2014-2015重点高中自主招生数学试题及答案 (2)
2014-2015重点高中自主招生数学模拟试题
一.选择题(每小题5分,共40分)
1.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( D )
A
.2π+
B .83
π
C .
4π
D
.2π
2.已知A (1x ,1y ),B (2x ,2y )是反比例函数x
y 1
=在平面直角坐标系xOy 的第一象限上图象的两点,满足2721=
+y y ,3
5
12=-x x . 则=?AOB S ( B ) A .11102 B. 12112 C. 13122 D. 14
132
3.有2 015个整数,任取其中2 014个相加,其和恰可取到1,2,…,2 014这2 014个不同的整数值. 则这2 015个整数之和为( )
A .1 004 B. 1 005 C. 1 006 D. 1 008
3.设2 015个整数为1x ,2x ,…,2015x .记1x +2x +…+2015x =M.不妨设M-i x =i (i =1,2,…,2014),M-2015x =A.则2014M=1+2+…+2014+A.故A 除以2014的余数为1007.从而,A=1007,
M=1008.当i x =1008-i (i =1,2,…,2014),2
015x =1时取到.
4.有编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球,从中取出4个,则取出的球的编号互不相同的概率为 ( D )
A. 521.
B. 27.
C. 13
D. 821
4、解 从10个球中取出4个,不同的取法有4
10C 210=种.如果要求取出的球的编号互不相同,可以
先从5个编号中选取4个编号,有4
5C 种选法.对于每一个编号,再选择球,有两种颜色可供挑选,所以取出的球的编号互不相同的取法有4
4
5C 280?=种.因此,取出的球的编号互不相同的概率为
80821021
=. 故选(D ).
5. 使得381n
+是完全平方数的正整数n 有 ( B )
2 2 2
侧(左)视
2
2
2
正(主)视
俯视图
.
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
5、解 当4n ≤时,易知381n +不是完全平方数.故设4n k =+,其中k 为正整数,则38181(31)n k +=+.因为381n +是完全平方数,
而81是平方数,则一定存在正整数x ,使得231k x +=,即231(1)(1)k x x x =-=+-,故1,1x x +-都是3的方幂.
又两个数1,1x x +-相差2,所以只可能是3和1,从而2,1x k ==.
因此,存在唯一的正整数45n k =+=,使得381n +为完全平方数.故选(B ).
6.如图,已知AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,C D ⊥AB 于D ,AD=9,BD=4,以C 为圆心,CD 为半径的圆与⊙O 相交于P,Q 两点,弦PQ 交CD 于E ,则PE ?EQ 的值是( D )
A .24 B. 9 C. 36 D. 27
7.已知实系数一元二次方程x 2+(1+a)x+a+b+1=0的两实根为x 1,x 2,且0 <x 1<1,x 2>1,则a
b 的取值范围( ) A -1<
a b 21-≤ B -1<a b <21- C -2<a b 21-≤ D -2<a b <2
1-
8. 图中正方形ABCD 边长为2,从各边往外作等边三角形ABE 、BCF 、CDG 、DAH ,则四边形AFGD 的周长为 ( )
A.4+26+22
B. 2+26+22
C. 4+23 +42 D .4+23+42 二.填空题(每小题6分,共36分) 9.设由
1~8
的自然数写成的数列为1a ,2a ,…,8
a .则
32 .
由题意记S=21a a -+32a a -+43a a -+54a a -+65a a -+76a a -+87a a -+18a a -. 该式去掉绝对值符号,在这个和的任意加项中,得到一正、一负两个自然数,为了使和达到最大的可能值,只须由1~4取负,由5~8取正,于是,S=2[(8+7+6+5)-(4+3+2+1)]=32.如
48-+74-+17-+51-+25-+62-+36-+83-=32.
10.记[]x 表示不超过实数x 的最大整数,a k =??
