大学物理学(第三版)第二章课后答案

习题2

2.1 选择题

(1) 一质点作匀速率圆周运动时，

(A)它的动量不变，对圆心的角动量也不变。 (B)它的动量不变，对圆心的角动量不断改变。 (C)它的动量不断改变，对圆心的角动量不变。

(D)它的动量不断改变，对圆心的角动量也不断改变。

[答案：C]

(2) 质点系的内力可以改变

(A)系统的总质量。 (B)系统的总动量。 (C)系统的总动能。 (D)系统的总角动量。

[答案：C]

(3) 对功的概念有以下几种说法：

①保守力作正功时，系统内相应的势能增加。

②质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零。

③作用力与反作用力大小相等、方向相反，所以两者所作功的代数和必为零。 在上述说法中：

(A)①、②是正确的。 (B)②、③是正确的。 (C)只有②是正确的。 (D)只有③是正确的。

[答案：C]

2.2填空题

(1) 某质点在力i x F

)54(+=（SI ）的作用下沿x 轴作直线运动。在从x=0移动到x=10m

的过程中，力F

所做功为 。

[答案：290J ]

(2) 质量为m 的物体在水平面上作直线运动，当速度为v 时仅在摩擦力作用下开始作匀减速运动，经过距离s 后速度减为零。则物体加速度的大小为 ，物体与水平面间的摩擦系数为 。

[答案：2

2

;

22v v s gs

]

(3) 在光滑的水平面内有两个物体A 和B ，已知m A =2m B 。（a ）物体A 以一定的动能E k 与静止的物体B 发生完全弹性碰撞，则碰撞后两物体的总动能为 ；（b ）物体A 以一定的动能E k 与静止的物体B 发生完全非弹性碰撞，则碰撞后两物体的总动能为 。

[答案：2;

3

k k E E ]

2.3 在下列情况下，说明质点所受合力的特点：

（1）质点作匀速直线运动； （2）质点作匀减速直线运动； （3）质点作匀速圆周运动； （4）质点作匀加速圆周运动。 解：（1）所受合力为零；

（2）所受合力为大小、方向均保持不变的力，其方向与运动方向相反； （3）所受合力为大小保持不变、方向不断改变总是指向圆心的力；

（4）所受合力为大小和方向均不断变化的力，其切向力的方向与运动方向相同，大小恒定；法向力方向指向圆心。

2.4 举例说明以下两种说法是不正确的：

（1）物体受到的摩擦力的方向总是与物体的运动方向相反； （2）摩擦力总是阻碍物体运动的。 解：（1）人走路时，所受地面的摩擦力与人的运动方向相同；

（2）车作加速运动时，放在车上的物体受到车子对它的摩擦力，该摩擦力是引起物体相对地面运动的原因。

2.5质点系动量守恒的条件是什么？在什么情况下，即使外力不为零，也可用动量守恒定律近似求解？

解：质点系动量守恒的条件是质点系所受合外力为零。当系统只受有限大小的外力作用，且作用时间很短时，有限大小外力的冲量可忽略，故也可用动量守恒定律近似求解。

2.6在经典力学中，下列哪些物理量与参考系的选取有关：质量、动量、冲量、动能、势能、功？

解：在经典力学中，动量、动能、势能、功与参考系的选取有关。

2.7 一细绳跨过一定滑轮，绳的一边悬有一质量为1m 的物体，另一边穿在质量为2m 的圆柱体的竖直细孔中，圆柱可沿绳子滑动．今看到绳子从圆柱细孔中加速上升，柱体相对于绳子以匀加速度a '下滑，求1m ，2m 相对于地面的加速度、绳的张力及柱体与绳子间的摩擦力(绳轻且不可伸长，滑轮的质量及轮与轴间的摩擦不计)．

解：因绳不可伸长，故滑轮两边绳子的加速度均为1a ，其对于2m 则为牵连加速度，又知2m 对绳子的相对加速度为a '，故2m 对地加速度，

题2.7图

由图(b)可知，为 a a a '-=12 ① 又因绳的质量不计，所以圆柱体受到的摩擦力f 在数值上等于绳的张力T ，由牛顿定律，有

111a m T g m =- ②

222a m g m T =- ③ 联立①、②、③式，得

212

12

112122

12211)

