经济数学基础2012春季学期线性代数部分学习辅导

经济数学基础2012春季学期线性代数部分学习辅导
经济数学基础2012春季学期线性代数部分学习辅导

经济数学基础2012春季学期线性代数部分学习辅导

现在是经济数学基础本学期第三次复习辅导活动,欢迎大家参加!

前两次学习辅导活动给出了微分和积分两部分的学习要求,并结合最近几年微分学与积分学部分的考试题,分析了这两部分的重点内容,应该说它们对您的学习和复习会有很大的帮助的,希望大家重视,并在期末要认真复习.

本次活动的主要内容主要是对本课程第三部分线性代数提出学习要求,并结合最近几年线性代数部分的考试题讲解该部分的重点内容,希望大家按照这些要求和重点进行复习.只要大家按照本学期的三次教学活动的内容进行认真地复习,相信大家能顺利完成学习任务的.

线性代数部分学习要求

第1章 行列式

1.了解一些基本概念

(1)了解n 阶行列式、余子式、代数余子式等概念; (2)了解n 阶行列式性质,尤其是性质1、2、3、5.

2.掌握行列式的计算方法

化三角形法:利用行列式性质将行列式化成上(或下)三角行列式,其主对角线元素的乘积即为行列式的值.

降阶法:利用性质将行列式的一行(列)化成只有一个(或两个)非零元素,然后按这零元素最多的行(或列)展开化成低一阶行列式,直至降到三阶或二阶行列式,最后直接计算. 3.知道克拉默法则.

第2章 矩阵

1.了解或理解一些基本概念

(1)了解矩阵和矩阵相等的概念; 例1 (2010年7月)设A ,B 均为n 阶矩阵,则等式2222)(B AB A B A +-=-成立的充分必要条件是 .

因为222222))(()(B AB A B AB BA A B A B A B A +-=+--=--=-

即 BA AB = 应该填写: BA AB =

(2)了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角形矩阵和对称矩阵的定义和性质;

例2 (2010年10月部队)若方阵A 满足 ,则A 是对称矩阵. 应该填写:T A A =

例3 (2010年1月)以下结论或等式正确的是( ).

A .若A ,

B 均为零矩阵,则有A =B B .若AB =A

C ,且A ≠O ,则B =C C .对角矩阵是对称矩阵

D .若A ≠O ,B ≠O 则AB ≠O 正确答案:C

例4(2012年1月)设??

??

?

?????-=12300201a A ,当a = 时,A 是对称矩阵. 应该填写:3

(2011年1月) 9.设??

??

?

?????-=13230201a A ,当a = 时,A 是对称矩阵. 应该填写:0

(3)理解矩阵可逆与逆矩阵概念,知道矩阵可逆的条件;

例5 (2009年10月部队)设A ,B 均为n 阶矩阵,(I -B )可逆,则矩阵方程A +BX =X 的解X = .

因为A +BX = X ? A = X -BX = (I -B )X ,且(I -B )可逆, 所以(I -B )-1A = X 应该填写:(I -B )-1A

例6(2012年1月) 设A 是可逆矩阵,且A AB I +=,则A -=1( ). A .I B - B .B C .1+B D .I B + 正确答案:D

(2009年10月)4.设A 是可逆矩阵,且A +AB =I ,则A -1=( ). A .A B .1+B C .I +B D .(I -A B )-1 因为A +AB = A (I +B )=I ,且A 是可逆矩阵,即AA -1= I ,所以A -1= I +B 正确答案:C 例7 (2010年7月)设A ,B 均为n 阶可逆矩阵,则下列等式成立的是( ). A .111)(---+=+B A B A B .111)(---=B A AB C .111)(---=A B AB D .BA AB = 正确答案:C

(4)了解矩阵秩的概念;

例8 (2010年3月)设????

?

?????----=314231003021A ,则r (A ) =( ).

A .4

B .3

C .2

D .1

因为??

??

?

?????--→??????????---→??????????----000031003021310031003021314231003021 正确答案:C

例9 (2009年10月)设A 为n 阶可逆矩阵,则r (A )= . 应该填写: n

(5)理解矩阵初等行变换的概念.

2.熟练掌握矩阵的加法、数乘、乘法和转置等运算,掌握这几种运算的有关性质.

例10 (2012年1月)设A 为43?矩阵,B 为25?矩阵,且T T B AC 有意义,则C 是 ( )矩阵.

A .24?

B .42?

C .53?

D .35? 正确答案:B

(2010年10月部队)4.设A 是m ?n 矩阵,B 是s ?t 矩阵,且AC T B 有意义,则C 是( )矩阵.

A .s ?n

B .n ?s

C .t ?m

D .m ?t 正确答案:A

例11 (2011年1月)设A 为3?2矩阵,B 为2?3矩阵,则下列运算中( )可以进行.

A .A

B B .A +B

C .AB T

D .BA T 正确答案:A

例12 (2010年1月)设矩阵?

?????-=3421A ,I 为单位矩阵,则(I -A )T

= .

因为??????--=??????--??????=-2420

34211001A I 应该填写: ?

?

????--2240 例13 (2010年3月)若矩阵A = [-1 2],B = [2 -3],则A T B= .

因为[]??

????--=-??????-=64323221T

B A 应该填写: ?

?

????--6432 3.熟练掌握用矩阵的初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩阵,熟练掌握用矩阵的初等行变换求矩阵的秩、逆矩阵.

例14(2012年1月)设??

????????---=333222111

A ,则=)(A r . 因为111111222000333000A ????

????=---→????

????????

,即()1r A =

应该填写:1

例15(2012年1月)设矩阵??

????????-=143102010A ,?????

?????=100010001I ,求1

)(-+A I . 解:因为 ??

??

?

?????-=+243112011A I ??

??

??????----→??????????-=+10321001211000101

1100243010112001011)(I A

I ??????????--→115100012110001011??

????????---→115100127010001

011 ??

??

??????----→11510012701012

6001 所以 ??

??

??????----=+-11512712

6)(1

A I . 又如,(2010年7月)设矩阵A =??????????---11240121

1,计算1

)(-+A I . (2009年10月部队)设矩阵A =????

??????----12151131

1,计算 1

)(-+A I . 这两题的解留给大家自己练习.

例16 (2009年10月)设矩阵 A =??????--021201,B =????

?

?????142136,计算(AB )-1. 解:因为AB =??????--021201????

?

?????142136=??

????--1412 (AB I ) =?

?

?

???-→??????--1210011210140112

???

?

