- -=---n n a a n n …… 312123-= -a a 21112-=-a a 对这（1-n ）个式子求和得： n a a n 111- =- ∴ n a n 1 2- =

（2）1≠k 时，当b an n f +=)(则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++ ∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1 ∴ ???=--=-b A B k a A k )1()1( 解得：1-=k a A ，2 )1(1-+-=k a k b B ∴ }{B An a n ++是以B A a ++1为首项，k 为公比的等比数列 ∴ 1 1)(-?++=++n n k B A a B An a ∴ B An k B A a a n n --?++=-11)( 将A 、B 代入即可（3）n q n f =)(（≠q 0，1）等式两边同时除以1 +n q 得q q a q k q a n n n n 1 11+?=++ 令 n n n q a C = 则q C q k C n n 1 1+ =+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型 [例3] n n a n f a ?=+)(1型。（1）若)(n f 是常数时，可归为等比数列。（2）若)(n f 可求积，可用累积约项的方法化简求通项。例：已知： 311= a ，1121 2-+-=n n a n n a （2≥n ）求数列}{n a 的通项。解：123537532521232121212233 2211+= ?--?--?+-=???-----n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n ΛΛ ∴ 1211231+= +? =n n a a n [例4] 11 --+?? =n n n a m a m k a 型。

常见递推数列通项的九种求解方法

常见递推数列通项的九种求解方法高考中的递推数列求通项问题，情境新颖别致，有广度，创新度和深度，是高考的热点之一。是一类考查思维能力的好题。要求考生进行严格的逻辑推理，找到数列的通项公式，为此介绍几种常见递推数列通项公式的求解方法。类型一：1()n n a a f n +=+（()f n 可以求和） ????→解决方法累加法例1、在数列{}n a 中，已知1a =1，当2n ≥时，有121n n a a n -=+-()2n ≥，求数列的通项公式。解析：121(2)n n a a n n --=-≥Q ∴21324311 3 521 n n a a a a a a a a n --=??-=?? -=???-=-??M 上述1n -个等式相加可得： ∴211n a a n -=- 2n a n ∴= 评注：一般情况下，累加法里只有n-1个等式相加。【类型一专项练习题】 1、已知11a =，1n n a a n -=+（2≥n ），求n a 。 2、已知数列{}n a ，1a =2，1n a +=n a +3n +2，求n a 。 3、已知数列}a {n 满足1a 1n 2a a 1n 1n =++=+，，求数列}a {n 的通项公式。 4、已知}{n a 中，n n n a a a 2,311+==+，求n a 。 5、已知112a =,112n n n a a +??=+ ??? * ()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. 6、已知数列{}n a 满足11,a =()1 132,n n n a a n --=+≥求通项公式n a ？ 7、若数列的递推公式为1* 113,23()n n n a a a n N ++==-?∈，则求这个数列的通项公式 8、已知数列}a {n 满足3a 132a a 1n n 1n =+?+=+，，求数列}a {n 的通项公式。 9、已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。 10、数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =L ，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列．（I ）求c 的值；（II ）求{}n a 的通项公式． 11、设平面内有n 条直线(3)n ≥，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用()f n 表示

