135页高考数学知识点浓缩精华

高考数学知识点总结

一、集合与简易逻辑

1.集合元素具有确定性、无序性和互异性.

（1）设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q={|,}a b a P b Q +∈∈，若{0,2,5}P =，

}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的有________个。

（答：8） （2）非空集合}5,4,3,2,1{?S ，且满足“若S a ∈，则S a ∈-6”，这样的S 共有_____

个（答：7）

2. “极端”情况否忘记?=A ：集合{|10}A x ax =-=，{}

2|320B x x x =-+=，且A

B B =，则实数a ＝______.（答：10,1,

2

a =） 3.满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ??≠集合M 有______个。 （答：7）

4.运算性质：设全集}5,4,3,2,1{=U ，若}2{=B A ，}4{)(=B A C U ，

}5,1{)()(=B C A C U U ，则A ＝_____，B ＝___.（答：{2,3}A =，{2,4}B =）

5.集合的代表元素：（1）设集合{|2}M x y x ==

-，集合N ＝{}

2|,y y x x M =∈，则

M N =___（答：[4,)+∞）；（2）设集合{|(1,2)(3,4),

M a a

R λλ==+∈，{|(2,3)(4,5)N a a λ==+，}R λ∈，则=N M _____（答：)}2,2{(--）

6.补集思想：已知函数12)2(24)(2

2

+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ，使0)(>c f ，求实数p 的取值范围。 （答：3(3,)2

-）

7.复合命题真假的判断：在下列说法中：⑴“p 且q ”为真是“p 或q ”为真的充分不必要条件；⑵“p 且q ”为假是“p 或q ”为真的充分不必要条件；⑶“p 或q ”为真是“非p ”为假的必要不充分条件；⑷“非p ”为真是“p 且q ”为假的必要不充分条件。其中正确的是____答：⑴⑶）

8.充要条件：（1）给出下列命题：①实数0=a 是直线12=-y ax 与322=-y ax 平行的充要条件；②若0,,=∈ab R b a 是b a b a +=+成立的充要条件；③已知R y x ∈,，“若0=xy ，则0=x 或0=y ”的逆否命题是“若0≠x 或0≠y 则0≠xy ”

；④“若a 和b 都是偶数，则b a +是偶数”的否命题是假命题 。其中正确命题的序号是_______（答：①④）；

（2）设命题p ：|43|1x -≤；命题q:0)1()12(2

≤+++-a a x a x 。若┐p 是┐q 的必要

而不充分的条件，则实数a 的取值范围是 （答：1

[0,]2

）

9. 一元一次不等式的解法：已知关于x 的不等式0)32()(<-++b a x b a 的解集为)3

1

,(--∞，则关于x 的不等式0)2()3(>-+-a b x b a 的解集为_______（答：{|3}x x <-）

10. 一元二次不等式的解集：解关于x 的不等式：01)1(2

<++-x a ax 。

（答：当0a =时，1x >；当0a <时，1x >或1x a <；当01a <<时，1

1x a

<<；当1

a =时，x ∈?；当1a >时，1

1x a

<<）

11. 对于方程02

=++c bx ax 有实数解的问题。（1）()()222210a x a x -+--<对一切

R x ∈恒成立，则a 的取值范围是_______（答：(1,2]）；（2）若在[0,]2

π

内有两个不等的实

根满足等式cos 23sin 21x x k +=+，则实数k 的范围是_______.（答：[0,1)）

12.一元二次方程根的分布理论。

（1）实系数方程2

20x ax b ++=的一根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，则1

2

--a b 的取值范围是_________（答：（

4

1

，1）） （2）不等式2

3210x bx -+≤对[1,2]x ∈-恒成立，则实数b 的取值范围是____（答：?）。

二、函 数

1.映射f : A →B 的概念。

（1）设:f M N →是集合M 到N 的映射，下列说法正确的是 A 、M 中每一个元素在

N 中必有象 B 、N 中每一个元素在M 中必有原象 C 、N 中每一个元素在M 中的原象是唯一的 D 、N 是M 中所在元素的象的集合（答：A ）；（2）点),(b a 在映射f 的作用下的象是),(b a b a +-，则在f 作用下点)1,3(的原象为点________（答：（2，－1））；（3）若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =，,,a b c R ∈，则A 到B 的映射有 个，B 到A 的映射有 个，

A 到

B 的函数有 个（答：81,64,81）

；（4）设集合{1,0,1},{1,2,3,4,5}M N =-=，映射:f M N →满足条件“对任意的x M ∈，()x f x +是奇数”

，这样的映射f 有____个（答：12）

2.函数f : A →B 是特殊的映射。若函数422

12

+-=

x x y 的定义域、值域都是闭区间]2,2[b ，则b ＝ （答：2）

3.若解析式相同，值域相同，但其定义域不同的函数，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为2

y x =，值域为{4，1}的“天一函数”共有__个（答：9）

4.研究函数问题时要树立定义域优先的原则）： （1）函数()()

2

4lg 3x x y x -=

-的定义域是____(答：(0,2)(2,3)(3,4)

)；（2）设函数2()lg(21)f x ax x =++，①若()f x 的定义域是R ，求实数a 的取值范围；②若()f x 的值域是R ，求实数a 的取值范围（答：①1a >；②01a ≤≤）

（2）复合函数的定义域：（1）若函数)(x f y =的定义域为??

????2,21，则)(log 2x f 的定义

域为__________（答：{}

42|≤≤x x ）；（2）若函数2

(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为________（答：[1,5]）．

5.求函数值域（最值）的方法：

（1）配方法―（1）当]2,0(∈x 时，函数3)1(4)(2

-++=x a ax x f 在2=x 时取得最大值，则a 的取值范围是___（答：2

1

-

≥a ）；

（2）换元法（1）2

2sin 3cos 1y x x =--的值域为_____（答：17

[4,

]8

-）；（2）211y x x =++-的值域为_____（答：(3,)+∞）（令1x t -=，0t ≥。运用换元法时，要

特别要注意新元t 的范围）；3）s i n c o s s i n c o s y x x x x

=++的值域为____（答：1

[1,2]2

-+）；（4）249y x x =++-的值域为____（答：[1,324]+）；

（3）函数有界性法―求函数2sin 11sin y θθ-=+，313x x y =+，2sin 1

1cos y θθ

-=

+的值域（答： 1(,]2-∞、（0,1）、3(,]2

-∞）； （4）单调性法――求1(19)y x x x =-<<，2

29sin 1sin y x x

=++的值域为______（答：

80(0,)9、11

[,9]2

）

； （5）数形结合法――已知点(,)P x y 在圆22

1x y +=上，求2

y x +及2y x -的取值范围

（答：33

[,]33

-、[5,5]-）； （6）不等式法―设12,,,x a a y 成等差数列，12,,,x b b y 成等比数列，则2

12

21)(b b a a +的取值

范围是____________.（答：(,0][4,)-∞+∞）。

（7）导数法―求函数32

()2440f x x x x =+-，[3,3]x ∈-的最小值。（答：－48）

6.分段函数的概念。（1）设函数2

(1).(1)