????→?

?????---→12

102121

0112101102 所以 (AB )-1

= ???

?

???

?12212

1

例17 (2011年1月)设矩阵 A =100112????-????-??,B =010112??

????

????

,计算T 1()B A -. 解:因为

B T

A =001112??????100112??

??-????-??

=1213-????-??

所以由公式得 T 1()B A -=

32321

1111(1)32(1)--????=????---?-?-????

例18 (2010年3月)设矩阵?

?????--=6351A ,???

???-=11B ,求B I A 1)--(. 解:因为 ?

?

?

???--=-7352I A , ??????--=-10730152][I I A ??

?

???--→11210152 ?

??

???→??????→??????-→231057015701231011212310 所以,???

???=--2357)(1I A 且 ??

????=?

?????-??????=--12112357)1B I A ( 例19 (2012年3月,2010年1月)设矩阵?

??

???=??????=3221,5321B A ,求解矩阵方程B XA =.

解:因为

?

?

????--→??????--→??????131025011310012110530121

即 ??

????--=?

?

?

???-132553211

所以,X =??????--??????=?

??

?????????-13253221532132211

??

????-=1101 例20 (2010年10月部队)已知AX =B ,其中??

??

?

?????=??????????=108532,1085753321B A ,求X .

解:利用初等行变换得

????

??????------→??????????10552001321000132

11001085010753001321 ??

???

?????----→??????????---→121100255010364021121100013210001321 ??

??

?

?????-----→121100255010146001 即 ??

??

?

?????-----=-1212551461

A 由矩阵乘法和转置运算得

??

??

??????--=????????????????????-----==-1282315138

1085321212551461B A X

第3章 线性方程组

1.了解线性方程组的有关概念:n 元线性方程组、线性方程组的矩阵表示、系数矩阵、增广矩阵、一般解.

例21 (2012年1月)设齐次线性方程组O X A =??1553,且r (A ) = 2,则方程组一般解中的自由未知量个数为 . 应该填写:3

例22 (2010年1月)齐次线性方程组AX = 0的系数矩阵为

?????

?????--=000020103211A 则此方程组的一般解为 .

应该填写: ???=--=42

4

3122x x x x x ,(x 3, x 4是自由未知量)

例23 (2009年10月部队)设线性方程组AX = b 的增广矩阵为

?????

???????------12422062110621104123

1, 则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为( ).

A .1

B .2

C .3

D .4 正确答案:B

2.理解并熟练掌握线性方程组的有解判定定理.

例24 (2010年10月部队)线性方程组AX = b 有解的充分必要条件是 . 应该填写:秩=A 秩A

例25 (2012年3月,2009年10月)设线性方程组b X A n m =?有无穷多解的充分必要条件是( ).

A .m A r A r <=)()(

B .n A r A r <=)()(

C .n m <

D .n A r <)( 正确答案:B

例26 (2010年10月部队)若n 元线性方程组AX =O 满足秩(A )=n ,则该线性方程组( ).

A .有无穷多解

B .有唯一解

C .有非0解

D .无解 正确答案:B

例27 (2010年7月)设线性方程组AX =b 有唯一解,则相应的齐次方程组AX =O ( ).

A .无解

B .有非零解

C .只有零解

D .解不能确定 正确答案:C

例28 (2009年10月)设线性方程组AX =b ,且??

??

??????+-→010********

1t A ,则t 时,方程组有唯一解.

应该填写: 1-≠

例29 (2011年1月)线性方程组???=+=+01

21

21x x x x ( ).

A .有唯一解

B .只有0解

C .有无穷多解

D .无解 正确答案:D

(2012年1月) 5.线性方程组???=+=+321

22121x x x x 的解得情况是( ).

A . 无解

B . 只有0解

C . 有唯一解

D . 有无穷多解 正确答案:A

例30 (2012年1月,2011年1月)若线性方程组???=+=-0

2121x x x x λ有非零解,则

=λ . 应该填写: -1

例31 (2010年1月)讨论当a ,b 为何值时,线性方程组???

??=-+=-+=+b

ax x x x x x x x 321

32131

20

22无解,有唯一解,有无穷多解.

解:因为 ??

????????-----→??????????--42102220210

11201212101b a b a ??

??

??????-----→31001110210

1b a 所以当1-=a 且3≠b 时,方程组无解; 当1-≠a 时,方程组有唯一解; 当1-=a 且3=b 时,方程组有无穷多解.

3.熟练掌握用消元法求线性方程组的一般解.

例32 (2010年7月)求线性方程组???

??=++-=++-=+-5

53234224321

432142

1x x x x x x x x x x x 的一般解.

解:将方程组的增广矩阵化为阶梯形

????

?

?????---→??????????---131101311021011551323412121011 ??

??

?

?????-----→??????????--→000001311012101000001311021011

故方程组的一般解为:

13

423

42131x x x x x x =++??=+-? ( x 3, x 4是自由未知量)

又如 (2009年10月部队)求线性方程组??

?

??=-+-=-+-=--12

61423623

352321321321x x x x x x x x x 的一般解.

该题的解留给大家自己练习.

例33 (2011年1月) 求齐次线性方程组???

??=-+-=+-+-=-+0

352023024321

4321431

x x x x x x x x x x x 的一般解.

解:因为系数矩阵

??????????----→??????????-----=111011101201351223111201A ??

??

?

?????--→000011101201 所以一般解为???-=+-=4

324

312x x x x x x (其中3x ,4x 是自由未知量)

(2012年1月) 14.求齐次线性方程组???

??=-++=+--=-++0

352023024321

431

4321x x x x x x x x x x x 的一般解. 大家自己练习.

例34 (2010年3月)当λ 取何值时,线性方程组???

??=+-=-+=++15421

31

321321x x x x x x x x λ 有

解?并求一般解.

解:因为增广矩阵

??????????---→??????????--=26102610111115014121111λλA ??

??

?

?????--→λ00026101501

所以当λ =0时,线性方程组有无穷多解,且一般解为:

??

?+-=-=261

532

31x x x x (x 3是自由未知量〕

(2012年3月)14.当λ取何值时,线性方程组???

??=+++=+++-=--+λ

4321

43214321479637232x x x x x x x x x x x x 有解?

在有解的情况下求方程组的一般解.

大家自己练习.

例35 (2010年10月部队)设齐次线性方程组

???

??=+-=+-=+-0

830352023321

321321x x x x x x x x x λ, λ为何值时,方程组有非零解?在有非零解时求其一般解.