求递推数列的通项公式的十一种方法

求递推数列的通项公式的十一种方法利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一. 一、作差求和法例1 在数列{n a }中，31=a ,) 1(1 1++=+n n a a n n ，求通项公式n a . 解：原递推式可化为：1111+- + =+n n a a n n 则,211112-+=a a 3 1 2123-+=a a 413134-+=a a ，……，n n a a n n 1111--+=-逐项相加得：n a a n 111-+=.故n a n 1 4-=. 二、作商求和法例2 设数列{n a }是首项为1的正项数列，且0)1(12 2 1=+-+++n n n n a a na a n （n=1,2,3…），则它的通项公式是n a =▁▁▁（2000年高考15题）解：原递推式可化为： )]()1[(11n n n n a a na a n +-+++=0 ∵ n n a a ++1＞0， 1 1+=+n n a a n n 则 ,43,32,21342312===a a a a a a ……，n n a a n n 11-=- 逐项相乘得：n a a n 11=，即n a =n 1 . 三、换元法例3 已知数列{n a }，其中913,3421== a a ，且当n ≥3时，)(3 1 211----=-n n n n a a a a ，求通项公式n a （1986年高考文科第八题改编）. 解：设11---=n n n a a b ，原递推式可化为： }{,3121n n n b b b --=是一个等比数列，9134913121=-=-=a a b ，公比为31 .故 n n n n b b )31()31(91)31(2211==?=---.故n n n a a )31(1=--.由逐差法可得：n n a )3 1 (2123-=. 例4已知数列{n a }，其中2,121==a a ，且当n ≥3时，1221=+---n n n a a a ，求通项公式n a 。解由1221=+---n n n a a a 得：1)()(211=------n n n n a a a a ，令11---=n n n a a b ，则上式为 121=---n n b b ，因此}{n b 是一个等差数列，1121=-=a a b ，公差为1.故n b n =.。由于112312121-=-++-+-=+++--n n n n a a a a a a a b b b 又2 ) 1(121-=+++-n n b b b n 所以)1(211-= -n n a n ，即)2(2 1 2+-=n n a n

常见递推数列通项公式的求法

数列复习课（3）———常见递推数列通项公式的求法主备人：刘莉苹组长：李英时间：2013-9-16 教学目标： 1.通过求出数列前几项，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据特殊的递推公式求出数列的通项公式. 2.掌握把一些简单的数列变形转化为等差数列、等比数列的方法，体验解决数列问题的基本方法及理解运用的过程. 教学重点：处理递推关系的基本方法. 教学难点：通过变形转化成等差、等比数列的有关问题. 研讨互助问题生成引入新课：由递推公式求数列的通项公式的类型：（1）（2）（3）（4）()n f pa a n n +=+1型数列（p 为常数）（5）n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。（6）递推公式为n S 与n a 的关系式()n n S f a = 即n a 与n s 的关系11(1)(2)n n n s n a s s n -=?=?-≥? （7）r n n pa a =+1)0,0(>>n a p （8）) ()()(1n h a n g a n f a n n n +=+ （9）周期型思考：各类型通项公式的求法？合作探究问题解决类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。例1. 在数列{}n a 中,112,21,.n n n a a a n a +==+-求 1() n n a a f n +=+1() n n a a f n +=?1(0,1) n n a pa q p p +=+≠≠

变式: 1. 已知数列{}n a 满足211=a ，112 n n a a +=+，求n a . 2.若数列{}n b 满足11b =，112n n n b b +??-= ???(1)n ≥，求数列{}n b 的通项公式. 3.已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例2:已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。变式： 1. 已知31=a ，132n n a a += ，求n a 。 2.已知31=a ，n n a n n a 23131 +-=+ )1(≥n ，求n a 。

九类常见递推数列求通项公式方法

递推数列通项求解方法举隅类型一：1n n a pa q +=+（1p ≠）思路1（递推法）：()123()n n n n a pa q p pa q q p p pa q q q ---??=+=++=+++=?? ……121(1n p a q p p -=++++…211)11n n q q p a p p p --??+=+ ?+ ? --??。思路2（构造法）：设()1n n a p a μμ++=+，即()1p q μ-=得1 q p μ= -，数列{}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列，则1 111n n q q a a p p p -??+ =+ ?--?? ，即1111n n q q a a p p p -??=++ ? --?? 。例1 已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =，求数列{}n a 的通项公式。解：方法1（递推法）： ()123232(23)3222333n n n n a a a a ---??=+=++=+++=??…… 1223(122n -=++++ (211) 332)12232112n n n --+??+=+?+=- ? --?? 。方法2（构造法）：设()12n n a a μμ++=+，即3μ=，∴数列{}3n a +是以134a +=为首项、2为公比的等比数列，则1 1342 2n n n a -++=?=，即123n n a +=-。类型二：1()n n a a f n +=+ 思路1（递推法）： 123(1)(2)(1)(3)(2)(1)n n n n a a f n a f n f n a f n f n f n ---=+-=+-+-=+-+-+-= …1 11 ()n i a f n -==+ ∑。