????k 2014(k=1,2,, 100,则在这100个整数中,不同的
整数的个数为 69
11.设非负实数x,y,z 满足x+y+z=1,则t=29x ++24y ++2
1z +
12.如图所示,线段OA = OB = OC =1,∠AOB = 60o,∠B OC = 30o,以OA ,OB ,OC 为直径画3个圆,两两的交点为M ,N ,P ,则阴影部分的曲边三角形的面积是 .
解:如图,连接AC ,AN ,BN ,AM ,BM , MP ,NP ,OM ,ON ,OP ,易知∠OP A =∠OPC =90o,∠ANO =∠BNO = 90o,∠BMO =∠CNO = 90o,所以A ,P ,C 共线;A ,N ,B 共线;B ,M ,C 共线.由OA =OB =OC =1,可知P ,M ,N 分别是AC ,BC ,AB 的中点,MPNB 为平行四边形,BN =MP ,BM =NP ,所以BN 与MP 长度相等,BM 与NP 长度相等,因此,
曲边三角形MPN 的面积= S MPNB =1
2
S △ABC , 而 S △ABC = S AOCB – S △AOC = S △AOB
+ S △BOC – S
△AOC 1142- 所以,曲边三角形
MPN 的面积=
1
2S △ABC 13. 将一个44?棋盘中的8个小方格染成黑色,使得每行、每列都恰有两个黑色方格,则 有 不同的染法.(用数字作答)
解:第一行染2个黑格有2
4C 种染法.第一行染好后,有如下三种情况: (1)第二行染的黑格均与第一行的黑格同列,这时其余行都只有一种染法;
(2)第二行染的黑格与第一行的黑格均不同列,这时第三行有2
4C 种染法,第四行的染法随之确定; (3)第二行染的黑格恰有一个与第一行的黑格同列,这样的染法有4种,而在第一、第二这两行染好后,第三行染的黑格必然有1个与上面的黑格均不同列,这时第三行的染法有2种,第四行的染法随之确定. 因此,共有染法为()9024616=?++?种.填90.
14.圆O 的半径为1,P 为圆周上一点,现将如图放置的边长为1的正方形(实线所示,正方形的顶点A 与点P 重合)沿圆周顺时针滚动。经过若干次滚动,点
A
第一次回到点P 的位置,则点A 走过的路径的长度为____∏+2
2
2___________.
三.解答题
15. (本题10分)解方程
17. (本题12分)在正方形ABCD 中,P 是以C 为圆心,CB 为半径的
41
圆弧上一点,且PB >PD ,点Q 在线段PB 上,PQ=PD ,AQ 与DP 交于点R ,求RQ
AR
的值
过点B 作DR 的垂线,过点R 作PB 的平行线与HB 交于点S ,连接HA ,BD 由四边形ABCD 为正方形,∠ABC=∠ADC=90° AD ,AB 为○C 的切线,
∵∠BHD=∠BAD=90° ∴BHAD四点共圆
于是∠ABH =∠ADH=∠PBD ∴∠PBH=∠DBA=45°
即∠HPB=45°=∠ABD=∠AHD
∴AH ∥BP ∴∠HAB=∠PDB ∴△HAB ∽△PDB 所以
2
2
=
===BD AB PD AH PQ AH RQ AR 1
223111111++=
++
+x x x
16.(本题
19.(本题12分)对参加数学竞赛的选手的准考证进行编号,最小号为0001,最大号为2014.无论哪名选手站出来统计本校其他所有选手准考证号数的平均值时,发现所得的平均值均为整数.问这所学校参加竞赛的选手最多有多少名?
设该校共有n 名选手参赛,其准考证号依次为20141121=<<<<=-n n x x x x . 依题意知+∈=--++=
Z n k n x x x x S k
n k ),,2,1(1
21 .
对任意)1(,n j i j i ≤<≤均有+∈--=
-Z n x x S S i j j i 1
.于是,1-≥-n x x i j
.
故2
122111)1()()()(-≥-++-+-=----n x x x x x x x x n n n n n
452013)1(12≤?=-≤-?n x x n n .