解:因为

??????????---→??????????---61011023

183352231λλ ??

??

?

?????---→??????????---→500110101500110231λλ 所以,当5=λ时方程组有非零解.一般解为

???==32

3

1x x x x (其中3x 为自由未知量)

今天的活动到此结束,谢谢大家的参与.再见!

《线性代数》教学中若干难点的探讨.doc

《线性代数》教学中若干难点的探讨- 摘要:在《线性代数》的教学过程中,有很多抽象的概念学生很难理解,比如线性相关、线性无关,极大线性无关组、向量组的秩等等。本文从笔者个人的教学实际出发,浅谈教学过程中的若干个教学难点,化抽象为具体,帮助学生理解并掌握这些难点,以提高学生对《线性代数》的学习兴趣。 关键词:线性相关;线性无关;极大线性无关组;向量组的秩 《线性代数》是高等学校理、工、经、管类各专业的一门重要基础课程。通过对本课程的学习,学生可以获得线性代数的基本概念、基本理论和基本运算技能,为后继课程的学习和进一步知识的获得奠定必要的数学基础。通过各个教学环节的学习,可以逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力以及自学能力,并具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识分析和解决问题的能力。另外,通过《线性代数》的学习,还可以培养学生的综合素质和提高学生的创新意识。因此,只有熟练掌握这门课程,才能较好地运用到各个专业中。由于该课程内容抽象,教学课时短,这无疑对教师的教学和学生的学习造成了极大的困扰。本文从笔者个人的教学实际出发,浅谈教学过程中的若干个教学难点,帮助学生理解并掌握这些难点,以提高学生对《线性代数》的学习兴趣。 一、线性相关性与线性无关性 线性方程组理论是线性代数的基本内容之一,而向量组的线性相关性和线性无关性又是解线性方程组的基础。教材第三章线性方程组开门见山,直接给出了线性相关及线性无关的定义。

线性相关是指一个向量组α1,α2,…,αs,如果存在一组不全为零的数λ1,λ2,…,λs,使得λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0,则称该向量组α1,α2,…,αs线性相关。如果不存在这样一组不全为零的数,则称该向量组α1,α2,…,αs线性无关。单纯地称某向量组线性相关或线性无关,对于学生来说是比较抽象的,他们对这一定义总是感觉很模糊,很难理解,如何才能更好地更形象地理解这一定义呢?如果在教学中,把这块知识与解析几何联系起来,用几何知来解释什么是线性相关或线性无关,那么学生肯定更容易接受。例如,对于定义中λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0,可以理解为b=(λ1,λ2,…,λs)这样的一个行向量。如果向量组有两个列向量构成,即α1,α2,则b=(λ1,λ2),λ1α1+λ2α2=0。若λ1≠0,则经过变换可以得到α1=■,这说明α1和α2共线。对于有三个向量构成的向量组,λ1α1+λ2α2+λ3α3=0,b=(λ1,λ2,λ3),若λ1≠0,经变换得到α1=■+■,这说明α1,α2,α3三个向量共面。 对于两个向量,线性相关指两向量平行(或者说是共线),此时只是在线上的关系,仅仅是一维,线性无关指两向量相交,确定了一个二维平面。线性无关提供了另一种维度,使得向量所在空间增加了一维。对于三个向量,线性相关指三向量共面,研究的是二维平面,而线性无关指三向量不共面,使得向量所在空间增加了一维,即三个向量若线性无关,那么它们不共面,存在于三维立体空间中。四个向量,五个向量,…,研究方法类似。结合几何知识,通过几何图像可以更直观地呈现出新的概念,学生更易于接受,而且还有助于提高学生对《线性代数》的学习兴趣。 二、极大线性无关组及向量组的秩

线性代数考试题库及答案(五)

线性代数考试题库及答案 一、单项选择题(共5小题,每题2分,共计10分) 1.在111 ()111111 x f x x x -+=-+-展开式中,2x 的系数为 ( ) (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 2.A 是m ×n 矩阵,(),r A r B =是m 阶可逆矩阵,C 是m 阶不可逆矩阵,且 ()r C r <,则 ( ) (A) BAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (B) BAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 (C) CAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (D) CAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 3.设n 阶矩阵,A B 有共同的特征值,且各自有n 个线性无关的特征向量,则( ) (A) A B = (B) ,0A B A B ≠-=但 (C) A B (D) A B 与不一定相似,但 A B = 4.设,,A B C 均为n 阶矩阵,且AB BC CA E ===,其中E 为n 阶单位阵,则 222A B C ++= ( ) (A) O (B) E (C) 2E (D) 3E 5.设1010,0203A B ???? == ? ????? ,则A B 与 ( ) (A)合同,且相似 (B)不合同,但相似 (C)合同,但不相似 (D )既不合同,又不相似

二、填空题(共 二、填空题(共10小题,每题 2分,共计 20 分) 1.已知11 122 233 30a b c a b c m a b c =≠,则1111 22223333 232323a b c c a b c c a b c c ++=+ 。 2.设 1 010 2010 1A ?? ?= ? ?? ? ,若三阶矩阵Q 满足2,AQ E A Q +=+则Q 的第一行的行向量是 。 3.已知β为n 维单位列向量, T β为β的转置,若T C ββ= ,则 2C = 。 4.设12,αα分别是属于实对称矩阵A 的两个互异特征值12,λλ的特征向量,则 12T αα= 。 5.设A 是四阶矩阵,A * 为其伴随矩阵,12,αα是齐次方程组0AX =的两个线 性无关解,则()r A *= 。 6.向量组1 23(1,3,0,5,0),(0,2,4,6,0),(0,3,0,6,9)T T T ααα===的线性关系 是 。 7.已知三阶非零矩阵B 的每一列都是方程组1231231 23220 2030 x x x x x x x x x λ+-=?? -+=??+-=?的解,则 λ= 。 8.已知三维向量空间3R 的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)T T T ααα===,则向量 (2,0,0)T β=在此基底下的坐标是 。 9.设21110012100,112004A a a ?? ?? ? ?== ? ? ? ????? 则 。 10.二次型2 2 2 123123121323(,,)222222f x x x x x x x x x x x x =++++-的秩为 。