(完整版)已知数列递推公式求通项公式的几种方法

求数列通项公式的方法一、公式法例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。解：1232n n n a a +=+?两边除以12n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2 n n a 是以1222 a 1 1==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222 n n a n =-。评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 11 3 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22 n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。二、累加法例2 已知数列{}n a 满足1121 1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1 (1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++=L L L 所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+L ，即得数列{}n a 的通项公式。

九类常见递推数列求通项公式方法

递推数列通项求解方法类型一：1n n a pa q += +（1p ≠）思路1（递推法）：()123()n n n n a pa q p pa q q p p pa q q q ---??=+=++=+++=?? ......121(1n p a q p p -=++++ (2) 1 1)11n n q q p a p p p --??+=+?+ ? --?? 。思路2（构造法）：设()1n n a p a μμ++=+，即()1p q μ-=得1 q p μ= -，数列 {}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列，则1 111n n q q a a p p p -??+ =+ ?--??，即1111n n q q a a p p p -??=++ ? --?? 。例1 已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =，求数列{}n a 的通项公式。解：方法1（递推法）： ()123232(23)3222333n n n n a a a a ---??=+=++=+++=?? (1) 22 3(122n -=++++ (2) 11 332 )12232112n n n --+??+=+?+=- ? --? ?。方法2（构造法）：设()12n n a a μμ++=+，即3μ=，∴数列{}3n a +是以134 a +=为首项、2为公比的等比数列，则113422n n n a -++=?=，即1 23n n a +=-。

1n n +思路1（递推法）： 123(1)(2)(1)(3)(2)(1)n n n n a a f n a f n f n a f n f n f n ---=+-=+-+-=+-+-+-= …1 11 ()n i a f n -==+∑。思路2（叠加法）：1(1)n n a a f n --=-，依次类推有：12(2)n n a a f n ---=-、 23(3)n n a a f n ---=-、…、21(1)a a f -=，将各式叠加并整理得1 11 ()n n i a a f n -=-= ∑ ，即 1 11 ()n n i a a f n -==+ ∑ 。例2 已知11a =，1n n a a n -=+，求n a 。解：方法1（递推法）：123(1)(2)(1)n n n n a a n a n n a n n n ---=+=+-+=+-+-+= ......1[23a =+++ (1) (1)(2)(1)]2 n i n n n n n n =++-+-+= = ∑ 。方法2（叠加法）：1n n a a n --=，依次类推有：121n n a a n ---=-、232n n a a n ---=-、…、 212a a -=，将各式叠加并整理得12 n n i a a n =-= ∑ ，12 1 (1)2 n n n i i n n a a n n ==+=+ = = ∑ ∑ 。

常见线性递推数列通项的求法

常见线性递推数列通项的求法对于由递推式所确定的数列通项公式问题，往往将递推关系式变形转化为我们熟知的等差数列或等比数列，从而使问题简单明了。这类问题是高考数列命题的热点题型，下面介绍常见线性递推数列求通项的基本求法。一、一阶递推数列 1、q pa a n n +=+1型形如q pa a n n +=+1（q p 且1≠为不等于0的常数）的数列，可令)(1x a p x a n n +=++ 即x p pa a n n )1(1-+=+与q pa a n n +=+1比较得1-=p q x ，从而构造一个以1 1-+p q a 为首项以p 为公比的等比数列? ????? -+1p q a n 例1．在数列{a n }中，,13,111-?==+n n a a a 求n a . 解：在131-?=+n n a a 的两边同加待定数λ，得n n n a a a (3131?=+-?=++λλ+（λ－1）/3），令,3)1(-=λλ得).21(321.211-?=-∴-=+n n a a λ数列{}2 1-n a 是公比为3的等比数列, ∴a n 21-=).13(21,32 111+=∴?--n n n a 2、 ()n g a c a n n +?=+1型 (1)1=c 时：解题思路：利用累差迭加法，将)1(1-=--n g a a n n ，--1n a 2-n a =)2(-n g ，…，-2a 1a =)1(g ,各式相加，正负抵消，即得n a . 例2．在数列{}n a 中，01=a 且121-+=+n a a n n ，求通项n a . 解：依题意得，01=a ，()32112,,3,112312-=--=-=-=--n n a a a a a a n n Λ，把以上各式相加，得【评注】由递推关系得，若()n g 是一常数，即第一种类型，直接可得是一等差数列；若n n a a -+1非常数，而是关于n 的一个解析式，可以肯定数列n a 不是等差数列，将递推式中的n 分别用 2,3,4,,2,1Λ--n n 代入得1-n 个等式相加，目的是为了能使左边相互抵消得n a ，而右边往往可以转化为一个或几个特殊数列的和。（2）1≠c 时：例3．在数列{}n a 中，,3,1211n a a a n n +==+求通项n a . 解：作新数列}{n b ，使),(2C Bn An a b n n ++-=即),(2C Bn An b a n n +++=（A ，B ，C 为待定常数）。由213n a a n n +=+可得：C n B n A b n ++++++)1()1(21=,)(322n C Bn An b n ++++ 所以，B A C n A B n A b b n n --+-+++=+2)22()12(321，设2A+1=0，2B-2A=0，2C-A-B=0，可