由于
1
1
2014--n 为整数,从而,1-n 为2013的约数.
注意到,2013=3×11×61不超过45的最大约数为33.于是,n 的最大值为34,即参赛选手最多有34名.
这样的34名选手的号码是可以实现的.如2014),33,,2,1(323334==-=x i i x i . 因此,该校参加竞赛的选手最多有34名. 16分)
13、
(20分)AD 是直角三角形ABC 斜边BC 上的高,(AB AC <),12,I I 分别是,ABD ACD ??的内心,12AI I ?的外接圆O 分别交,AB AC 于,E F ,直线,EF BC 交于点
M ;
证明:12,I I 分别是ODM ?的内心与旁心.
证:如图,连12121,,,,DI DI BI AI I F ,由090EAF ∠=,则圆心O 在EF 上,设直径EF 交AD 于O ',并简记ABC ?的三内角为,,A B C ,由11
22
B I BD DA
C ∠=
=∠ 0212,45I AD I DB I DA =∠∠==∠,
所以1D B I ?∽2
DAI ?,得12DI DB
DI DA =,且01290I DI BDA ∠==∠,故12I DI ?∽BDA ?,
而0121,902
B DI I B AI D ∠=∠=+
, 注意111212AI D AI F FI I DI I ∠=∠+∠+∠,1122,2
B AI F AEF FI I FAI ∠=∠∠=∠=
, 所以090AEF B C DAB ∠=-==∠,因此O E O A ''=,同理得O F O A ''=,故O '与O 重合,即圆心O 在AD 上,而22EOD OEA OAE OAE C ∠=∠+∠=∠=,
112EOI EAI BAD C ∠=∠=∠=,所以1OI 平分DOM ∠;
同理得2OI 平分DOF ∠,即1I 是ODM ?的内心,2I 是ODM ?的旁心.
证二:如图,因为90BAC ∠=?,故12AI I ?的外接圆圆心O 在EF 上,连12,12,,OI OI I D I D ,则由12,I I 为内心知,
1245I AI ∠=?, 所以
121212290I OI I AI I DI ∠=∠=?=∠,
于是12,,,O I D I 四点共圆,所以
211245I I O I I O ∠=∠=?,又因221245I DO I I O I DA ∠=∠=?=∠,因此点O 在AD 上,即O 为EF
与AD 的交点.设AD 与
O 交于另一点H ,而由112EAI I AH ∠=∠,
22HAI FAI ∠=∠,可知,12,I I 分别为,EH HF 的中点,所以11EOI DOI ∠=∠, 22DOI FOI ∠=∠.因此,点12,I I 分别为OMD ?的内心与旁心.
11.已知抛物线C :2
2
1x y =
与直线l :1-=kx y 没有公共点,设点P 为直线l 上的动点,过P 作抛物线C 的两条切线,A ,B 为切点.
(1)证明:直线AB 恒过定点Q ;
(2)若点P 与(1)中的定点Q 的连线交抛物线C 于M ,N 两点,证明:
QN
QM PN
PM =
.
证明 (1)设11(,)A x y ,则2
112
1x y =. 由2
2
1x y =
得x y =',所以11|x y x x ='=. 于是抛物线C 在A 点处的切线方程为)(111x x x y y -=-,即11y x x y -=. 设)1,(00-kx x P ,则有11001y x x kx -=-. 设22(,)B x y ,同理有22001y x x kx -=-.
所以AB 的方程为y x x kx -=-001,即0)1()(0=---y k x x , 所以直线AB 恒过定点)1,(k Q . ----------------7分 (2)PQ 的方程为002()1kx y x k x k -=
-+-,与抛物线方程22
1
x y =联立,消去y ,得 02)22(42002002
=---+---k
x k x k x k x kx x .
