初中数学中考分类二次函数的应用解答题讲义导学案含答案解析
三、解答题
353001. （2018·襄阳，23，10分）（本小题满分10分）
襄阳精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第x 天的售价为y 元/千克，y 关于x 的函数解析式为y ＝()()761202030mx m x x n
x x ?-????≤＜，为正整数，≤≤，为正整数，且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成本是18元/千克，每天的利润是W 元（利润＝销售收入－成本）．
（1）m ＝______，n ＝______；
（2）求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？
（3）在销售蓝莓的30天中，当天利润不低于870元的共有多少天？
思路分析：（1）根据“第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克”可知，x ＝12时，y ＝32；x ＝26时，y ＝25，将它们代入y 关于x 的函数解析式中即可求出m ，n 的值．（2）根据“在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克”可知，第x 天的销售量为20＋4(x －1)＝4x ＋16，于是由“当天利润＝当天销售量×每千克的销售利润”求得W 关于x 的函数关系式，注意是分段函数，然后利用二次函数的最值问题和一次函数的增减性讨论求解．（3）就是要求出使W ≥870的整数x 值有多少个，即为多少天．这需要根据（2）中的计算结果，结合二次函数与一元二次方程的关系及一元一次不等式知识求解．
解：（1）m ＝－12
，n ＝25． （2）第x 天的销售量为20＋4(x －1)＝4x ＋16．
当1≤x ＜20时，W ＝(4x ＋16)(－12
x ＋38－18)＝－2x 2＋72x ＋320＝－2(x －18)2＋968． ∴当x ＝18时，W 最大值＝968．
当20≤x ≤30时，W ＝(4x ＋16)(25－18)＝28x ＋112．
∵28＞0，∴W 随x 的增大而增大．∴当x ＝30时，W 最大值＝952．
∵968＞952，∴当x ＝18时，W 最大值＝968．
即第18天当天的利润最大，最大利润为968元．
（3）当1≤x ＜20时，令－2x 2＋72x ＋320＝870，解得x 1＝25，x 2＝11．
∵抛物线W ＝－2x 2＋72x ＋320的开口向下，
∴11≤x ≤25时，W ≥870．∴11≤x ＜20．
∵x 为正整数，∴有9天利润不低于870元．
当20≤x ≤30时，令28x ＋112≥870，解得x ≥27114．∴27114
≤x ≤30． ∵x 为正整数，∴有3天利润不低于870元．
综上所述，当天利润不低于870元的共有12天．
353002.（2018·黄冈市，23，9分）我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品，经分析发现月销售
量y （万件）与月份x （月）的关系为：()()418,20912,x x x y x x x ?+?=?-+??
≤≤为整数≤≤为整数，每件产品的利润z （元）与月份x （月）的关系如下表：
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
z 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 10 10
（1）请你根据表格求出每件产品利润z （元）与月份x （月）的关系式；
（2）若月利润w （万元）＝当月销售量y （万件）×当月每件产品的利润z （元），求月利润w （万元）
与月份x （月）的关系式；
（3）当x 为何值时，月利润w 有最大值，最大值为多少？
思路分析：
（1）观察表格发现：1~10月份，随着月份（x ）的增加，每件产品的利润（z ）不断减少，且
是依次减少1元；11、12月份的每件产品的利润保持不变．故能得出两个结论：一是z
与x 之间的函数关系是个分段函数，二是1~10月份的z 与x 之间的函数关系为一次函数；
（2）利用等量关系式w ＝yz 写出函数关系式，注意是分段函数，自变量分为1~8、9~10、11~12
三段；
（3）分别求出每段函数的最大值，再比较取出w 的最大值．
解答过程：
（1）由表格可知：1~10月份每件产品的利润z （元）与月份x （月）之间的函数关系为一次函
数，11、12月份的z 均为10（元）
①当1≤x ≤10，x 为整数时，设z ＝kx ＋b ，当x ＝1时，z ＝19；当x ＝2时，z ＝18
即有方程组19182k b k b
=+??=+? 解这个方程组，得120k b =-??=?