2()()(m m a g m m T f m m a m g m m a m m a m g m m a +'-==+'

--=

+'

+-=

讨论 (1)若0='a ，则21a a =表示柱体与绳之间无相对滑动．

(2)若g a 2='，则0==f T ，表示柱体与绳之间无任何作用力，此时1m , 2m 均作自由落体运动．

2.8 一个质量为P 的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α）上以初速度0v 运动，0v 的方向与斜面底边的水平线AB 平行，如图所示，求这质点的运动轨道．

解: 物体置于斜面上受到重力mg ，斜面支持力N .建立坐标：取0v

方向为X 轴，平行斜面与X 轴垂直方向为Y 轴.如题2.8图

.

题2.8图

X 方向： 0=x F t v x 0= ① Y 方向： y y ma mg F ==αsin ②

0=t 时 0=y 0=y v

2sin 2

1

t g y α=

由①、②式消去t ，得

2

2

sin 21x g v y ?=

α

2.9 质量为16 kg 的质点在xOy 平面内运动，受一恒力作用，力的分量为x f ＝6 N ，y f ＝-7 N ，当t ＝0时，==y x 0，x v ＝-2 m ·s -1

，y v ＝0．求当t ＝2 s 时质点的(1)位矢；(2)

速度．

解： 2s m 8

3166-?===

m f a x x 2s m 16

7

-?-=

=

m

f a y y (1)

21

021

035

'22m s 84

77

'2m s 168

x x x y y y v v a dt v v a dt --=+=-+?=-?-=+=?=-???

于是质点在s 2时的速度

1s m 8

745-?--=j

i v

(2)

2211()22

13

17(224)()428216137m

48

x x y r v t a t i a t j

i j i j =++-=-?+??+?=--

2.10 质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力kv (k 为常数)作用，t =0时质点的速度为0v ，证明(1) t 时刻的速度为v ＝t m

k e

v )(0-；(2) 由0到t 的时间内经过的距离为

x ＝(

k

m v 0)［1-t m k

e )(-］；(3)停止运动前经过的距离为)(0k m

v ；(4)当k m t =时速度减

至0v 的

e

1

，式中m 为质点的质量． 答: (1)∵ t

v

m kv a d d =-= 分离变量，得

m t k v v d d -= 即 ??-=v v t m

t

k v v 00d d m kt e v v -=ln ln 0

∴ t

m k e v v -=0

(2) ??---==

=t

t

t

m k m k

e k

mv t e

v t v x 0

00

)1(d d

(3)质点停止运动时速度为零，即t →∞， 故有 ?

∞

-=

=

'0

0d k

m v t e

v x t

m k (4)当t=

k

m

时，其速度为 e

v e v e

v v k

m m k 0

100=

==-?- 即速度减至0v 的e

1.

2.11 一质量为m 的质点以与地的仰角θ=30°的初速0v

从地面抛出，若忽略空气阻力，求质点落地时相对抛射时的动量的增量． 解: 依题意作出示意图如题2.11图

题2.11图

在忽略空气阻力情况下，抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同，与轨道相切斜向下, 而抛物线具有对y 轴对称性，故末速度与x 轴夹角亦为o

30，则动量的增量为

0v m v m p

-=?

由矢量图知，动量增量大小为0v m

，方向竖直向下．

2.12 一质量为m 的小球从某一高度处水平抛出，落在水平桌面上发生弹性碰撞．并在抛出1 s 后，跳回到原高度，速度仍是水平方向，速度大小也与抛出时相等．求小球与桌面碰撞过程中，桌面给予小球的冲量的大小和方向．并回答在碰撞过程中，小球的动量是否守恒? 解: 由题知，小球落地时间为s 5.0．因小球为平抛运动，故小球落地的瞬时向下的速度大小为g gt v 5.01==，小球上跳速度的大小亦为g v 5.02=．设向上为y 轴正向，则动量的增量