线性代数学习指导第四章线性空间

第五章 线性空间 一、内容提要 ⒈ 线性空间 定义1 设V 是一个非空集合,P 是一个数域. 若在V 中定义的加法和数乘运算对集合V 封闭, 且加法与数乘运算满足线性运算的八条运算规则, 则称集合V 为数域P 上的线性空间. 线性空间又称为向量空间, 线性空间的元素亦称为向量. 设V 是数域P 上的线性空间, W 是V 的非空子集, 若W 对于V 的加法和数乘运算也构成 数域P 上的线性空间, 则称W 为线性空间V 的一个线性子空间, 简称子空间. ⒉ 基、维数和坐标 定义2 若线性空间V 中有n 个线性无关向量,而没有更多数目的线性无关的向量,则称V 是n 维线性空间,称V 中n 个线性无关的向量为V 的一组基,n 称为V 的维数,记作dim V = n . 注 向量组12,, ,n ααα是V 的一组基?12,, ,n ααα是V 中的n 个线性无关向量且V 中的任一向量α可由12,, ,n ααα线性表示. 向量组12,, ,s ααα生成的空间L (12,, ,s ααα)的一组基就是12,, ,s ααα的一个极大无 关组, 其维数就是向量组12,, ,s ααα的秩. 定义3 设12,, ,n ααα是n 维线性空间V 的一组基, α 为V 中的任一向量, 若 1122n n x x x αααα=++ + 则称数12,, ,n x x x 为向量α 在基12,, ,n ααα下的坐标, 记作 12(,,,)n x x x . 向量的坐标可写成行的形式也可写成列的形式,但在利用坐标进行运算时,则要以运算式的具体情况来确定坐标的形式. 定义4 设12,, ,n ααα和12,, ,n βββ是n 维线性空间V 的两组基, 且 (12,, ,n βββ)=(12,,,n ααα)C (1) 称C 为由基12,,,n ααα到基12,, ,n βββ的过渡矩阵,(1)式称为由基12,,,n ααα到 基12,, ,n βββ的基变换公式. 定理1 设12,,,n ααα和12,, ,n βββ是n 维线性空间V 的两组基, 由基12,,,n ααα到基12,, ,n βββ的过渡矩阵为C = n n ij c ?)( ,即

数学模型在《线性代数》教学中的应用实例(一)

数学模型在《线性代数》教学中的应用实例(一) 课 程: 线性代数 教 学 内 容: 矩阵 数 学 模 型: 生态学:海龟种群统计数据 该模型在高等数学教学应用的目的: 1. 通过生动有趣的实例激发学生的学习积极性,在分析问题和解决问题的过程中培养学生的创新意识。 2. 使学生掌握建立矩阵代数模型的基本过程,能熟练地将矩阵的知识应用于实际问题。培养学生将实际问题抽象成数学模型,又用数学模型的结果解释实际现象的能力。 3. 巩固矩阵的概念和计算。 生态学:海龟种群统计数据 管理和保护许多野生物种,依赖于我们建立种群的动态模型的能力。一个常规的建模技术是,把一个物种的生命周期划分为几个阶段。该模型假设:每阶段的种群规模只依赖于母海龟的种群数;每只母海龟能够存活到下一年的概率依赖于其处在生命周期的那个阶段,而与个体的具体年龄无直接关系。举例来说,可以用一个四阶段的模型来分析海龟种群的动态。 如果d i 表示第i 个阶段的持续时间,s i 表示该阶段的每年存活率,那么可以证明,在第i 阶段可以存活到下一年的比例是 111i i d i i i d i s p s s -??-= ?-?? 种群可以存活且在次年进入下一阶段的比例是 ()11i i d i i i d i s s q s -= - 如果用e i 表示第i 阶段的成员1年内产卵的平均数,构造矩阵

12341 2233 400000 p e e e q p L q p q p ?? ? ?= ? ??? 那么L 可以用来预测未来几年每阶段的种群数。上述形式的矩阵称为Leslie (莱斯利)矩阵,相应的种群模型有时也称为莱斯利种群模型。根据前面表格数据,我们模型的莱斯利矩阵是 0127790.670.73940000.000600000.810.8077L ?? ? ?= ? ??? 假设每阶段的初始种群数分别是200000、300000、500和1500,用向量x 0来表示,1年后 每阶段的种群数可以如下计算 100 0127792000001820000.670.73940030000035582000.000600500180000.810.807715001617x Lx ?????? ??? ? ??? ?=== ??? ? ??? ??????? (这里的计算进行了四舍五入)。为了得到2年后的种群数,再用矩阵L 乘一次。 2210x Lx L x == 一般来说,k 年后的种群数由公式0k k x L x =给出。为了了解更长时期的趋势,计算出x 10、 x 25和x 50,如下表所示。 这个模型预测50年后繁殖期的海龟总数下降了80%。 下面的文献[1]介绍了一个七阶段的种群动态模型,文献[2]是莱斯利原来那篇文章。 思考:海龟最终是否会灭绝?如果不灭绝,海龟种群数有无稳定值?该模型用到了那些数学知识?该模型可以进行怎样的推广? 参考文献 1. Crouse, Deborah T., Larry B. Crowder, and Hal Caswell, “A Stage-Based Population Model for Loggerhead Sea Turtles and Implications for Conservation,” Ecology , 68(5), 1987 2. Leslie, P. H., “On the Use of Matrices in Certain Population Mathematics,” Biometrika , 33, 1945.

《经济数学基础》线性代数

《经济数学基础》线性代数 第3章 线性方程组 1.了解n 元线性方程组、线性方程组的矩阵表示、系数矩阵、增广矩阵、一般解的概念. 2. 理解并熟练掌握线性方程组的有解判定定理;熟练掌握用消元法求线性方程组的一般解. ? 线性方程组AX = b 的解的情况归纳如下: AX = b 有唯一解的充分必要条件是秩(A ) = 秩(A ) = n ; AX = b 有无穷多解的充分必要条件是秩(A ) = 秩(A ) < n ; AX = b 无解的充分必要条件是秩(A ) ≠ 秩(A ). ? 相应的齐次线性方程组AX = 0的解的情况为: AX = 0只有零解的充分必要条件是 秩(A ) = n ; AX = 0有非零解的充分必要条件是 秩(A ) < n . 例1 线性方程组?? ?=-=+0223221x x x x 的系数矩阵是( ) . A .2×3矩阵 B .3×2矩阵 C .3阶矩阵 D .2阶矩阵 解 此线性方程组有两个方程,有三个未知量,故它的系数矩阵是2×3矩阵. 正确的选项是A . 例2 线性方程组AX = B 有唯一解,那么AX = 0 ( ) . A .可能有解 B .有无穷多解 C .无解 D .有唯一解 解 线性方程组AX = B 有唯一解,说明秩,)(n A =故AX = 0只有唯一解(零解). 正确的选项是D . 例3 若线性方程组的增广矩阵为???? ? ?=41221λA ,则当λ=( )时线性方程组有无穷多解. A .1 B .4 C .2 D .12 解 将增广矩阵化为阶梯形矩阵, ???? ??=41221λA ??? ? ??λ-λ→021021

