浙江专版2018高考数学一轮复习第5章数列第4节数列求和教师用书

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第四节 数列求和

1.公式法

(1)等差数列的前n 项和公式:

S n =n a 1+a n 2

=na 1+

n n -2

d ;

(2)等比数列的前n 项和公式:

S n =????

?

na 1,q =1,a 1-a n q 1-q

=a 1-q n

1-q ,q ≠1.

2.分组转化法

把数列的每一项分成两项或几项,使其转化为几个等差、等比数列,再求解. 3.裂项相消法

(1)把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和. (2)裂项时常用的三种变形: ①1n

n +=1n -1n +1; ②1

n -

n +

=12? ??

??12n -1-12n +1;

1

n +n +1

=n +1-n .

4.错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,这个数列的前n 项和可用错位相减法求解.

5.倒序相加法

如果一个数列{a n }的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解.

6.并项求和法

一个数列的前n 项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如a n =(-1)n

f (n )类型,可采用两项合并求解.

例如,S n =1002

-992

+982

-972

+…+22

-12

=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5 050.

1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列,且公比不等于1,则其前n 项和S n =a 1-a n +1

1-q

.( ) (2)当n ≥2时,

1n 2-1=12? ??

??1n -1-1n +1.( )

(3)求S n =a +2a 2+3a 3

+…+na n

之和时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得.( )

(4)如果数列{a n }是周期为k (k 为大于1的正整数)的周期数列,那么S km =mS k .( ). [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2.(教材改编)数列{a n }的前n 项和为S n ,若a n =1n n +

,则S 5等于( )

A .1 B.56 C.16 D.

130

B [∵a n =

1n

n +

=1n -1n +1

, ∴S 5=a 1+a 2+…+a 5=1-12+12-13+…-16=5

6.]

A .9

B .18

C .36

D .72

B [∵a 2·a 8=4a 5,即a 2

5=4a 5,∴a 5=4, ∴a 5=b 4+b 6=2b 5=4,∴b 5=2, ∴S 9=9b 5=18,故选B.]

4.若数列{a n }的通项公式为a n =2n +2n -1,则数列{a n }的前n 项和S n =__________. 2

n

+1

-2+n 2

[S n =

-2

n

1-2

n

+2n -2

=2

n +1

-2+n 2

.]

5.3·2-1

+4·2-2

+5·2-3

+…+(n +2)·2-n

=__________. 4-

n +4

2n

[设S =3×12+4×122+5×123+…+(n +2)×1

2

n , 则12S =3×122+4×123+5×124+…+(n +2)×12n +1. 两式相减得12S =3×12+? ????122+1

2

3+…+12n -n +22n +1.

∴S =3+? ????12+1

22+…+12n -1-n +22n

=3+12??????1-? ????12n -11-12

-n +22n =4-n +4

2n

.]

已知{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,且b 2=3,b 3=9,a 1=b 1,a 14=b 4. (1)求{a n }的通项公式;

(2)设c n =a n +b n ,求数列{c n }的前n 项和.

[解] (1)设等比数列{b n }的公比为q ,则q =b 3b 2=9

3

=3,

所以b 1=b 2q

=1,b 4=b 3q =27,所以b n =3n -1

(n =1,2,3,…).3分

设等差数列{a n }的公差为d .

因为a 1=b 1=1,a 14=b 4=27,所以1+13d =27,即d =2. 所以a n =2n -1(n =1,2,3,…).6分 (2)由(1)知a n =2n -1,b n =3n -1

.

因此c n =a n +b n =2n -1+3n -1

.10分

从而数列{c n }的前n 项和

S n =1+3+…+(2n -1)+1+3+…+3n -1

n

+2n -2+1-3n 1-3=n 2+3n

-12

.14分 [规律方法] 分组转化法求和的常见类型

(1)若a n =b n ±c n ,且{b n },{c n }为等差或等比数列,则可采用分组求和法求{a n }的前n 项和.

(2)通项公式为a n =?

??

??

b n ,n 为奇数,

c n ,n 为偶数的数列,其中数列{b n },{c n }是等比数列或等差

数列,可采用分组求和法求和.

易错警示:注意在含有字母的数列中对字母的分类讨论.

[变式训练1] (2016·浙江高考)设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 2=4,

a n +1=2S n +1,n ∈N *.

(1)求通项公式a n ;

(2)求数列{|a n -n -2|}的前n 项和.

[解] (1)由题意得?

??

??

a 1+a 2=4,

a 2=2a 1+1,则?

??

??

a 1=1,

a 2=3.2分

又当n ≥2时,由a n +1-a n =(2S n +1)-(2S n -1+1)=2a n ,得a n +1=3a n , 所以数列{a n }的通项公式为a n =3n -1

,n ∈N *

.7分

(2)设b n =|3

n -1

-n -2|,n ∈N *

,则b 1=2,b 2=1.

当n ≥3时,由于3n -1

>n +2,故b n =3

n -1

-n -2,n ≥3.10分

设数列{b n }的前n 项和为T n ,则T 1=2,T 2=3, 当n ≥3时,T n =3+

-3

n -2

1-3

n +

n -

2

=3n -n 2

-5n +112

所以T n =?

????

2, n =1,3n -n 2

-5n +112, n ≥2,n ∈N *

.14分

(2017·绍兴二诊)若A n 和B n 分别表示数列{a n }和{b n }的前n 项的和,对任意正

整数n ,a n =2(n +1),3A n -B n =4n .

(1)求数列{b n }的通项公式;

[解] (1)由于a n =2(n +1),∴{a n }为等差数列,且a 1=4.2分 ∴A n =

n a 1+a n

2

n

+2n +2

=n 2

+3n ,

∴B n =3A n -4n =3(n 2

+3n )-4n =3n 2

+5n , 当n =1时,b 1=B 1=8,

当n ≥2时,b n =B n -B n -1=3n 2

+5n -[3(n -1)2

+5(n -1)]=6n +2.由于b 1=8适合上式,∴b n =6n +2.7分

(2)由(1)知c n =

2A n +B n =2

4n 2+8n

=14? ??

??1

n -1n +2,9分 ∴S n =14???

? ????11-13+? ????12-14+? ??

??13-15+

?

??? ????14-16+…+? ????1n -1-1n +1+? ????1n -1n +2 =14? ????1+1

2-1n +1-1n +2

=38-14? ??