已知数列递推公式求通项公式的几种方法

已知数列递推公式求通项公式的几种方法 Revised on November 25, 2020

求数列通项公式的方法一、公式法例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。解：1232n n n a a +=+?两边除以12n +，得 113222n n n n a a ++=+，则11 3 222 n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 是以1222 a 1 1==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222n n a n =-。评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 11 3 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2 n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出3 1(1) 22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。二、累加法例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为 121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-+ +-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。例3 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由1231n n n a a +=+?+得1231n n n a a +-=?+则所以3 1.n n a n =+-

常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题

1 【典型例题】 [例 1] a n 1 (1)k (2) k 比较系数: {a n a n [例 2] a n 1 (1)k 例: 已知解: a n a n a 3 a n 常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题 ka n b 型。 1 时，a n 1 1时，设a n km m ka n 1 时, a n ｝是等比数列, (a i f (n) 型。 a n 1 a n {a n }满足a i a n a n a n a 2 对这（n b ｛a n ｝是等差数列, a n b n 佝 b) k(a n m) a n 1 ka n km 公比为 1) k ”1 f(n) k ，首项为 a n 1 a n a i a n (a 1 k n1 f （n ）可求和, 则可用累加消项的方法。 n （n 1）求｛a n ｝的通项公式。 1 n(n 1 ) a 2 a n 1 a n a 1 1 个式子求和得: a n a 1 a n 2 - n

(2) k1时, 当f(n) an b则可设a n A(n 1) B k(a n An B) a n 1 ka n (k 1)A n (k 1)B A (k (k 1)A 1)B 解得: a 2 (k 1) ,? {a n An B｝是以 a1 B为首项, k为公比的等比数列 a n An (a1 B) k n1 a n (a1 B) k n1An B将A、B代入即可 (3) f(n) 0, 1) 等式两边同时除以 a n 1 1 c n 1 得q a n n q C n 令C n 1 {C n}可归为a n 1 ka n b型 [例3] a n f(n) a n型。 (1)f(n)是常数时, 可归为等比数列。 f(n)可求积，可用累积约项的方法化简求通项。例：已知: a1 2n 1 a n 1 2n 1 2)求数列｛a n｝的通项。解: a n a n a n 1 a n 1 a n 2 a n a 1 a n 2 a n 3 k m a n 1 m a n 1 型。a3 a2 a2 a1 2n 1 2n 2n 1 2n 3 2n 5 5 3 3 2n 1 2n 3 7 5 2n 1 [例4]

常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题

.. . 常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题【典型例题】 [例1] b ka a n n +=+1型。（1）1=k 时，}{1n n n a b a a ?=-+是等差数列，)(1b a n b a n -+?= （2）1≠k 时，设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1 比较系数：b m km =- ∴ 1-= k b m ∴ }1{-+ k b a n 是等比数列，公比为k ，首项为11-+k b a ∴ 11)1(1-?-+=-+ n n k k b a k b a ∴ 1)1(11--?-+=-k b k k b a a n n [例2] )(1n f ka a n n +=+型。（1）1=k 时，)(1n f a a n n =-+，若)(n f 可求和，则可用累加消项的方法。例：已知}{n a 满足11=a ，)1(1 1+= -+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。解： ∵ 11 1)1(11+- =+= -+n n n n a a n n ∴ n n a a n n 1111--= -- 112121---=---n n a a n n 21 3132-- -= ---n n a a n n ……