()4 1.(1)

x x f x x x ?+

取值范围是____（答：(,2][0,10]-∞-）；（2）已知1(0)()1(0)x f x x ≥?=?-

，则不等式

(2)(2)5x x f x +++≤的解集是___（答：3

(,]2

-∞）

7.求函数解析式的常用方法：

（1）待定系数法―已知()f x 为二次函数，且 )2()2(--=-x f x f ，且f(0)=1,图象在x 轴上截得的线段长为22,求()f x 的解析式 。（答：2

1()212

f x x x =

++） （2）配凑法―（1）已知,s i n )c o s

1(2

x x f =-求()2x f 的解析式___（答：242()2,[2,2]f x x x x =-+∈-）；（2）若22

1)1(x

x x x f +=-，则函数)1(-x f =___（答：

223x x -+）；

（3）方程的思想―已知()2()32f x f x x +-=-，求()f x 的解析式（答：2

()33

f x x =--）；

8. 反函数：

（1）函数2

23y x ax =--在区间[1, 2]上存在反函数的充要条件是

A 、(],1a ∈-∞

B 、[)2,a ∈+∞

C 、[1,2]a ∈

D 、(],1a ∈-∞[)2,+∞

（答：D ）

（2）设)0()1(

)(2

>+=x x

x x f .求)(x f 的反函数)(1x f -（答：11

()(1)1

f x x x -=>-）． （3）反函数的性质：

①单调递增函数)(x f 满足条件)3(+ax f = x ，其中a ≠ 0 ，若)(x f 的反函数)(1

x f -的

定义域为??

????a

a 4,1 ，则)(x f 的定义域是____________（答：[4,7]）.

②已知函数13

2)(-+=

x x x f ，若函数()y g x =与)1(1

+=-x f y 的图象关于直线x y =对

称，求(3)g 的值（答：7

2

）；

③（1）已知函数)24

(

log )(3+=x

x f ，则方程4)(1=-x f 的解=x ______（答：1）

； ④已知()f x 是R 上的增函数，点()()1,1,1,3A B -在它的图象上，()1f x -是它的反函数，那

么不等式()12log 1f x -<的解集为________（答：（2,8））；

9.函数的奇偶性。

（1）①定义法：判断函数2

|4|4

9x y x

--=

-的奇偶性____（答：奇函数）。

②等价形式：判断11

()()212

x f x x =+-的奇偶性___.（答：偶函数）

③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y 轴对称。 （2）函数奇偶性的性质：若()f x 为偶函数，则()()(||)f x f x f x -==.

若定义在R 上的偶函数()f x 在(,0)-∞上是减函数，且)31

(f =2，则不等式2

)(log 8

1>x f 的解集为______.（答：(0,0.5)(2,)+∞）

④(0)0f =若22

()21

x x a a f x +-=+·为奇函数，则实数a ＝____（答：1）.

⑤设)(x f 是定义域为R 的任一函数， ()()

()2

f x f x F x +-=，()()()2f x f x G x --=。①

判断)(x F 与)(x G 的奇偶性； ②若将函数)110lg()(+=x

x f ，表示成一个奇函数)(x g 和一

个偶函数)(x h 之和，则)(x g ＝____（答：①)(x F 为偶函数，)(x G 为奇函数；②)(x g ＝1

2

x ）

10.函数的单调性。

（1）若()f x 在区间(,)a b 内为增函数，则()0f x '≥，已知函数3

()f x x ax =-在区间

[1,)+∞上是增函数，则a 的取值范围是____(答：(0,3]）)；

（2）若函数2)1(2)(2

+-+=x a x x f 在区间（－∞，4] 上是减函数，那么实数a 的取值范围是______(答：3-≤a ）)；

（3）已知函数1

()2

ax f x x +=

+在区间()2,-+∞上为增函数，则实数a 的取值范围_____（答：1

(,)2

+∞）； （4）函数()2

12

log 2y x x =-+的单调递增区间是________(答：（1,2）)。

（5）已知奇函数)(x f 是定义在)2,2(-上的减函数,若0)12()1(>-+-m f m f ，求实数

m 的取值范围。（答：1223

m -

<<） 11. 常见的图象变换

①设()2,()x

f x

g x -=的图像与()f x 的图像关于直线y x =对称，()

h x 的图像由()g x 的图像向右平移1个单位得到，则()h x 为__________(答： 2()log (1)h x x =--)

②函数()lg(2)1f x x x =?+-的图象与x 轴的交点个数有____个(答：2)

③将函数a a

x b

y ++=的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图象如果与原图象关于直线x y =对称,那么

0,1)(≠-=b a A R b a B ∈-=,1)( 0,1)(≠=b a C R b a D ∈=,0)( (答：

C)

④函数()ax f y =)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴伸缩为原来的a 1

得到的。如若函数(21)y f x =-是偶函数，则函数(2)y f x =的对称轴方程是_______(答：1

2

x =-)．

12. 函数的对称性。

①已知二次函数)0()(2

≠+=a bx ax x f 满足条件)3()5(-=-x f x f 且方程x

x f =)(有等根，则)(x f ＝_____(答：2

12

x x -

+)； ②己知函数33

(),()232

x f x x x -=≠-,若)1(+=x f y 的图像是1C ,它关于直线y x =对称

图像是22,C C 关于原点对称的图像为33,C C 则对应的函数解析式是_______（答：

2

21

x y x +=-

+）； ③若函数x x y +=2

与)(x g y =的图象关于点（-2，3）对称，则)(x g ＝______（答：276x x ---）

13. 函数的周期性。

（1）类比“三角函数图像”已知定义在R 上的函数()f x 是以2为周期的奇函数，则方程

()0f x =在[2,2]-上至少有__________个实数根（答：5）

（2）由周期函数的定义

(1) 设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.47(f 等于_____(答：5.0-)；(2)已知()f x 是偶函数，且(1)f =993，()g x =(1)f x -是奇函数，求(2005)f 的值(答：993)；（3）已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且为周期函数，