设),(33y x M ,),(44y x N ,则
k
x k
x k x x k x kx x x ---=
--=+0024300432)22(,42 ① 要证
QN
QM PN
PM =
,只需证明
k
x x k x x x x --=--43
0403,即
02))((2043043=+++-kx x x x k x x ②
由①知,
②式左边=000000224
2)(4)22(2kx k
x kx x k k x k x k +--+----
0)(2)42)((4)22(20000002=--+-+---=k
x k x kx kx x k k x k .
故②式成立,从而结论成立. ----------------------15分
某校
设该校共有n 名选手参赛,其准考证号依次为20141121=<<<<=-n n x x x x . 依题意知+∈=--++=
Z n k n x x x x S k
n k ),,2,1(1
21 .
对任意)1(,n j i j i ≤<≤均有+∈--=-Z n x x S S i j j i 1
.
于是,1-≥-n x x i j .
故2
122111)1()()()(-≥-++-+-=----n x x x x x x x x n n n n n
452013)1(12≤?=-≤-?n x x n n .
由于
1
1
2014--n 为整数,从而,1-n 为2013的约数.
注意到,2013=3×11×61不超过45的最大约数为33.于是,n 的最大值为34,即参赛选手最多有34名.
这样的34名选手的号码是可以实现的.如2014),33,,2,1(3233==-=x i i x .
因此,该校参加竞赛的选手最多有34名.
初中升高中-学校自主招生选拔考试-数学试题
数学试卷 一、选择题(30分) 1.在0,-2, 1,-3这四个数中,最小的数是( ). A .0 B .-2 C .1 D .-3 2. 函数中,自变量的取值范围是( ). A .x≥1 B .x≤1 C .x≥-1 D .x≤-1 3.把不等式组 的解集表示在数轴上,下列选项正确的是( ). A . B . C . D . 4.如图,小红和小丽在操场上做游戏,她们先在地上画出一个圆圈,然后蒙上眼在一定距离外向圆圈内投小石子,则投一次就正好投到圆圈内是( ). A .必然事件(必然发生的事件) B .不可能事件(不可能发生的事件) C .确定事件(必然发生或不可能发生的事件) D .不确定事件(随机事件) 5. 若x1、x2是一元二次方程的两个根,则x12的值是( ). A.3 3 C.2 2 6.我们从不同的方向观察同一物体时,可以看到不同的平面图形,如图,从图的左面看这个几何体的左视图是( ). A . B . C . D . 7.已知 ,我们又定义 ,, ,……,根据你观察的规律可推测出=( ). 1 0 1 0 1 0 1 0
A. B. C. D. 8.如图,在矩形中,M、N分别为边、边的中点, 将矩形沿折叠,使A点恰好落在上的点F处, 则∠的度数为( ). A.20°B.25 °C.30°D.36° 9.为了解某区九年级学生课外体育活动的情况,从该年级学生中随机 抽取了4%的学生,对其参加的体育活动项目进行了调查,将调查的数据进行统计并绘制了扇形图和条形图.下列结论:①被抽测学生中参加羽毛球项目人数为30人;②在本次调查中“其他”的扇形的圆心角的度数为36°;③估计全区九年级参加篮球项目的学生比参加足球项目的学生多20%;④全区九年级大约有1500名学生参加乒乓球项目.其中正确结论的个数是( ). A. 1个 B.2个 C. 3个 D.4个 10.如图,等腰△中,∠90°,4,⊙C的半径为1,点P在斜边上,切⊙O于点Q,则切线长长度的最小值为( ). A. B. C. 3 D.4 二、填空题(18分) 11.如图,四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形,A、B、O