??1

n +1+1n +2.14分

[规律方法] 1.裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项,使这些裂开的项出现有规律的相互抵捎,要注意消去了哪些项,保留了哪些项,从而达到求和的目的.

2.消项规律:消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边剩第几项,后边就剩倒数第几项.

[变式训练2] (2017·宁波一模)已知等差数列{a n }中,2a 2+a 3+a 5=20,且前10项和

S 10=100.

(1)求数列{a n }的通项公式; (2)若b n =

1

a n a n +1

,求数列{b n }的前n 项和.

[解] (1)由已知得

?

????

2a 2+a 3+a 5=4a 1+8d =20,10a 1+10×92d =10a 1+45d =100,

解得?

??

??

a 1=1,d =2,3分

所以数列{a n }的通项公式为a n =1+2(n -1)=2n -1.6分 (2)b n =

1

n -n +

=12? ??

??1

2n -1-12n +1,10分

所以T n =12? ????1-13+13-1

5+…+12n -1-12n +1 =12?

????1-12n +1=n

2n +1.14分

已知数列{a n }的前n 项和S n =3n 2

+8n ,{b n }是等差数列,且a n =b n +b n +1. (1)求数列{b n }的通项公式;

(2)令c n =

a n +n +1

b n +

n

,求数列{c n }的前n 项和T n .

[解] (1)由题意知当n ≥2时,a n =S n -S n -1=6n +5. 当n =1时,a 1=S 1=11,符合上式. 所以a n =6n +5.2分 设数列{b n }的公差为d .

由???

?? a 1=b 1+b 2,a 2=b 2+b 3,即?

??

??

11=2b 1+d ,17=2b 1+3d ,

解得?

??

??

b 1=4,d =3.所以b n =3n +1.6分

(2)由(1)知c n =

n +n +1n +

n

=3(n +1)·2

n +1

.8分

又T n =c 1+c 2+…+c n ,

得T n =3×[2×22

+3×23

+…+(n +1)×2n +1

],

2T n =3×[2×23

+3×24

+…+(n +1)×2

n +2

],9分

两式作差,得-T n =3×[2×22

+23

+24

+…+2n +1

-(n +1)×2

n +2

]

=3×?

???

??4+-2n

1-2-n +

n +2

=-3n ·2

n +2

所以T n =3n ·2n +2

.14分

[规律方法] 1.如果数列{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,求数列{a n ·b n }的前n 项和时,可采用错位相减法求和,一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比,若{b n }的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况讨论.

2.在书写“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,即公比q 的同次幂项相减,转化为等比数列求和.

[变式训练3] (2017·湖州第三次模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3=6,

S 5=15.

(1)求{a n }的通项公式;

(2)设b n =a n

2a n

,求数列{b n }的前n 项和T n .

[解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ,首项为a 1. ∵S 3=6,S 5=15, ∴?????

3a 1+12-d =6,

5a 1

+1

2

d =15,

即?????

a 1+d =2,

a 1+2d =3,

解得???

??

a 1=1,d =1.

4分

∴{a n }的通项公式为a n =a 1+(n -1)d =1+(n -1)×1=n .6分 (2)由(1)得b n =

a n 2a n =n

2

n ,8分 ∴T n =12+222+323+…+n -12n -1+n

2n ,①

①式两边同乘1

2

, 得

12T n =122+223+324+…+n -12n +n

2n +1,② ①-②得12T n =12+122+123+…+12n -n 2n +1

=12? ?

???1-12n 1-12-n 2=1-12-n 2,12分

∴T n =2-12n -1-n

2n .14分

[思想与方法]

解决非等差、等比数列的求和,主要有两种思路:

(1)转化的思想,即将一般数列设法转化为等差或等比数列,这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成.

(2)不能转化为等差或等比数列的数列,往往通过裂项相消法、倒序相加法等来求和. [易错与防范]

1.直接应用公式求和时,要注意公式的应用范围,如当等比数列公比为参数(字母)时,应对其公比是否为1进行讨论.

2.利用裂项相消法求和的注意事项:

(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项. (2)将通项裂项后,有时需要调整前面的系数,使裂开的两项之差与系数之积与原通项相等.如:若{a n }是等差数列,

1

a n a n +1=1d ? ????1a n -1a n +1,1a n a n +2=12d ? ????1a n -1a n +2. 课时分层训练(二十九) 数列求和

A 组 基础达标 (建议用时:30分钟)

一、选择题

1.数列112,314,518,7116,…,(2n -1)+1

2n ,…的前n 项和S n 的值等于( )

A .n 2

+1-12n

B .2n 2

-n +1-12n

C .n 2

+1-

1

2

n -1

D .n 2

-n +1-12

n

A [该数列的通项公式为a n =(2n -1)+1

2

n ,

则S n =[1+3+5+…+(2n -1)]+? ????12+1

22+ (12)

=n 2

+1-12

n .]

2.(2017·金华十校3月联考)在数列{a n }中,a n +1-a n =2,S n 为{a n }的前n 项和.若S 10

=50,则数列{a n +a n +1}的前10项和为( )

A .100

B .110

C .120

D .130

C [{a n +a n +1}的前10项和为a 1+a 2+a 2+a 3+…+a 10+a 11=2(a 1+a 2+…+a 10)+a 11-

a 1=2S 10+10×2=120.故选C.]

3.(2017·浙江名校2月联考)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问第二天走了( )

A .192里

B .96里

C .48里

D .24里

B [由题意,知每天所走路程形成以a 1为首项,公比为12的等比数列,则

a 1?

??

??

1-12

61-12

=378,

解得a 1=192,则a 2=96,即第二天走了96里.故选B.]

4.(2017·浙江五校联考)已知数列5,6,1,-5,…,该数列的特点是从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前16项之和S 16等于( )

A .5

B .6

C .7

D .16

C [根据题意这个数列的前8项分别为5,6,1,-5,-6,-1,5,6,发现从第7项起,数字重复出现,所以此数列为周期数列,且周期为6,前6项和为5+6+1+(-5)+(-6)+(-1)=0.

又因为16=2×6+4,所以这个数列的前16项之和S 16=2×0+7=7.故选C.] 5.已知函数f (x )=x a

的图象过点(4,2),令a n =1f n +

+f n

,n ∈N *

,记数列{a n }

的前n 项和为S n ,则S 2 017=( )

A. 2 016-1

B. 2 017-1

C. 2 018-1

D. 2 018+1

C [由f (4)=2得4a

=2,解得a =12,则f (x )=x 12

.