若它的最小正周期为T ，则=-

)2

(T

f ____（答：0） （2）利用函数的性质

（1）设函数()()f x x N ∈表示x 除以3的余数，则对任意的,x y N ∈，都有 A 、

(3)()f x f x += B 、()()()f x y f x f y +=+ C 、(3)3()f x f x = D 、()()()f xy f x f y =（答：

A ）；

（2）设)(x f 是定义在实数集R 上的函数，且满足)()1()2(x f x f x f -+=+，如果

2

3

lg

)1(=f ，15lg )2(=f ，求)2001(f （答：1）；（3）已知定义域为R 的函数)(x f 满足)4()(+-=-x f x f ，且当2>x 时，)(x f 单调递增。如果421<+x x ，且0)2)(2(21<--x x ，则)()(21x f x f +的值的符号是____（答：负数） （3）利用一些方法

（1）若x R ∈，()f x 满足()()f x y f x +=()f y +，则()f x 的奇偶性是______（答：奇函数）；（2）若x R ∈，()f x 满足()()f xy f x =()f y +，则()f x 的奇偶性是______（答：偶函数）；（3）已知()f x 是定义在(3,3)-上的奇函数，当03x <<时，()f x 的图像如右图所示，那么不等式()cos 0f x x <的解集是_____________（答：(,1)(0,1)(,3)22

π

π

-

-）

；

三、数 列

1、数列的概念：（1）已知*

2()156

n n a n N n =

∈+，则在数列{}n

a 的最大项为__（答：125）；（2）数列}{n a 的通项为1

+=bn an

a n ，其中

b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为___（答：

n a <1+n a ）；（3）已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（答：3λ>-）；

A B C D

2.等差数列的有关概念：

(1)等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a = （答：210n +）；（2）

首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：833

d <≤）

（1）数列 {}n a 中，*

11(2,)2n n a a n n N -=+≥∈，32n a =，前n 项和152

n S =-，则1a ＝

＿，n ＝＿（答：13a =-，10n =）；（2）已知数列 {}n a 的前n 项和2

12n S n n =-，求数

列{||}n a 的前n 项和n T （答：2*

2*

12(6,)

1272(6,)

n n n n n N T n n n n N ?-≤∈?=?-+>∈??）. （4）等差中项

3.等差数列的性质：

（1）等差数列{}n a 中，12318,3,1n n n n S a a a S --=++==，则n ＝____（答：27）；（2）在等差数列{}n a 中，10110,0a a <>，且1110||a a >，n S 是其前n 项和，则A 、12

10,S S S 都

O 1 2 3 x

y

小于0，

1112,S S 都大于0 B 、1219,S S S 都小于0，2021,S S 都大于0 C 、125

,S S S 都小于0，67

,S S 都大于0 D 、1220,S S S 都小于0，2122

,S S 都大于0 （答：B ）

等差数列的前n 项和为25，前2n 项和为100，则它的前3n 和为 。（答：225） （2）在等差数列中，S 11＝22，则6a ＝______（答：2）；（2）项数为奇数的等差数列{}n a 中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.

设{n a }与{n b }是两个等差数列，它们的前n 项和分别为n S 和n T ，若3

41

3-+=

n n T S n n ，那么

=n

n b a ___________（答：

62

87n n --） （3）等差数列{}n a 中，125a =，917S S =，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：

前13项和最大，最大值为169）；（2）若{}n a 是等差数列，首项10,a >200320040a a +>，

200320040a a ?<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是 （答：4006）

4.等比数列的有关概念： （1）等比数列的判断方法：（1）一个等比数列{n a }共有21n +项，奇数项之积为100，偶数

项之积为120，则1n a +为____（答：

5

6

）；（2）数列{}n a 中，n S =41n a -+1 (2n ≥)且1a =1，若n n n a a b 21-=+ ，求证：数列｛n b ｝是等比数列。

（2）等比数列的通项：设等比数列{}n a 中，166n a a +=，21128n a a -=，前n 项和n S ＝

126，求n 和公比q . （答：6n =，1

2

q =或2） （3）等比数列的前n 和：（1）等比数列中，q ＝2，S 99=77，求9963a a a +++ （答：44）；

（2）

)(101

∑∑==n n

k k

n

C

的值为__________（答：2046）；

（4）等比中项：已知两个正数,()a b a b ≠的等差中项为A ，等比中项为B ，则A 与B 的大

小关系为______（答：A ＞B ）

有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）奇数个数成等比，可设为…，

22

,,,,a a

a aq aq q q

...（公比为q ）；但偶数个数成等比时，不能设为 (33)

,,,aq aq q

a q a ，…，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为2

q 。 5.等比数列的性质：

（1）在等比数列{}n a 中，3847124,512a a a a +==-，公比q 是整数，则10a =___（答：512）；（2）各项均为正数的等比数列{}n a 中，若569a a ?=，则3132310log log log a a a +++= （答：10）。

（1）已知0a >且1a ≠，设数列{}n x 满足1l o g 1l o g a n a

n x x +=+(*)n N ∈，且12100

100x x x

++

+=，则101102200x x x ++

+= . （答：100100a ）

；（2）在等比数列}{n a 中，n S 为其前n 项和，若140,1330101030=+=S S S S ，则20S 的值为______（答：40）

若{}n a 是等比数列，且3n n S r =+，则r ＝ （答：－1）

设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若12,,n n n S S S ++成等差数列，则q 的值为-_____（答：－2）

设数列{}n a 的前n 项和为n S （N ∈n ）， 关于数列{}n a 有下列三个命题：①若

)(1

N ∈=+n a a n n ，则{}n a 既是等差数列又是等比数列；②若()R ∈+=b a n b n a S n 、

2，则{}n a 是等差数列；③若()n n S 11--=，则{}n a 是等比数列。这些命题中，真命题的序号是

（答：②③）

6.数列的通项的求法：

已知数列 ,32

1

9,1617,815,413

试写出其一个通项公式：__________（答：1

1

212n n a n +=++

） ①已知{}n a 的前n 项和满足2log (1)1n S n +=+，求n a （答：

{

3,1

2,2

n n n a n ==≥）；②数列{}

n a 满足

12211

12522

2

n n a a a n +++

=+，求n a （答：{

114,1

2,2n n n a n +==≥） 数列}{n a 中，,11=a 对所有的2≥n 都有2321n a a a a n = ，则=+53a a ______（答：