故z ＝－x ＋20，检验其他数据均满足该关系式 ②当11≤x ≤12，x 为整数时，z ＝10
综上：每件产品的利润z （元）与月份x （月）之间的函数关系式为
()()20110,101112,x x x z x x ?-+?=???
≤≤为整数≤≤为整数； （2）()()()()()()()()20418,202010,10201112,x x x x w x x x x x x x ?-++?=-+-+??-+?
≤≤为整数9≤≤为整数≤≤为整数，
化简得()()()()22168018,2010,102001112,x x x x w x x x x x x ?-++??=-+??-+??
≤≤为整数9≤≤为整数≤≤为整数；
（3）①当1≤x ≤8，x 为整数时，w ＝21680x x -++＝()2
8144x --+，
当x ≤8，w 随x 的增大而增大，
∴当x ＝8时，w 有最大值＝()288144--+＝0＋144＝144万元；
②当9≤x ≤10，x 为整数时，w ＝()220x -+，
当x ＜20时，w 随x 的增大而减小，
∴当x ＝9时，w 有最大值＝()2920-+＝121万元；
③当11≤x ≤12，x 为整数时，w ＝10200x -+，
∵k ＝－10，∴w 随x 的增大而减小，
∴当x ＝11时，w 有最大值＝－10×11＋200＝90万元
∵90＜121＜144
∴当x ＝8时，w 有最大值144万元．
353003.(2018·荆门，22，10分)随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购了10000kg 小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的成本相同，放养10天的总成本为166000元；放养30天的总成本为178000元．设这批小龙虾放养t 天后的质量为a kg ，销售单价为y 元/kg ，
根据往年的行情预测，a 与t 的函数关系为a ＝10000 (020),1008000 (2050).t t t ??+?
≤≤＜≤y 与t 的函数关系如图所示． (1)设每天的养殖成本为m 元，收购成本为n 元，求m 与n 的值；
(2)求y 与t 的函数关系式；
(3)如果将这批小龙虾放养t 天后一次性出售所得利润为W 元，问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？
(总成本＝放养总费用＋收购成本；利润＝销售总额－总成本)
思路分析：(1)根据“放养10天的总成本为166000元；放养30天的总成本为178000元”列方程组求解；
(2)利用待定系数法求两条线段的解析式；(3)分20天前和20天后两种情况列函数解析式求解．
解：(1)依题意得10166000,30178000.m n m n +=??+=?解得600,160000.m n =??=?
(2)①当0≤t ≤20时，设y ＝k 1t ＋b 1，由图象得11116,2028.b k b =??+=?解得113,516.
k b ?=???=? ∴y ＝35
t ＋16． ②当20＜t ≤50时，设y ＝k 2t ＋b 2，由图象得22222028,5022.k b k b +=??+=?解得2
21,532.
k b ?=-???=? ∴y ＝－15
t ＋32． 综上，y ＝316(020),5132(2050).5
t t t t ?+???-+?≤≤＜≤ (3)W ＝ya －mt －n ．
①当0≤t ≤20时，W ＝10000(35
t ＋16)－600t －160000＝5400t ． ∵5400＞0，∴当t ＝20时，W 最大＝5400×20＝108000．
②当20＜t ≤50时，W ＝(－15
t ＋32)(100t ＋8000)－600t －160000 ＝－20t 2＋1000t ＋96000＝－20(t －25)2＋108500．
∵－20＜0，抛物线的开口向下，∴当t ＝25时，W 最大＝108500．
∵108500＞108000，
∴当t ＝25时，W 取得最大值，该最大值为108500元．
353004. (2018安徽，22，12分)小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆，售后统计，盆
景平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元．调研发现：
①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元； ②花卉的平均每盆利润始终不变．
小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x 盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W 1，W 2(单位：元)
（1）用含x 的代数式分别表示W 1，W 2；