∴a n =

1

f n ++f n

1

n +1+n

=n +1-n ,

S 2 017=a 1+a 2+a 3+…+a 2 017=(2-1)+(3-2)+(4-3)+…+( 2 018-

2 017)= 2 018-1.] 二、填空题

6.设数列{a n }的前n 项和为S n ,且a n =sin n π

2

,n ∈N *

,则S 2 016=__________.

0 [a n =sin

n π

2

,n ∈N *

,显然每连续四项的和为0.

S 2 016=S 4×504=0.]

7.对于数列{a n },定义数列{a n +1-a n }为数列{a n }的“差数列”,若a 1=2,{a n }的“差数列”的通项公式为2n

,则数列{a n }的前n 项和S n =__________.

2

n +1

-2 [∵a n +1-a n =2n

∴a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+…+(a 2-a 1)+a 1 =2

n -1

+2

n -2

+…+22

+2+2=2-2n

1-2

+2=2n -2+2=2n

.

∴S n =2-2n +1

1-2

=2n +1

-2.]

8.(2017·杭州二中综合测试(二))设数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2=12,S n =kn 2

1(n ∈N *

),则数列????

??1S n 的前n 项和为__________.

n

2n +1

[令n =1得a 1=S 1=k -1,令n =2得S 2=4k -1=a 1+a 2=k -1+12,解得k =4,所以S n =4n 2

-1,1S n =1

4n 2-1

1

n +n -

=12? ????1

2n -1-12n +1,则数列????

??1S n 的前

n 项和为12? ????11-13+12? ????13-15+…+12? ????12n -1-12n +1=12? ????1-12n +1=n

2n +1

.] 三、解答题

9.(2017·温州二诊)已知数列{a n }中,a 1=1,又数列????

??

2na n (n ∈N *)是公差为1的等差数列.

(1)求数列{a n }的通项公式a n ; (2)求数列{a n }的前n 项和S n . [解] (1)∵数列????

??

2na n 是首项为2,公差为1的等差数列, ∴2

na n

=2+(n -1)=n +1,4分

解得a n =

2n n +.6分

(2)∵a n =

2n

n +

=2? ??

??1

n -1n +1, ∴S n =2??????? ????1-12+? ????12-13+…+? ????1

n -1n +1

=2?

????1-

1n +1=2n

n +1

.14分 10.等差数列{a n }中,a 3+a 4=4,a 5+a 7=6. (1)求{a n }的通项公式;

(2)设b n =[a n ],求数列{b n }的前10项和,其中[x ]表示不超过x 的最大整数,如[0.9]= [解] (1)设数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,

由题意有?

??

??

2a 1+5d =4,

a 1+5d =3,解得????

?

a 1=1,d =2

5

.4分

所以{a n }的通项公式为a n =2n +3

5

.6分 (2)由(1)知,b n =??

??

??2n +35.

当n =1,2,3时,1≤2n +3

5<2,b n =1;

当n =4,5时,2≤2n +3

5<3,b n =2;10分

当n =6,7,8时,3≤2n +3

5<4,b n =3;

当n =9,10时,4≤2n +3

5

<5,b n =4.

所以数列{b n }的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.14分

B 组 能力提升 (建议用时:15分钟)

1.已知等比数列{a n }的各项都为正数,且当n ≥3时,a 4a 2n -4=102n

,则数列lg a 1,2lg a 2,22

lg

a 3,23lg a 4,…,2n -1lg a n ,…的前n 项和S n 等于( )

A .n ·2n

B .(n -1)·2n -1

-1

C .(n -1)·2n

+1

D .2n

+1

C [∵等比数列{a n }的各项都为正数,且当n ≥3时,

a 4a 2n -4=102n ,∴a 2n =102n ,即a n =10n ,

∴2

n -1

lg a n =2

n -1

lg 10n =n ·2

n -1

2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(数列)

2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全 一、选择题 1.(2018北京文、理)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音 的频率的比都等于.若第一个单音的频率f ,则第八个单音频率为( ) A B . C . D . 【答案】D 【解析】因为每一个单音与前一个单音频率比为,()12n n a n n -+∴=≥∈N ,, 又1a f =,则7 781a a q f ===,故选D . 2.(2018浙江)已知1234,,,a a a a 成等比数列,且1234123ln()a a a a a a a +++=++.若11a >,则( ) A .1324,a a a a << B .1324,a a a a >< C .1324,a a a a <> D .1324,a a a a >> 答案:B 解答:∵ln 1x x ≤-,∴1234123123ln()1a a a a a a a a a a +++=++≤++-, 得41a ≤-,即311a q ≤-,∴0q <.若1q ≤-,则212341(1)(1)0a a a a a q q +++=++≤, 212311(1)1a a a a q q a ++=++≥>,矛盾.∴10q -<<,则2131(1)0a a a q -=->,2241(1)0a a a q q -=-<.∴13a a >,24a a <. 3.(2018全国新课标Ⅰ理)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若3243S S S =+,12a =,则 =5a ( ) A .12- B .10- C .10 D .12 答案:B 解答:

2018年高考数学试题分类汇编数列

2018试题分类汇编---------数列 一、填空题 1.(北京理4改)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理 论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ,则第八个单音的频率为__________. 1.1272f 2.(北京理9)设{}n a 是等差数列,且a 1=3,a 2+a 5=36,则{}n a 的通项公式为__________. 2.63n a n =- 3.(全国卷I 理4改)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若3243S S S =+,12a =,则=5a __________. 3.10- 4.(浙江10改).已知1234,,,a a a a 成等比数列,且1234123ln()a a a a a a a +++=++.若11a >,则13,a a 的大小关系是_____________,24,a a 的大小关系是_____________. 4.1324,a a a a >< 5.(江苏14).已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ,*{|2,}n B x x n ==∈N .将A B 的所有元素从小到大依 次排列构成一个数列{}n a .记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为__________. 5.27 二、解答题 6.(北京文15)设{}n a 是等差数列,且123ln 2,5ln 2a a a =+=. (1)求{}n a 的通项公式; (2)求12e e e n a a a +++. 6.解:(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,∵235ln 2a a +=,∴1235ln 2a d +=, 又1ln 2a =,∴ln 2d =.∴1(1)ln 2n a a n d n =+-=. (2)由(I )知ln 2n a n =,∵ln2ln2e e e =2n n a n n ==, ∴{e }n a 是以2为首项,2为公比的等比数列.∴2 12ln2ln2ln2e e e e e e n n a a a ++ +=++ + 2=222n +++1=22n +-.∴12e e e n a a a +++1=22n +-. 7.(全国卷I 文17)已知数列{}n a 满足11a =,()121n n na n a +=+,设n n a b n = . (1)求123b b b , ,; (2)判断数列{}n b 是否为等比数列,并说明理由; (3)求{}n a 的通项公式. 7.解:(1)由条件可得a n +1=2(1) n n a n +.将n =1代入得,a 2=4a 1,而a 1=1,所以,a 2=4. 将n =2代入得,a 3=3a 2,所以,a 3=12.从而b 1=1,b 2=2,b 3=4. (2){b n }是首项为1,公比为2的等比数列. 由条件可得121n n a a n n +=+,即b n +1=2b n ,又b 1=1,所以{b n }是首项为1,公比为2的等比数列. (3)由(2)可得12n n a n -=,所以a n =n ·2n -1. 8.(全国卷II 理17)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,已知17a =-,315S =-. (1)求{}n a 的通项公式; (2)求n S ,并求n S 的最小值. 8. 解:(1)设{}n a 的公差为d ,由题意得13315a d +=-.由17a =-得d =2.所以{}n a 的通项公式为 29n a n =-.(2)由(1)得228(4)16n S n n n =-=--,所以当n =4时,n S 取得最小值,最小值为?16.

2018年高考理科数学江苏卷(含答案与解析)

数学试卷 第1页(共26页) 数学试卷 第2页(共26页) 绝密★启用前 江苏省2018年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 本试卷共160分.考试时长120分钟. 参考公式: 锥形的体积公式13 V Sh =,其中S 是椎体的底面积,h 是椎体的高。 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分. 1.已知集合{0,1,2,8}A =,{1,1,6,8}B =-,那么A B = . 2.若复数z 满足i 12i z =+,其中i 是虚数单位,则z 的实部为 . 3.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为 . 4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S 的值为 . 5. 函数()f x =的定义域为 . 6.某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为 . 7.已知函数ππsin(2)()22y x ??=+-<<的图象关于直线π 3 x =对称,则?的值是 . 8.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22 221(0)x y a b a b -=>>0,的右焦点(,0)F c 到一条 ,则其离心率的值是 . 9.函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ,且在区间(2,2]-上, ()cos (2)2102x x f x x x π??? =? ?+?? 0<≤,(-2<≤),,则((15))f f 的值为 . 10.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 . 11.若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点,则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为 . 12.在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点,点(5,0)B ,以 AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若0AB CD =,则点A 的横坐标 为 . 13.在ABC △中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,120ABC ∠=,ABC ∠的平分线交AC 于点D ,且1BD =,则4a c +的最小值为 . 14.已知集合{21,}A x x n n ==-∈*N ,{2,}n B x x n ==∈*N .将A B 的所有元素从小 到大依次排列构成一个数列{}n a ,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为 . 毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________ -------------在 --------------------此-------------------- 卷-------------------- 上--------------------答-------------------- 题-------------------- 无-------------------- 效----------------

2018高考文科数学复习数列

数列专项 数列的概念与简单表示法 11.[2016·卷] 无穷数列{a n }由k 个不同的数组成,S n 为{a n }的前n 项和.若对任意n ∈N *,S n ∈{2,3},则k 的最大值为________. [解析] 由S n ∈{2,3},得a 1=S 1∈{2,3}.将数列写出至最多项,其中有相同项的情况舍去,共有如下几种情况: ①a 1=2,a 2=0,a 3=1,a 4=-1; ②a 1=2,a 2=1,a 3=0,a 4=-1; ③a 1=2,a 2=1,a 3=-1,a 4=0; ④a 1=3,a 2=0,a 3=-1,a 4=1; ⑤a 1=3,a 2=-1,a 3=0,a 4=1; ⑥a 1=3,a 2=-1,a 3=1,a 4=0. 最多项均只能写到第4项,即k max =4. D2 等差数列及等差数列前n 项和 12.D2[2016·卷] 已知{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和.若a 1=6,a 3+a 5=0,则S 6 =________. 12.6 [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ,因为a 3+a 5=0,所以6+2d +6+4d =0,解得d =-2,所以S 6=6×6+6×52 ×(-2)=36-30=6. 8.D2[2016·卷] 已知{a n }是等差数列,S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3,S 5=10,则a 9的值是________. 8.20 [解析] 因为S 5=5a 3=10,所以a 3=2,设其公差为d , 则a 1+a 22=2-2d +(2-d )2=d 2-6d +6=-3, 解得d =3,所以a 9=a 3+6d =2+18=20.

2019高考数学常见难题大盘点:数列

2019高考数学常见难题大盘点:数列 1. 已知函数2()1f x x x =+-,,αβ是方程f (x )=0旳两个根()αβ>,'()f x 是f (x )旳导数;设11a =,1 ()'()n n n n f a a a f a +=-(n =1,2,……) (1)求,αβ旳值; (2)证明:对任意旳正整数n ,都有n a >a ; 解析:(1)∵2()1f x x x =+-,,αβ是方程f (x )=0旳两个根()αβ>, ∴αβ==; (2)'()21f x x =+,21 115(21)(21)12 442121n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++++-+-=-=-++ = 5114(21)4212n n a a ++-+,∵11a =, ∴有基本不等式可知20a ≥>( 当且仅当1a =时取等号) ,∴20a >> 同,样3a > ,……,n a α>= (n =1,2,……), 2. 已知数列{}n a 旳首项1 21a a =+(a 是常数,且1a ≠-),24221+-+=-n n a a n n (2n ≥),数列{}n b 旳首项1b a =,2n a b n n +=(2n ≥) · (1)证明:{}n b 从第2项起是以2为公比旳等比数列; (2)设n S 为数列{}n b 旳前n 项和,且{}n S 是等比数列,求实数a 旳值; (3)当a>0时,求数列{}n a 旳最小项· 分析:第(1)问用定义证明,进一步第(2)问也可以求出,第(3)问由a 旳不同而要分类讨论· 解:(1)∵2n a b n n += ∴22211)1(2)1(4)1(2)1(++++-++=++=++n n n a n a b n n n n n b n a 2222=+=(n ≥2) 由121a a =+得24a a =,22 444b a a =+=+, ∵1a ≠-,∴ 2 0b ≠, 即{}n b 从第2项起是以2为公比旳等比数列· (2)1(44)(21)34(22)221 n n n a S a a a -+-=+=--++-