61

16

） 已知数列{}n a 满足11a =，n

n a a n n ++=

--111(2)n ≥，则n a =________（答：

121n a n =+-+）

已知数列}{n a 中，21=a ，前n 项和n S ，若n n a n S 2

=，求n a （答：4

(1)

n a n n =

+）

①已知111,32n n a a a -==+，求n a （答：1231n n a -=-）；②已知111,32n

n n a a a -==+，

求n a （答：11

532n n n a -+=-）；

①已知1111,31n n n a a a a --==

+，求n a （答：1

32

n a n =-）；②已知数列满足1a =1，

11n n n n a a a a ---=，求n a （答：21

n a n =）

数列{}n a 满足11154,3

n n n a S S a ++=+=，求n a （答：{

14,1

34,2n n n a n -==≥）

7.数列求和的常用方法：

（1）公式法：（1）等比数列{}n a 的前n 项和S ｎ＝2ｎ

－１，则2232221n a a a a ++++ ＝

_____（答：413

n -）；（2）计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。二进制即“逢2进1”，

如2)1101(表示二进制数，将它转换成十进制形式是132********

123=?+?+?+?，那么将二

进制

1

20052)11111(个转换成十进制数是_______（答：2005

2

1-）

（2）分组求和法： 1357(1)(21)n n S n =-+-+-

+--（答：(1)n n -?）

（3）倒序相加法：①求证：012

35(21)(1)2n

n n n n n C C C n C n +++

++=+；②已知

22

()1x f x x =+，则111(1)(2)(3)(4)()()()234

f f f f f f f ++++++＝______（答：7

2） （4）错位相减法：（1）设{}n a 为等比数列，121(1)2n n n T na n a a a -=+-+

++，

已知11T =，24T =，①求数列{}n a 的首项和公比；②求数列{}n T 的通项公式.（答：①11a =，2q =；

②122n n T n +=--）；（2）设函数)1(4)()1()(2

-=-=x x g x x f ，，数列}{n a 满足：

12,()n a f a =(n a =-

))(()1++∈N n a g a n n ，①求证：数列}1{-n a 是等比数列；②令212()(1)(1)h x a x a x =-+-

(1)n n a x ++-，求函数)(x h 在点38=x 处的导数)38(h '，并比较)3

8

(h '与n n -22的大小。

（答：①略；②8()(1)213

n

h n '=-+，当1n =时，)38(h '＝n n -22；当2n =时，

)38(h '

8

(h '>n n -22） （5）裂项相消法：（1）求和：111

1447(32)(31)n n +++=??-?+ （答：

31n n +）；（2）在数列{}n a 中，1

1

++=n n a n ，且S ｎ＝９，则n ＝_____（答：99）；

（6）通项转换法：求和：111

112123123n ++++=+++++++ （答：

21

n n +） 四、三角函数

1、α的终边与

6π的终边关于直线x y =对称，则α＝_____。（答：Z k k ∈+,3

2π

π） 若α是第二象限角，则2

α

是第_____象限角（答：一、三）；已知扇形AOB 的周长是6cm ，

该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：22

cm ） 2、三角函数的定义：（1）已知角α的终边经过点P(5，－12)，则α

αc o s s i n +的值为＿＿。（答：713-）；（2）设α是第三、四象限角，m m --=432sin α，则m 的取值范围是_______（答：（－1，)2

3

）； 3.三角函数线（1）若08π

θ-<<，则sin ,cos ,tan θθθ的大小关系为_____(答：tan sin cos θθθ<<)；（2）若α为锐角，则,sin ,tan ααα的大

小关系为_______ （答：sin tan ααα<<）；（3）函数)3sin 2lg(cos 21+++=x x y 的

定义域是_______（答：2(2,2]()33

k k k Z π

π

ππ-

+

∈）

4.同角三角函数的基本关系式：（1）已知53sin +-=m m θ，)2

(524cos πθπ

θ<<+-=m m ，则θ

t a n ＝____（答：125-）；（2）已知11tan tan -=-αα，则α

αα

αc o s s i n c o s 3s i n +-＝____；

2cos sin sin 2++αααy

T

A x

α B S

O M P

＝___（答：35-

；5

13）；（3）已知x x f 3cos )(cos =，则)30(sin f 的值为______（答：－1）。 5.三角函数诱导公式（1）97cos tan()sin 2146

ππ

π+-+的值为________（答：2323-）；（2）已知5

4)540sin(-=+α

，则=-)270c o s ( α

______，若α为第二象限角，则=+-+-)

180tan()]360cos()180[sin(2

ααα

________。（答：54-；1003-） 6、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： （1）下列各式中，值为

12的是 A 、1515sin cos B 、221212

cos sin ππ

- C 、2

2251225tan .tan .- D 、130

2

cos + （答：C ）； （2）命题P ：0tan(A B )+=，命题Q ：0tan A tan B +=，则P 是Q 的 A 、充要条件 B 、

充分不必要条件 C 、必要不充分条件 D 、既不充分也不必要条件（答：C ）；（3）已知

35sin()cos cos()sin αβααβα---=，那么2cos β的值为____（答：

7

25

）；（4）131080

sin sin -的值是______（答：4）；(5)已知0tan110a =，求0

tan 50的值（用a 表示）

甲求得的结果是3

13a a

-+，乙求得的结果是212a a -，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是

______（答：甲、乙都对）

7. 三角函数的化简、计算、证明

（1）巧变角：（1）已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4

π

α+的值是_____（答：322）；（2）已知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，3

cos()5

αβ+=-，则y 与x 的

函数关系为______（答：2343

1(1)555

y x x x =--+<<）

(2)三角函数名互化(切割化弦)，（1）求值sin 50(13tan10)+（答：1）；（2）已知sin cos 21,tan()1cos 23

αααβα=-=--，求tan(2)βα-的值（答：1

8）

(3)公式变形使用设ABC ?中，33tan A tan B tan Atan B ++=，3

4

sin Acos A =，

则此三角形是____三角形（答：等边）

(4)三角函数次数的降升函数2

553f (x )sin xcos x cos x =-5

32

(x R )+

∈的单调递增区间为___________（答：512

12

[k ,k ](k Z )π

π

ππ-

+

∈）

(5)式子结构的转化（1）tan (cos sin )ααα- sin tan cot csc αα

αα

++

+（答：sin α）；（2）求证：

21tan 1sin 212sin 1tan 22αααα++=

--；（3）化简：42212cos 2cos 22tan()sin ()44

x x x x ππ-+

-+（答：1cos 22x ） (6)常值变换主要指“1”的变换已知tan 2α=，求22

sin sin cos 3cos αααα+-（答：35

）.