线性代数重点难点

自考《线性代数》重难点解析 2011-02-17 11:09:49 | 作者: min | 来源: 考试大 | 查看: 第一章行列式 一、重点 1、理解:行列式的定义,余子式,代数余子式。 2、掌握:行列式的基本性质及推论。 3、运用:运用行列式的性质及计算方法计算行列式,用克莱姆法则求解方程组。 二、难点 行列式在解线性方程组、矩阵求逆、向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面的应用。 三、重要公式 1、若A为n阶方阵,则│kA│= kn│A│ 2、若A、B均为n阶方阵,则│AB│=│A│。│B│ 3、若A为n阶方阵,则│A*│=│A│n-1 若A为n阶可逆阵,则│A-1│=│A│-1 4、若A为n阶方阵,λi(i=1,2,…,n)是A的特征值,│A│=∏λi 四、题型及解题思路 1、有关行列式概念与性质的命题 2、行列式的计算(方法)

1)利用定义 2)按某行(列)展开使行列式降阶 3)利用行列式的性质 ①各行(列)加到同一行(列)上去,适用于各列(行)诸元素之和相等的情况。 ②各行(列)加或减同一行(列)的倍数,化简行列式或化为上(下)三角行列式。 ③逐次行(列)相加减,化简行列式。 ④把行列式拆成几个行列式的和差。 4)递推法,适用于规律性强且零元素较多的行列式 5)数学归纳法,多用于证明 3、运用克莱姆法则求解线性方程组 若D =│A│≠0,则Ax=b有唯一解,即 x1=D1/D,x2= D2/D,…,xn= Dn/D 其中Dj是把D中xj的系数换成常数项。 注意:克莱姆法则仅适用于方程个数与未知数个数相等的方程组。 4、运用系数行列式│A│判别方程组解的问题 1)当│A│=0时,齐次方程组Ax=0有非零解;非齐次方程组Ax=b不是唯一解(可能无解,也可能有无穷多解) 2)当│A│≠0时,齐次方程组Ax=0仅有零解;非齐次方程组Ax=b有唯一解,此解可由克莱姆法

(完整word版)线性代数考试题及答案解析

WORD 格式整理 2009-2010学年第一学期期末考试 《线性代数》试卷 答卷说明:1、本试卷共6页,五个大题,满分100分,120分钟完卷。 2、闭卷考试。 评阅人:_____________ 总分人:______________ 一、单项选择题。(每小题3分,共24分) 【 】1.行列式=----3111131111311113 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 【 】2.设A 为3阶方阵,数2-=λ,3=A ,则=A λ (A) 24 (B) 24- (C) 6 (D) 6- 【 】3.已知,,B A 为n 阶方阵,则下列式子一定正确的是 (A)BA AB = (B)2222B)(A B AB A ++=+ (C)BA AB = (D) 22))((B A B A B A -=-+ 【 】4.设A 为3阶方阵, 0≠=a A ,则=*A (A) a (B) 2a (C) 3a (D) 4a __ __ ___ __ __ ___ __ __ 系_ __ __ ___ __ 专业_ __ __ ___ __ _班级 姓名_ __ ___ __ __ ___ __ 学号__ ___ __ __ ___ __ _ ………… … … … … … … … … ( 密) … … … … … … … … … … … … ( 封 ) … … … …… … … … … … … … ( 线 ) … … … … … … … … … … … …

(A) )()(B R A R < (B) )()(B R A R > (C) )()(B R A R = (D) 不能确定)(A R 和)(B R 的大小 【 】6.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ,则0=Ax 有非零解 的充分必要条件是 (A) n r = (B) n r ≥ (C) n r < (D) n r > 【 】7. 向量组)2(,,,21≥m a a a m 线性相关的充分必要条件是 (A) m a a a ,,,21 中至少有一个零向量 (B) m a a a ,,,21 中至少有两个向量成比例 (C) m a a a ,,,21 中每个向量都能由其余1-m 个向量线性表示 (D) m a a a ,,,21 中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示 【 】8. n 阶方阵A 与对角阵相似的充分必要条件是 (A)n A R =)( (B)A 有n 个互不相同的特征值 (C)A 有n 个线性无关的特征向量 (D)A 一定是对称阵 二、填空题。(每小题3分,共15分) 1.已知3阶行列式D 的第2行元素分别为1,2,1-,它们的余子式分别为2,1,1-,则=D 。 2.设矩阵方程??????-=???? ??12640110X ,则=X 。 3.设*=ηx 是非齐次线性方程组b Ax =的一个特解,21,ξξ为对应齐次线性方程组 0=Ax 的基础解系, 则非齐次线性方程组b Ax =的通解为 . 4.设n m ?矩阵A 的秩r A R =)(,则n 元齐次线性方程组0=Ax 的解集S 的最大无关组S 的秩=R 。

数学建模案例线性代数教学研究

数学建模案例线性代数教学研究 摘要:本文通过分析线性代数课程的特点和目前教学中出现的问题,从数学建模思想入手,结合几个案例探讨了线性代数中矩阵的概念与运算、特征值和特征向量的应用等知识点。具体阐述了将数学建模思想融入线性代数教学过程中的重要性,增强了学生利用数学建模思想解决实际问题的能力。 关键词:线性代数;数学建模;教学方法 线性代数是高校理工科专业大一新生的一门重要的公共基础课程,它不仅是很多高年级的课程的延伸和推广,而且它在数学、物理、控制科学、工程技术等领域也具有广泛的应用,特别是当前计算机科学技术人工智能的快速发展,使得线性代数的作用和地位得到更大的提升。因此,线性代数这门课程学习效果的好坏对学生知识能力的培养和后继课程的开展至关重要。但是,目前线性代数的教学仍然存在一些问题,具体表现为:第一,线性代数的教学模式偏重于理论教学,无法激起学生的学习兴趣。线性代数的概念多,理论性强,抽象晦涩,难以理解,更加加深了学生学习线性代数的难度,降低了学生的学习兴趣。第二,学生的基础较差,课程数较少,导致学生的学习困难。学生来源于不同的地区,生源素质差异较大,使得课堂出现两极分化现象,致使线性代数的教学质量无法全面提升。第三,教学中缺乏实际的应用背景,学生无法理解线性代数作为一门重要基础课程的意义。众所周知,数学建模就是根据实际问题建立数学模型,然后运用数学知识对模型求解,最后根据计算结果来解决实际问题的过程[1]。基于此,本文将数学建模的思想融入线性代数的教学过程中,通过适当引入典型的建模案例[2,3],达到吸引学生的注意力和学习兴趣的目的,从而活跃课堂教学氛围,提高教学效果。与此同时,在上课过程中讲授数学建模案例还可以增加老师和学生之间的互动性,丰富课堂教学的内容,开阔学生的眼界,使得原本抽象、枯燥乏味的概念和定理变得生动有趣,进而激发学生学习线性代数的兴趣,提升学生学习数学的素养。 1 数学建模案例在线性代数中的应用 线性代数教学中有许多定义和定理抽象晦涩、难以理解,学生上课中往往不知所云,更不知道学习了相关知识有什么作用。如果在教学过程中我们融入