2018年全国2卷文科数学十年真题分类汇编6 数列

6 数列 一.基础题组 1. 【2014全国2,文5】等差数列的公差是2,若成等比数列,则的前项和( ) A. B. C. D. 【答案】A 2. 【2010全国2,文6】如果等差数列{a n }中,a 3+a 4+a 5=12,那么a 1+a 2+…+a 7等于( ) A .14 B .21 C .28 D .35 【答案】: C 【解析】∵{a n }为等差数列,a 3+a 4+a 5=12,∴a 4=4. ∴a 1+a 2+…+a 7= =7a 4=28. 3. 【2006全国2,文6】已知等差数列中,,则前10项的和=( ) (A )100 (B)210 (C)380 (D)400 【答案】B 【解析】依题意可知:,,解得:, ∴. 4.【2005全国2,文7】如果数列是等差数列,则( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】B 【解析】∵数列是等差数列,∴, ∴. 5. 【2012全国新课标,文14】等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3+3S 2=0,则公比q =__________. 【答案】:-2 【解析】:由S 3=-3S 2,可得a 1+a 2+a 3=-3(a 1+a 2), 即a 1(1+q +q 2 )=-3a 1(1+q ), {}n a 248,,a a a {}n a n S =(1)n n +(1)n n -(1)2n n +(1) 2 n n -177() 2 a a +{}n a 247,15a a ==10S 217a a d =+=41315a a d =+=14,3d a ==101109109 1030421022 S a d ??=+ =+?={}n a 1845a a a a +<+1845a a a a +=+1845a a a a +>+1845a a a a ={}n a m n p q m n p q a a a a +=+?+=+1845a a a a +=+

2019版高考数学(理)高分计划一轮狂刷练:第5章 数列 5-3a含解析

[基础送分 提速狂刷练] 一、选择题 1.(2018·邢台摸底)已知数列{a n }为等比数列,a 5=1,a 9=81,则a 7=( ) A .9或-9 B .9 C .27或-27 D .27 答案 B 解析 依题意得a 27=a 5·a 9 =81,又注意到a 7 a 5 =q 2 >0(其中q 为公比),因此a 5,a 7的符号相同,故a 7=9.故选B. 2.(2018·安徽安庆模拟)数列{a n }满足:a n +1=λa n -1(n ∈N *,λ∈R 且λ≠0),若数列{a n -1}是等比数列,则λ的值等于( ) A .1 B .-1 C.12 D .2 答案 D 解析 由a n +1=λa n -1,得a n +1-1=λa n -2=λ? ????a n -2λ.由于数列{a n -1}是等比数列,所以2 λ=1,得λ=2.故选D. 3.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问第二天走了( ) A .192里 B .96里 C .48里 D .24里 答案 B

解析 设等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q =1 2,依题意有a 1? ? ? ? ?1-1261-12 =378,解得a 1=192,则a 2=192×1 2=96,即第二天走了96里.故选B. 4.(2018·浙江温州十校联考)设等比数列{a n }的前n 项和为S n , 若S m -1=5,S m =-11,S m +1=21,则m =( ) A .3 B .4 C .5 D .6 答案 C 解析 由已知得,S m -S m -1=a m =-16,S m +1-S m =a m +1=32,故公比q =a m +1a m =-2.又S m =a 1-a m q 1-q =-11,故a 1=-1.又a m =a 1·q m -1 =-16,故(-1)×(-2)m -1=-16,求得m =5.故选C. 5.(2017·福建漳州八校联考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若 S 3=2,S 6=18,则S 10 S 5 等于( ) A .-3 B .5 C .-31 D .33 答案 D 解析 设等比数列{a n }的公比为q ,则由已知得q ≠1. ∵S 3=2,S 6=18, ∴1-q 31-q 6=218,得q 3=8, ∴q =2.∴S 10S 5 =1-q 10 1-q 5=1+q 5 =33.故选D. 6.(2017·安徽六校素质测试)在各项均为正数的等比数列{a n }中,a 2,a 4+2,a 5成等差数列,a 1=2,S n 是数列{a n }的前n 项的和,则S 10-S 4=( ) A .1008 B .2016

最新高考数学分类理科汇编

精品文档 2018 年高考数学真题分类汇编 学大教育宝鸡清姜校区高数组2018 年7 月

1.(2018 全国卷 1 理科)设Z = 1- i + 2i 则 Z 1+ i 复数 = ( ) A.0 B. 1 C.1 D. 2 2(2018 全国卷 2 理科) 1 + 2i = ( ) 1 - 2i A. - 4 - 3 i B. - 4 + 3 i C. - 3 - 4 i D. - 3 + 4 i 5 5 5 5 5 5 5 5 3(2018 全国卷 3 理科) (1 + i )(2 - i ) = ( ) A. -3 - i B. -3 + i C. 3 - i D. 3 + i 4(2018 北京卷理科)在复平面内,复数 1 1 - i 的共轭复数对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5(2018 天津卷理科) i 是虚数单位,复数 6 + 7i = . 1+ 2i 6(2018 江苏卷)若复数 z 满足i ? z = 1 + 2i ,其中 i 是虚数单位,则 z 的实部为 . 7(2018 上海卷)已知复数 z 满足(1+ i )z = 1- 7i (i 是虚数单位),则∣z ∣= . 2

集合 1.(2018 全国卷1 理科)已知集合A ={x | x2 -x - 2 > 0 }则C R A =() A. {x | -1 2} B. {x | -1 ≤x ≤ 2} D. {x | x ≤-1}Y{x | x ≥ 2} 2(2018 全国卷2 理科)已知集合A={(x,y)x2 元素的个数为() +y2 ≤3,x ∈Z,y ∈Z}则中 A.9 B.8 C.5 D.4 3(2018 全国卷3 理科)已知集合A ={x | x -1≥0},B ={0 ,1,2},则A I B =() A. {0} B.{1} C.{1,2} D.{0 ,1,2} 4(2018 北京卷理科)已知集合A={x||x|<2},B={–2,0,1,2},则A I B =( ) A. {0,1} B.{–1,0,1} C.{–2,0,1,2} D.{–1,0,1,2} 5(2018 天津卷理科)设全集为R,集合A = {x 0