(7)“知一求二”（1）若 sin cos x x t ±=，则sin cos x x = __（答：21

2

t -±)，特别提醒：

这里[2,2]t ∈-；（2）若1(0,),sin cos 2απαα∈+=，求tan α的值。（答：47

3

+-）；

8、辅助角公式中辅助角的确定：（1）若方程sin 3cos x x c -=有实数解，则c 的取值范围是___________.（答：[－2,2]）；（2）当函数23y cos x sin x =-取得最大值时，tanx 的值是

______(答：3

2

-)；（3）如果()()sin 2cos()f x x x ??=+++是奇函数，则tan ?= (答：－

2)；（4）求值：=?+?

-?20sin 6420cos 1

20sin 322

2________(答：32) 9、正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈的性质：

（1）若函数sin(3)6

y a b x π=-+的最大值为23，最小值为21

-，则=a __，=b ＿（答：

1,12

a b ==或1b =-）

；（2）函数x x x f cos 3sin )(+=（]2,2[π

π-∈x ）的值域是____（答：[－1, 2]）；（3）若2αβπ+=，则6y cos sin βα=-的最大值和最小值分别是____ 、_____

（答：7；－5）；（4）函数2

()2cos sin()3sin 3

f x x x x π

=+-sin cos x x +的最小值是_____，

此时x ＝__________（答：2；()12

k k Z π

π+

∈）

；（5）己知2

1

cos sin =βα，求αβc o s s i n =t 的变化范围（答：1[0,]2

）；（6）若αβαcos 2sin 2sin 22=+，求βα2

2si n si

n +=y 的最大、

最小值（答：1max =y ，222min -=y ）。

（3）周期性： (1)若3

sin )(x

x f π=，则(1)(2)(3)(2003)

f f f f ++++＝___（答：0）；(2) 函数4()cos f x x =2sin cos x x -4

sin x -的最小正周期为____（答：π）；(3) 设函数)5

2sin(2)(π

π+=x x f ，若对任意R x ∈都有)()()(21x f x f x f ≤≤成立，则||21x x -的最小

值为____（答：2）

（4）奇偶性与对称性：（1）函数522y sin x π??

=-

???

的奇偶性是______（答：偶函数）；（2）已知函数3

1f (x )ax b sin x (a,b =++为常数），且57f ()=，则5f()-=______（答：－5）；

（3）函数)c o s (s in c o s 2x x x y +=的图象的对称中心和对称轴分别是__________、____________（答：128k (

,)(k Z )ππ-∈、28

k x (k Z )ππ

=+∈）；（4）已知3

f (x )s i n (x )c o s (x )θθ=+++为偶函数，求θ的值。（答：6

k (k Z )π

θπ=+

∈）

（5）单调性：

16、形如sin()y A x ω?=+的函数：

()sin()(0,0f x A x A ω?ω=+>>，||)2

π

?<

的图象如图所示，

则()f x ＝_____（答：15()2sin()23

f x x π

=+）；

（1）函数2sin(2)14

y x π

=-

-的图象经过怎样的变换才能得到

sin y x =的图象？（答：2sin(2)14y x π=--向上平移1个单位得2sin(2)4

y x π

=-的图象，再向左平移

8

π

个单位得2sin 2y x =的图象，横坐标扩大到原来的2倍得2sin y x =的图象，最后将纵坐标缩小到原来的12即得sin y x =的图象）；(2) 要得到函数cos()24x y π

=-的图

象，只需把函数sin 2x y =的图象向___平移____个单位（答：左；2

π

）；（3）将函数

72sin(2)13

y x π

=-

+图像，按向量a 平移后得到的函数图像关于原点对称，这样的向量是否唯一？若唯一，求出a ；若不唯一，求出模最小的向量（答：存在但不唯一，模最小的向量(,1)6

a π

=-

-）

；（4）若函数()[]()cos sin 0,2f x x x x π=+∈的图象与直线y k =有且仅有四个不同的交点，则k 的取值范围是

（答：[1,2)）

（5）研究函数sin()y A x ω?=+性质的方法：（1）函数23

y sin(x )π

=-+的递减区间是

______（答：51212[k ,k ](k Z )π

πππ-

+∈）

；（2）12

34x y log cos()π=+的递减区间是_______（答：336644[k ,k ](k Z )π

πππ-+∈）

；（3）设函数)2

2,0,0)(sin()(π?πω?ω<<->≠+=A x A x f 的图象关于直线3

2π=x 对称，它的周期是π，则A 、)21,0()(的图象过点x f B 、()f x 在区间52[,]123ππ上是减函数 C 、)0,12

5()(π是的图象的一个对称中心x f D 、()f x 的最大值是A （答：C ）；（4）对于函数()2sin 23f x x π?

?=+ ??

?给出下列结论：①图象关于原点成中心对称；

②图象关于直线12x π=成轴对称；③图象可由函数2sin 2y x =的图像向左平移3

π

个单位得到；

23题图

2π9

Y

X

-2

23

④图像向左平移12

π

个单位，即得到函数2cos 2y x =的图像。其中正确结论是_______（答：②④）；（5）已知函数()2sin()f x x ω?=+图象与直线1y =的交点中，距离最近两点间的距

离为3

π

，那么此函数的周期是_______（答：π）

x y x y sin ,sin 2==的周期都是π, 但sin y x =cos x +的周期为2

π

，而1|2s i n (3)|,|2s i n (3)2|

626

y x y x ππ

=-+=-+，|tan |y x =的周期不变； ABC ?中，若C B A B A 22222sin sin cos cos sin =-，判断ABC ?的形状（答：直角

三角形）。

（1）ABC ?中，A 、B 的对边分别是 a b 、，且A=60 6 4,a ,b ==，那么满足条件的

ABC ? A 、 有一个解 B 、有两个解 C 、无解 D 、不能确定（答：C ）

；（2）在ABC ?中，A ＞B 是sin A sin B >成立的_____条件（答：充要）；（3）在ABC ?中，

112(tan A)(tan B )++=，则2log sinC ＝_____（答：1

2

-）；(4)在ABC ?中，a,b,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，若(a b c )(sin A sin B +++3sinC )a sin B -=，则C ∠＝____（答：60）；（5）在ABC ?中，若其面积222

43

a b c S +-=，则C ∠=____（答：30）；（6）在ABC

?中，60 1A ,b ==，这个三角形的面积为3，则ABC ?外接圆的直径是_______（答：239

3

）；（7）在△ABC 中，a 、b 、c 是角A 、B 、C 的对边，2

13,cos ,cos 32

B C

a A +==则= ，22

b

c +的最大值为 （答：

19

32

;）；（8）在△ABC 中AB=1，BC=2，则角C 的取值范围是

（答：06

C π

<≤

）；（9）设O 是锐角三角形ABC 的外心，若75C ∠=，且

,,AOB BOC COA ???的面积满足关系式3AOB BOC COA S S S ???+=，求A ∠（答：45）

． 19.求角的方法（1）若,(0,)αβπ∈，且t a n α、

tan β是方程2560x x -+=的两根，则求αβ+的值______（答：

34π

）；（2）ABC ?中，3sin 4cos 6,4sin 3cos 1A B B A +=+=，则C ∠＝_______（答：3

π

）；（3）若02αβγπ≤<<<且0sin sin sin αβγ++=，

0cos cos cos αβγ++=，求βα-的值（答：23

π

）.