（2）当x 取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W 最大，最大总利润是多少？ 思路分析：（1）分别用含x 的代数式表示第二期培植的盆景和花卉的数量，根据利润＝每盆的利润×数量可求解；（2）先根据W ＝W 1＋W 2用含x 的代数式表示W ，并配成顶点形式，再结合抛物线的开口方向、自变量x 的取值范围和x 是正整数可求出W 的最大值．
解答过程：（1）W 1＝(x ＋50)(160－2x )＝－2x 2＋60x ＋8000；W 2＝19(50－x )＝－19x ＋950． （2）W ＝W 1＋W 2＝(－2x 2＋60x ＋8000)＋(－19x ＋950)＝－2x 2＋41x ＋8950＝－2(x －4
41)2＋916081．∵－2＜0，∴抛物线开口向下，又0＜x ＜50，且x 是整数，当x ＝10时，W 最大＝－2×(10－441)250
20 t /天
y /(元/kg)
16
28
22 第22题图
＋916081＝9160(元)；当x ＝11时，W 最大＝－2×(11－441)2＋91608
1＝9159(元)．综上所述当x ＝10时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W 最大，最大利润是9160元．
353005.（2018·江西，21，9分）某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某产品种蜜柚．到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销量y (千克)与销售单价x (元/千克)之间的函数关系如图所示．
（1）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；
（2）当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？
（3）某农户今年共采摘蜜柚4800千克，该品种蜜柚的保持期为40天，根据（2）中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批蜜柚？请说明理由．
第21题图
思路分析：（1）设出一次函数解析式y ＝kx ＋b ，将(10，200)(15，150)代入，求出k 、b 即可；（2）利用总利润＝每千克利润×千克数，得到二次函数形式，再利用顶点式求最值；（3）在（2）下，求出每天的销售量，再算出总销售量，然后和今年共采摘量比较即可．
解答过程：解：（1）设函数关系式为)0(≠+=k b kx y
∵分别把点（10，200）、（15，150）代入解析式，得
y ＝－10x ＋300（8≤x ＜30）．
（2）设每天获得的利润为w ，则：
w ＝y （x －8）＝（－10x ＋300）（x －8）＝－10（x －19）2＋1210．
∴当蜜柚定价为19元/千克时，每天获得的利润最大，是1210元．
（3）根据（2）可知,当定价为19元时，销售量y ＝－10×19＋300＝110，
∵蜜柚总量为4800千克，销售天数为：4800÷110＞40．
答：不能销售完这批蜜柚．
353006. （2018滨州，23，12分） 如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一
条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y （单位：m ）与飞行时间x （单位：s ）之间具有函数关系y ＝－5x 2＋20x ，请根据要求解答下列问题：
（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m 时，飞行的时间是多少？
（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？
（3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？
第23题图 思路分析：（1）小球飞行高度为15m ，即y ＝－5x 2＋20x 中y 的值为15，解方程求出x 的值，即为飞行时间；
（2）小球飞出时和落地时的高度为0，据此可以得出0＝－5x 2＋20x ，求出x 的值，再求差即可；
（3）求小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？即求x 为何值时，二次函数有最大值，最大值是多少？
解答过程：（1）当y ＝15时有－5x 2＋20x ＝15，化简得x 2－4x ＋3＝0因式分解得（x －1）（x －3）＝
0，故x ＝1或3，即飞行时间是1秒或者3秒
（2）飞出和落地的瞬间，高度都为0，故y ＝0．所以有0＝－5x 2＋20x ，解得x ＝0或4，所以从飞出到落地所用时间是4－0＝4秒
（3）当x ＝2b a
-＝202(5)--＝2时，小球的飞行高度最大，最大高度为20米.