解三角形、数列2018年全国数学高考分类真题(含答案)

解三角形、数列2018年全国高考分类真题(含答案)一.选择题(共4小题) 1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为,则C=() A.B.C.D. 2.在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB=() A.4 B. C. D.2 3.已知a1,a2,a3,a4成等比数列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3),若a1>1,则() A.a1<a3,a2<a4B.a1>a3,a2<a4C.a1<a3,a2>a4D.a1>a3,a2>a4 4.记S n为等差数列{a n}的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=()A.﹣12 B.﹣10 C.10 D.12 二.填空题(共4小题) 5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为. 6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,A=60°,则sinB=,c=. 7.设{a n}是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则{a n}的通项公式为.8.记S n为数列{a n}的前n项和.若S n=2a n+1,则S6=. 三.解答题(共9小题) 9.在△ABC中,a=7,b=8,cosB=﹣. (Ⅰ)求∠A; (Ⅱ)求AC边上的高. 10.已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过

点P(﹣,﹣). (Ⅰ)求sin(α+π)的值; (Ⅱ)若角β满足sin(α+β)=,求cosβ的值. 11.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos(B ﹣). (Ⅰ)求角B的大小; (Ⅱ)设a=2,c=3,求b和sin(2A﹣B)的值. 12.在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5. (1)求cos∠ADB; (2)若DC=2,求BC. 13.设{a n}是首项为a1,公差为d的等差数列,{b n}是首项为b1,公比为q的等比数列. (1)设a1=0,b1=1,q=2,若|a n﹣b n|≤b1对n=1,2,3,4均成立,求d的取值范围; (2)若a1=b1>0,m∈N*,q∈(1,],证明:存在d∈R,使得|a n﹣b n|≤b1对n=2,3,…,m+1均成立,并求d的取值范围(用b1,m,q表示).14.已知等比数列{a n}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列{b n}满足b1=1,数列{(b n+1﹣b n)a n}的前n项和为2n2+n. (Ⅰ)求q的值; (Ⅱ)求数列{b n}的通项公式. 15.设{a n}是等比数列,公比大于0,其前n项和为S n(n∈N*),{b n}是等差数列.已知a1=1,a3=a2+2,a4=b3+b5,a5=b4+2b6. (Ⅰ)求{a n}和{b n}的通项公式; (Ⅱ)设数列{S n}的前n项和为T n(n∈N*), (i)求T n; (ii)证明=﹣2(n∈N*). 16.等比数列{a n}中,a1=1,a5=4a3.

2019年高考理科数学分类汇编:数列(解析版)

题08 数列 1.【2019年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知4505S a ==,,则 A .25n a n =- B . 310n a n =- C .2 28n S n n =- D .2 122 n S n n = - 【答案】A 【解析】由题知,415 144302 45d S a a a d ? =+??=???=+=?,解得132a d =-??=?,∴25n a n =-,2 4n S n n =-,故选A . 【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式,渗透方程思想与数学计算等素养.利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程,解出首项与公差,再适当计算即可做了判断. 2.【2019年高考全国III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15,且53134a a a =+,则3a = A .16 B .8 C .4 D .2 【答案】C 【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ,则23111142 111 15 34a a q a q a q a q a q a ?+++=?=+?, 解得11,2 a q =??=?,2 314a a q ∴==,故选C . 【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量,熟练应用公式是解题的关键. 3.【2019年高考浙江卷】设a ,b ∈R ,数列{a n }满足a 1=a ,a n +1=a n 2 +b ,n *∈N ,则 A . 当101 ,102 b a = > B . 当101 ,104 b a = > C . 当102,10b a =-> D . 当104,10b a =-> 【答案】A 【解析】①当b =0时,取a =0,则0,n a n * =∈N .

2016-2018年全国卷高考数列题

2016—2018年全国卷数列高考汇编 8.【2016高考新课标1卷】已知等差数列{}n a 前9项的和为27,108a =,则100a = ( ) (A )100 (B )99 (C )98 (D )97 4.【2016高考新课标1卷】设等比数列{}n a 错误!未找到引用源。满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2 …a n 的最大值为 . 6.【2016高考新课标2理数】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,且17=128.a S =,记[]=lg n n b a ,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如[][]0.9=0lg99=1,. (Ⅰ)求111101b b b ,,; (Ⅱ)求数列{}n b 的前1 000项和. 7.【2016高考新课标3理数】已知数列{}n a 错误!未找到引用源。的前n 项和1n n S a λ=+错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。其中0λ≠. (I )证明{}n a 错误!未找到引用源。是等比数列,并求其通项公式;(II )若53132 S =错误!未找到引用源。 ,求λ. 4.【2017高考新课标1理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=,648S =,则{}n a 的公差为 A .1 B .2 C .4 D .8 15. 【2017高考新课标2理数】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,33a =,410S =,则

11n k k S ==∑ . 9.【2017高考新课标3理数】等差数列{}n a 的首项为1,公差不为0.若a 2,a 3,a 6成等比数列,则{}n a 前6项的和为 A .-24 B .-3 C .3 D .8 4.【2018高考新课标1理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和. 若3243S S S =+,12a =,则5a = A .12- B .10- C .10 D .12 15.【2018高考新课标1理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和. 若21n n S a =+,则6S = . 4.【2018高考新课标2文理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和. 若17a =-,315S =-. ⑴求{}n a 的通项公式; (2)求n S ,并求n S 的最小值. 17.(2018年全国卷3) 等比数列{}n a 中,12314a a a ==,. ⑴求{}n a 的通项公式; ⑵记n S 为{}n a 的前n 项和.若63m S =,求m .