.. . 312123-= -a a 21112-=-a a 对这（1-n ）个式子求和得： n a a n 111- =- ∴ n a n 1 2- = （2）1≠k 时，当b an n f +=)(则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++ ∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1 ∴ ???=--=-b A B k a A k )1()1( 解得： 1-= k a A ，2)1(1-+-=k a k b B ∴ }{B An a n ++是以B A a ++1为首项，k 为公比的等比数列 ∴ 1 1)(-?++=++n n k B A a B An a ∴ B An k B A a a n n --?++=-1 1)( 将A 、B 代入即可（3）n q n f =)(（≠q 0，1）等式两边同时除以1 +n q 得q q a q k q a n n n n 1 11+?=++ 令 n n n q a C = 则q C q k C n n 1 1+ =+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型 [例3] n n a n f a ?=+)(1型。（1）若)(n f 是常数时，可归为等比数列。（2）若)(n f 可求积，可用累积约项的方法化简求通项。例：已知： 311= a ，1121 2-+-=n n a n n a （2≥n ）求数列}{n a 的通项。解：123537532521232121212233 2211+= ?--?--?+-=???-----n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n

考点20 递推公式求通项(第2课时)——2021年高考数学专题复习真题练习

考点20 递推公式求通项（第二课时）【题组一构造等差数列】 1．在数列中，若，，则。 {}n a 12a =()*121 n n n a a n a += ∈+N n a = 2．若数列中，，则这个数列的。 {}n a 11113n n n a a a a ，+== +n a = 3．已知数列满足，则数列的通项公式_______． {}n a ()* 112,222,n n n a a a n n N -==+≥ò{}n a n a =

4．在数列中，，且满足，则＝________ {}n a 13 2a = 11 3(2)32n n n a a n a --=≥+n a 【题组二构造等比数列】 1．已知数列中，，则数列通项公式为_____． {}n a () * 111,34,2n n a a a n N n -==+∈≥且{}n a

2.在数列{a n}中，a1＝3，且点P n(a n，a n＋1)(n∈N*)在直线4x－y＋1＝0上，则数列{a n}的通项公式为________． 3．在数列{a n}中，a1＝3，a n+1＝2a n﹣1（n∈N*），则数列{a n}的通项公式为。

4．已知数列满足，，则等于。 {}n a 1a 1=n 1n a 3a 4+=+n a 【题组三周期数列】 1．已知数列中，， ()，则等于。 {}n a 12a =11 1n n a a -=- 2n ≥2018a

2．已知数列满足，且，则。 {}n a 1(1)1n n a a +?-=11 2a =- 2020a = 3．设数列满足:,,则______. {}n a 112a = ()1 111n n n a a n a ++=≥-2016a = 4．数列中，，，（），则______. {}n a 11a =25a =21n n n a a a ++=-N n *∈2012a =

几种分式型递推数列的通项求法

几种分式型递推数列的通项求法李云皓 (湖北省宜昌市夷陵中学，湖北宜昌 443000) 1.1 引言数列是高中数学中的重要内容之一，是高考的热点，而递推数列又是数列的重要内容。数列中蕴含着丰富的数学思想，递推数列的通项问题也具有很强的逻辑性和一定的技巧性，因此此类问题也经常渗透在高考试题和数学竞赛中。本文对分式型递推数列求通项问题作一些探求，希望对大家有所启发。 2.1 基本概念设数列的首项为，且其中为常数，同时，我们称这个递推公式为分式递推式，而数列称为由分式递推式给定的数列。显然，该数列的递推式也可写成 2.2 递推式的特征方程与特征根我们先来看一个引例：首项为，由递推式给定的数列的通项公式我们是会求的：即为常系数等比差数列（由递推式给定的数列，其中为常数），

