构造函数法证明不等式的八种方法

构造函数法证明不等式的八种方法

1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。

2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法： 一、移项法构造函数 【例1】

已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有

x x x ≤+≤+-

)1ln(1

1

1

【警示启迪】如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大（小）值，则有()f x ≤()f a （或()f x ≥()f a ），

那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证．

2、作差法构造函数证明 【例2】已知函数.ln 21)(2x x x f +=

求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数3

3

2)(x x g =的图象的下方；

本题首先根据题意构造出一个函数（可以移项，使右边为零，将移项后的左式设为函数），并利用导数判

断所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义，证明要证的不等式。读者也可以设)()()(x g x f x F -=做一做，深刻体会其中的思想方法。

3、换元法构造函数证明

【例3】（2010年，山东卷）证明：对任意的正整数n ，不等式321

1)11ln(n

n n ->+ 都成立.

【警示启迪】我们知道，当()F x 在[,]a b 上单调递增，则x a >时，有()F x ()F a >．如果()f a ＝

()a ?，要证明当x a >时，()f x >()x ?，那么，只要令()F x ＝()f x －()x ?，就可以利用()F x 的单

调增性来推导．也就是说，在()F x 可导的前提下，只要证明'()F x >０即可． 4、从条件特征入手构造函数证明

【例4】若函数y =)(x f 在R 上可导且满足不等式x )(x f '>－)(x f 恒成立，且常数a ，b 满足a >b ，求

证：．a )(a f >b )(b f

【警示启迪】由条件移项后)()(x f x f x +'，容易想到是一个积的导数，从而可以构造函数)()(x xf x F =，

求导即可完成证明。若题目中的条件改为)()(x f x f x >'，则移项后)()(x f x f x -'，要想到

是一个商的导数的分子，平时解题多注意总结。 5、主元法构造函数

例．（全国）已知函数x x x g x x x f ln )(,)1ln()(=-+= (1) 求函数)(x f 的最大值；

(2) 设b a <<0,证明 ：2ln )()2

(

2)()(0a b b

a g

b g a g -<+-+<. 分析：对于（II ）绝大部分的学生都会望而生畏.学生的盲点也主要就在对所给函数用不上.如果能挖掘一下所给函数与所证不等式间的联系，想一想大小关系又与函数的单调性密切相关，由此就可过渡到根据所要证的不等式构造恰当的函数，利用导数研究函数的单调性，借助单调性比较函数值的大小，以期达到证明不等式的目的.证明如下：

证明：对x x x g ln )(=求导,则1ln )('

+=x x g .

在)2

(

2)()(b

a g

b g a g +-+中以b 为主变元构造函数, 设)2

(

2)()()(x

a g x g a g x F +-+=,则2ln ln )]2(

[2)()('''x a x x a g x g x F +-=+-=. 当a x <<0时，0)('

当a x >时,0)('

>x F ,因此)(x F 在),(+∞a 上为增函数. 从而当a x =时, )(x F 有极小值)(a F .

因为,,0)(a b a F >=所以0)(>b F ,即.0)2

(2)()(>+-+b

a g

b g a g 又设2ln )()()(a x x F x G --=.则)ln(ln 2ln 2

ln

ln )('x a x x

a x x G +-=-+-=. 当0>x 时,0)('

因为,,0)(a b a G >=所以0)(

(2)()(a b b

a g

b g a g -<+-+.

6、构造二阶导数函数证明导数的单调性 例．已知函数21()2

x

f x ae x =-

(1)若f(x)在R 上为增函数,求a 的取值范围; (2)若a=1,求证:x ＞0时,f(x)>1+x

小结：当函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立，从而把不等式的恒成立问题可转化为求函数最值问题．不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为)(x f m >(或)(x f m <)恒成立，于是m 大于)(x f 的最大值（或m 小于)(x f 的最小值），从而把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题．因此，利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法．

7.对数法构造函数（选用于幂指数函数不等式） 例：证明当2

111)1(,0x x

e

x x +

+<+>时

8.构造形似函数

例1：证明当a b b a e a b >>>证明,

．设函数()f x 在R 上的导函数为()f x '，且22()()f x xf x x '+>，下面的不等式在R 上恒成立的是

A ．0)(>x f

B ．0)(

C ．x x f >)(

D ．x x f <)(

例2：已知m 、n 都是正整数，且,1n m <<证明：m n n m )1()1(+>+

【思维挑战】

1、（2007年，安徽卷） 设x a x x x f a ln 2ln 1)(,02+--=≥

求证：当1>x 时，恒有1ln 2ln 2

+->x a x x ， 2、（2007年，安徽卷）已知定义在正实数集上的函数

,ln 3)(,22

1)(22b x a x g ax x x f +=+=

其中a >0，且a a a b ln 3252

2-=，

求证：)()(x g x f ≥ 3、已知函数x

x

x x f +-

+=1)1ln()(，求证：对任意的正数a 、b ， 恒有.1ln ln a

b b a -

≥- 4、（2007年，陕西卷）)(x f 是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足)()(x f x f x -'≤0，对任意正数a 、b ，若a < b ，则必有 （ ） （A ）af (b )≤bf (a )