2018届高考数学(理)小题分类集训8 数列

数列 2018.1.8 1.[2017·张掖二中]在等差数列{}n a 中,515a =,则3458a a a a +++的值为( ) A .30 B .45 C .60 D .120 【答案】C 【解析】由题意得,因为数列{}n a 为等差数列,由等差数列的性质可得, ()()()345835484652460a a a a a a a a a a a +++=+++=+==,故选C . 2.[2017·哈师附中]等比数列{}n a 中,若124a =,188a =,则36a 等于( ) A .32 B .64 C .128 D .256 【答案】B 【解析】由等比数列的性质可知:1218243036,,,,a a a a a 构成等比数列,且 4364264a =?=,本题选择B 选项. 3.[2017·南白中学]已知等差数列{}n a 满足1231010a a a a ++++=…,则有( ) A .11010a a +> B .21000a a +< C .3990a a += D .5151a = 【答案】C 【解析】由题意得,根据等差数列的性质,可知110121005051a a a a a a +=+=???=+, 可得110121005051()()()0a a a a a a ++++++= ,所以11013990a a a a +=+=,故选C . 4.[2017·昆明统考]中国古代数学著作《张丘建算经》(成书约公元5世纪)卷上二十三“织女问题”:今有女善织,日益功疾.初日织五尺,今一月日织九匹三丈.问日益几何.其意思为:有一个女子很会织布,一天比一天织得快,而且每天增加的长度都是一样的.已知第一天织5尺,经过一个月30天后,共织布九匹三丈.问每天多织布多少尺?(注:1匹=4丈,1丈=10尺).此问题的答案为( )

2019年高考数学试题分项版—数列(解析版)

2019年高考数学试题分项版——数列(解析版) 一、选择题 1.(2019·全国Ⅲ文,6)已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3等于() A.16 B.8 C.4 D.2 答案 C 解析设等比数列{a n}的公比为q,由a5=3a3+4a1得q4=3q2+4,得q2=4,因为数列{a n}的各项均为正数,所以q=2,又a1+a2+a3+a4=a1(1+q+q2+q3)=a1(1+2+4+8)=15,所以a1=1,所以a3=a1q2=4. 2.(2019·浙江,10)设a,b∈R,数列{a n}满足a1=a,a n+1=+b,n∈N*,则() A.当b=时,a10>10 B.当b=时,a10>10 C.当b=-2时,a10>10 D.当b=-4时,a10>10 答案 A 解析当b=时,因为a n+1=+,所以a2≥,又a n+1=+≥a n,故a9≥a2×()7≥×()7=4,a10>≥32>10.当b=时,a n+1-a n=2,故当a1=a=时,a10=,所以a10>10不成立.同理b=-2和b=-4时,均存在小于10的数x0,只需a1=a=x0,则a10=x0<10,故a10>10不成立. 3.(2019·全国Ⅰ理,9)记S n为等差数列{a n}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则() A.a n=2n-5 B.a n=3n-10 C.S n=2n2-8n D.S n=n2-2n 答案 A 解析设等差数列{a n}的公差为d, ∵=, =, ∴解得 , , ∴a n=a1+(n-1)d=-3+2(n-1)=2n-5, S n=na1+d=n2-4n.故选A. 4.(2019·全国Ⅲ理,5)已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3等于() A.16 B.8 C.4 D.2 答案 C

高考数学压轴专题新备战高考《数列》易错题汇编含答案解析

新数学《数列》试卷含答案 一、选择题 1.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知2611203a a a a --+=,则21S 的值为( ) A .63 B .21 C .63- D .21 【答案】C 【解析】 【分析】 根据等差数列性质,原式可变为()220616113()a a a a a +-+-=,即可求得 21112163S a ==-. 【详解】 ∵261116203a a a a a ---+=, ∴()220616113()a a a a a +-+-=, ∴113a =-,∴21112163S a ==-, 故选:C . 【点睛】 此题考查等差数列性质和求和公式,需要熟练掌握等差数列基本性质,根据性质求和. 2.在递减等差数列{}n a 中,2132 4a a a =-.若113a =,则数列1 1 { }n n a a +的前n 项和的最大值为 ( ) A . 24143 B . 1143 C . 2413 D . 613 【答案】D 【解析】 设公差为,0d d < ,所以由2 1324a a a =-,113a =,得 213(132)(13)42d d d +=+-?=- (正舍),即132(1)152n a n n =--=- , 因为 111111()(152)(132)2215213n n a a n n n n +==----- ,所以数列11n n a a +?? ???? 的前n 项和等于 1111116 ()()213213213261313 n --≤--=-?- ,选D. 点睛:裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式,然后通过累加抵消中 间若干项的方法,裂项相消法适用于形如1n n c a a +?? ???? (其中{}n a 是各项均不为零的等差数 列,c 为常数)的数列. 裂项相消法求和,常见的有相邻两项的裂项求和(如本例),还有一类

2018年浙江高考数学试题及答案

绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷) 数 学 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共4页,选择题部分1至2页;非选择题部分3至4页。满分150分。考试用时120分钟。 考生注意: 1.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。 2.答题时,请按照答题纸上“注意事项”的要求,在答题纸相应的位置上规范作答,在本试题卷上的作答一律无效。 参考公式: 若事件A ,B 互斥,则()()()P A B P A P B +=+ 若事件A ,B 相互独立,则()()()P AB P A P B = 若事件A 在一次试验中发生的概率是p ,则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()C (1) (0,1,2,,)k k n k n n P k p p k n -=-=L 台体的体积公式121 ()3V S S h = 其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积,h 表示台体的高 柱体的体积公式V Sh = 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 锥体的体积公式1 3 V Sh = 其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高 球的表面积公式 24S R =π 球的体积公式 34 3 V R =π 其中R 表示球的半径

选择题部分(共40分) 一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.已知全集U ={1,2,3,4,5},A ={1,3},则=U A e A .? B .{1,3} C .{2,4,5} D .{1,2,3,4,5} 2.双曲线2 21 3 =x y -的焦点坐标是 A .(?0),0) B .(?2,0),(2,0) C .(0,?,(0 D .(0,?2),(0,2) 3.某几何体的三视图如图所示(单位:cm ),则该几何体的体积(单位:cm 3 )是 A .2 B .4 C .6 D .8 4.复数 2 1i - (i 为虚数单位)的共轭复数是 A .1+i B .1?i C .?1+i D .?1?i 5.函数y =||2x sin2x 的图象可能是 A . B . C . D . 6.已知平面α,直线m ,n 满足m ?α,n ?α,则“m ∥n ”是“m ∥α”的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件

2018届高考数学(理)热点题型:数列(含答案)