该数列的通项是熟知的，为于是考虑能不能变型后让②中的没有，即让①中的没有。我们可以利用递推式的特征方程来解决这个问题。下面给出特征方程推导过程：数列的递推式为两边同时减去得通分后得令即方程③保留了原递推式的特征，故称为该递推式的特征方程，为特征根。 3.1 例题（第一部分）下面我们通过几个例题来说明特征方程的应用。

两式相除得故当方程③有两不等实根时，可用此方法求出通项公式。两边同乘3得两边取倒数故当方程③有两相等实根时，也可用此方法求出通项公式。

两式相除得由此，当方程③有两虚数根时，用此方法求通项公式也是正确的。 3.2 例题（第二部分）下面我们来看另一类型的分式递推式。

还要两边再取倒数还原，请读者自己完成化简令令下面的递推请读者自己完成 4.1 练习

递推公式求通项公式的几种方

由递推公式求通项公式的常用方法由数列的递推公式求通项公式是高中数学的重点问题，也是难点问题，它是历年高考命题的热点题。对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。方法一：累加法形如a n +1－a n ＝f (n )（n ＝2,3,4,…）,且f (1)＋f (2)＋…＋f (n -1)可求，则用累加法求a n 。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后利用这种方法求解。例1：（07年北京理工农医类）已知数列{a n }中，a 1＝2,a n ＋1＝a n ＋cn (c 是常数，n ＝1,2,3,…)且a 1,a 2,a 3成公比不为1的等比数列（1）求c 的值（2）求{a n }的通项公式解：（1）a1,a2,a3成公比不为1的等比数列 2 022)2(2)() ,3,2,1(111113 12 2===++?=+∴=+=?=∴+c c a c c a a c a n cn a a a a a n n 因此（舍去）或解得又（2）由（1）知n a a n a a n n n n 2,211=-+=++即，将n ＝1,2, …,n －1,分别代入 ) 1(2322 2121342312-=-?=-?=-?=--n a a a a a a a a n n 将上面n －1个式子相加得a n －a 1＝2(1＋2＋3＋…＋n －1)＝n 2 －n 又a 1＝2,a n ＝n 2 －n ＋2 方法二：累乘法形如 a n +1 a n ＝g (n )（n ＝2,3,4…），且f (1)f(2)…f (n －1)可求，则用累乘法求a n .有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。

求数列通项公式的11种方法

求数列通项公式的11种方法方法总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法（少用）不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法二．四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。三．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等级差数列或等比数列。四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。一、累加法 1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。 2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则 21321(1) (2) () n n a a f a a f a a f n +-=-=-=

两边分别相加得 111 ()n n k a a f n +=-= ∑ 例1 已知数列{}n a 满足1121 1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。例2 已知数列{}n a 满足11231 3n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。解法一：由1231n n n a a +=+?+得1231n n n a a +-=?+则 11232211 122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13) 2(1)3 13 331331 n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=?++?+++?++?++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+- 所以3 1.n n a n =+- 解法二：13231n n n a a +=+?+两边除以1 3 n +，得 111 21 3333 n n n n n a a +++=++，则 111 21 3333n n n n n a a +++-=+，故

求数列通项公式的十种方法-例题答案详解

< 求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、 ~ 倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。三．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。 ] 五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。一、累加法 1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。 2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则 21321(1) (2) () n n a a f a a f a a f n +-=-=-=

两边分别相加得 111 ()n n k a a f n +=-= ∑ 例1 已知数列{}n a 满足1121 1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则！所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。解法一：由1231n n n a a +=+?+得1231n n n a a +-=?+则 11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)3 2(3333)(1)3 3(13)2(1)3 13 331331 n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=?++?+++?++?++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+- 所以3 1.n n a n =+- 解法二：13231n n n a a +=+?+两边除以1 3n +，得 111 21 3333n n n n n a a +++=++ ，则 11121 3333 n n n n n a a +++-=+，故因此1 1(13) 2(1)2113133133223 n n n n n a n n ---=++=+--?，则211 33.322 n n n a n = ??+?- < 评注：已知a a =1,) (1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项 n a .