353007.(2018·青岛，22，10分)某公司投入研发费用80万元(80万元只计入第一年成本)，成功研发出一种产品．公司 按订单生产(产量=销售量)，第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此产品年销售量y (万件)与售价x (元/件)之间满足函数关系式y ＝－x ＋26．
（1）求这种产品第一年的利润W 1(万元)与售价x (元/件)满足的函数关系式；
（2）该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？
（3）第二年，该公司将第一年的利润20万元(20万元只计入第二年成本)再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润2W 至少为多少万元．
思路分析：（1）根据“第一年的利润＝总销售额－总生产成本－研发费用”求解；（2）将W ＝20代入（1）
中所求函数解析式求解；（3）先列出第二年的利润W 2与x 的函数解析式，再结合x ≤16及y ≤12求解． 解答过程：解：（1）根据题意，得()()16802662680W xy y x x x =--=-+--+-
226615680x x x =-++--，故2132236W x x =-+-．
答：这种产品第一年的利润1W (万元)与售价x (元/件)满足的函数关系式为2132236W x x =-+-；
（2）∵该产品第一年的利润为20万元，
∴23223620x x -+-=，
∴2322560x x -+=
∴()2
160x -=，∴1216x x ==
答：该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是16元;
（3） 依题意得：()()152********W yx y x x x =--=-+--+-
∴2231150W x x =-+-， ∵公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，∴x ≤16，
∵另外受产能限制，销售量无法超过12万件， ∴－x ＋26≤12，解得：x ≥14，
∴()2
2311501416W x x x =-+-≤≤， ∵－1＜0，对称轴为312
x =， ∴x ＝14时，2W 有最小值为88万元，
答：利润最少为88万元．
353008. （2018威海，23，10分）为了支持大学生创业，某市政府出台了一项优惠政策：提供10万元的无息创业贷款，小王利用这笔贷款，注册了一家淘宝网店，招收5名员工，销售一种火爆的电子产品，并约定用该网店经营的利润，逐月偿还这笔无息贷款，已知该产品的成本为每件4元，员工每人每月的工资为4千元，该网店还需每月支付其它费用1万元，该产品每月销售量y (万件)与销售单价x (元)之间的函数关系如图所示．
(1)求该网店每月利润w (万元)与销售单价x (元)之间的函数表达式；
(2)小王自网店开业起，最快在第几个月可还清10万元的无息贷款？
思路分析：（1）先用待定系数法求出直线AB 与BC 的函数表达式，然后在4≤x ≤6与6≤x ≤8时，根据“每月利润＝销售单价×每月销售量－工资及其他费用”列出W 与x 之间的函数表达式；（2）先求出每月的最大利润，然后求出最快还款的时间．
解答过程：(1)设直线AB 的函数表达式为y AB ＝kx ＋b ，代入A （4，4），B （6，2），得
4426k b k b =+??=+?，解得18k b =-??=?
．∴直线AB 的函数表达式为y AB ＝－x ＋8． 设直线BC 的函数表达式为y BC ＝k 1x ＋b 1，代入B （6，2），C （8，1），得
11112618k b k b =+??=+?，解得11125
k b ?=-???=?，∴直线BC 的函数表达式为y BC ＝－21x ＋5． 工资及其他费用为0.4×5＋1＝3（万元）．
当4≤x ≤6时，∴()()1483W x x =--+-，即211235W x x =-+-．
当6≤x ≤8时，∴()214532W x x ??=--+- ???，即2217232
W x x =-+-．
(2)当4≤x ≤6时， ()221123561W x x x =-+-=--+，∴当6x =时，1W 取得最大值1．
当6≤x ≤8时，()2221137237222W x x x =-+-=-
-+，∴当x ＝7时，2W 取得最大值1.5． ∴1020261.533
==，即第7个月可以还清全部贷款． 353009.（2018眉山市，24，9分）传统的端午节即将来临，某企业接到一批粽子生产任务，约定这批粽子
的出厂价为每只4元，按要求在20天内完成．为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x 天生产的粽子数量为y 只，y 与x 满足如下关系：34(06)2080(620)
x x y x x ≤≤?=?+<≤? （1）李明第几天生产的粽子数量为280只？
（2）如图，设第x 天生产的每只粽子的成本是p 元，p 与x 之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若
李明第x 天创造的利润为w 元，求w 与x 之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大
利润是多少元？（利润＝出厂价－成本）
思路分析：（1）观察，分析题意可以发现，前六天中第6天生产粽子数量最多共34×6＝204只，所
以只能讲280代入第二个解析式即可．
（2）依据函数图象分别求出p 与x 的函数关系式，根据公式w ＝(4－p )y ，将p 、y 代入函数解析式，得w 与x 的二次函数关系，最后依据二次函数的性质求出最大值．