经济数学基础线性代数讲义

经济数学线性代数学习讲义 合川电大兰冬生 1, 矩阵: A =?? ?? ? ?????-012411210, 称为矩阵。认识矩阵第一步: 行与列, 横为行, 竖为列, 第一行依次0,1,2, 第二行1,1,4 第一列0,1,2 这是一个三行三列矩阵, 再给出一个三行四列矩阵 ?? ?? ? ?????-----=12614231213252A 教材概念的m 行n 列矩阵。 ? ???? ???????mn m m n n a a a a a a a a a 2 1 2222111211, 这个矩阵记作n m A ?, 表明这个矩阵有m 行, n 列, 注意行m 写在前面,列n 写在后面, 括号里面的称为元素, 记为ij a , i 是行, j 是列, 例如: ???? ??????-----12614231213252是三行四列矩阵, 也说成43?矩阵, 注意行3在

前面, 列4在后面, 这里211=a ( 就是指的第一行第一列那个数) 123-=a ( 就是指的第二行第三列那个数) 2, 矩阵加法 矩阵加法, 满足行列相同的矩阵才能相加, 对应位置的数相加。 例如: ??????????--011101010 +??????????-012411210=?????? ? ???-021512220 减法是对应位置的数相减。, 3, 矩阵的乘法 矩阵乘法参看以下法则: 注意字母对应 ???? ? ?????3332 31 232221131211 a a a a a a a a a ????? ? ?????3332 312322211312 11b b b b b b b b b ???? ? ??????+?+??+?+??+?+??+?+??+?+??+?+??+?+??+?+??+?+?=33332332133132 332232123131 332132113133232322132132232222122131232122112133132312131132132212121131 1321121111b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a 说明: ???? ? ?????3332 31 232221131211a a a a a a a a a ???????????3332 312322211312 11b b b b b b b b b =?? ? ?????3332 31 232221 1211 c c c c c c c 乘积的结果矩阵11c 等于第一个矩阵的第一行元素11a 12a 13a 乘以第二个矩阵的第一列元素11b 21b 31b , 注意是对应元素相乘, 再求和。 乘积的结果矩阵21c 等于第一个矩阵的第二行元素21a 22a 23a 乘以第二个矩阵的第一列元素11b 21b 31b 。

线性代数易错点及重点知识点

线性代数易错及重点知识点 翔翔总结,不晓得大家看得懂不 3 24712432的余子式是327134722412,而不是23271 上三角和下三角行列式都是a1a2a3.....an=A 反三角行列式为A*(-1)^n(n-1)/2 行列式的一行的代数余子式分别乘以另一行元素,值为零。 正反三角行列式如果不记得公式了,可以通过上下换行的形式变成正三角行列式。 克莱姆法则D=222112 11a a a a ,D1=22 2121a b a b D2=22211211a a a a x1=D1/D 同理x2=D2/D 范德蒙法则:行列式的值=(x n -x n-1)(x n -x n-2)……(x n -x 1)(x n-1-x n-2……)(x 2-x 1) 若一个线性方程组有非零解,则它的行列式式值等于零。 行列式中行叫c ,列叫r 写行列式变换过程中要在等号上写变换方法,如c2-c3.不然老师看不懂步骤,无法给分 化三角行列式先化第一列,在化第二列,按顺序来化,这样才不会出现问题。 n 维向量分横向量和列向量。 写向量时一定要记得在上面加箭头 任意一个n 维向量都能由n 个n 维单位向量线性表示 如果b1=k1a1+k2a2+k3a3,线性表示不一定要求k1,k2,k3不全为零。 如果一个向量a 线性相关,则a=0 由一个非零向量构成的向量组一定线性无关。即a ≠0则a 这个向量组线性无关。 含有零向量的向量组一定线性相关 例a1=(1,1)a2=(2,3)求这两个向量组是否线性相关 解:k1a1+k2a2=0 k1(1,1)+k2(2,3)=0 K1+2k2=0 k1+3k2=0 3 121≠0所以k 全是零解,所以线性无关 a3=a1+a2,则a1,a2,a3线性相关 一个向量组中的一个向量可由其他向量线性表示,那么这个向量组线性相关,能线性表示不一定要k 不全为零,但是线性相关一定要不全为零 两个向量线性相关除非他们对应分量成比例。 如果一个向量组一部分向量线性相关,则,整个向量组线性相关。 一个向量组线性无关,那么它的一部分也线性无关 向量组线性相关,减少其中几维一样线性相关,向量组线性无关,增加几维向量一样无关。 应用:要证线性相关,则增加维,如果增加后相关,则原向量组相关。 要证线性无关,则减少维,如果减少后无关,则原向量组无关。 要证线性相关,则增加向量个数,如果增加后相关,则原向量组相关。 要证线性无关,则减少向量个数,如果减少后无关,则原向量组无关。 向量个数大于维数一定线性相关 一个向量组的每个最大线性无关组中的向量个数一定相等 向量空间:线性无关组ab ……n 若a+b ……n 属于v Ramada a 属于v 则v 为向量空间v 的维数就是向量组的秩,a b ……n 称为空间的基