（B ）bf (a )≤af (b )

（C ）af (a )≤f (b ) （D ）bf (b )≤f (a )

21、(本小题满分14分)

设函数

c bx x x f n n ++=)(（+∈N n ，b ，c R ∈）

（Ⅰ)设2≥n ，1=b ，1-=c ，证明：)(x f n 在区间（

2

1

，1）内存在 唯一零点；

（Ⅱ）设2=n ，若对任意1x ，2x ]1,1[-∈，有4|)()(|2212≤-x f x f ，求

b 的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅰ)的条件下，设n x 是

)(x f n 在（

2

1

，1）内的零点，判断 数列2x ，3x ， ，n x ， 的增减性.

21。 （本小题满分14分）

设函数()(,,)n n f x x bx c n N b c R +=++∈∈

（1）设2n ≥，1,

1b c ==-，证明：()n f x 在区间1,12??

???

内存在唯一的零点；

（2）设n 为偶数，(1)1f -≤，(1)1f ≤，求b+3c 的最小值和最大值；

（3）设2n =，若对任意12,x x [1,1]∈-，有2122|()()|4f x f x -≤，求b 的取值范围；

2012高考试题分类汇编：3:导数

一、选择题

1.【2012高考重庆文8】设函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是

2.【2012高考浙江文10】设a ＞0，b ＞0，e 是自然对数的底数

A. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＞b

B. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＜b

C. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＞b

D. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＜b

3.【2012高考陕西文9】设函数f （x ）=

2

x

+lnx 则 （ ） A ．x=12为f(x)的极大值点 B ．x=1

2

为f(x)的极小值点

C ．x=2为 f(x)的极大值点

D ．x=2为 f(x)的极小值点 4.【2012高考辽宁文8】函数y=

12

x 2

-㏑x 的单调递减区间为 （A ）（-1,1] （B ）（0,1] （C.）[1，+∞） （D ）（0，+∞） 【点评】本题主要考查利导数公式以及用导数求函数的单调区间，属于中档题。

5.【2102高考福建文12】已知f （x ）=x 3-6x 2+9x-abc ，a ＜b ＜c ，且f （a ）=f （b ）=f （c ）=0.现给出如下结论：

①f （0）f （1）＞0；②f （0）f （1）＜0；③f （0）f （3）＞0；④f （0）f （3）＜0. 其中正确结论的序号是

A.①③

B.①④

C.②③

D.②④

6.【2012高考辽宁文12】已知P,Q 为抛物线x 2

=2y 上两点，点P,Q 的横坐标分别为4，-2，过P,Q 分别

作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为

(A) 1 (B) 3 (C) -4 (D) -8

二、填空题

7.【2012高考新课标文13】曲线y =x (3ln x +1)在点)1,1(处的切线方程为________

8..【2012高考上海文13】已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ，其中(0,0)A 、1(,1)2

B 、(1,0)

C ，函数()y xf x =（01x ≤≤）的图像与x 轴围成的图形的面积为

三、解答题

9.【2102高考北京文18】（本小题共13分） 已知函数f(x)=ax 2+1(a>0),g(x)=x 3+bx 。

若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求a,b 的值； 当a=3,b=-9时，若函数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k 的取值范围。

10.【2012高考江苏18】（16分）若函数)(x f y =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数

)(x f y =的极值点。

已知a b ，是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点． （1）求a 和b 的值；

（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点；

（3）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，

，求函数()y h x =的零点个数．

【考点】函数的概念和性质，导数的应用。

【解析】（1）求出)(x f y =的导数，根据1和1-是函数)(x f y =的两个极值点代入列方程组求解即可。 （2）由（1）得，3()3f x x x =-，求出()g x '，令()=0g x '，求解讨论即可。

（3）比较复杂，先分=2d 和2d <讨论关于x 的方程()=f x d 根的情况；再考虑函数()y h x =的零点。

11.【2012高考天津文科20】（本小题满分14分） 已知函数a ax x a x x f ---+=

2

32

131)(，x 其中a>0.

（I ）求函数)(x f 的单调区间；

（II ）若函数)(x f 在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a 的取值范围；

（III ）当a=1时，设函数)(x f 在区间]3,[+t t 上的最大值为M （t ），最小值为m （t ）,记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间]1,3[--上的最小值。

12.【2012高考广东文21】（本小题满分14分）

设01a <<，集合{|0}A x x =∈>R ，2{|23(1)60}B x x a x a =∈-++>R ，D A B =.

（1）求集合D （用区间表示）

（2）求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点.

13.【2102高考福建文22】（本小题满分14分） 已知函数3()sin (),2f x ax x a R =-

∈且在,0,2π??

????

上的最大值为32π-， （1）求函数f(x)的解析式；

(2)判断函数f(x)在（0，π）内的零点个数，并加以证明。