重点高中自主招生物理试题5
重点高中自主招生物理试题(五) 及参考答案 一、选择题(共15小题,45分,每小题所给的选项中有一个或一个以上的选项是正确的。 全部选对得3分,选对但不全得1分,错选或不选得0分。) 1、在某次举重锦标赛中,一名运动员在抓举比赛时,将质量为127.5 kg的杠铃举起历时约0.5 s,再停留3 s后放下杠铃.那么,该运动员在举起杠铃过程中的平均功率约为() A.几百瓦B.几千瓦C.几十千瓦D.几百千瓦 2、在一个明月如皓的夜晚,李刚走在回家的路上,高悬的月亮让李刚在右侧留下长长的身影。刚下过的雨在坑洼的路面留下了一个个积水坑,李刚为了不踏入水坑,下面说法正确的是() A.应踩在较亮的地方,因为水面发生了漫反射,看起来较暗 B.应踩在较亮的地方,因为路面发生了漫反射,看起来较亮 C.应踩在较暗的地方,因为路面发生了漫反射,看起来较暗 D.应踩在较暗的地方,因为水面发生了镜面反射,看起来较亮 3、2008年9月“神舟”七号顺利升空,广袤的太空第一次留下了中国人的脚印.图中所示为翟志刚身着国产航天服、身系安全绳,缓缓步出轨道舱时的照片.地球就像一轮巨大的月亮,悬挂在其头顶,此时飞船绕地运行的速度高达七至八千米每秒.根据我们所学的知识可知,下述说法正确的是() A.在此高空,翟志刚不受重力作用 B.白色的航天服能反射太阳光中的各种色光 C.由于地球对阳光的反射,飞船上的摄像机 才能拍摄到地球 D.尽管飞船速度很快,但在舱外翟志刚依靠 惯性也能随飞船飞行 4、在2008年北京奥运会中,牙买加选手博尔特成为了一名公认的世界飞人,在男子100 m 决赛和男子200 m决赛中他分别以9.69 s和19.30 s的成绩打破两项世界纪录,获得两枚金牌.关于他在这两次决赛中的运动情况,下列说法正确的是() A.200 m决赛中的路程是100 m决赛的两倍 B.200 m决赛中的平均速度约为10.36 m/s C.100 m决赛中的平均速度约为10.32 m/s D.100 m决赛中的最大速度约为20.64 m/s 5、如图所示的是握力计的原理图,其中弹簧上端和滑动变阻器滑 片固定在一起,AB间有可收缩的导线,R0是保护电阻,电压表可显 示压力的大小.则当握力F增加时,电压表的示数将() A.变大 B.变小 C.不变 D.无法确定 6、物理学常常把实际的研究对象或实际的过程抽象成“物理模型”。 下列选项中叙述正确的是()
重点高中自主招生考试数学试卷集(大全集)
6.如图,点A 在函数=y x 6 -)0( 16.如图,E 、F ABCD 的边AB 、CD 上 的点,AF 与DE 相交于点P ,BF 与CE 相交于 点Q ,若S △APD 15=2 cm ,S △BQC 25=2 cm , 则阴影部分的面积为 2 cm . . 19.将背面相同,正面分别标有数字1、2、3、4的四张卡片洗匀后,背面朝上放在桌面上. (1)从中随机抽取一张卡片,求该卡片正面上的数字是偶数的概率; (2)先从中随机抽取一张卡片(不放回... ),将该卡片正面上的数字作为十位上的数字;再随机抽取一张,将该卡片正面上的数字作为个位上的数字,则组成的两位数恰好是4的倍数的概率是多少?请用树状图或列表法加以说明. 20.为配合我市“创卫”工作,某中学选派部分学生到若干处公共场所参加义务劳动.若每处安排10人,则还剩15人;若每处安排14人,则有一处的人数不足14人,但不少于10人.求这所学校选派学生的人数和学生所参加义务劳动的公共场所个数. 中学自主招生数学试卷 一、选择题(共5小题,每题4分,满分20分) 1.(4分)下列图中阴影部分面积与算式|﹣|+()2+2﹣1的结果相同的是() A.B.D. 2.(4分)如图,∠ACB=60°,半径为2的⊙O切BC于点C,若将⊙O在CB上向右滚动,则当滚动到⊙O与CA也相切时,圆心O移动的水平距离为() A.2πB.4πC.2D.4 3.(4分)如果多项式x2+px+12可以分解成两个一次因式的积,那么整数p的值可取多少个() A.4 B.5 C.6 D.8 4.