12v m v m p

-=?方向竖直向上，

大小 mg mv mv p =--=?)(12

碰撞过程中动量不守恒．这是因为在碰撞过程中，小球受到地面给予的冲力作用．另外，碰撞前初动量方向斜向下，碰后末动量方向斜向上，这也说明动量不守恒．

2.13 作用在质量为10 kg 的物体上的力为i t F

)210(+=N ，式中t 的单位是s ，(1)求4s 后，这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量．(2)为了使这力的冲量为200 N ·s ，

该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具有初速度j 6-m ·s -1

的物体,

回答这两个问题．

解: (1)若物体原来静止，则

i t i t t F p t

10

40

1s m kg 56d )210(d -??=+==???,沿x 轴正向，

i

p I i

m

p v

1111

11s m kg 56s m 6.5--??=?=?=?=? 若物体原来具有6-1

s m -?初速，则

??+-=+-=-=t t t F v m t m F v m p v m p 0

00000d )d (,

于是

??==-=?t p t F p p p 0

102d ,

同理， 12v v

?=?,12I I

=

这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理． (2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即

?+=+=t

t t t t I 0

210d )210(

亦即 0200102

=-+t t 解得s 10=t ，(s 20='t 舍去)

2.14 一质量为m 的质点在xOy 平面上运动，其位置矢量为

j t b i t a r

ωωsin cos +=

求质点的动量及t ＝0 到ω

π

2=t 时间内质点所受的合力的冲量和质点动量的改变量． 解: 质点的动量为

)cos sin (j t b i t a m v m p

ωωω+-==

将0=t 和ω

π

2=

t 分别代入上式，得 j b m p

ω=1,i a m p ω-=2 ,

则动量的增量亦即质点所受外力的冲量为

)(12j b i a m p p p I

+-=-=?=ω

2.15 一颗子弹由枪口射出时速率为10s m -?v ，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为

F =(bt a -)N(b a ,为常数)，其中t 以秒为单位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，

试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量．(3)求子弹的质量． 解: (1)由题意，子弹到枪口时，有

0)(=-=bt a F ,得b

a t =

(2)子弹所受的冲量

?-=-=t

bt at t bt a I 022

1

d )(

将b

a

t =

代入，得 b

a I 22=

(3)由动量定理可求得子弹的质量

2

02bv a v I m =

=

2.16 一炮弹质量为m ，以速率v 飞行，其内部炸药使此炮弹分裂为两块，爆炸后由于炸药使弹片增加的动能为T ，且一块的质量为另一块质量的k 倍，如两者仍沿原方向飞行，试证其速率分别为

v +

m kT 2, v -km

T

2

证明: 设一块为1m ，则另一块为2m ，

21km m =及m m m =+21

于是得 1

,121+=+=

k m

m k km m ① 又设1m 的速度为1v , 2m 的速度为2v ，则有

22

222112

12121mv v m v m T -+=

② 2211v m v m mv += ③ 联立①、③解得

12)1(kv v k v -+= ④

将④代入②，并整理得

21)(2v v km

T

-= 于是有 km

T v v 21±= 将其代入④式，有

m

kT

v v 22±

= 又，题述爆炸后，两弹片仍沿原方向飞行，故只能取

12v v v v =-

=证毕．

2.17 设N 67j i F -=合．(1) 当一质点从原点运动到m 1643k j i r

++-=时，求F 所作

的功．(2)如果质点到r 处时需0.6s ，试求平均功率．(3)如果质点的质量为1kg ，试求动能的变化．

解: (1)由题知，合F

为恒力，

∴ )1643()67(k j i j i r F A

++-?-=?=合

J 452421-=--= (2) w 756

.045==?=

t A P (3)由动能定理，J 45-==?A E k

2.18 以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，在铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内1 cm ，问击第二次时能击入多深，假定铁锤两次打击铁钉时的速度相同．