五、平面向量

1、向量有关概念：

（1）向量的概念：已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））

下列命题：（1）若a b =，则a b =。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若A B D C

=，则ABCD 是平行四边形。（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。

（5）若,a b b c ==，则a c =。（6）若//,//a b b c ，则//a c 。其中正确的是_______（答：（4）（5））

2、向量的表示方法：（1）若(1,1),a b ==(1,1),(1,2)c -=-，则c =______（答：13

22

a b -）；

（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. 12(0,0),(1,2)e e ==- B.

12(1,2),(5,7)e e =-= C. 12(3,5),(6,10)e e == D. 1213

(2,3),(,)24

e e =-=-（答：B ）；（3）

已知,AD BE 分别是ABC ?的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b ==,则BC 可用向量,a b 表示

为_____（答：24

33

a b +）；（4）已知A B C ?中，点D 在BC 边上，且?→

??→?=DB CD 2，

?→

??→??→?+=AC s AB r CD ，则s r +的值是___（答：0）

4、实数与向量的积

5、平面向量的数量积：

（1）△ABC 中，3||=?→

?AB ，4||=?→

?AC ，5||=?→

?BC ，则=?BC AB _________（答：－9）；

（2）已知11(1,),(0,),,22a b c a kb d a b ==-=+=-，c 与d 的夹角为4

π

，则k 等于____（答：1）；

（3）已知2,5,3a b a b ===-，则a b +等于____（答：23）；（4）已知,a b 是两个非零向

量，且a b a b ==-，则与a a b +的夹角为____（答：30）

已知3||=→

a ，5||=→

b ，且12=?→→b a ，则向量→a 在向量→

b 上的投影为______（答：

5

12

） （1）已知)2,(λλ=→

a ，)2,3(λ=→

b ，如果→a 与→

b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______

（答：43λ<-或0λ>且1

3

λ≠）；（2）已知OF Q ?的面积为S ，且1=??→

??→?FQ OF ，若

2321<

ππ

）；（3）已知(c o s ,s i n ),(c o s ,s i n a x x b y y ==a 与b 之间有关系式3,0ka b a kb k +=->其中，①用k 表

示a b ?；②求a b ?的最小值，并求此时a 与b 的夹角θ的大小（答：①21(0)4k a b k k

+?=>；②

最小值为

1

2

，60θ=） 6、向量的运算： （1）几何运算：

（1）化简：①

AB BC CD ++=___；②AB AD DC --=____；

③()()AB CD AC BD ---=_____（答：①AD ；②CB ；③0）；（2）若正方形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b AC c ===，则||a b c ++＝_____（答：22）；（3）若O 是ABC 所在

平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-，则ABC 的形状为____（答：直角三角形）；（4）若D 为ABC ?的边BC 的中点，ABC ?所在平面内有一点P ，满足

0P A B P C P ++=，设

||

||

AP PD λ=，则λ的值为___（答：2）

；（5）若点O 是ABC △的外心，且0OA OB CO ++=，则ABC △的内角C 为____（答：120）；

（2）坐标运算：（1）已知点(2,3),(5,4)A B ，(7,10)C ，若()AP AB AC R λλ=+∈，则当λ

＝____时，点P 在第一、三象限的角平分线上（答：

1

2

）；（2）已知1(2,3),(1,4),(sin ,cos )2A B AB x y =且，,(,)22x y ππ∈-，则x y += （答：6π

或2

π-）

；（3）已知作用在点(1,1)A 的三个力123(3,4),(2,5),(3,1)F F F ==-=，则合力123F F F F =++的终点坐标是 （答：（9,1））

设(2,3),(1,5)A B -，且1

3

AC AB =，3AD AB =，则C 、D 的坐标分别是__________（答：

11

(1,),(7,9)3

-）

； 已知向量a ＝（sinx ，cosx ）, b ＝（sinx ，sinx ）, c ＝（－1，0）。（1）若x ＝3

π

，求向量a 、c 的夹角；（2）若x ∈]4

,83[ππ-

，函数b a x f ?=λ)(的最大值为21

，求λ的值（答：

1

(1)150;(2)2

或21--）

； 已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么|3|a b +＝_____（答：13）；

如图，在平面斜坐标系xOy 中，60xOy ∠=，平面上任一点P 关于斜坐标系的斜坐标是

这样定义的：若12OP xe ye =+，其中12,e e 分别为与x 轴、y 轴同方向的单位向量，则P 点斜坐标为(,)x y 。（1）若点P 的斜坐标为（2，－2），求P 到O 的距离｜PO ｜；（2）求以O 为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程。（答：（1）2；（2）2

2

10x y xy ++-=）；

7、向量的运算律：下列命题中：① →→→→→→→?-?=-?c a b a c b a )(；② →

→→→→→??=??c b a c b a )()(；③ 2

()a b →

→

-2

||a →

=2

2||||||a b b →

→

→

-?+；④ 若0=?→→b a ，则0=→a 或0=→

b ；⑤若,a b

c b ?=?则

a c =；⑥22

a a =；⑦

2

a b

b a

a ?=

；⑧222()a b a b ?=?；⑨22

2()2a b a a b b -=-?+。其中正确的

是______（答：①⑥⑨）

(1)若向量(,1),(4,)a x b x ==，当x ＝_____时a 与b 共线且方向相同（答：2）；（2）已知(1,1),(4,)a b x ==，2u a b =+，2v a b =+，且//u v ，则x ＝______（答：4）；（3）设

(,12),(4,5),(10,)PA k PB PC k ===，则k ＝_____时，A,B,C 共线（答：－2或11）

(1)已知(1,2),(3,)OA OB m =-=，若OA OB ⊥，则m = （答：

3

2

）；（2）以原点O 和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，90B ∠=?，则点B 的坐标是________ （答：