(4分)小明、小林和小颖共解出100道数学题,每人都解出了其中的60道,如果将其中只有1人解出的题叫做难题,2人解出的题叫做中档题,3人都解出的题叫做容易题,那么难题比容易题多多少道() A.15 B.20 C.25 D.30 5.(4分)已知BD是△ABC的中线,AC=6,且∠ADB=45°,∠C=30°,则AB=() A.B.2C.3D.6 二、填空题(共6题,每小题5分,满分30分) 6.(5分)满足方程|x+2|+|x﹣3|=5的x的取值范围是. 7.(5分)已知三个非负实数a,b,c满足:3a+2b+c=5和2a+b﹣3c=1,若m=3a+b﹣7c,则m的最小值为. 8.(5分)如图所示,设M是△ABC的重心,过M的直线分别交边AB,AC于P,Q两 点,且=m,=n,则+=. 9.(5分)在平面直角坐标系中,横坐标与纵坐标都是整数的点(x,y)称为整点,如果 将二次函数的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色,则此红色区域内部及其边界上的整点个数有个. 10.(5分)如图所示:在平面直角坐标系中,△OCB的外接圆与y轴交于A(0,),∠OCB=60°,∠COB=45°,则OC=. 11.(5分)如图所示:两个同心圆,半径分别是和,矩形ABCD边AB,CD分别为两圆的弦,当矩形ABCD面积取最大值时,矩形ABCD的周长是. 三、简答题(共4小题,满分50分) 12.(12分)九年级(1)、(2)、(3)班各派4名代表参加射击比赛,每队每人打两枪,射中内环得50分,射中中环得35分,射中外环得25分,脱靶得0分.统计比赛结果,(1)班8枪全中,(2)班1枪脱靶,(3)班2枪脱靶,但三个班的积分完全相同,都是255分. 请将三个班分别射中内环、中环、外环的次数填入下表并简要说明理由: 班级内环中环外环 2010年科学素养测试 数学试题 【卷首语】亲爱的同学们,欢迎参加一六八中学自主招生考试,希望你们凝神静气,考出水平!开放的一六八中学热忱欢迎你们!本学科满分为120分,共17题;建议用时90分钟。 一、填空题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1、计算= . 2、分解因式:= . 3、函数中,自变量x的取值范围是. 4、已知样本数据x1,x2,…,x n的方差为1,则数据10x1+5,10x2+5,…,10x n+5的方 差为. 5、函数的图像与坐标轴的三个交点分别为(a, 0)(b, 0)(0, c),则a+b+c的值等 于. 6、在同一平面上,⊙、⊙的半径分别为2和1,=5,则半径为9且与⊙、⊙都相切的圆有 个. 7、一个直角三角形斜边上的两个三等分点与直角顶点的两条连线段长分别为3 cm和4 cm, 则斜边长为cm . 8、用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律,拼成若干个图案: 则第10个图案中有白色地面砖块. 9、将函数的图像平移,使平移后的图像过C(0,-2),交x轴于A、B两点,并且△ABC 的面积等于4,则平移后的图像顶点坐标是. 10、如图,平行四边形ABCD中,P点是形内一点,且△P AB的面积等于8 cm2,△P AD的 面积等于7 cm2,,△PCB的面积等于12 cm2,则△PCD的面积是cm2. (第10题图)(第11题图) 11、一个由若干个相同大小的小正方体组成的几何组合体,其主视图与左视图均为如图所 示的3 × 3的方格,问该几何组合体至少需要的小正方体个数是. 12、正△ABC内接于⊙O,D、E分别是AB、AC的中点,延长DE交⊙O与F, 连接BF交 AC于点P,则. 二、解答题(本大题共5小题,每小题12分,共60分) 13、已知(a+b)∶(b+c)∶(c+a)=7∶14∶9 求:①a∶b∶c②自主招生数学试卷(含答案)
中学自主招生考试数学试卷试题
重点高中自主招生数学模拟试题含答案