数列 热点一 等差数列、等比数列的综合问题 解决等差、等比数列的综合问题时,重点在于读懂题意,灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n 项和公式解决问题,求解这类问题要重视方程思想的应用. 【例1】已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列,其前n 项和为S n (n ∈N *),且 S 3+a 3,S 5+a 5,S 4+a 4成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设T n =S n -1S n (n ∈N *),求数列{T n }的最大项的值与最小项的值. 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q , 因为S 3+a 3,S 5+a 5,S 4+a 4成等差数列, 所以S 5+a 5-S 3-a 3=S 4+a 4-S 5-a 5,即4a 5=a 3, 于是q 2=a 5a 3 =14. 又{a n }不是递减数列且a 1=32,所以q =-12. 故等比数列{a n }的通项公式为a n =32×? ?? ??-12n -1 =(-1)n -1·32n . (2)由(1)得S n =1-? ????-12n =?????1+12n ,n 为奇数,1-12n ,n 为偶数, 当n 为奇数时,S n 随n 的增大而减小, 所以1

所以34=S 2≤S n <1, 故0>S n -1S n ≥S 2-1S 2 =34-43=-712. 综上,对于n ∈N *,总有-712≤S n -1S n ≤56. 所以数列{T n }最大项的值为56,最小项的值为-712. 【类题通法】解决等差数列与等比数列的综合问题,既要善于综合运用等差数列与等比数列的相关知识求解,更要善于根据具体问题情境具体分析,寻找解题的突破口. 【对点训练】已知数列{a n }是公差不为零的等差数列,其前n 项和为S n ,满足S 5-2a 2=25,且a 1,a 4,a 13恰为等比数列{b n }的前三项. (1)求数列{a n },{b n }的通项公式; (2)设T n 是数列??????????1a n a n +1的前n 项和,是否存在k ∈N *,使得等式1-2T k =1b k 成立?若存在,求出k 的值;若不存在,请说明理由. 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0), ∴?????? ????5a 1+5×42d -2(a 1+d )=25,(a 1+3d )2=a 1(a 1+12d ), 解得a 1=3,d =2,∴a n =2n +1. ∵b 1=a 1=3,b 2=a 4=9, ∴等比数列{b n }的公比q =3,∴b n =3n . (2)不存在.理由如下: ∵1a n a n +1=1(2n +1)(2n +3)=12? ?? ??12n +1-12n +3, ∴T n =12???? ??? ????13-15+? ????15-17+…+? ????12n +1-12n +3 =12? ?? ??13-12n +3,

2019年高考试题汇编理科数学--数列

(2019全国1理)9.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知40S =,55a =,则( ) A.25n a n =- B.310n a n =- C.228n S n n =- D.2 122 n S n n =- 答案: A 解析: 依题意有415146045 S a d a a d =+=??=+=?,可得13 2a d =-??=?,25n a n =-,24n S n n =-. (2019全国1理)14.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,若113 a =,2 46a a =,则5S = . 答案: 5S = 121 3 解答: ∵113 a = ,2 46a a = 设等比数列公比为q ∴32 5 11()a q a q = ∴3q = ∴5S = 121 3 2019全国2理)19. 已知数列{}n a 和{}n b 满足11=a ,01=b ,4341+-=+n n n b a a ,4341--=+n n n a b b . (1)证明: {}n n b a +是等比数列,{}n n b a -是等差数列; (2)求{}n a 和{}n b 的通项公式. 答案: (1)见解析 (2)21)21(-+=n a n n ,2 1)21(+-=n b n n . 解析: (1)将4341+-=+n n n b a a ,4341--=+n n n a b b 相加可得n n n n n n b a b a b a --+=+++334411, 整理可得)(2111n n n n b a b a += +++,又111=+b a ,故{}n n b a +是首项为1,公比为2 1 的等比数列. 将4341+-=+n n n b a a ,4341--=+n n n a b b 作差可得8334411+-+-=-++n n n n n n b a b a b a , 整理可得211+-=-++n n n n b a b a ,又111=-b a ,故{}n n b a -是首项为1,公差为2的等差数列. (2)由{}n n b a +是首项为1,公比为 21的等比数列可得1)2 1 (-=+n n n b a ①;

2018年全国高考真题分类汇编----数列

2018年全国高考真题分类汇编----数列 一、填空题 1.(北京理4改)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理 论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ,则第八个单音的频率为__________. 1.1272f 2.(北京理9)设{}n a 是等差数列,且a 1=3,a 2+a 5=36,则{}n a 的通项公式为__________. 2.63n a n =- 3.(全国卷I 理4改)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若3243S S S =+,12a =,则=5a __________. 3.10- 4.(浙江10改).已知1234,,,a a a a 成等比数列,且1234123ln()a a a a a a a +++=++.若11a >,则13,a a 的大小关系是_____________,24,a a 的大小关系是_____________. 4.1324,a a a a >< 5.(江苏14).已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ,*{|2,}n B x x n ==∈N .将A B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a .记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为__________. 5.27 二、解答题 6.(北京文15)设{}n a 是等差数列,且123ln 2,5ln 2a a a =+=. (1)求{}n a 的通项公式; (2)求12e e e n a a a +++ . 6.解:(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,∵235ln 2a a +=,∴1235ln 2a d +=, 又1ln 2a =,∴ln 2d =.∴1(1)ln 2n a a n d n =+-=. (2)由(I )知ln 2n a n =,∵ln2ln2e e e =2n n a n n ==, ∴{e }n a 是以2为首项,2为公比的等比数列.∴212ln2ln2ln2e e e e e e n n a a a +++=+++ 2=222n +++ 1=22n +-.∴12e e e n a a a +++ 1=22n +-. 7.(全国卷I 文17)已知数列{}n a 满足11a =,()121n n na n a +=+,设n n a b n = . (1)求123b b b , ,; (2)判断数列{}n b 是否为等比数列,并说明理由; (3)求{}n a 的通项公式. 7.解:(1)由条件可得a n +1=2(1) n n a n +.将n =1代入得,a 2=4a 1,而a 1=1,所以,a 2=4. 将n =2代入得,a 3=3a 2,所以,a 3=12.从而b 1=1,b 2=2,b 3=4. (2){b n }是首项为1,公比为2的等比数列. 由条件可得121n n a a n n +=+,即b n +1=2b n ,又b 1=1,所以{b n }是首项为1,公比为2的等比数列. (3)由(2)可得12n n a n -=,所以a n =n ·2n -1. 8.(全国卷II 理17)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,已知17a =-,315S =-. (1)求{}n a 的通项公式; (2)求n S ,并求n S 的最小值. 8. 解:(1)设{}n a 的公差为d ,由题意得13315a d +=-.由17a =-得d =2.所以{}n a 的通项公式为

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