(1,3)或（3，－1））；（3）已知(,),n a b =向量n m ⊥，且n m =，则m 的坐标是________ （答：

(,)(,)b a b a --或）

10.线段的定比分点：

若点P 分AB 所成的比为

34，则A 分BP 所成的比为_______（答：73

-） （1）若M （-3，-2），N （6，-1），且1MP MN 3

--→

--→=-，则点P 的坐标为_______（答：7

(6,)3--）；

（2）已知(,0),(3,2)A a B a +，直线1

2

y ax =与线段AB 交于M ，且2AM MB =，则a 等于_______（答：２或－４）

11.平移公式：（1）按向量a 把(2,3)-平移到(1,2)-，则按向量a 把点(7,2)-平移到点______（答：（－８，３））；（2）函数x y 2sin =的图象按向量→

a 平移后，所得函数的解析式是

12cos +=x y ，则→

a ＝________（答：)1,4

(π

-

）

12、向量中一些常用的结论：

若⊿ABC 的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、 （-1，-1），则⊿ABC 的重心的坐标为_______（答：24

(,)33

-）；

平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点)1,3(A ,)3,1(-B ,若点C 满足

=?→?OC ?→

??→?+OB OA 21λλ,其中R ∈21,λλ且121=+λλ,则点C 的轨迹是_______（答：直线AB ）

六、不等式 1、不等式的性质：

（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①2

2

,bc ac b a >>则若；

②b a bc ac >>则若,2

2

；③2

2

,0b ab a b a >><<则若；④b

a b a 1

1,0<<<则

若；⑤b a a b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；⑦b c b

a c a

b a

c ->

->>>则若,0；⑧11

,a b a b

>>若，则0,0a b ><。其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）；

（2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（答：137x y ≤-≤）；

2. 不等式大小比较的常用方法：比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小（答：当

01x <<或43x >时，1+3log x ＞2log 2x ；当413x <<时，1+3log x ＜2log 2x ；当4

3

x =时，1+3log x ＝2log 2x ）

3. 利用重要不等式求函数最值

（1）下列命题中正确的是A 、1y x x =+的最小值是2 B 、223

2

x y x +=+的最小值是2

C 、423(0)y x x x =-->的最大值是243-

D 、4

23(0)y x x x

=-->的最小值是

243-（答：C ）；（2）若21x y +=，则24x y

+的最小值是______（答：22）；（3）正数

,x y 满足21x y +=，则y

x 1

1+的最小值为______（答：322+）

； 4.常用不等式有：如果正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是_____（答：

[)9,+∞）

5、证明不等式的方法：

（1）已知c b a >>，求证：2

22222ca bc ab a c c b b a ++>++ ；(2) 已知R c b a ∈,,，求证：)(2

2

2

2

2

2

c b a abc a c c b b a ++≥++；（3）已知,,,a b x y R +

∈，且11

,x y a b

>>，求证：

x y x a y b

>++；(4)已知R c b a ∈,,，求证：2222

a b b c +22()c a abc a b c +≥++； 6.简单的一元高次不等式的解法：（1）解不等式2

(1)(2)0x x -+≥。（答：{|1x x ≥或

2}x =-）

；（2）不等式2(2)230x x x ---≥的解集是____（答：{|3x x ≥或1}x =-）；（3）设函数()f x 、()g x 的定义域都是R ，且()0f x ≥的解集为{|12}x x ≤<，()0g x ≥的解集为

?，则不等式()()0f x g x >的解集为____（答：(,1)[2,)-∞+∞）

；（4）要使满足关于x 的不等式0922

<+-a x x （解集非空）的每一个x 的值至少满足不等式

08603422<+-<+-x x x x 和中的一个，则实数a 的取值范围是_____.（答：81

[7,)8

）

7.分式不等式的解法：（1）解不等式25123

x

x x -<---（答：(1,1)(2,3)-）

； （2）关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞，则关于x 的不等式02

>-+x b

ax 的解集

为____________（答：),2()1,(+∞--∞ ）.

8.绝对值不等式的解法：解不等式|||1|3x x +->（答：(,1)(2,)-∞-+∞）；若不等式

|32||2|x x a +≥+对x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围为______。

（答：4

{}3

） 9、含参不等式的解法：（1）若2log 13a <，则a 的取值范围是_____（答：1a >或2

03

a <<）

；（2）解不等式

2()1ax x a R ax >∈-（答：0a =时，{|x 0}x <；0a >时，1

{|x x a >或0}x <；0a <时，1

{|0}x x a

<<或0}x <）

；（3）关于x 的不等式0>-b ax 的解集为)1,(-∞，则不等式02>+-b

ax x 的解集为__________（答：

（－1,2）） 11.恒成立问题（1）设实数,x y 满足22

(1)1x y +-=，当0x y c ++≥时，c 的取值范围是______（答：)

21,?-+∞?

）；（2）不等式a x x >-+-34对一切实数x 恒成立，求实数a

的取值范围_____（答：1a <）；（3）若不等式)1(122

->-x m x 对满足2≤m 的所有m 都成

立，则x 的取值范围_____（答：（712-,312+））；（4）若不等式n

a n n 1)1(2)1(+-+<-对

于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是_____（答：3

[2,)2

-）；（5）若不等式

22210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围.（答：1

2

m >-）（6）已知不等式a x x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围______（答：

1a >）

七、直线和圆

1、直线的倾斜角：（1）直线023c o s

=-+y x θ的倾斜角的范围是____（答：5[0][)66，，πππ）；（2）过点),0(),1,3(m Q P -的直线的倾斜角的范围m

那么],32,3[π

πα∈值的范围是______（答：42≥-≤m m 或）

2、直线的斜率： (1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件（答：既不充分也不必要）；（2）实数,x y 满足3250x y --= (31≤≤x )，则x

y

的最大值、最小值分别为______（答：

2

,13

-） 3、直线的方程：（1）经过点（2，1）且方向向量为v

=(－1,3)的直线的点斜式方程是___________（答：13(2)y x -=--）；（2）直线(2)(21)(34)0m x m y m +----=，不管

m 怎样变化恒过点______（答：(1,2)--）；（3）若曲线||y a x =与(0)y x a a =+>有两个公共点，则a 的取值范围是_______（答：1a >）

过点(1,4)A ，且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条（答：3）

4.设直线方程的一些常用技巧：

5、点到直线的距离及两平行直线间的距离：

6、直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=的位置关系：

（1）设直线1:60l x my ++=和2:(2)320l m x y m -++=，当m ＝_______时1l ∥2l ；当m ＝________时1l ⊥2l ；当m _________时1l 与2l 相交；当m ＝_________时1l 与2l 重合（答：

－1；

1

2

；31且m m ≠≠-；3）；（2）已知直线l 的方程为34120x y +-=，则与l 平行，且过点（—1，3）的直线方程是______（答：3490x y +-=）；（3）两条直线40ax y +-=与