线性代数测试试卷及答案

线性代数(A 卷) 一﹑选择题(每小题3分,共15分) 1. 设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ) (A)AB BA = (B)222()AB A B = (C)222()2A B A AB B +=++ (D)A B B A +=+ 2. 如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为( ) (A) n (B) s (C) n s - (D) 以上答案都不正确 3.如果三阶方阵33()ij A a ?=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8-- 4. 设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ?? ??= ? ?-???? 的矩阵为A ,那么( ) (A) 2331A ??= ?-?? (B) 2241A ??= ?-?? (C) 2121A ??= ? -?? (D) 1001A ?? = ??? 5. 若方阵A 的行列式0A =,则( ) (A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题(每小题3分,共30分) 1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ; 2. 设100210341A -?? ? =- ? ?-?? ,*A 是A 的伴随矩阵,则*1()A -= ; 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解,若λαμβ+也是它的解, 那么λμ+= ; 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ; 5. 设A 为正交矩阵,则A = ;

线性代数学习指导第五章矩阵的特征值与特征向量

第五章 矩阵的特征值与特征向量 一.内容提要 1 . 特征值和特征向量 定义1 设() ij n n A a ?=是数域P 上的n 阶矩阵,若对于数域P 中的数λ,存在数域P 上 的非零n 维列向量X ,使得 X AX λ= 则称λ为矩阵A 的特征值,称X 为矩阵A 属于(或对应于)特征值λ的特征向量 注意:1)() ij n n A a ?=是方阵; 2)特征向量 X 是非零列向量; 3)方阵 () ij n n A a ?= 与特征值 λ 对应的特征向量不唯一 4)一个特征向量只能属于一个特征值. 2.特征值和特征向量的计算 计算矩阵A 的特征值与特征向量的步骤为: (1) 计算n 阶矩阵A 的特征多项式|λE -A |; (2) 求出特征方程|λE -A |=0的全部根,它们就是矩阵A 的全部特征值; (3) 设λ1 ,λ2 ,… ,λs 是A 的全部互异特征值。 对于每一个λi ,解齐次线性方程组()i E A X λ-=0,求出它的一个基础解系,该基础解系的向量就是A 属于特征值λi 的线性无关的特征向量,方程组的全体非零解向量就是A 属于特征值λi 的全体特征向量. 3. 特征值和特征向量的性质 性质1 (1)若X 是矩阵A 属于特征值λ的特征向量,则kX (0k ≠)也是A 属于λ的特 征向量; (2)若12,, ,s X X X 是矩阵A 属于特征值λ的特征向量,则它们的非零线性组合 1122s s k X k X k X +++也是A 属于λ的特征向量; (3)若A 是可逆矩阵,λ是A 的一个特征值,则 λ 1是A — 1的一个特征值,λ||A 是 A *的一个特征值; (4)设λ是n 阶矩阵A 的一个特征值,f (x )= a m x m + a m-1x m -1 + … + a 1x + a 0 为一个多项式,则()f λ是f (A )的一个特征值。 性质2(1) nn n a a a +???++=+???++221121λλλ (2) || 21A n =???λλλ

《经济数学基础》综合练习(线性代数)

《经济数学基础》综合练习(线性代数) 一、单项选择题 1.设A 为23?矩阵,B 为32?矩阵,则下列运算中( )可以进行. A .AB B .AB T C .A +B D .BA T 2.设B A ,为同阶可逆矩阵,则下列等式成立的是( ) A . T T T )(B A AB = B . T T T )(A B AB = C . 1T 11 T )() (---=B A AB D . T 111T )()(---=B A AB 3.设B A ,为同阶可逆方阵,则下列说法正确的是( ). A . 若AB = I ,则必有A = I 或B = I B .T T T )(B A AB = C . 秩=+)(B A 秩+)(A 秩)(B D .111) (---=A B AB 4.设B A ,均为n 阶方阵,在下列情况下能推出A 是单位矩阵的是( ). A .B AB = B .BA AB = C .I AA = D .I A =-1 5.设A 是可逆矩阵,且A AB I +=,则A -=1( ). A . B B . 1+B C . I B + D . ()I AB --1 6.设)21(=A ,)31(-=B ,I 是单位矩阵,则I B A -T =( ). A .???? ??--6231 B .??????--6321 C .??????--5322 D .?? ? ???--5232 7.设下面矩阵A , B , C 能进行乘法运算,那么( )成立. A .A B = A C ,A ≠ 0,则B = C B .AB = AC ,A 可逆,则B = C C .A 可逆,则AB = BA D .AB = 0,则有A = 0,或B = 0 8.设A 是n 阶可逆矩阵,k 是不为0的常数,则()kA -=1 ( ). A .kA -1 B . 11k A n - C . --kA 1 D . 11k A - 9.设???? ? ?????----=314231003021A ,则r (A ) =( ). A .4 B .3 C .2 D .1

自考《线性代数》重难点解析与全真练习

自考《线性代数》重难点解析与全真练习 第一章行列式 一、重点 1、理解:行列式的定义,余子式,代数余子式。 2、掌握:行列式的基本性质及推论。 3、运用:运用行列式的性质及计算方法计算行列式,用克莱姆法则求解方程组。 二、难点行列式在解线性方程组、矩阵求逆、向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面的应用。 三、重要公式 1若A为n阶方阵,则|kA| = kn | A I 2、若A、B均为n阶方阵,AB丨=| A |。丨B丨 3、若A为n阶方阵,则|A* | = | A | n-1 若A为n阶可逆阵,则|A-1 | = | A | -1 4、若A为n阶方阵,入i (i=1 , 2,…,n)是A的特征值,| A | =口入i 四、题型及解题思路 1 、有关行列式概念与性质的命题 2、行列式的计算(方法) 1 )利用定义 2)按某行(列)展开使行列式降阶 3)利用行列式的性质 ①各行(列)加到同一行(列)上去,适用于各列(行)诸元素之和相等的情况。 ②各行(列)加或减同一行(列)的倍数,化简行列式或化为上(下)三角行列式。 ③逐次行(列)相加减,化简行列式。 ④把行列式拆成几个行列式的和差。 4)递推法,适用于规律性强且零元素较多的行列式 5)数学归纳法,多用于证明 3、运用克莱姆法则求解线性方程组 若D = | A |丰0,则Ax=b有解,即 x1=D1/D, x2= D2/D ,…, xn= Dn/D 其中Dj是把D中xj的系数换成常数项。 注意:克莱姆法则仅适用于方程个数与未知数个数相等的方程组。 4、运用系数行列式A 判别方程组解的问题 1)当| A | = 0时,齐次方程组Ax= 0有非零解;非齐次方程组解,也可 能有无穷多解) 2)当| A |丰0时,齐次方程组Ax= 0仅有零解;非齐次方程组克莱姆法则求出。 、重点 1 、理解:矩阵的定义、性质, 几种特殊的矩阵(零矩阵,上(下)对角矩阵,逆矩阵,正交矩阵,伴随矩阵,分块矩阵) 2、掌握: 1)矩阵的各种运算及运算规律 2)矩阵可逆的判定及求逆矩阵的各种方法Ax= b 不是解(可能无Ax= b 有解,此解可由三角矩阵,对称矩阵,