题2.18图

解: 以木板上界面为坐标原点，向内为y 坐标正向，如题2.18图，则铁钉所受阻力为

ky f -=

第一锤外力的功为1A

???=

=-='=s

s

k

y ky y f y f A 1

12

d d d ① 式中f '是铁锤作用于钉上的力，f 是木板作用于钉上的力，在0d →t 时，f 'f -=． 设第二锤外力的功为2A ，则同理，有

?-=

=2

1

2222

21d y k

ky y ky A ② 由题意，有

2

)21(212k

mv A A =?== ③

即 2

22122k

k ky =-

所以， 22=y

于是钉子第二次能进入的深度为

cm 414.01212=-=-=?y y y

2.19 设已知一质点(质量为m )在其保守力场中位矢为r

点的势能为()/n

P E r k r =-, 试

求质点所受保守力的大小和方向． 解: 1

d ()()d p n E r nk F r r

r +=-

=-

方向与位矢r

的方向相反，方向指向力心．

2.20 一根劲度系数为1k 的轻弹簧A 的下端，挂一根劲度系数为2k 的轻弹簧B ，B 的下端又挂一重物C ，C 的质量为M ，如题2.20图．求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势能之比．

题2.20图

解: 弹簧B A 、及重物C 受力如题2.20图所示平衡时，有

Mg F F B A ==

又 11x k F A ?=

22x k F B ?=

所以静止时两弹簧伸长量之比为

1

2

21k k x x =

?? 弹性势能之比为

122222

1112

121

2

k k

x k x k E E p p =??=

2.21 (1)试计算月球和地球对m 物体的引力相抵消的一点P ，距月球表面的距离是多少?地球质量5.98×10

24

kg ，地球中心到月球中心的距离3.84×108m ，月球质量7.35×1022

kg ，月

球半径1.74×106

m ．(2)如果一个1kg 的物体在距月球和地球均为无限远处的势能为零，那么它在P 点的势能为多少?

解: (1)设在距月球中心为r 处地引月引F F =，由万有引力定律，有

()

2

2

r R mM G

r

mM G

-=地

月

经整理，得

R M M M r 月

地月+=

=

22

2422

1035.71098.51035.7?+??81048.3??

m 1032.386?= 则P 点处至月球表面的距离为

m 1066.310)74.132.38(76?=?-=-=月r r h

(2)质量为kg 1的物体在P 点的引力势能为

()

r R M G

r

M G

E P ---=地

月

()7

2411

72211

1083.34.381098.51067.610

83.31035.71067.6?-???-????-=- J 1028.16?=

2.22 如题2.22图所示，一物体质量为2kg ，以初速度0v ＝3m ·s -1

从斜面A 点处下滑，它与

斜面的摩擦力为8N ，到达B 点后压缩弹簧20cm 后停止，然后又被弹回，求弹簧的劲度系数

和物体最后能回到的高度．

题2.22图

解: 取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点，弹簧原长处为弹性势能零点。则由功能原理，有

22011sin 3722r f s kx mv mgs ??-=

-+? ???

2021

sin 372

2

r mv mgs f s

k x +?-= 式中m 52.08.4=+=s ，m 2.0=x ，再代入有关数据，解得

-11450N m k =?

再次运用功能原理，求木块弹回的高度h '

2o 2

137sin kx s mg s f r -

'='- 代入有关数据，得 1.45m s '=, 则木块弹回高度

o sin370.87m h s ''==

2.23 质量为M 的大木块具有半径为R 的四分之一弧形槽，如题2.23图所示．质量为m 的小立方体从曲面的顶端滑下，大木块放在光滑水平面上，二者都作无摩擦的运动，而且都从静止开始，求小木块脱离大木块时的速度．

题2.23图

解: m 从M 上下滑的过程中，机械能守恒，以m ，M ，地球为系统，以最低点为重力势能零点，则有

222

1

21MV mv mgR +=

又下滑过程，动量守恒，以m 、M 为系统，则在m 脱离M 瞬间，水平方向有

0=-MV mv

联立以上两式，得

v =

2.24 一个小球与一质量相等的静止小球发生非对心弹性碰撞，试证碰后两小球的运动方向互相垂直．

证: 两小球碰撞过程中，机械能守恒，有

2221202

12121mv mv mv += 即 2

2

2120v v v += ①

题2.24图(a) 题2.24图(b)

又碰撞过程中，动量守恒，即有

210v m v m v m +=

亦即 210v v v

+= ②

由②可作出矢量三角形如图(b)，又由①式可知三矢量之间满足勾股定理，且以0v

为斜边，故知1v 与2v

是互相垂直的．