备战2020数学高考三大类递推数列通项公式的求法

三大类递推数列通项公式的求法湖北省竹溪县第一高级中学徐鸿一、一阶线性递推数列求通项问题一阶线性递推数列主要有如下几种形式： 1. 这类递推数列可通过累加法而求得其通项公式(数列{f(n)}可求前n项和). 当为常数时，通过累加法可求得等差数列的通项公式．而当为等差数列时，则为二阶等差数列，其通项公式应当为形式，注意与等差数列求和公式一般形式的区别，后者是，其常数项一定为０． 2. 这类递推数列可通过累乘法而求得其通项公式(数列{g(n)}可求前n项积). 当为常数时，用累乘法可求得等比数列的通项公式． 3.；这类数列通常可转化为，或消去常数转化为二阶递推式 . 例１已知数列中，,求的通项公式．解析：解法一：转化为型递推数列． ∵∴又，故数列｛｝是首项为２，公比为２的等比数列．∴，即．解法二：转化为型递推数列． ∵=2x n-1+1(n≥2) ①∴=2x n+1 ② ②－①，得(n≥2)，故｛｝是首项为x 2-x 1 =2，公比为２的等比数列，即，再用累加法得．解法三：用迭代法．当然,此题也可用归纳猜想法求之，但要用数学归纳法证明．

例２已知函数的反函数为求数列的通项公式. 解析：由已知得，则．令=,则.比较系数，得. 即有．∴数列｛｝是以为首项，为公比的等比数列，∴，故．评析：此题亦可采用归纳猜想得出通项公式，而后用数学归纳法证明之．（4）若取倒数,得，令，从而转化为（1）型而求之. （5）；这类数列可变换成，令，则转化为(1)型一阶线性递推公式. 例３设数列求数列的通项公式．解析：∵，两边同除以，得．令，则有．于是，得，∴数列是以首项为，公比为的等比数列，故，即，从而．例４设求数列的通项公式．解析：设用代入，可解出．

常见递推数列通项的求解方法

6常见递推数列通项的求解方法高考中的递推数列求通项问题，情境新颖别致，有广度，创新度和深度，是高考的热点之一。是一类考查思维能力的好题。要求考生进行严格的逻辑推理，找到数列的通项公式，为此介绍几种常见递推数列通项公式的求解方法。类型一：)(1n f a a n n +=+（)(n f 可以求和）???? →解决方法累加法例1、在数列{}n a 中，已知1a =1，当2n ≥时，有121n n a a n -=+-()2n ≥，求数列的通项公式。解析：121(2)n n a a n n --=-≥Q ∴213243113 521 n n a a a a a a a a n --=??-=?? -=???-=-??M 上述1n -个等式相加可得： 211n a a n -=- 2n a n ∴= 评注：一般情况下，累加法里只有n-1个等式相加。类型二：1()n n a f n a +=? （()f n 可以求积）???? →解决方法累积法例2、在数列{}n a 中，已知11,a =有()11n n na n a -=+，(2n ≥)求数列{}n a 的通项公式。解析：1232 112321 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----= ????L 123211143n n n n n n --=????+-L 2 1 n = + 又1a Q 也满足上式；21 n a n ∴=+ * ()n N ∈ 评注：一般情况下，累积法里的第一步都是一样的。类型三：1(n n a Aa B +=+≠其中A,B 为常数A 0,1）???? →解决方法待定常数法可将其转化为1()n n a t A a t ++=+，其中1 B t A =-，则数列{}n a t +为公比等于A 的等比数列，然后求n a 即可。例3 在数列{}n a 中， 11a =，当2n ≥时，有132n n a a -=+，求数列{}n a 的通项公式。解析：设()13n n a t a t -+=+，则132n n a a t -=+ 1t ∴=，于是()1131n n a a -+=+ {}1n a ∴+是以112a +=为首项，以3为公比的等比数列。 1231n n a -∴=?- 类型四：() 110n n n Aa Ba Ca +-++=??≠；其中A,B,C 为常数，且A B C 0 可将其转化为()()()112n n n n A a a a a n αβα+-+=+≥-----（*）的形式，列出方程组 A B C αββα?-=?? -?=?,解出,;αβ还原到（*）式，则数列{}1n n a a α++是以21a a α+为首项， A β 为公比的等比数列，然后再结合其它方法，就可以求出n a 。