线性代数期末考试试卷答案合集

线性代数期末考试试卷 答案合集 文档编制序号:[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

×××大学线性代数期末考试题 一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题2分,共10分) 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ,则=χ__________。 2.若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。 3.已知矩阵n s ij c C B A ?=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵。 4.矩阵??? ? ? ??=3231 2221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5.n 阶方阵A 满足032=--E A A ,则=-1A 。 二、判断正误(正确的在括号内填“√”,错误的在括号内填“×”。每小题2分,共10分) 1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则0?D 。( ) 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。( ) 3. 向量组m a a a ,, , 21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,则向量组s a a a ,,, 21线性相关。( ) 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ,则A A =-1。( ) 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1-A 的特征值为λ。 ( )

三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。每小题2 分,共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T A A ( )。 ① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα,, , 21(3 s n )线性无关的充要条件是( )。 ① s ααα,, , 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα,, , 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα,, , 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα,, , 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ,B 均为n 阶方阵,下面结论正确的是( )。 ① 若A ,B 均可逆,则B A +可逆 ② 若A ,B 均可逆,则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆,则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆, 则 A ,B 均可逆 5. 若4321νννν,,,是线性方程组0=X A 的基础解系,则4321νννν+++是0=X A 的( ) ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量 四、计算题 ( 每小题9分,共63分) 1. 计算行列式 x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d ++++。

线性代数课程教学总结

线性代数课程教学总结 《线性代数课程教学总结》的范文,这里给大家。篇一:线性代数课程总结 线性代数精讲 曾经我学过线性代数,但是没有深入的学习,所有一直希望有一个机会能够深入学习线性代数的机会。没有想到的是,今年的选修课给了我这样一个机会。线性代数精讲,当我看到它的时候,毅然的选了这门选修课。 现在这学期快要结束了,当然这门选修课也即将结束,在这里我想总结一下这门选修课给我带来的帮助。首先从专业来说,对于学习计算机的人来说,数学的重要性不言而喻。打一个比方,数学就好比计算机的左膀右臂。对于想深入学习计算机的人来说,数学必须学得很好。所以线性代数这门课对我来说很重要,它与我们所讲的数据结构中的图有很大的联系。通过这门课程的学习,我已经深入了解了线性代数,它使我对原来学过的某些知识有种恍然大悟的感觉。以后我还会继续学习线性代数这门课程,我相信它给我带来的还远不止这些。 其次,从考研方面来说,对于考研考试中的数学试卷,线性代数占有很大的比重,这也显现出来线性代数对考研的学生来说有多么重要。我是一个将在后年要参加考研的学生,能听到线性代数精讲这样一门课,我很高兴。在这门课程的学习过程中,老

师深入地讲解了线性代数,让我的考研之路轻松了不少。而且,老师在将课的同时还插入例如考研真题,这是最让我感激的地方。有这样的辅导,我的线性代数还愁不过吗? 最后,我想从对实际生活的影响方面来说,生活中的思维模式是 数学思维模式的一种映射。从某一个方面来说吧,比如做数学中的证明题,每一步都不是凭空而来的,精品而是根据题中的实际要求一步一步推出来的,这就好比做生活中的某件事,如果没有一步一步踏踏实实的走过,是不可能有好的结果的。这门课的讲解,让我对数学的思维模式有了更深入地了解,对生活也有了更深入的认识。 通过这半学期的学习,让我学到了很多,我想说对老师说声谢谢。希望这门课能够一直的讲下去,让更多学弟学妹们受到帮助。 篇二:线性代数课程总结 线性代数课程总结 第一章行列式 1.1二阶、三阶行列式 (一)二阶行列式 (二)三阶行列式 1.2 (二)

线性代数知识点归纳,超详细

线性代数复习要点 第一部分行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行(列)展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 行列式的定义 1.行列式的计算: ①(定义法) ②(降阶法)行列式按行(列)展开定理: 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论:行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.

③(化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④若都是方阵(不必同阶),则 ⑤关于副对角线: ⑥范德蒙德行列式: 证明用从第n行开始,自下而上依次的由下一行减去它上一行的倍,按第一列展开,重复上述操作即可。 ⑦型公式: ⑧(升阶法)在原行列式中增加一行一列,保持原行列式不变的方法. ⑨(递推公式法) 对阶行列式找出与或,之间的一种关系——称为递推公式,其中 ,,等结构相同,再由递推公式求出的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行(或列)的元素写成两数和的形式,再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和,使问题简化以例计算. ⑩(数学归纳法) 2. 对于阶行列式,恒有:,其中为阶主子式;

3. 证明的方法: ①、; ②、反证法; ③、构造齐次方程组,证明其有非零解; ④、利用秩,证明; ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系: 第二部分矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆 3.矩阵的秩的性质 4.矩阵方程的求解 1.矩阵的定义由个数排成的行列的表称为矩阵. 记作:或 ①同型矩阵:两个矩阵的行数相等、列数也相等. ②矩阵相等: 两个矩阵同型,且对应元素相等. ③矩阵运算 a. 矩阵加(减)法:两个同型矩阵,对应元素相加(减). b. 数与矩阵相乘:数与矩阵的乘积记作或,规定为. c. 矩阵与矩阵相乘:设, ,则, 其中 注:矩阵乘法不满足:交换律、消去律, 即公式不成立.

线性代数期末考试试卷答案

线性代数期末考试题样卷 一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题2分,共10分) 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ,则=χ__________。 2.若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。 3.已知矩阵n s ij c C B A ?=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵。 4.矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5.n 阶方阵A 满足032 =--E A A ,则=-1A 。 二、判断正误(正确的在括号内填“√”,错误的在括号内填“×”。每小题2分,共10分) 1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则0?D 。( ) 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。( ) 3. 向量组m a a a ,, ,Λ21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,则向量组s a a a ,,,Λ21线性相关。( ) 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ,则A A =-1。( ) 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。每小题2分,共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T A A ( )。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα,,,Λ21(3 ≤ s ≤ n )线性无关的充要条件是( )。 ① s ααα,, ,Λ21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα,, ,Λ21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα,, ,Λ21中任一个向量都不能用其余向量线性表示

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