20x y --=相交于第一象限，则实数a 的取值范围是____（答：12a -<<）

；（4）设,,a b c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线sin 0A x ay c ++=与

sin sin 0bx B y C -+=的位置关系是____（答：垂直）；（5）已知点111(,)P x y 是直线

:(,)0l f x y =上一点，222(,)P x y 是直线l 外一点，则方程1122(,)(,)(,)f x y f x y f x y ++＝0所表示的直线与l 的关系是____（答：平行）；（6）直线l 过点（１，０），且被两平行直线360x y +-=和330x y ++=所截得的线段长为9，则直线l 的方程是________（答：43401x y x +-==和）

7、到角和夹角公式：已知点M 是直线240x y --=与x 轴的交点，把直线l 绕点M 逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是______（答：360x y +-=）

8、对称（1）已知点(,)M a b 与点N 关于x 轴对称，点P 与点N 关于y 轴对称，点Q 与

点P 关于直线0x y +=对称，则点Q 的坐标为_______（答：(,)b a ）；（2）已知直线1l 与2l 的夹角平分线为y x =，若1l 的方程为0(0)ax by c ab ++=>，那么2l 的方程是___________（答：0bx ay c ++=）；（3）点Ａ（４，５）关于直线l 的对称点为Ｂ(－2,7)，则l 的方程是_________（答：3y=3x ＋）；（4）已知一束光线通过点Ａ（－３，５），经直线l :3x －4y+4=0反射。如果反射光线通过点Ｂ（２，15），则反射光线所在直线的方程是_________（答：18x 510y -=＋）；（5）已知ΔABC 顶点A(3，－１)，ＡＢ边上的中线所在直线的方程为6x+10y －59=0，∠B 的平分线所在的方程为x －4y+10=0，求ＢＣ边所在的直线方程（答：29650x y +-=）；（6）直线2x ―y ―4=0上有一点Ｐ，它与两定点Ａ（4,－1）、Ｂ（3,4）的距离之差最大，则Ｐ的坐标是______（答：（5,6））；（7）已知A x ∈轴，:B l y x ∈=，C （2，1），ABC 周长的最小值为______（答：10）。

9、简单的线性规划： 已知点A （—2，4），B （4，2），且直线:2l y kx =-与线段AB 恒相交，则k 的取值范围是__________（答：(]

[)31∞∞－，－，＋）

（1）线性目标函数z=2x －y 在线性约束条件

{||1

||1

x y ≤≤下，取最小值的最优解是____（答：

（－1，1））；（2）点（－２，t ）在直线2x －3y+6=0的上方，则t 的取值范围是_________（答：

2

3

t >

）；（3）不等式2|1||1|≤-+-y x 表示的平面区域的面积是_________（答：8）；（4）如果实数y x ,满足20

40250x y x y x y -+≥??+-≥?--≤??，则|42|-+=y x z 的最大值_________（答：21）

10、圆的方程：

（1）圆C 与圆2

2

(1)1x y -+=关于直线y x =-对称，则圆C 的方程为____________（答：

22(1)1x y ++=）；（2）圆心在直线32=-y x 上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是

__________（答：9)3()3(22=-+-y x 或1)1()1(2

2=++-y x ）；（3）已知(1,3)P -是圆

{

cos sin x r y r θθ

==（θ为参数，02)θπ≤<上的点，则圆的普通方程为________，P 点对应的θ值为_______，过P 点的圆的切线方程是___________（答：22

4x y +＝；23

π；340x y -+=）；

（4）如果直线l 将圆：x 2+y 2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是____

（答：[0，2]）；（5）方程x 2+y ２

－x+y+k=0表示一个圆，则实数k 的取值范围为____（答：2

1

；（6）若{

3cos {(,)|

3sin x M x y y θθ

===（θ为参数，0)}θπ<<，{}b x y y x N +==|),(，若

φ≠N M ，则b 的取值范围是_________（答：(

3,32??－）

11、点P(5a+1,12a)在圆(x －１)２

＋y 2=1的内部,则a 的取值范围是______（答：13

1

||<

a ） 12、直线与圆的位置关系：（1）圆1222

2=+y x 与直线sin 10(,2

x y R π

θθθ+-=∈≠

k π+，

)k z ∈的位置关系为____（答：相离）

；（2）若直线30ax by +-=与圆22

410x y x ++-=切

于点(1,2)P -，则ab 的值____（答：2）；（3）直线20x y +=被曲线22

62x y x y +--150-=所截得的弦长等于 （答：45）；（4）一束光线从点A(－1,1)出发经x 轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是 （答：4）；（5）已知(,)(0)M a b ab ≠是圆2

2

2

:O x y r

+=内一点，现有以M 为中点的弦所在直线m 和直线2

:l ax by r +=，则A ．//m l ，且l 与圆相交 B ．l m ⊥，且l 与圆相交 C ．//m l ，且l 与圆相离 D ．l m ⊥，且l 与圆相离（答：C ）；（6）已知圆C ：2

2

(1)5x y +-=，直线L ：10mx y m -+-=。①求证：对m R ∈，直线L 与圆C 总有两个不同的交点；②设L 与圆C 交于A 、B 两点，若17AB =，求L 的倾斜角；③求直线L 中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程. （答：②60或120 ③最长：1y =，最短：1x =）

13、圆与圆的位置关系

双曲线22

221x y a b

-=的左焦点为F 1，顶点为A 1、A 2，P 是双曲线右支上任意一点，则分别

以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆位置关系为 （答：内切）

14、圆的切线与弦长：

设A 为圆1)1(2

2=+-y x 上动点，PA 是圆的切线，且|PA|=1，则P 点的轨迹方程为__________（答：22

(1)2x y -+=）； （2）弦长问题： 八、圆锥曲线

1.圆锥曲线的两个定义：

（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．10

21=+PF PF D ．122

2

2

1=+PF PF （答：C ）；（2）方程

2222(6)(6)8x y x y -+-++=

表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） （2）第二定义已知点)0,22(Q 及抛物线4

2

x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是

_____（答：2）

2.圆锥曲线的标准方程

（1）椭圆：（1）已知方程1232

2=-++k

y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____（答：

11(3,)(,2)22

---）

；（2）若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，2

2y x +的最小值是___（答：5,2）

（2）双曲线：（1）双曲线的离心率等于25

，且与椭圆14

922=+y x 有公共焦点，则该双曲

线的方程_______（答：2

214

x y -=）

；（2）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=）

（3）抛物线：

3.圆锥曲线焦点位置的判断：